Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Cronograma VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Prof. Dr. Ivan Bezerra Allaman Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Cronograma 1 Variável aleatória 2 Variável aleatória discreta e contı́nua 3 Função de probabilidade 4 Função de distribuição ou distribuição acumulada 5 Esperança matemática 6 Variância uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Variável aleatória Definição: É uma função que associa cada envento do espaço amostral em um número real. uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Variável aleatória Exemplo 1: Seja E o experimento que consiste em lançar duas moedas. Seja A o seguinte evento de interesse:número de caras obtidas nas duas moedas. Teremos então a seguinte configuração: A (coroa,coroa) (coroa,cara),(cara,coroa) (cara,cara) Y(A) 0 1 2 uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância VAD e VAC Variável aleatória discreta (VAD): Uma variável aleatória Y será discreta se o número de valores de Y (seu contradomı́nio), finito ou infinito, for numerável. Ou seja, entre quaisquer de dois elementos vizinhos não há quantidades intermediárias. Variável aleatória contı́nua (VAC): Uma variável aleatória Y será contı́nua se o seu contradomı́nio for um intervalo ou uma coleção de intervalos. Ou seja, entre quaisquer de dois elementos vizinhos há quantidades intermediárias infinitas, dependentes da sensibilidade do instrumento de medida. uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância VAD e VAC Variável aleatória discreta (VAD): Uma variável aleatória Y será discreta se o número de valores de Y (seu contradomı́nio), finito ou infinito, for numerável. Ou seja, entre quaisquer de dois elementos vizinhos não há quantidades intermediárias. Variável aleatória contı́nua (VAC): Uma variável aleatória Y será contı́nua se o seu contradomı́nio for um intervalo ou uma coleção de intervalos. Ou seja, entre quaisquer de dois elementos vizinhos há quantidades intermediárias infinitas, dependentes da sensibilidade do instrumento de medida. uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Função de probabilidade de uma VAD Função densidade de probabilidade de uma VAC Chama-se função de probabilidade da VAD Y, a função: p(Y = yi ) = p(yi ) = pi que a cada valor yi associa sua probabilidade de ocorrência. A função p(yi ) será uma função de probabilidade se satisfizer às seguintes condições: a) p(yi ) ≥ 0, para todo yi . Pn b) i=1 p(yi ) = 1 uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Função de probabilidade de uma VAD Função densidade de probabilidade de uma VAC À coleção de pares [yi , p(yi )] é denominada distribuição de probabilidade da VAD Y, que pode ser representada por meio de tabela, gráfico ou fórmula. Considerando o exemplo 1 tem-se a seguinte tabela e gráfico. y 0 1 2 p(y) 1/4 2/4 1/4 uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Função de probabilidade de uma VAD Função densidade de probabilidade de uma VAC Exemplo 2:Um fabricante de unidade de disco estima que em cinco anos um dispositivo com 1 terabyte de capacidade será vendido com probabilidade 0,5; um dispositivo com 500 gigabytes de capacidade será vendido com probabilidade de 0,3 e um dispositivo com 100 gigabytes será vendido com probabilidade de 0,2. A receita associada com as vendas naquela ano estão estimadas em $50 milhões, $25 milhões e $10 milhões respectivamente. Se X representa a receita dos dispositivos de armazenamentos naquele ano, pergunta-se: Qual a distribuição de probabilidade da variável X? Qual o gráfico da distribuição? Essa distribuição é válida? uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Função de probabilidade de uma VAD Função densidade de probabilidade de uma VAC A função densidade de probabilidade ou simplesmente fdp é uma denominação utilizada apenas para VAC. Seja Y uma VAC, a função densidade de probabilidade f(y) é uma função que satisfaz as seguintes condições: fR (y) ≥ 0 para todo y ∈ [a,b] com a < b +∞ −∞ f (y)dy = 1 Uma vez que uma VAC pode assumir infinitos valores entre quaisquer de dois elementos vizinhos, a probabilidade de uma VAC é dada por: Rb P (a < Y < b) = a f (y)dy Allaman, I.B. Distribuições uesclogo Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Função de probabilidade de uma VAD Função densidade de probabilidade de uma VAC Exemplo 3: Seja Y uma VAC que representa a duração em anos de uma certa lâmpada especial cuja a densidade de probabilidade é dada por: ( 2e−2y , y ≥ 0; f (y) = 0, caso contrário Para y varindo de 0 a 10 anos tem-se o seguinte comportamento da variável Y. uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Função de probabilidade de uma VAD Função densidade de probabilidade de uma VAC uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Função de probabilidade de uma VAD Função densidade de probabilidade de uma VAC Pergunta-se: Qual a probabilidade de uma lâmpada durar entre 1 a 2 anos? uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Função de distribuição para uma VAD Função de distribuição para uma VAC Seja Y uma VAD, define-se função de distribuição ou função de distribuição acumulada da VAD Y, no ponto y, como sendo a probabilidade de que Y assuma um valor menor ou igual a y, isto é: F (y) = P (Y ≤ y) Exemplo 4. Vamos considerar o exemplo 2 para encontrarmos a função de distribuição. uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Função de distribuição para uma VAD Função de distribuição para uma VAC Seja Y uma VAC, define-se função de distribuição de acordo com a seguinte expressão: Ry F (y) = −∞ f (y)dy Exemplo 5. Vamos considerar o exemplo 3 para encontrarmos a função de distribuição. uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Esperança matemática de uma VAD Esperança matemática de uma VAC Conceito: É o valor mais provável que se espera acontecer, ou seja, em média, é o que se espera que ocorra. Considerem um experimento que consiste no lançamento de um dado. Seja Y a variável aleatória que consiste no ponto obtido, ou seja, 1,2,3,4,5,6. Em média, esperarı́amos qual valor? uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Esperança matemática de uma VAD Esperança matemática de uma VAC Ou seja, E(Y ) = µ = ou E(Y ) = µ = 1+2+3+4+5+6 6 1 6 ∗1+ 1 6 ∗2+ 1 6 ∗3+ 1 6 ∗4+ 1 6 ∗5+ 1 6 ∗6 Logo, podemos definir a esperança de uma VAD como: P E(Y ) = µ = ni=1 yi p(yi ) uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Esperança matemática de uma VAD Esperança matemática de uma VAC Ou seja, E(Y ) = µ = ou E(Y ) = µ = 1+2+3+4+5+6 6 1 6 ∗1+ 1 6 ∗2+ 1 6 ∗3+ 1 6 ∗4+ 1 6 ∗5+ 1 6 ∗6 Logo, podemos definir a esperança de uma VAD como: P E(Y ) = µ = ni=1 yi p(yi ) uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Esperança matemática de uma VAD Esperança matemática de uma VAC As propriedades da esperança são: Seja k uma constante qualquer e Y e Z duas variáveis aleatórias quaisquer, então: E(k) = k E(Y ± k) = E(Y ) ± k E(Y k) = k · E(Y ) E(Y ± Z) = E(Y ) ± E(Z) uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Esperança matemática de uma VAD Esperança matemática de uma VAC Exemplo 6: As probabilidades de que haja 1,2,3,4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num sábado são, respectivamente:0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Qual o número médio de pessoas por carro? Se chegam no litoral 4000 carros por hora, qual o número esperado de pessoas, em 10 horas de contagem? uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Esperança matemática de uma VAD Esperança matemática de uma VAC Podemos definir a esperança de uma VAC como: R +∞ E(Y ) = µ = −∞ yf (y)dy Exemplo 7: Aproveitando o exemplo 3, em média, qual a vida útil de uma lâmpada? uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Variância Por definição, a variância de uma variável aleatória Y, de população infinita, é σ 2 = V AR(Y ) = E[Y − E(Y )]2 = E(Y − µ)2 ou V AR(Y ) = E(Y 2 ) − E(Y )2 Exemplo 8: Vamos considerar o exemplo 6 acima. uesclogo Allaman, I.B. Distribuições Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Variância Desvio padrão: É a raiz quadrada da variância da variável aleatória Y, isto é: p σY = V AR(Y ) No caso do exemplo 8, tem-se que o desvio padrão é igual a → Observação: Como já comentado no inı́cio do curso, a vantagem do desvio padrão é que a unidade de medida está na mesma escala da variável. Allaman, I.B. Distribuições uesclogo Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Variância Desvio padrão: É a raiz quadrada da variância da variável aleatória Y, isto é: p σY = V AR(Y ) No caso do exemplo 8, tem-se que o desvio padrão é igual a → Observação: Como já comentado no inı́cio do curso, a vantagem do desvio padrão é que a unidade de medida está na mesma escala da variável. Allaman, I.B. Distribuições uesclogo Variável aleatória Variável aleatória discreta e contı́nua Função de probabilidade Função de distribuição ou distribuição acumulada Esperança matemática Variância Variância As propriedades da variância são: Seja k uma constante qualquer e Y e Z duas variáveis aleatórias quaisquer, então: V AR(k) = 0 V AR(Y ± k) = V AR(Y ) V AR(Y k) = k 2 · V AR(Y ) V AR(Y ± Z) = V AR(Y ) ± V AR(Z)Se Y e Z forem independentes. uesclogo Allaman, I.B. Distribuições
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