Departamento de Fı́sica – UFES
Fı́sica 3 — 2a Lista de Exercı́cios
Lei de Gauss
March 17, 2010
• Caso o campo elétrico de uma carga pontual fosse proporcional a r−3 ao invés de r−2 , a
lei de Gauss ainda seria válida? Explique o seu raciocı́nio. Dica: Considere uma superfı́cie
gaussiana esférica centrada sobre uma carga q pontual.
• Uma carga pontual q está no centro de uma superfı́cie gaussiana esférica S. Se a carga for
transferida para outro ponto dentro de S, o campo elétrico em um ponto sobre esta superfı́cie
se altera? O fluxo elétrico através de S muda ou permanece constante? Justifique a sua
resposta.
• Explique porque o módulo de um campo elétrico na superfı́cie de um condutor sólido de forma
irregular deve ser maior nas vizinhanças de pontos onde a superfı́cie se encurva fortemente,
enquanto que deve ser menor em outras regiões onde a curvatura é mais suave. Como a
densidade de carga superficial se compara nestas duas regiões?
• Um carga pontual é colocada no centro de uma superfı́cie gaussiana esférica. O valor do fluxo
Φ se altera se: (a) a esfera for substituı́da por um cubo? (b) se a área do cubo for aumentada
N vezes? (c) se a carga for afastada (mas permanecer dentro dela) do centro da esfera?
(d) a carga for removida para fora da esfera? (e) uma outra carga for colocada próxima da
primeira, mas fora da superfı́cie? (f) uma outra carga for colocada dentro da superfı́cie?
1. Uma placa plana possui a forma de um retângulo com lados de 0, 400m e 0, 600m, e está
imersa em uma região onde existe um campo elétrico uniforme com módulo igual a 75, 0N/C
e cuja direção faz um ângulo de 20o com o plano da placa. Calcule o módulo do fluxo elétrico
total através da placa.
2. Uma esfera condutora sólida de raio R possui uma carga positiva Q. A esfera está no interior
de uma outra esfera oca isolante e concêntrica de raios interno R e externo 2R, e com densidade
de carga uniforme ρ. (a) Calcule o valor de ρ para que a carga total do sistema seja zero; (b)
Usando o valor de ρ encontrado na parte (a), determine o módulo, a direção e o sentido do
campo elétrico em cada uma das regiões 0 < r < R, R < r < 2R, e r > 2R. Mostre seus
resultados em um gráfico da componente radial do campo elétrico em função da distância
radial.
3. Um átomo de hidrogênio é constituı́do por um próton com carga q = 1, 6 × 10−19 C, e um
elétron com carga −q. Podemos considerar como sendo uma carga pontual situada em r = 0,
o centro do átomo, e o elétron sendo responsável por uma distribuição efetiva de carga em
torno do próton dada por,
qe−2r/a0
ρ(r) = −
,
πa30
onde a0 = 5, 29 × 10−11 m é o raio de Bohr do átomo. (a) Calcule a carga total do átomo
de hidrogênio contida em uma esfera de raio r centrada no próton. Mostre que quando
1
r → ∞ a carga contida neste volume tende a zero. Interprete este resultado. (b) Encontre o
módulo, direção e sentido do campo elétrico produzido pelo átomo de hidrogênio em função da
distância r. Apresente seu resultado em um gráfico da componente radial do campo elétrico
em função da distância radial.
4. Uma distribuição de carga esfericamente simétrica porém não uniforme possui densidade ρ(r)
dada por,
(
4r
ρ0 1 − 3R
, se r ≤ R
ρ(r) =
,
0
, se r > R
onde ρ0 é uma constante positiva. (a) Calcule a carga total contida na distribuição de cargas;
(b) Obtenha uma expressão para o campo elétrico nas regiões r ≥ R e r ≤ R; (c) Faça um
gráfico para o módulo do campo em função da distância r; (d) Encontre o ponto r para o
qual o campo elétrico atinge o seu valor máximo e calcule este valor.
5. Usando a lei de Gauss determine o campo elétrico produzido por um plano infinito com
distribuição de carga uniforme positiva σ. Dica: utilize uma superfı́cie gaussiana cilı́ndrica.
6. O cilindro de reprodução de imagem de uma fotocopiadora deve possuir em um ponto situado
quase sobre a superfı́cie externa um campo elétrico de módulo igual a 1, 40 × 105 N/C. (a) Se
o cilindro possui uma área lateral igual a 0, 0610m2 (uma área suficiente para imprimir folhas
de papel pequenas até o tamanho ofı́cio), qual é a carga total existente sobre a superfı́cie do
cilı́ndro? (b) Caso a área lateral do cilindro fosse aumentada para 0, 122m2 , de modo que
ele pudesse imprimir folhas maiores, qual seria a carga necessária para que o campo elétrico
imediatamente acima de sua superfı́cie lateral continuasse sendo igual a 1, 40 × 105 N/C?
7. Um condutor isolado de forma arbitrária possui carga total de 1×10−5 C. Dentro do condutor
existe uma cavidade oca, no interior da qual há uma carga pontual q = 3 × 10−6 C. Qual é a
carga (a) sobre a parede da cavidade e (b) sobre a superfı́cie externa do condutor?
8. (a) Uma esfera isolante com raio a possui uma densidade de carga uniforme ρ. A esfera não
está centrada na origem, porém seu centro está localizado no ponto ~r = ~b. Mostre que o
~ = ρ(~r − ~b)/3ǫ0 . (b) Uma esfera isolante
campo elétrico no interior da esfera é dado por E
com raio R possui uma cavidade esférica com raio a localizada no interior do seu volume e
está centralizada em um ponto a uma distância b do centro da esfera, onde a < b < R. A
parte maciça da esfera possui uma densidade de carga volumétrica ρ uniforme. Determine
~ é uniforme em todos os pontos do
o campo elétrico no interior da cavidade e mostre que E
volume da cavidade. Dica: use o resultado do item (a).
9. Um cubo possui arestas de comprimento L = 0, 300m e é colocado com um dos vértices na
origem. O campo elétrico é dado por
~
E(x,
z) = (−5, 00xî + 3, 00z k̂)N.m/C,
(a) Determine o fluxo elétrico através de cada uma das seis faces; (b) calcule a carga elétrica
total no interior do cubo.
1. 6, 16N · m2 /C.
2. (a) densidade de carga,
3Q
,
28πR3
(b) E = 0 nas regiões I e III, mas na II o campo é dado por,
ρ=−
2
E=
Q
ρ(r3 − R3 )
+
.
2
4πǫ0 r
3ǫ0 r2
3. (a) a carga é,
Q(r) = Q −
4Qe−ar ar
2 2
2e
−
a
r
−
2ar
−
2
,
(aa0 )3
onde a = 2/a0 .
(b) O campo elétrico é orientado radialmente para fora e possui módulo,
"
kQ
e−2r/a0
E = 2 1−
r
2
2r/a0
2e
!#
4r2 4r
− 2 +
−2
a0
a0
4. (a) Q = 0; (b) E = 0; (c)
r
ρ0 r
1−
,
E=
3ǫ0
R
ρ0 R
.
(d) rmax = R/2; (e) E = 12ǫ
0
5. Ver resultado no caderno.
6. (a) q = 7, 56 × 10−8 C; (b) q = 1, 51 × 10−7 C.
7. (a) −3µC, (b) 13µC.
8. (b) ρ~b/3/ǫ0 .
9. (b) 4, 78 × 10−13 C.
3