BC0209 – Fenômenos Eletromagnéticos
Segundo quadrimestre de 2011
Lista de Exercı́cios 2
Potencial elétrico, energia potencial elétrica, capacitores
Obs: a menos que seja informado de forma diferente, tome como referência V = 0
em r = ∞ para os problemas abaixo.
1. (a) Calcule a velocidade de um próton que é acelerado a partir do repouso por uma diferença de
potencial de 120 V. (b) Repita o cálculo do item
(a) para um elétron na mesma diferença de potencial.
Ex e Ey .
2. Um campo elétrico uniforme de magnitude 250
V/m está na direção x, apontado no sentido positivo. Uma carga de +12, 0 µC se desloca da origem
para o ponto (x, y) = (20, 0 cm, 50, 0 cm). (a) Qual
a variação na energia potencial desse sistema cargacampo? (b) Através de qual diferença de potencial
a carga se desloca?
3. Demonstre que o trabalho necessário para colocar quatro cargas pontuais idênticos de magnitude Q nos cantos de um quadrado de lado a é
√
(4 + 2)kQ2 /a.
4. Uma carga +q está na origem. Outra carga −2q
está em x = 2, 00 m no eixo x. Para qual(is) valor(es) finito(s) de x (a) o campo elétrico é nulo e
(b) o potencial elétrico é zero?
5. Um dipolo elétrico está localizado ao longo do eixo
y como mostra a figura. A magnitude do momento
de dipolo elétrico é definida como p = 2aq. (a)
Mostre que o potencial elétrico no ponto P , longe
do dipolo (r a), é
V (r) ≈
6. Uma barra de comprimento L se encontra sobre
o eixo x com sua extremidade esquerda na origem,
conforme mostra a figura abaixo. Ela tem uma densidade de carga não uniforme λ = αx, onde α é uma
constante positiva. (a) Qual a unidade de α? (b)
Calcule o potencial elétrico em A. (c) Calcule o potencial elétrico em B, que se encontra na bissetriz
perpendicular da barra à uma distância b acima do
eixo x.
ke p cos θ
.
r2
(b) Calcule as componentes radial Er e perpendicular Eθ do campo elétrico associado. Observe que
Eθ = −(1/r)(∂V /∂θ). Esses resultados parecem
razoáveis para θ = 90o e 0o ? Para r = 0? (c) Expresse V em termos das coordenadas cartesianas
utilizando r = (x2 + y 2 )1/2 e
cos θ =
y
.
(x2 + y 2 )1/2
Utilizando esses resultados e novamente considerando r a, calcule as componentes do campo
7. Calcule o potencial elétrico no ponto P sobre o eixo
que passa pelo centro do anel mostrado na figura
abaixo, que possui uma densidade de carga uniforme σ.
2
8. Um condutor esférico tem um raio de 14, 0 cm e
carga de 26, 0 µC. Calcule o módulo do campo
elétrico e o potencial elétrico em (a) r = 10, 0 cm,
(b) r = 20, 0 cm e (c) r = 14, 0 cm a partir do
centro.
9. Um capacitor esférico consiste em uma casca
esférica condutora de raio b e carga −Q que é
concêntrica com uma esfera condutora menor de
raio a e carga +Q (veja figura abaixo). Demonstre
que a capacitância é
C=
ab
.
k(b − a)
10. Considere um arranjo formado pelos capacitores de
capacitâncias C1 = 5, 00 µF e C2 = 12, 0 µF e uma
bateria de 9, 00 V. Supondo-se que os capacitores
estejam conectados em paralelo à bateria, encontre
(a) a capacitância equivalente da combinação, (b)
a diferença de potencial e (c) a carga armazenada
em cada capacitor. (d) Repita os itens (a)-(c) para
o arranjo em que os capacitores estejam conectados
em série.
11. Considere o circuito da figura abaixo, onde C1 =
6, 00 µF, C2 = 3, 00 µF e ∆V = 20, 0 V. O capacitor C1 é carregado primeiro pelo fechamento da
chave S1 . A chave S1 é então aberta e o capacitor
carregado é conectado ao capacitor não carregado
pelo fechamento da chave S2 . Calcule a carga inicial em C1 e a carga final em cada capacitor.
12. A causa imediata de muitas mortes é a fibrilação
ventricular, um tremor descoordenado do coração,
em oposição ao batimento adequado. Um choque elétrico no peito pode causar a paralisia momentânea do músculo cardı́aco, após a qual o
coração às vezes irá começar a bater novamente
de forma organizada. Um desfibrilador é um dispositivo que aplica um forte choque elétrico sobre
o peito durante alguns poucos milissegundos. O
dispositivo contém um capacitor de vários microfarads, carregado até muitos milhares de volts. Eletrodos de cerca de 8 cm, revestidos de pasta condutora, são segurados de encontro ao peito dos dois
lados do coração. Suas alças estão isoladas para
prevenir ferimentos ao operador, que grita então
“Afastar!” (significando que ninguém deve tocar
no paciente) e pressiona um botão em um eletrodo
para descarregar o capacitor através do peito do
paciente. Considere que uma energia de 300 J deve
ser fornecida por um capacitor de 30, 0 µF. Ele deve
ser carregado a qual diferença de potencial?
13. Um capacitor de placas paralelas no ar tem as placas separadas por 1, 50 cm e a área das placas é
de 25, 0 cm2 . As placas são carregadas até a diferença de potencial de 250 V e desconectadas da sua
fonte. O capacitor é então imerso em água destilada
(lı́quido isolante de constante dielétrica κ = 80).
Determine (a) a carga nas placas antes e depois da
imersão, (b) a capacitância e a diferença de potencial depois da imersão e (c) a variação na energia
do capacitor.
14. Um capacitor é construı́do a partir de duas placas
quadradas de lados ` e separação d, com ` d.
Um material de constante dielétrica κ é inserido à
uma distância x no capacitor, como mostra a figura
abaixo. (a) Encontre a capacitância equivalente do
dispositivo. (b) Calcule a energia armazanada no
capacitor se a diferença de potencial é ∆V . (c) Encontre o sentido e a magnitude da força exercida
sobre o dielétrico, considerando uma diferença de
potencial constante ∆V . Despreze o atrito. (d)
Obtenha um valor numérico para a força conside-
3
rando que ` = 5, 00 cm, ∆V = 2000 V, d = 2, 00
mm e que o dielétrico é vidro (κ = 4, 50).
Dica: o sistema pode ser considerado como dois
capacitores conectados em paralelo.
Respostas
1. (a) 152 km/s; (b) 6490 km/s.
2. (a) −600 µJ; (b) −50, 0 V.
3. Demonstração.
4. (a) -4,83 m; (b) 2/3 m; -2 m.
5. (a) Demonstração;
15. O contador Geiger é um detector de radiação que
consiste essencialmente em um cilindro de metal
oco, fechado (o cátodo) de raio interno ra e um fio
cilı́ndrico coaxial (o ânodo) de raio rb (veja figura
abaixo). A carga por unidade de comprimento no
ânodo é λ e a carga por unidade de comprimento
no cátodo é −λ. Um gás preenche o espaço entre
os eletrodos. Quando uma partı́cula elementar de
alta energia atravessa esse espaço, ela pode ionizar
um átomo do gás. O forte campo elétrico faz o
ı́on resultante e o elétron acelerarem em sentidos
opostos. Eles atingem outras moléculas do gás para
ionizá-las, produzindo uma avalanche de descarga
elétrica. O pulso de corrente elétrica entre o fio e
o cilindro é contado por um circuito externo. (a)
Mostre que a magnitude da diferença de potencial
entre o fio e o cilindro é
ra
.
∆V = 2kλ ln
rb
(b) Mostre que a magnitude do campo elétrico no
espaço entre o cátodo e o ânodo é dada por
E=
1
∆V
,
ln(ra /rb ) r
onde r é a distância do eixo do ânodo até o ponto
onde o campo deve ser calculado.
(b) Er =
(c) V =
2ke p cos θ
ke p sin θ
, Eθ =
;
3
r
r3
ke py
,
(x2 + y 2 )3/2
Ex =
3ke pxy
ke p(2y 2 − x2 )
,
E
=
.
y
(x2 + y 2 )5/2
(x2 + y 2 )5/2
C/m2 ; p (b) kα[L − d ln(1 + L/d)];
b2 + (L/2)2 − L/2
kαL
ln p
(c) −
2
b2 + (L/2)2 + L/2
6. (a)
√
√
7. 2πke σ[ x2 + b2 − x2 + a2 ]
8. (a) 0 e 1,67 MV; (b) 5, 84 MN/C e 1, 17 MV; (c)
11, 9 MN/C e 1, 67 MV.
9. Demonstração.
10. (a) 17, 0 µF; (b) 9, 00 V; (c) 45, 0 µC e 108 µC; (d)
3, 53 µF; 6, 35 V e 2, 65 V; 31, 8 µC.
11. 120 µC; 80 µC e 40 µC.
12. 4, 47 kV.
13. (a) 369 pC, antes e depois da imersão; (b) 118 pF
e 3, 12 V; (c) −45, 5 nJ.
0 2
1 0 (∆V )2 2
[` + `x(κ − 1)]; (b)
[` + `x(κ −
d
2
d
0 (∆V )2
1)]; (c) −
`(κ − 1) ı̂; (d) 1, 55 × 10−3 N.
2d
14. (a)
15. Demonstração.