Universidade Severino Sombra
Pós-Graduação Strictu Sensu em Educação Matemática
LÍCIA GIESTA FERREIRA DE MEDEIROS
DANDO MOVIMENTO À FORMA: AS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS NO
PLANO NA FORMAÇÃO CONTINUADA A DISTÂNCIA DE PROFESSORES DE
MATEMÁTICA
Vassouras
2012
LÍCIA GIESTA FERREIRA DE MEDEIROS
DANDO MOVIMENTO À FORMA: AS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS NO
PLANO NA FORMAÇÃO CONTINUADA A DISTÂNCIA DE PROFESSORES DE
MATEMÁTICA
Dissertação de Mestrado apresentada PósGraduação Strictu Sensu em Educação
Matemática da Universidade Severino Sombra,
como requisito parcial à obtenção do título de
Mestre em Educação Matemática.
Orientador: Profª Drª Estela Kaufman Fainguelernt
Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Mathias Motta
Vassouras
2012
GIESTA, Lícia Ferreira de Medeiros.
Dando movimento à forma: as transformações geométricas no
plano na formação continuada a distância de professores de
Matemática
/ Lícia Giesta Ferreira de Medeiros. Vassouras, 2012.
123 f.
Orientadores:
Estela Kaufman Fainguelernt e Carlos Eduardo
Mathias Motta
Dissertação de Mestrado – Universidade Severino Sombra,
Mestrado em Educação Matemática.
VERSO DA FOLHA DE ROS
Bibliografia.
LÍCIA GIESTA FERREIRA DE MEDEIROS
DANDO MOVIMENTO À FORMA: AS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS NO
PLANO NA FORMAÇÃO CONTINUADA A DISTÂNCIA DE PROFESSORES DE
MATEMÁTICA A
Dissertação de Mestrado apresentada a PósGraduação Strictu Sensu em Educação
Matemática da Universidade Severino Sombra,
como requisito parcial à obtenção do título de
Mestre em Educação Matemática.
_________________________________________________________________
Profª Drª Estela Kaufman Fainguelernt (Orientador)
Universidade Severino Sombra (USS)
________________________________________________________________
Prof. Dr. Carlos Eduardo Mathias Motta (Orientador)
Universidade Federal Fluminense (UFF)
________________________________________________________________
Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende
Universidade Federal Fluminense (UFF)
_________________________________________________________________
Profª Drª Lúcia Maria Aversa Villela
Universidade Severino Sombra (USS)
_________________________________________________________________
Prof. Dr. Carlos Eduardo Costa Vieira
Universidade Severino Sombra (USS)
Vassouras, 13 de abril de 2012
Dedico este trabalho
à minha mãe, Lied, que sempre foi um farol para
todas as noites escuras de todos que a cercaram.
Ao meu pai, Aloysio, um espetáculo!
Ao Antonio, meu e cúmplice em tudo,
à Fernandinha, pela paciência infinita que têm tido
conosco e ao amigo Rafael Vassallo por ter nos
guiado e ajudado em todo este percurso.
AGRADECIMENTOS
À amiga, mentora, coordenadora de disciplina e professora doutora Estela Kaufman
Fainguelernt, pela paciência, dedicação, empenho e competência com que orientou esta
pesquisa. Por suas palavras amigas de incentivo e apoio, pelos puxões de orelha na hora certa,
por me mostrar as tranformações geométricas sob um outro olhar, por ser um verdadeiro
exemplo a ser seguido. Obrigada!
Devo muitíssimo ao amigo e professor doutor Carlos Eduardo Mathias Motta, pela
orientação neste trabalho, pela inspiração, pela instigação em buscar no velho um novo olhar,
por colocar a "pulga" atrás da minha e de muitas orelhas com relação à educação "pela"
Matemática, por ter me apresentado à Educação a Distância de excelência, por ter permitido
que eu participasse dessa experiência com ele.
À professora doutora Lúcia Maria Aversa Villela, que foi minha orientadora e
coordenadora da disciplina de Tópicos em Geometria, por ter me ajudado muitíssimo e
inspirado ainda mais. Valeu!
Rafael Vassallo, meu amigo-irmão, por ter me obrigado a cursar a Especialização em
Educação Matemática e depois esse mestrado, por todas as vezes que me ajudou durante o
curso, por todas as manhãs ou tarde discutindo e corrigindo este trabalho. Muito, muito
obrigada!
Obrigada professor doutor Wanderley Moura Rezende, amigo querido e uma das
pessoas que mais me instigou a fazer esse curso.
Ao professor doutor Carlos Eduardo Costa Vieira, que com seus olhos de lince e uma
leitura rigorosa do texto deste trabalho me ajudou muitíssimo na correção.
Aos demais professores do Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu Mestrado
Profissional em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra - Ana Maria
Severiano de Paiva, Carlos Vitor de Alencar Carvalho, Chang Kuo Rodrigues, Gabriela dos
Santos Barbosa, Ilydio Pereira de Sá, Janaína Veiga, Júlio César da Silva, Maddi Damião
Júnior, Patrícia Nunes da Silva e Regene Brito Westphal, muitíssimo obrigada por terem
partilhado comigo seu tempo e seus conhecimento.
Estou profundamente grata a todos da minha família, Fernandinha, Cocão e Adriana,
pela paciência com as minhas descrições do trabalho que vocês não entendiam, os jantares,
feitos pelo Cocão, para só falar do mestrado e com os pedidos para ler "só aquele parágrafo".
A tia Lucy, a Mari, a Claudia, ao Francisco, a Fernanda e ao Toninho por aguentarem as
minhas ausências e desculpas.
Aos amigos da ABCMUSS, Douglas, Raphael, Leo, Bruno, Ricardo, Jonas, Marcus
Vinícius, Viviane, Sandra, Rodrigo e Rodolfo, por todas as noites divertidíssimas, pelas
trocas, pelo companheirismo, enfim, pela amizade. Muito obrigada! Muitas saudades!
Agradeço também aos demais colegas do Programa - Ramon, Wendel, Talles, Ivy,
Monique, Anísio, Rubens, Odiléia, Rivelino, Marcelo, Heloisa, Karina, Sonia, Marlucia - por
sempre estarem dispostos a ajudar e a trocar.
Ao pessoal do LANTE e da disciplina de Tópicos em Geometria, em especial ao
amigo Agnaldo Esquincalha por estar sempre on-line e com as soluções para os problemas
que apareciam na ponta da língua. À Luciana Marins, da área de suporte do LANTE, que
esteve sempre pronta a ajudar. Aos tutores da disciplina - Bruno, Carmem, Denise, Fabiano,
Felipe, Geísa, Ítalo, Kléber, Leandro, Teresa Raquel e Welton - pelo apoio na realização do
trabalho que foi desenvolvido junto aos alunos. Vocês tem todo o meu reconhecimento!
Obrigada a todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para que eu curssasse esse
mestrado e realizasse este trabalho.
Fazer da vida um hino de alegria
Quando já desmorona o mundo interior,
Brincar e rir, quando em verdade,
lágrimas querem rolar em despudor.
Olhar o céu azul, o sol radioso,
e sentir que já tudo escureceu.
Vibrar de enlevo olhando a paisagem,
Quando no peito o coração morreu.
Tendo a angústia e a solidão por guias,
vontade de parar, enfim vencida.
E ouvir baixinho uma voz que ordena:
“Tens que voltar ao ponto de partida.”
Voltar pelo caminho percorrido.
Lutar, se a vontade está perdida.
Ter que buscar no espírito a coragem
Para perder, mas de cabeça erguida.
.
(Lied Giesta P. Ferreira, 1950).
RESUMO
GIESTA, L. F M. Dando movimento à forma: as transformações geométricas no plano na
formação continuada a distância de professores de Matemática. 2012. 123 f. Dissertação
(Pós-Graduação Strictu Sensu Mestrado em Educação Matemática) – Universidade Severino
Sombra, Vassouras, 2012.
Este trabalho pretende analisar a validade da inserção do estudo das Transformações
Geométricas no Plano nos cursos de formação continuada a distância de professores de
Matemática. Tem como base a análise, sob a óptica histórica, do uso dessas transformações
pelo homem e do desenvolvimento deste conceito pelos matemáticos. Pretende mostrar que
tal assunto pode ser utilizado como conteúdo integrador entre os ramos da matemática na
educação básica. Intenta, ainda, verificar os resultados da inserção desse tema na disciplina de
Tópicos em Geometria do curso de Novas Tecnologias no Ensino da Matemática da
Universidade Aberta do Brasil, e gerar, como produto final, um proposta de material didático
sobre essas transformações adequada à formação continuada do professor de Matemática na
modalidade a distância, através de um ambiente virtual de aprendizagem localizado em um
sítio da Internet.
Palavras-chave: Transformações Geométricas no Plano. Formação Continuada de
Professores. Educação a Distância.
ABSTRACT
GIESTA, L. F M. Adding movement to form: geometric transformation applied in
mathematics teachers graduate formation through distance education. 2012. 123 f.
Dissertation (Strictu Sensu Post-graduate program in Mathematical Education) – Universidade
Severino Sombra, Vassouras, 2012.
This paper intends to investigate whether the teaching of plane geometric transformations will
benefit distance education graduate courses for mathematics teachers. It describes how
geometric transformations evolved throughout history, and how mathematicians applied these
concepts inside Mathematics. It also shows how mankind applied it to arts and objects. This
research main goal is to show how geometric transformations might be used in basic
education to integrate all the branches of Mathematics. The work also analyses the results
obtained by using geometric transformations in a graduate course's discipline for mathematics
teachers ministered through distance education at Brazilian Open University. Finally, this
research will generate a set of educational activities and material to help introduce plane
geometric transformations in basic education. These resources will be available in a Virtual
Learning Environment in the Internet.
Key-word: Plane Geometric Transformations, Mathematics Teachers Graduate Course,
Distance Education.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Estrutura acadêmica e administrativa do LANTE ......................................... 34
Figura 2 - Imagem da tela da semana 6 da disciplina TG-2.2010 e detalhe do texto .... 38
Figura 3 - Pintura rupestre do sítio de El Buey na Bolívia ............................................. 42
Figura 4 - Travessa de terracota pintada (3.000a.C. - 1500a.C.) .................................... 43
Figura 5 - Prato de cerâmica Marajoara ......................................................................... 44
Figura 6 - Tapete Pazyryk (Século V a.C.) ..................................................................... 45
Figura 7 - Exemplo de carteira sipatsi ............................................................................. 45
Figura 8 - Exemplo de carteira oaxaca ........................................................................... 45
Figura 9 - Exemplo de carteira do Ceará ........................................................................ 45
Figura 10 - Roseta do período formativo da Cultura Arica ............................................ 46
Figura 11 - Barra do período Tiwanaku.da Cultura Arica .............................................. 46
Figura 12 - Mosaico do período de desenvolvimento regional da Cultura Arica ........... 46
Figura 13 - Mosaico do período inca da Cultura Arica .................................................. 46
Figura 14 - Maiólicas de Allambra ................................................................................. 47
Figura 15 - Estudo para Divisão regular do plano nº 70 ................................................. 48
Figura 16 - Detalhe da Divisão regular do plano nº 70 .................................................. 48
Figura 17 - Estudo para Divisão regular do plano nº 79 ................................................. 48
Figura 18 - Detalhe da Divisão regular do plano nº 79 .................................................. 48
Figura 19 - Padrões com quatro, cinco e seis eixos de simetria de quasicristais ........... 49
Figura 20 - Imagem observada por Shechtman em seu microscópio eletrônico ............ 49
Figura 21 - Modelo atômico de um quasicristal de prata e alumínio ............................. 50
Figura 22 - Representação da translação no plano ......................................................... 57
Figura 23 - Representação da simetria central no plano ................................................. 58
Figura 24 - Representação da simetria axial no plano .................................................... 59
Figura 25 - Representação da rotação com centro em C de um ponto e de um
quadrilátero ..................................................................................................................... 60
Figura 26 - Transladando o centro a rotação P para a origem ........................................ 61
Figura 27 - Rotacionando o ∆ABC em 90º .................................................................... 61
Figura 28 - Transladando o centro da rotação P' de volta para seu lugar ....................... 62
Figura 29 - Resultado final da rotação ............................................................................ 62
Figura 30 - Rotação do ∆ABC de 90º no sentido horário .............................................. 63
Figura 31 - Representação da homotetia de um segmento orientado OP ....................... 64
Figura 32 - Representação da homotetia de centro C e razão k de um quadrilátero
ABDE ............................................................................................................................. 64
Figura 33 - Hometetia de razão k = -2 do ∆ABC .......................................................... 65
Figura 34 - Triângulos semelhantes e homotéticos ........................................................ 66
Figura 35 - Triângulos semelhantes e não homotéticos ................................................. 66
Figura 36 - Resposta da questão 2a do Aluno-5.29 ........................................................ 79
Figura 37 - Resposta da questão 2a do Aluno-5.02 ........................................................ 88
Figura 38 - Resposta da questão 2a do Aluno-5.01 ........................................................ 88
Figura 39 - Questão 5 da Tarefa da Semana 6 ................................................................ 89
Figura 40 - Construção em R.e.C. feita pelo Tutor-4 sobre homotetia .......................... 94
Figura 41 - Explicação sobre homotetia dada pelo Aluno-4.23 ..................................... 95
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Cargas Horárias das disciplinas do NTEM / LANTE / UFF ........................ 36
Quadro 2 - Cronograma da disciplina TG-2.2010 ........................................................... 37
Quadro 3 - Referências bibliográficas das semanas 6 e 7 da disciplina TG-2.2011 ....... 39
Quadro 4 - Leituras complementares das semanas 6 e 7 da disciplina TG-2.2011 ......... 40
Quadro 5 - Vídeos e software para as semanas 6 e 7 da disciplina TG-2.2011 ............ 41
Quadro 6 - Classificação dos grupos de transformações ................................................. 55
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Número de alunos inscritos e concluintes da disciplina TG-2.2010 ............. 69
Tabela 2 - Número de alunos aprovados e não aprovados da disciplina TG-2.2010 ...... 70
Tabela 3 - Número de alunos que cursaram a EB em escolas públicas ou particulares de
TG-2.2010 ....................................................................................................................... 70
Tabela 4 - Número de alunos que cursaram a graduação em cursos públicas ou
particulares de TG-2.2010 ............................................................................................... 70
Tabela 5 - Respostas à pergunta "Você estudou geometria na educação básica?".......... 71
Tabela 6 - Respostas à pergunta "Que geometria você estudou na educação básica?" ... 72
Tabela 7 - Respostas à pergunta "Que geometria(s) você conhece?" pesquisa inicial ... 72
Tabela 8 - Respostas à pergunta "Que geometria(s) você conhece?" pesquisa final ...... 74
Tabela 9 - Respostas à pergunta "Na sua prática você relaciona a geometria a outras
áreas?" ............................................................................................................................. 75
Tabela 10 - Respostas à pergunta "Você relaciona a geometria a que assuntos?" ......... 76
LISTA DE SIGLAS
ABED - Associação Brasileira de Educação a Distância
ANDIFES - Associação Nacional dos Dirigentes das Instituições Federais de Ensino
Superior
APM - Associação de Professores de Matemática de Portugal
AVA - Ambiente Virtual de Aprendizagem
CCCM - Centro Científico e Cultural de Macau
Cead - Centro Nacional de Educação a Distância
CEAD/UnB - Centro de Educação a Distância da Universidade de Brasília
CEDERJ - Consórcio Centro de Educação a Distância do Estado do Rio de Janeiro
CGT - Coordenador Geral de Tutoria
CIER - Centro Internacional de Estudos Regulares
COOP - Coordenação Operacional
DRP - Divisão Regular do Plano
EaD – Educação a Distância
EF - Ensino Fundamental
EM - Ensino Médio
FAA - Fundação Educacional D. André Arcoverde
IBAM - Instituto Brasileiro de Administração Municipal
ICDE - International Council For Open and Distance Education
IF-CE - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
IF-PA - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará
IFPE - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Pernambuco
IFRN - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte
IME - Instituto de Matemática e Estatística
IUB - Instituto Universal Brasileiro
JC - Jornal da Ciência
LANTE - Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino
MEC - Ministério da Educação
MMM - Movimento da Matemática Moderna
NTEM – Novas Tecnologias no Ensino da Matemática
PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais
PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática
SBM - Sociedade Brasileira de Matemática
SBPC - Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência
SEED - Secretaria de Educação a Distância
SENAC - Serviço Nacional de Aprendizagem Comercial
SESC - Serviço Social do Comércio
SIARB - Sociedade de Investigação da Arte Rupestre da Bolívia
TD - Tutor a Distância
TFC - Trabalho Final do Curso
TG - Tópicos em Geometria
TGP - Transformações Geométricas no Plano
TIC - Tecnologias de Informação e Comunicação
TP - Tutor Presencial
UAB – Universidade Aberta do Brasil
UECE - Universidade Estadual do Ceará
UENF - Universidade Estadual do Norte Fluminense
UEPA - Universidade do Estado do Pará
UEPG - Universidade Estadual Ponta Grossa
UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro
UFAL - Universidade Federal de Alagoas
UFBA - Universidade Federal da Bahia
UFC - Universidade Federal do Ceará
UFF - Universidade Federal Fluminense
UFJF - Universidade Federal Juiz de Fora
UFMA - Universidade Federal do Maranhão
UFMG - Universidade Federal Minas Gerais
UFMS - Universidade Federal do Mato Grosso do Sul
UFOP - Universidade Federal Ouro Preto
UFPA - Universidade Federal do Pará
UFPB - Universidade Federal da Paraíba
UFPE - Universidade Federal de Pernambuco
UFPEL - Universidade Federal de Pelotas
UFPI - Universidade Federal do Piauí
UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro
UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
UFRRJ - Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
UFS - Universidade Federal do Sergipe
UFSJ - Universidade Federal de São João del Rei
UnB - Universidade de Brasília
UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UNESA - Universidade Estácio de Sá
UNIFAP - Universidade Federal do Amapá
UNIRIO - Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro
USS - Universidade Severino Sombra
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO .................................................................................................. 18
2
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (EaD) ............................................................... 23
2.1
DISCUSSÃO DE CONCEITOS ......................................................................... 23
2.2
A HISTÓRIA DA EaD ........................................................................................ 25
2.3
A EaD NO BRASIL ............................................................................................ 26
2.4
O SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UAB........................ 30
2.5
O CURSO DE NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA
- NTEM ............................................................................................................... 32
2.6
A DISCIPLINA DE TÓPICOS EM GEOMETRIA (TG) ................................. 36
3
AS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS NO PLANO ......................... 42
3.1
HISTÓRIA ........................................................................................................ 42
3.2
ANÁLISE MATEMÁTICA DAS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS
NO PLANO ........................................................................................................ 56
3.2.1
Translação ........................................................................................................... 56
3.2.2
Simetria .............................................................................................................. 57
3.2.2.1 Simetria Central ................................................................................................. 57
3.2.2.2 Simetria Axial .................................................................................................... 58
3.2.3
Rotação .............................................................................................................. 59
3.2.4 Homotetia .......................................................................................................... 63
3.3
APLICAÇÕES DAS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS NO
PLANO NA EDUCAÇÃO BÁSICA ................................................................. 67
4
A EXPERIÊNCIA DE ABORDAGEM DE TRANSFORMAÇÕES
GEOMÉTRICAS NO PLANO EM UM CURSO A DISTÂNCIA ............. 69
4.1
PALAVRA DOS TUTORES ............................................................................. 77
4.2
PALAVRA DOS ALUNOS ............................................................................... 84
5
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................... 98
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 100
APÊNDICES ............................................................................................................... 105
ANEXOS ..................................................................................................................... 114
18
1
Introdução
Desde que ingressei no curso de Matemática na Universidade do Estado do Rio de
Janeiro (UERJ), em 1981, tinha vontade de trabalhar com Educação. Por pressões do mercado
de trabalho, acabei me formando como Bacharel em Matemática na Modalidade Informática,
pela UERJ em 1985, mas a paixão pelo magistério estava lá. Então, em 1988, comecei a
ministrar aulas de Processamento de Dados I e II na Universidade Cândido Mendes nos
cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. Dois anos depois, voltei para
Valença, minha terra natal de onde havia partido para cursar a universidade, para lecionar
Matemática no Curso Superior de Tecnologia em Processamento de Dados, onde trabalhei até
2003.
Uma das minhas grandes paixões é estudar, e em 2003 fiz o Curso de Especialização
em Tecnologia e Projetos de Sistemas para Internet pela Universidade Estácio de Sá
(UNESA). Em 2004 concluí o Curso de Licenciatura em Matemática na Fundação
Educacional D. André Arcoverde (FAA) em Valença-RJ, prestei o concurso para professor do
Estado do Rio de Janeiro, e desde então sou professora no Colégio Estadual José Fonseca.
Em 2007, durante o Curso de Especialização em Educação Matemática da FAA, tive
contato com professores que me apresentaram uma visão inovadora das aplicações das
transformações geométricas e da história de seu desenvolvimento. Este contato me levou,
também, a conhecer e me encantar com a Educação a Distância (EaD), tanto que fiz minha
monografia (trabalho de conclusão de curso) sobre este assunto.
Em virtude da produção do trabalho citado anteriormente e das habilidades
desenvolvidas nos cursos que participei, desde 2008 atuo no curso de Novas Tecnologias de
Ensino da Matemática (NTEM) da Universidade Federal Fluminense (UFF), na modalidade a
distância, onde exerci as funções de tutora em diversas disciplinas e de coordenadora em
outras tantas, dentre as quais, a disciplina de Tópicos em Geometria (TG), oferecida entre
abril e junho de 2011.
Atualmente atuo como professora do curso de Pós Graduação Latu Sensu em
Educação Matemática na FAA em Valença.
Foi com base nas experiências vividas nessas áreas de atuação que escolhi o tema
deste trabalho. A partir daí me interessei em pesquisar junto ao professor de Matemática, seja
ele aluno do NTEM ou tutor de TG, o que ele conhece das transformações geométricas no
19
plano (TGP)? Em investigar como ele as vê desenvolvidas na educação básica (EB)? E se
nesta disciplina, consegui-se construir com eles esses conceitos?
Para tanto, seria necessário que se descortinasse quais os conhecimentos geométricos
os envolvidos na pesquisa possuíam, pois sabemos, que tal como em vários outras
oportunidades ao longo da história, o ensino da geometria passa por momentos de crise.
Acreditamos que muitos dos atuais alunos tiveram pouco ou nenhum contato com
conceitos geométricos na EB. Além disso, o pouco ensinado é transmitido de maneira
descontextualizada, como se a geometria não fizesse parte da Matemática. Alguns colégios
chegam ao extremo de ter professores diferentes para geometria e Matemática, e em outros
casos simplesmente abandonaram o ensino desta área do conhecimento matemático.
Percebemos que os professores de Matemática em atividade foram formados em um
sistema fragmentado de ensino e, em consequência, os alunos de licenciatura acabam por se
formarem da mesma maneira. Veloso nos fala, em relação a tal impasse "[...] gerações de
alunos - muitos deles atuais professores de Matemática - atravessaram o ensino de
Matemática tendo como únicos contatos com a geometria elementar o teorema de Pitágoras e
algumas fórmulas para o cálculo de áreas e volumes" (VELOSO, 2000, p. 23).
Notamos, pelo comentário deste pesquisador português, que o problema transcende
as fronteiras do Brasil e do momento atual. Uma análise da história do ensino de geometria
revela que, ainda às vésperas da eclosão do Movimento da Matemática Moderna (MMM), a
geometria escolar era dividida em dois componentes: as construções geométricas e o estudo
da geometria clássica, exatamente como Euclides a tinha deixado (VELOSO, 2000).
Esse estudo da geometria euclidiana era feito através da enunciação e demonstração
de inúmeros teoremas com a seguinte finalidade:
[...] levar os alunos (dos 12 aos 14 anos) a adquirir hábitos de raciocínio
rigoroso e sistemático, próprios da Matemática, dentro da tradição de
considerar que a geometria seria o campo ideal para os alunos aprenderem a
demonstrar e também apreciar a Matemática como uma construção lógica,
perfeita. (VELOSO, 2000, p. 19).
De acordo com as ideias descritas anteriormente, notei que aprender geometria não é
simples, o que leva a maioria dos estudantes a não gostar deste conteúdo. Consequentemente,
há a necessidade de criação de uma alternativa para alteração desta realidade.
Retomando o contexto histórico do ensino da Matemática, no Brasil, os primeiros
ares de mudança chegam em 1928, com a reforma curricular proposta pela congregação do
Colégio Pedro II.
20
Entre nós, até 1929, o ensino da aritmética, da álgebra e da geometria eram
feitos separadamente. O estudante prestava, pelo regime de preparatório que
vigorou até 1925, um exame distinto para cada uma daquelas disciplinas [...].
Em 1928, propusemos à congregação do Colégio Pedro II a modificação dos
programas de Matemática, de acordo com a orientação do moderno
movimento de reforma e a consequente unificação do curso [...] sob a
denominação de Matemática [...] (ROXO1, 1940 apud CARVALHO, 2004).
É somente nos anos 1960 que o ensino de Matemática no Brasil passa por uma
modificação mais profunda com a inserção das ideias propostas pelo Movimento da
Matemática Moderna (MMM).
O MMM buscava aproximar a Matemática praticada na EB daquela produzida pela
academia. Suas propostas enfatizavam as estruturas algébricas, a teoria dos conjuntos, a
topologia, as transformações geométricas, os espaços vetoriais, entre outros.
Pesquisas como as de D'Ambrosio (1987), Búrigo (1989) e Soares (2001), defendem
que a geometria não foi uma área que recebeu a devida atenção nesse movimento, mas
ocorreu um esforço em dar a ela um tratamento axiomático, com recursos das estruturas
algébricas e da teoria dos conjuntos.
D'Ambrosio (1987) aponta, que comparando-se os cursos de geometria oferecidos no
período de implantação do MMM sobre as demais áreas, nota-se que foram disponibilizados
um número bem reduzido de cursos com enfoque geométrico.
Soares (2001) afirma que o ensino da geometria por meio do estudo das
transformações e dos espaços vetoriais não aconteceu e que, na prática, continuou-se
ensinando a geometria euclidiana tradicional empregando-se, apenas, a linguagem dos
conjuntos.
A partir de 1996, no Brasil, com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
(Lei 9394/96) e com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), passamos novamente a
defender o que preconizava Klein2, desde o primeiro grande movimento internacional sobre o
ensino da Matemática, ainda na virada dos séculos XIX para o XX, que segundo Roxo (2004,
p.153) seria
I.
II.
1
Predominância do ponto de vista psicológico;
Subordinação da escolha da matéria a ensinar às aplicações da
matemática ao conjunto das outras disciplinas
ROXO, Euclides. A matemática e o curso secundário. PEIXOTO, Afrânio et al. Um grande problema
nacional (estudos sobre ensino secundário). Rio de Janeiro: Irmãos Pongetti, 1940, p.56-85.
2 Felix Christian Klein (Düsseldorf, 25 de Abril de 1849 — Göttingen, 22 de Junho de 1925) matemático alemão
que apresentou o Programa Erlanger, que viria a determinar o desenvolvimento da matemática no século XX.
21
III.
Subordinação da finalidade do ensino às diretrizes culturais da nossa
época.
Por tudo isso, neste trabalho, defendo que a geometria é a ciência que estuda a forma
e o movimento e, para que seu estudo seja um momento agregador dos diversos ramos da
Matemática e de outras áreas do saber e que seja, ainda, contextualizado em nosso tempo,
minha intenção foi estudar o que dá esse movimento à forma: as transformações geométricas
no plano (TGP).
Para desenvolver este trabalho, utilizamos as semanas seis e sete da disciplina de
Tópicos em Geometria (TG) do curso de especialização em Novas Tecnologias no Ensino da
Matemática (NTEM), do Laboratório de Novas Tecnologias (LANTE) da Universidade
Federal Fluminense (UFF) que foram dedicadas ao estudo das TGP. É nos resultados destas
semanas que está alicerçada a pesquisa descrita aqui.
A discussão sobre se conseguimos construir com nossos alunos da disciplina de TG
os conceitos relativos às TGP, perpassa também pela preocupação com as crenças ligadas a
EaD. Dentre estas, destaco: a de que os cursos em EaD não possuem infra estrutura
tecnológica e administrativa para dar suporte ao aluno; a de que não são planejados e
estruturados com o cuidado de um curso presencial; a de que não têm a mesma credibilidade
de cursos presencias, pois os alunos têm facilidade de "colar" uns dos outros e não precisam
participar das aulas; e por fim, a de que há a falta do 'olho no olho' da sala de aula, da
companhia e do compartilhamento de ideias.
Este estudo está inserido em ambas as linhas de pesquisa do Programa de PósGraduação Strictu Sensu do Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade
Severino Sombra (USS). Na linha "Organização Curricular em Matemática e Formação de
Professores", pois trata de formação continuada de professores de Matemática, e da linha
"Metodologias e Tecnologias de Informação Aplicadas ao Ensino de Matemática" por tratar
da formação a distância com uso o de metodologias próprias a esta modalidade de ensino e de
diversas tecnologias de informação e de comunicação.
Nesta pesquisa foram utilizados, além de um questionário inicial e um final na
disciplina de Tópicos em Geometria, os fóruns de debates com alunos e tutores.
No que se refere à apresentação desse trabalho, optei por estruturá-lo em quatro
capítulos além dessa Introdução, para melhor discorrer sobre os assuntos relacionados à
pesquisa.
No Capítulo 2, discuti os conceitos de EaD, seu desenvolvimento histórico no mundo
e no Brasil. Apresentei a Universidade Aberta do Brasil (UAB), bem como o Laboratório de
22
Novas Tecnologias de Ensino (LANTE) da UFF, seu Curso NTEM e a disciplina de TG que
foi oferecida em 2011. Foram utilizadas como referências a legislação brasileira relativa à
educação (LDB, Decreto 5.622 e PCN), a as pesquisas de Maia e Mattar (2007), Neto (2008),
Mathias (2008 e 2009), Moran (2002), Esquincalha et al (2009), os sítios da Universidade
Aberta do Brasil e do LANTE.
O Capítulo 3 é dedicado às transformações geométricas no plano. Tratei,
inicialmente, da história de sua utilização pelo homem e da história do desenvolvimento
matemático desse conteúdo, utilizando, para tanto as pesquisas de: Gerdes (2003), Bassanezi e
Faria (1988), Piaget e Garcia (2011), Eves (1992 e 2004) e Klein (1908 e 1984). Fiz, em
seguida, uma análise matemática das TGP embasada por Fainguelernt (1999 e 2007), Bastos
(2006 e 2007) e Veloso (2000, 2003 e 2005), e das possíveis aplicações destas na EB.
O Capítulo 4 é dedicado à análise da experiência de abordagem das TGP em um
curso a distância na disciplina de TG do NTEM no ano de 2011.
Finalmente, apresentei, no Capítulo 5, algumas reflexões pessoais sobre as
possibilidades que se descortinaram através das experiências vivenciadas nessa pesquisa.
23
2
Educação a Distância (EaD)
Educação a Distância, Ensino a Distância, Instrução a Distância, Educação On-line,
Educação no Ciberespaço são alguns dos termos utilizados para descrever o processo
educacional em que a relação professor-aluno, aluno-professor e aluno-aluno é mediada pelas
Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC), o que permite prescindir dos encontros
presenciais para a construção do conhecimento.
2.1
Discussão de Conceitos
O Decreto nº 5.622 de 19/12/2005, que regulamenta o art. 80 da Lei nº 9.394 de
20/12/1996 (que estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional) e parcialmente
alterado pelo Decreto nº 6.303 de 12/12/2007, em seu parágrafo primeiro caracteriza a
Educação a Distância
[...] como modalidade educacional na qual a mediação didático-pedagógica
nos processos de ensino e aprendizagem ocorre com a utilização de meios e
tecnologias de informação e comunicação, com estudantes e professores
desenvolvendo atividades educativas em lugares ou tempos diversos
(BRASIL, 2007, p.1).
Segundo este Decreto de 2007, em EaD ocorre uma separação geográfica e espacial
entre alunos e professores e entre os próprios alunos, ou seja, ela prescinde da presença física
em um local (sala de aula) para que ocorra a formação.
Moran (2002) define Educação a Distância como “o processo ensino-aprendizagem,
mediado por tecnologias, onde professores e alunos estão separados espacial e/ou
temporalmente”.
Maia e Mattar (2007, p.6) julgam que: “A EaD é uma modalidade de educação em
que professores e alunos estão separados, planejada por instituições e que utiliza diversas
tecnologias de comunicação”.
Em vista dos conceitos mostrados para EaD, nota-se que o diferencial dessa
modalidade educacional é a distância entre seus atores e a utilização das tecnologias
disponíveis para reduzir tal distância, pois educadores, tais como Dreyfus e Borgmann
(MAIA e MATTAR, 2007, p.10-13), defendem que educação é fruto do diálogo, da
colaboração, da troca ampla e contínua de ideias e experiências.
24
No Brasil, de acordo com o Decreto nº 5.622, citado anteriormente, há a
obrigatoriedade de momentos presenciais para avaliação de estudantes, estágios obrigatórios,
defesa de trabalho de conclusão de curso (os dois últimos quando previstos em legislação
pertinente) e atividades relacionadas a laboratórios de ensino, quando for o caso.
A maioria das atividades em EaD é assíncrona, o que significa que alunos e
professores estão separados no tempo.
De acordo com Maia e Mattar (2007, p.15) “a manipulação das mídias permite
ampliar o diálogo entre alunos e professores e, em consequência, diminuir a distância
transacional e a sensação psicológica de separação, gerando um senso de comunidade”.
O uso das TIC reduz essas distâncias, permitindo que; além do uso de atividades
assíncronas como leitura de textos, vídeos, áudios, CD e televisão; existam a interações
professor-aluno e aluno-aluno. Estas interações podem ocorrer tanto de forma assíncrona,
como é o caso das listas de discussão, fóruns de debates, e-mails, wikis etc., quanto de forma
síncrona, com todos os participantes “plugados” ao mesmo tempo como chats,
videoconferências etc.
Sob os aspectos descritos nessa modalidade de educação, o professor assume um
papel que o desvincula do modelo tradicional. Ele passa a atuar como o potencializador, o
facilitador, o incentivador da participação coletiva e da independência para possibilitar a plena
ação dos alunos no processo de aprendizagem.
Esses tutores, como são chamados os professores em EaD, devem ser, segundo
Moran (2002), “maduros intelectual e emocionalmente, pessoas curiosas, entusiasmadas,
abertas, que saibam motivar e dialogar”.
Muda, também, o perfil do aluno. Esse aprendiz, precisa ter autodeterminação,
capacidade de selecionar, de tomar decisões e de organização. Ele precisa tornar-se autônomo,
desenvolver estratégias de estudo adequadas e explorar os novos recursos de comunicação, ou
seja, ele deve se tornar capaz de “aprender a aprender”.
Essa modalidade educacional é especialmente indicada à formação continuada de
professores, uma vez que estes profissionais que estão desejosos de melhor investir em sua
formação e possuem maturidade, curiosidade e motivação, vem sendo excluídos do processo
educacional público tradicional por questões de localização ou por indisponibilidade de
tempo. Estes colegas são potencialmente esses novos aprendizes.
É relevante destacar que os termos instrução, ensino e educação são utilizados como
equivalentes em diversos textos sobre EaD. Pretende-se, aqui, diferenciá-los para explicar o
porquê de ser importante utilizar Educação a Distância, e não Instrução ou Ensino.
25
O termo educação se refere à formação integral do ser humano, não se
restringe ao procedimental/operacional ou somente o cognitivo. Essa palavra
também abrange aspectos atitudinais, comportamentais, éticos, valorativos.
Encerra além do "saber fazer", e do "saber conhecer", o "saber conviver" e o
"saber ser" (NETO, 2008, p.13).
Instrução é treinamento. Está ligada à capacitação operacional, ao ensinar a fazer.
Ensino é direcionado à atuação do professor, aos processos de seleção, de
organização e de construção de conteúdos: ele enfoca a transmissão de verdades
estabelecidas, de conhecimentos prontos e acabados, e está ligado ao aprender a conhecer.
2.2
A História da EaD
Será adotada a divisão da história da EaD em três gerações, de acordo com Maia e
Mattar (2007, p.21).
Defende-se que a EaD existe desde as cartas de Platão e as Epístolas de São Pedro,
mas ela surge efetivamente no século XIX, por causa do desenvolvimento dos meios de
transporte (trens) e comunicação (correio). O ensino por correspondência foi a primeira
geração da EaD e caracterizava-se pelo uso de material impresso enviado pelo correio.
A segunda geração é acompanhada do acréscimo de mídias como o rádio, a televisão,
as fitas de áudio e vídeo e do telefone.
A Open University britânica, fundada em 1969, é um modelo que veio a ser seguido
por diversas outras universidades no mundo. Lá se utilizavam intensamente rádio, TV, vídeos,
fitas cassete e centros de estudos e se realizavam diversas experiências pedagógicas.
O uso do videotexto, do microcomputador, das tecnologias multimídia, do hipertexto
e de redes de computadores (Internet), caracterizam a EaD on-line, que representa a terceira e
mais recente geração da EaD. Nela as mídias se integram e convergem para as tecnologias de
multimídia e para o computador.
A terceira geração da evolução da EaD seria marcada pelo desenvolvimento
das tecnologias da informação e da comunicação. Por volta de 1995, com o
desenvolvimento explosivo da Internet, ocorre um ponto de ruptura na
história da educação a distância. Surge então um novo território para a
educação, o espaço virtual da aprendizagem, digital e baseado na rede.
Surgem também várias associações de instituições de ensino a distância.
Pode-se portanto pensar em um novo formato do processo de ensinoaprendizagem, "aberto, centrado no aluno, baseado no resultado, interativo,
participativo, flexível quanto ao currículo, às estratégias de aprendizado e
envio e não muito preso a instituições de aprendizado superior, porque pode
também se dar nos lares e nos locais de trabalho". A EaD, assim, nos
26
ajudaria a romper com a tradição e planejar o novo. (MAIA e MATTAR,
2007, p.22)
Entretanto, devemos ter em mente que uma geração não suplanta a outra em razão
das novas tecnologias ali empregadas. A história evidencia que uma geração é, antes, o
alicerce para o surgimento da próxima. Pode-se ver que quando a fotografia surgiu (séc. XIX),
muitos pensaram que seria o fim da pintura, que o cinema seria o fim do teatro e que a
televisão, o do cinema. Da mesma forma, o rádio representaria o fim da música ao vivo, o
disco de vinil, o do rádio e assim sucessivamente.
Nada substitui um bom livro. Hoje usa-se a mídia impressa como nos anos quarenta
do século passado.
Temos que avaliar as tecnologias em cada contexto educacional. Não
existem tecnologias superiores ou mais atuais. Existem tecnologias
apropriadas e não apropriadas.
Muitos fatores devem ser levados em consideração para que possamos
adequar as tecnologias às necessidades reais dos alunos, das comunidades e
das organizações. (NETO, 2008, p.21)
Pode-se ter uma proposta brilhante em EaD alicerçada principalmente em
transmissões pela televisão e mídias impressas para lugares onde o acesso à Internet ou à
disponibilidade de luz elétrica é precário, o que acontece em várias localidades no Brasil, por
exemplo.
A experiência do Brasil com a EaD, como será mostrado no próximo item, serve
como comprovação da tese apresentada por Neto.
2.3
A EaD no Brasil
A EaD no Brasil seguiu os passos da educação a distância no mundo, porém, o rádio
e a televisão foram explorados com sucesso e criatividade antes da introdução da Internet
como mídia principal.
Em um primeiro momento, a EaD brasileira segue o movimento
internacional, com a oferta de cursos por correspondência. Entretanto,
mídias como o rádio e a televisão serão exploradas com bastante
sucesso em nosso país, por meio de soluções específicas e muitas
vezes criativas, antes da introdução da Internet. (MAIA e MATTAR,
2007, p.23)
Em 1904, era oferecido, por correspondência, o curso de datilografia das Escolas
Internacionais, organizações norte-americanas privadas que ofereciam cursos pagos.
27
Em 1923 uma equipe liderada por Henrique Morize e Roquete Pinto criou a Rádio
Sociedade do Rio de Janeiro, que oferecia vários cursos, dentre os quais português, francês e
esperanto3.
Em 1932, professores lançaram o Manifesto da Escola Nova, onde defendiam a
universalização da escola pública, laica e gratuita. Neste documento também foi proposto o
uso do rádio, cinema e imprensa para a modernização e a democratização da educação
brasileira.
A Rádio Sociedade do Rio de Janeiro passa, em 1936, ao Ministério da Educação e
Saúde. No ano seguinte, foi criado o Serviço de Radiodifusão Educativa do Ministério da
Educação.
O
Instituto
Monitor e o
Instituto
Universal
Brasileiro
(IUB),
criados,
respectivamente, em 1939 e 1941, são pioneiros em oferecer cursos profissionalizantes por
correspondência. Eles foram responsáveis pelo atendimento de milhões de alunos em seus
cursos abertos. Hoje oferecem, além de cursos profissionalizantes, cursos supletivos e cursos
técnicos.
O Serviço Nacional de Aprendizagem Comercial (Senac), Serviço Social do
Comércio (Sesc) e emissoras associadas criam, em 1947, a Universidade do Ar, com o
objetivo de oferecer cursos através de rádio.
É grande a experiência do Senac com EaD. Em 2000 foi criada a Rede Nacional de
Teleconferência que transmitia aulas, via satélite, pela Rede Sesc-Senac de Televisão. A
interação com os alunos se dava através de e-mail, fax e telefone em todas as unidades do
Sistema Senac, incluindo as escolas-sobre-rodas e as balsas-escolas, que são oficinas volantes
onde são realizados cursos de formação inicial e continuada de curta duração que levam o
ensino aonde não existem unidades físicas deste sistema. Atualmente este trabalho continua
através de seu Centro Nacional de Educação a Distância (Cead).
O Instituto Brasileiro de Administração Municipal - IBAM - começa, em 1967, a
oferecer cursos por correspondência de Administração Municipal, tais como de legislação de
licitação e preparação de folha de pagamento, para funcionários de prefeituras do interior.
O Projeto Minerva teve início em 1970 (mantido até o início dos anos 80) e tinha
como objetivo a educação e a inclusão social de adultos. Para tanto, o Ministério da Educação
fez uma parceria com a Fundação Padre Landell de Moura, que possuía experiência em EaD
desde 1967 e com a Fundação Padre Anchieta.
3
Idioma planejado por Ludwik Lejzer Zamenhof, em 1887, com o intuito de que se tornasse uma língua franca.
28
Nesta mesma época, a Fundação Roberto Marinho dá início ao chamado hoje
Telecurso2000. São utilizados como recursos os livros, os vídeos e a televisão (Rede Globo
de Televisão). "Calcula-se que mais de 4 milhões de pessoas já foram beneficiadas pelo
Telecurso" (MAIA e MATTAR, 2007, p. 27).
Em 1981, o Colégio Anglo-Americano, através de seu Centro Internacional de
Estudos Regulares (CIER), oferece os Ensinos Fundamental e Médio para crianças que
mudaram temporariamente para o exterior, de forma que possam continuar a estudar pelo
sistema educacional brasileiro.
Em 1995, o programa Salto para o Futuro foi incorporado à TV Escola e é um marco
na EaD nacional. Chamado, originalmente, de Jornal da Educação - Edição do Professor, era
produzido, desde 1991, pela Fundação Roquete-Pinto. É um programa para formação
continuada de professores e utiliza diversas mídias como material impresso, televisão, fax,
telefone, Internet e telessalas.
Os programas do Salto para o Futuro são ao vivo e permitem a interação entre os
professores presentes nas telessalas, contando com a mediação de orientadores de
aprendizagem.
O ensino superior brasileiro começa a se virtualizar através do pioneiro Programa de
Ensino a Distância da Universidade de Brasília (UnB), que oferece cursos de extensão
universitária nesta modalidade.
Essa Universidade cria, em 1989, o seu Centro de Educação a Distância CEAD/UnB - que tem por finalidade "desenvolver e viabilizar ações de educação a distância
que contribuam para o fortalecimento da publicização da UnB e a emancipação do cidadão na
sociedade brasileira, na perspectiva da aprendizagem ao longo da vida" (CENTRO DE
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - UnB, 2011).
Na década de 1990, a EaD é oficializada como modalidade educacional no Brasil,
através do Artigo 80 da Lei nº 9.394 de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes
e bases da educação nacional.
Art. 80. O Poder Público incentivará o desenvolvimento e a veiculação de
programas de ensino a distância, em todos os níveis e modalidades de
ensino, e de educação continuada.
§ 1º A educação a distância, organizada com abertura e regime especiais,
será oferecida por instituições especificamente credenciadas pela União.
§ 2º A União regulamentará os requisitos para a realização de exames e
registro de diploma relativos a cursos de educação a distância.
§ 3º As normas para produção, controle e avaliação de programas de
educação a distância e a autorização para sua implementação, caberão aos
29
respectivos sistemas de ensino, podendo haver cooperação e integração entre
os diferentes sistemas.
§ 4º A educação a distância gozará de tratamento diferenciado, que incluirá:
I - custos de transmissão reduzidos em canais comerciais de radiodifusão
sonora e de sons e imagens;
II - concessão de canais com finalidades exclusivamente educativas;
III - reserva de tempo mínimo, sem ônus para o Poder Público, pelos
concessionários de canais comerciais. (BRASIL, 1996)
Essa legislação e a disponibilidade cada vez maior de acesso à Internet e às novas
mídias indicam a necessidade de novas reflexões sobre as práticas e metodologias
pedagógicas que permitam o uso dessas facilidades para a democratização e a melhoria da
qualidade da educação brasileira.
Em 1995, foi criada a Associação Brasileira de Educação a Distância - ABED - que é
uma sociedade científica, sem fins lucrativos, que tem como missão contribuir para o
desenvolvimento do conceito, métodos e técnicas que promovam a educação aberta flexível e
a distância, visando o acesso de todos os brasileiros a educação.
O Decreto nº 1.917, de 27 de maio de 1996 criou a Secretaria de Educação a
Distância – SEED, para atuar como um agente de inovação tecnológica nos processos de
ensino e aprendizagem, fomentando a incorporação das TIC e das técnicas de educação a
distância aos métodos didático-pedagógicos. Ela deve, também, promover a pesquisa e o
desenvolvimento voltados para a introdução de novos conceitos e práticas nas escolas
públicas brasileiras.
Como comprovação da importância dada pelo poder público à implantação da EaD
no Brasil, tem-se o Ministério da Educação (MEC), que em 2001, publicou a Portaria 2.253,
que regulamenta, no ensino superior, a oferta de disciplinas a distância para atender até 20%
da carga horária dos cursos reconhecidos.
O MEC cria, em 2002, uma comissão assessora de especialistas em educação a
distância, que produziu um relatório sobre as diretrizes para o desenvolvimento da EaD no
Brasil com a utilização de Ambientes Virtuais de Aprendizagem (AVA).
Em 2005, ocorre a criação da Universidade Aberta do Brasil (UAB), pelo MEC, com
a finalidade de ampliar e interiorizar a oferta de cursos e programas de educação superior, por
meio da educação a distância. Este sistema será discutido no próximo item deste trabalho.
No ano de 2006, a ABED, juntamente com o International Council For Open and
Distance Education (ICDE), tornam a cidade do Rio de Janeiro a sede da 22ª Conferência
Mundial de Educação a Distância.
30
Atualmente a SEED-MEC possui programas e ações abrangentes, tais como Domínio
Público – biblioteca virtual, DVD Escola, E-ProInfo, E-Tec Brasil, Programa Banda Larga
nas Escolas, Proinfantil, ProInfo, ProInfo Integrado, TV Escola, Sistema Universidade Aberta
do Brasil (UAB), Banco Internacional de Objetos Educacionais, Portal do Professor,
Programa Um Computador por Aluno – Prouca.
No Estado do Rio, em 2000, foi criado o Consórcio Centro de Educação a Distância
do Estado do Rio de Janeiro (CEDERJ). Ele é formado pela parceria entre a Universidade
Estadual do Norte Fluminense (UENF), Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ),
Universidade Federal Fluminense (UFF), Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ),
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ) e Universidade Federal do Estado do
Rio de Janeiro (UNIRIO). Este Centro oferece onze cursos de graduação a distância que são
de Administração, Administração Pública, Tecnologia em Sistemas de Computação e
Licenciaturas em Ciências Biológicas, Física, História, Matemática, Pedagogia, Pedagogia
para Séries Iniciais do Ensino Fundamental, Química, e Turismo. Atualmente, cerca de 26 mil
alunos estão matriculados em seus cursos.
É relevante destacar o pioneirismo do Curso de Licenciatura em Matemática do
CEDERJ. Esta foi a primeira graduação oferecida pelo consórcio, através da UFF, e teve em
seu primeiro vestibular cento e sessenta (160) vagas preenchidas. De 2001 até o final de 2011
este curso formou quatrocentos e dezoito (418) professores de Matemática. No segundo
semestre de 2011 havia quatro mil novecentos e trinta e sete (4.937) alunos matriculados na
Licenciatura em Matemática do consórcio que, desde 2006, conta também com a parceria da
UNIRIO (CEDERJ, 2012).
Na busca de dados mais recentes, é tomado o último CensoEAD.br. Ele informa que
temos cento e oitenta e seis instituições credenciadas pelo MEC, vinte e cinco empresas que
praticam educação corporativa a distância e 51 (cinquenta e uma) entidades que ministram
cursos livres.
No âmbito federal é a UAB, com seus cursos de graduação e pós-graduação, que se
destaca no cenário brasileiro.
2.4
O Sistema Universidade Aberta do Brasil - UAB
Em 2005, o MEC, em parceria com a Associação Nacional dos Dirigentes das
Instituições Federais de Ensino Superior (ANDIFES) e empresas estatais, no âmbito do
31
Fórum das Estatais pela Educação com foco nas Políticas e a Gestão da Educação Superior,
decide criar a Universidade Aberta do Brasil - UAB.
O Decreto 5.800, de 8 de julho de 2006, instituiu o Sistema Universidade Aberta do
Brasil, que tem como prioridade a formação inicial e continuada de professores em efetivo
exercício na Educação Básica Pública. O Sistema UAB visa expandir e interiorizar a oferta de
ensino superior público de qualidade aos municípios que não possuam tais cursos.
A Universidade Aberta do Brasil é um sistema integrado por universidades
públicas que oferece cursos de nível superior para camadas da população que
têm dificuldade de acesso à formação universitária, por meio do uso da
metodologia da educação a distância. O público em geral é atendido, mas os
professores que atuam na educação básica têm prioridade de formação,
seguidos dos dirigentes, gestores e trabalhadores em educação básica dos
estados, municípios e do Distrito Federal. (UNIVERSIDADE ABERTA
DO BRASIL, 2011)
Esse Sistema não propõe a criação de uma nova instituição de ensino, mas antes, a
articulação das já existentes. Neste, a elaboração dos cursos é de responsabilidade das
instituições públicas de ensino superior, tanto federais como estaduais, que desenvolvem
material didático e pedagógico.
Na expansão desta modalidade de ensino, cada município que deseja ofertar esses
cursos como polo presencial, deve contar com infra-estrutura que inclua o apoio de tutores,
laboratórios de informática, biologia, química e física e biblioteca.
Vê-se, com isso, que o Sistema UAB funciona baseado em forte parceria entre as
esferas federal, estadual e municipal do governo, enquanto viabiliza mecanismos alternativos
para o fomento, a implantação e a execução de cursos de graduação e pós-graduação de forma
consorciada. O sistema UAB é sustentado em cinco eixos fundamentais:
1. Expansão pública da educação superior, considerando os processos de
democratização e acesso;
2. Aperfeiçoamento dos processos de gestão das instituições de ensino
superior, possibilitando sua expansão em consonância com as propostas
educacionais dos estados e municípios;
3. Avaliação da educação superior a distância tendo por base os processos
de flexibilização e regulação implantados pelo MEC;
4. Estímulo à investigação em educação superior a distância no País;
5. Financiamento dos processos de implantação, execução e formação de
recursos
humanos
em
educação
superior
a
distância.
(UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL, 2011)
São, atualmente, 88 (oitenta e oito) instituições a integrarem o Sistema UAB. Dentre
elas, há Universidades Federais, Estaduais e Institutos Federais de Educação, Ciências e
32
Tecnologia. A UAB conta com, aproximadamente, mil polos estrategicamente distribuídos em
todo território nacional.
O Curso de Licenciatura em Matemática, por exemplo, é oferecido na modalidade a
distância, através da UAB, pelas seguintes instituições: Universidade Federal Juiz de Fora
(UFJF), Universidade Federal Minas Gerais (UFMG), Universidade Federal Ouro Preto
(UFOP), Universidade Federal Fluminense (UFF), Universidade Federal Rural do Rio de
Janeiro (UFRRJ), Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro (UNIRIO), Universidade
Federal do Mato Grosso do Sul (UFMS), Universidade Federal de Pelotas (UFPEL),
Universidade Federal de Alagoas (UFAL), Universidade Federal da Bahia (UFBA),
Universidade Federal do Ceará (UFC), Universidade Federal do Maranhão (UFMA),
Universidade Federal da Paraíba (UFPB), Universidade Federal de Pernambuco (UFPE),
Universidade Federal do Piauí (UFPI), Universidade Federal do Sergipe (UFS), Universidade
Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), Universidade Federal do Pará (UFPA),
Universidade Federal
do Amapá (UNIFAP), Universidade do Estado do Pará (UEPA),
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará (IF-PA), Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia de Pernambuco (IFPE), Instituto Federal de Educação,
Ciência e Tecnologia do Ceará (IF-CE), Universidade Estadual Ponta Grossa (UEPG),
Universidade do Estado da Bahia (UNEB) e Universidade Estadual do Ceará (UECE).
São também oferecido Cursos de Pós-Graduação Latu Sensu, tais como: o de Novas
Tecnologias no Ensino de Matemática (NTEM) através da UFF, o de Matemática, através da
Universidade Federal de São João del Rei (UFSJ); o de Educação Matemática: Dimensões
Teórico – Metodológicas, pela UEPG; e o de Ensino de Língua Portuguesa e Matemática
numa Abordagem Transdisciplinar pelo Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia
do Rio Grande do Norte (IFRN).
Recentemente a Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), em parceria com a
UAB, criou o primeiro curso de Pós-Graduação Strictu Sensu semipresencial na área de
Matemática, o Mestrado Profissional em Matemática (PROFMAT), cuja primeira turma
ingressou no primeiro semestre de 2011.
2.5
O Curso de Novas Tecnologias no Ensino de Matemática - NTEM
Para apoiar estrategicamente a gestão do curso de Licenciatura em Matemática a
Distância, oferecido através de colaboração com o CEDERJ, a UAB e a UFF, foi inaugurado,
33
em abril de 2007 o Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino (LANTE), vinculado ao
Instituto de Matemática e Estatística da UFF.
Já no segundo semestre do ano de sua inauguração, o LANTE passou a oferecer o
Curso de Pós-Graduação Lato Sensu de Novas Tecnologias no Ensino da Matemática
(NTEM) na modalidade a distância.
A criação desse curso objetivou o aumento da oferta e do acesso a programas de
especialização em Matemática para estudantes que se encontrem em áreas distantes de
universidades públicas ou que não possam cursar uma especialização em horário tradicional,
contribuindo, portanto, para o alargamento e a interiorização das oportunidades de
aperfeiçoamento de professores de Matemática em diversas regiões do Brasil.
Além de revelar, aos professores de Matemática em exercício, que a prática docente
é um permanente estado de pesquisa, o NTEM tem como objetivos discutir recursos e técnicas
para o ensino de Matemática; introduzir tecnologias, como ferramentas pedagógicas, para o
ensino da Matemática na Educação Básica e fazer com que o ensino de Matemática seja
norteado pela contextualização de conhecimentos e pelo trabalho colaborativo.
Segundo o Projeto Didático-Pedagógico do NTEM, o curso pretende formar um
professor de Matemática que:
• enquanto docente, discuta situações do cotidiano escolar, sem se
escravizar a modelos pré-estabelecidos, identificando práticas e
representações da escola, da sala de aula e do papel do professor, no
sentido da construção de sua identidade profissional e da sua autonomia
docente;
• desenhe projetos pedagógicos que contemplem a pluralidade de
demandas de uma sociedade complexa, a multidimensionalidade dos
processos de ensino e de aprendizagem e a diversidade da sua história de
vida e a de seus alunos;
• construa a sua prática pedagógica com uma postura de pesquisador,
buscando encontrar formas de agir adequadas ao contexto do seu trabalho
docente.
A estrutura do Curso NTEM é bem representada na Figura 1 a seguir.
Figura 1: Estrutura acadêmica e administrativa do LANTE
34
Fonte: MATHIAS (2010, p. 39)
A coordenação operacional (COOP) é responsável pela gestão acadêmica e
administrativa do curso. Ela é apoiado estreitamente pelo Coordenador Geral de Tutoria
(CGT), que tem como funções o acompanhamento de todo o processo de tutoria, que passa
pela seleção, capacitação e avaliação contínua da atuação dos tutores, bem como do controle
administrativo e financeiro do corpo docente do LANTE.
Os coordenadores de disciplina, ou professores-coordenadores, são professores
doutores, com atividades presenciais nas universidades participantes do Sistema UAB ou de
cursos de mestrado de outras universidades. Eles são responsáveis pela produção do material
didático, pela indicação das referências da disciplina, por orientar os coordenadores de tutoria
e acompanhar o desenvolvimento da disciplina.
O coordenador de tutoria é
[...] responsável pela sincronização de ações individuais de todos os
indivíduos envolvidos no curso e deve fazer com que cada elemento da
equipe trabalhe na direção dos objetivos estipulados no início de cada
disciplina. O profissional que ocupa este cargo deve possuir muitas
habilidades e, principalmente, amplo e sólido conhecimento sobre os
conteúdos que serão abordados no curso. Ainda, deve ter conhecimento e
experiência em políticas de tratamento e controle de recursos humanos, bem
como, experiência no magistério para que, junto aos professores
desenvolvedores da disciplina e tutores, consiga obter êxito no trato com os
alunos. [...] este deverá [..] adequar e disponibilizar, para o professor
responsável pela disciplina, o material didático nas diversas mídias, que no
caso deste relato refere-se a plataforma MOODLE. O Coordenador de
Tutoria, no LANTE, deve ter amplo conhecimento da plataforma MOODLE,
suas funcionalidades e falhas para que consiga transformar as ideias do
35
professor da disciplina em uma disciplina na modalidade EAD
(ESQUINCALHA et al,2009, p.4).
No LANTE, existe a figura do Tutor Presencial (TP) e do Tutor a Distância (TD). O
primeiro exerce suas funções nos polos presenciais. Lá trabalham, também, o Coordenador do
Polo e o staff técnico-administrativo. O TP é a ligação física do curso com o aluno, ele é uma
referência administrativa, pois o educando deverá remeter suas dúvidas sobre a estrutura do
curso e sobre o apoio a este tutor. Essas dúvidas podem ser sobre a utilização do Ambiente
Virtual de Aprendizagem (AVA), provas, entrega de trabalhos, recebimento de material
didático entre outras.
Se o TP é a referência administrativa do aluno, o TD é sua referência acadêmica. O
papel do TD no LANTE remete-se a:
• Conhecer o Projeto Pedagógico do Curso, sua organização, estrutura e
funcionamento, o material didático das disciplinas em que atuar e o
sistema de tutoria do LANTE;
• Prestar serviços de tutoria aos alunos no Ambiente Virtual de
Aprendizagem, sob responsabilidade do professor-coordenador da
disciplina em que estiver atuando;
• Propor, em consonância com o professor-coordenador da disciplina em
que estiver atuando, as atividades de avaliação da aprendizagem, bem
como os critérios de correção;
• Corrigir as avaliações e discutir os resultados com o coordenador de
tutoria e com o professor-coordenador da disciplina;
• Assessorar os tutores presenciais no que diz respeito ao estudo e à
discussão dos conteúdos abordados nos materiais didáticos do Curso e ao
atendimento aos alunos;
• Subsidiar a avaliação do material didático e do ambiente de
aprendizagem do curso, sugerindo eventuais mudanças;
• Elaborar e encaminhar relatórios solicitados pela Coordenação de
Tutoria. Participar das atividades de capacitação/avaliação de tutores
propostas pela Coordenação (ESQUINCALHA et al,2009, p.13-14).
O aluno, no momento da inscrição, escolhe a que polo pertencerá, de acordo com a
proximidade de sua residência.
Em todas as disciplinas, os alunos são distribuídos em grupos com cerca de 30
indivíduos, onde cada grupo é orientado por um TD. Dá-se preferência que desses grupos
façam parte alunos do mesmo polo ou de polos próximos.
Esse sistema administrativo, que funciona como um conjunto de engrenagens bem
azeitado, coloca por terra a crença de que um curso na modalidade EaD não possui estrutura
funcional definida e organizada para atender plenamente ao aluno.
O NTEM é constituído por dois núcleos de disciplinas, o núcleo de disciplinas
obrigatórias, em negrito no Quadro 1, é composto de Informática Educativa I, História da
36
Matemática Através de Problemas, Informática no Ensino da Matemática I e Metodologia do
Trabalho Científico, além do Trabalho Final do Curso. O núcleo de disciplinas optativas é
formado por dez disciplinas das quais o aluno é obrigado a cumprir pelo menos quatro.
Quadro 1: Cargas Horárias das disciplinas do NTEM / LANTE / UFF
Disciplinas
Carga
horária
Informática Educativa I
60 horas
História da Matemática Através de Problemas
60 horas
Tópicos em Geometria
45 horas
Tópicos em Cálculo Diferencial e Integral
45 horas
Informática no Ensino da Matemática I
60 horas
Tópicos em Ensino de Geometria
45 horas
Informática Educativa II
45 horas
Tópicos em Álgebra
45 horas
Informática no Ensino da Matemática II
45 horas
Argumentação e Conceito de Prova em Matemática
45 horas
Tópicos em Educação Matemática
45 horas
Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio
45 horas
Sistema de Tutoria
30 horas
Metodologia do Trabalho Científico
30 horas
Trabalho Final de Curso
60 horas
Fonte: http://www.lante.uff.br/index.php?page=estrutura-do-curso-2
O Quadro 1 mostra a relação de todas as disciplinas ofertadas no NTEM com suas
cargas horárias.
O Trabalho Final do Curso (TFC) é um relatório de pesquisa elaborado em grupos de
3 a 5 alunos. A pesquisa é aplicada e analisada individualmente. Com o objetivo de estimular
a criação de Grupos de Pesquisa em torno dos Polos UAB, reforçando o seu papel na
divulgação e produção de conhecimento, esses trabalhos são defendidos presencialmente em
Jornadas Itinerantes de TFC, realizadas em Polos UAB estratégicos, como encerramento do
curso (MATHIAS, 2010, p.37).
2.6
A Disciplina de Tópicos em Geometria (TG)
A experiência que será relatada neste trabalho (Capítulo 4) foi realizada na disciplina
de Tópicos em Geometria (TG), do curso NTEM, oferecida de 27 de abril a 21 de junho
37
(segundo trimestre) de 2011. Seu código dentro do curso foi TG-2.2011.
A disciplina TG-2.2011 teve trezentos e vinte (320) alunos inscritos, dos quais vinte
e sete (27) nunca participaram de nenhuma avaliação, 16 abandonaram e cento e sete (107)
trancaram a disciplina. Foram cento e cinquenta e sete (157) alunos aprovados.
Em TG-2.2011 trabalharam três (3) coordenadores de disciplina, dois (2)
coordenadores de tutoria, onze (11) tutores a distância, além do staff dos polos e
administrativo do LANTE.
Ela teve seu conteúdo distribuído através de 8 (oito) semanas, como mostra o Quadro
2 a seguir.
Quadro 2: Cronograma da disciplina TG-2.2011
SEMANA
DATAS
27/abr
1
2
3
4
5
a
CONTEÚDO
TEMA: O que é Geometria ou o que são Geometrias? Como concebê-la nas aulas da
Educação Básica?
Fórum Temático 1: Que Geometria (ou Geometrias) deve(m) ser levada(s) às nossas
salas de aula da Educação Básica?
03/mai
Tarefa da Semana 1: Lista de exercícios da semana 1
04/mai
TEMA: Construções geométricas - Poliedros
a
Fórum Temático 2: Como, quando e por que explorar estes conhecimentos e recursos
em uma sala de aula?
10/mai
Tarefa da Semana 2: Lista de exercícios da semana 2
11/mai
TEMA: Construções geométricas com régua e compasso e com o R.e.C.
a
Fórum Temático 3: Debate sobre o uso de recursos de informática e materiais
manipuláveis.
17/mai
Tarefa da Semana 3: Lista de exercícios da semana 3
18/mai
TEMA: Áreas e Volumes.
a
Fórum Temático 4: O que fazer para que o aluno construa o conhecimento
geométrico?
24/mai
Tarefa da Semana 4: Lista de exercícios da semana 4
25/mai
TEMA: Conceitos de semelhança.
a
Fórum Temático 5: Discussão sobre as diferenças teórico-metodológicas em relação à
construção do conceito de semelhança de figuras geométricas.
31/mai
Tarefa da Semana 5: Lista de exercícios da semana 5
01/jun
TEMA: Transformações Geométricas.
6
a
Fórum Temático 6: O que caracteriza a Geometria das Transformações? Como e
quando ela pode ser explorada na Educação Básica?
38
7
8
07/jun
Tarefa da Semana 6: Lista de exercícios da semana 6
08/jun
TEMA: Transformações Geométricas.
Fórum Temático 7: Maneiras de se trabalhar com a geometria das transformações em
sala de aula.
a
14/jun
Tarefa da Semana 7: Lista de exercícios da semana 7
15/jun
TEMA: Geometrias Não Euclidianas.
Fórum Temático 8: Como incluir noções de Geometrias Não Euclidianas em sala de
aula na Educação Básica?
a
21/jun
Tarefa da Semana 8: Lista de exercícios da semana 8
Fonte:
http://www.lanteuff.org/moodle/file.php/336/Cronograma_da_Disciplina_Topicos_em_Geometria.pdf
Pode-se observar que em cada uma das oito semanas existe um texto introdutório,
um fórum temático de discussões e uma tarefa (Figura 2). Esta última deveria ser enviada ao
tutor, até a data elencada, através da plataforma.
Em todas as oito semanas, foram disponibilizados as Referências, as Leituras
Complementares e os Vídeos e Sites Recomendados, como é mostrado na Figura 2.
Figura 2: Imagem da tela da semana 6 da disciplina TG-2.2011 e detalhe do texto.
Fonte: http://www.lanteuff.org/moodle/course/view.php?id=336
Nas referências, são relacionados e disponibilizados os links dos textos cuja leitura é
obrigatória, pois garantem a construção dos conceitos iniciais de que trata aquela semana para
possibilitar as discussões nos fóruns temáticos.
39
Além dos fóruns temáticos, há na disciplina um fórum de pedido de revisão de notas,
onde os alunos podem questionar as notas aferidas a eles. São abertos tópicos para cada fórum
de discussão pontuado e para cada uma das tarefas. O objetivo deste é a transparência na
avaliação do aluno.
As leituras complementares e os vídeos e sites recomendados oferecem suporte para
a ampliação desses conceitos e para sua aplicação.
As discussões dos fóruns de tutores e de aluno, bem como as tarefas das semanas seis
e sete, serão o objeto de interesse para o desenvolvimento deste trabalho, pois são as que
tratam das transformações geométricas no plano.
Nessas semanas discutiu-se, entre outras coisas, a forma que tomou o ensino da
geometria a partir do Movimento da Matemática Moderna (MMM), que abandonou a
estrutura axiomática de Euclides e baseou-se na proposta de Félix Klein (1849 - 1925).
Klein, que apresentou essa proposta em 1872 através do Programa Erlangen,
defendia o uso das transformações geométricas como a melhor via de ensino das geometrias,
visto que, sendo funções matemáticas, evidenciam os conceitos e características dos entes
geométricos como forma e movimento e as relações existentes entre as estruturas algébricas e
as estruturas geométricas (TG-2.2011). Em seu livro, Klein introduz o capítulo sobre as
transformações geométricas com as palavras
As transformações que vamos estudar, apresentam também um grande
interesse pedagógico, porque, definitivamente, não são outra coisa do que
uma generalização do conceito de função, o que constitui segundo as
tendências modernas, o eixo do ensino da matemática. (KLEIN, 1908,
p.91)
O Quadro 3 mostra as referências bibliográficas disponibilizadas para essas duas
semanas.
Quadro 3: Referências bibliográficas das semanas 6 e 7 da disciplina TG-2.2011
BASTOS, R. Transformações Geométricas. Notas sobre o Ensino de Geometria – Grupo de Trabalho
de Geometria da APM. In Revista Educação e Matemática. APM. Nº 97, set./ out. 2007, p. 23-27.
Disponível em http://www.apm.pt/files/_23-27_lq_473c3886b161d.pdf. Acesso em 14/3/2010.
ESE/ IPL. Transformações Geométricas. Escola Superior de Educação/ Instituto Politécnico de
Leiria (ESE/IPC). Programa de Formação Contínua em Matemática – 1º Ciclo 2006-2007. Disponível
em http://blogs.esecs.ipleiria.pt/eb1mat/files/2007/03/texto2.pdf. Acesso em 14/3/2011.
FAINGUELERNT, E. K. Aprender Geometria é Conquistar o Espaço. Palestra de encerramento do
9º Simpósio de Educación Matemática. Universidad Nacional de Luján, em 11/5/2007, Chivilcoy;
Argentina.
FAINGUELERNT, E. K; BORDINHÃO, N. de C. Transformações no Plano. Versão digital. Rio de
Janeiro: Universidade Severino Sombra, s/ data.
40
Fonte: http://www.lanteuff.org/moodle/course/view.php?id=336
Já o Quadro 4 traz as sugestões de leituras complementares dessas semanas.
Quadro 4: Leituras complementares das semanas 6 e 7 da disciplina TG-2.2011
ASSUMPÇÃO, S. D. et al. Transformações no Plano e Sistemas Articulados. Revista do Professor
de Matemática, nº 47. SBM. Disponível em
http://www.sbm.org.br/periodicos/rpm/47/TransformacoesPlano.doc. Acesso em 28/12/2010.
BASSANEZI, R.; FARIA, M. S. B. A Matemática dos Ornamentos e a Cultura Arica. In Revista do
Ensino de Ciências. Nº 21, 1988. Disponível em
http://www.cienciamao.usp.br/dados/rec/_amatematicadosornamentos.arquivo.pdf. Acesso em
09/01/2011.
BASTOS, R. Simetrias. Notas sobre o Ensino de Geometria – Grupo de Trabalho de Geometria da
APM. In Revista Educação e Matemática. APM. Nº 88, maio/ junho de 2006, p. 9-11. Disponível em
http://www.apm.pt/files/_pp09-11_lq_44f4563b788a8.pdf. Acesso em 14/03/2011.
FIGUEIRA, C. et al. Visualização e Geometria nos primeiros anos. Programa de Formação
Continua em Matemática. Escola Superior de Educação de Lisboa. Junho de 2007. Disponível em
http://pt.scribd.com/doc/5639043/ensinar-geometria. Acesso em 14/03/2011.
PROJETO ATRACTOR. Tipos de simetria no plano. Universidade Júnior, 2005. Disponível em
http://www.atractor.pt/ujr/materiais-2005/simetria.pdf. Acesso em 20/02/2011.
ROSA, O. da S. et al. Explorando as transformações lineares no plano, através do
software WINPLOT. Revista TECCEN. Vol. 2, nº 2, set/ 2009. Disponível em
http://www.uss.br/revistateccen/revista_informativo4/ArtigoWinplotROSA.pdf. Acesso em 20/02/2011.
SELLIN, W. D. Grupos e Simetria. IV Semana da Matemática: Caminhos para a Geometria. Centro
Universitário de Sete Lagoas. 2006. Disponível em http://www.unisete.br/net/Simetrias.pdf. Acesso
em 06/03/2011.
SOUZA, F. C. A. G; DUTRA, K. M. P. Estudando semelhança e geometria das transformações
através da geometria dinâmica. VIII Encontro Nacional de Educação Matemática (VIII ENEM).
Recife, 2004. Disponível em http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/02/MC32689993791.pdf. Acesso em
10/3/2011.
VELOSO, E. Há vida na geometria para além dos prismas, paralelepípedos, cubos, esferas, cilindros
e cones .... In Revista Educação e Matemática. Nº 96, jan./ fev. 2008; p. 18-19. Disponível em
http://www.apm.pt/files/_18-19_lq_47cbddeee4f8b.pdf. Acesso em 14/3/2011.
VELOSO, E.; BASTOS, R.; FIGUEIRINHAS, S. Isometrias e Simetrias com Materiais Manipuláveis.
Notas sobre o Ensino de Geometria – Grupo de Trabalho de Geometria da APM. In Revista
Educação e Matemática. APM. Nº 101, jan./ fev. 2009; p. 23-28. Disponível em
http://www.apm.pt/files/_EM101_pp23-28_lq_49cd7874b0e4a.pdf. Acesso em 14/3/2011.
Fonte: http://www.lanteuff.org/moodle/course/view.php?id=336
Além disso foram apresentadas sugestões de vídeos e de um programa para pesquisa
e aprofundamento, como mostrado no Quadro 5.
41
Quadro 5: Vídeos e software para as semanas 6 e 7 da disciplina TG-2.2011
GESSINGER, H. Perfeita Simetria – Engenheiros do Havaii. 2min51s. Disponível em
http://www.youtube.com/watch?v=PleKzmBMGW4&feature=related. Acesso em 12/01/2011.
PÉREZ, A. Geometría dinámica: Movimientos en el plano. Serie Más por Menos. 12min24s.
Disponível em http://www.youtube.com/watch?v=TF28X3izAM0. Acesso em 24/01/2011.
Tributo a M.C. Escher. 4min11s. Disponível em
http://www.youtube.com/watch?v=eltOhzcts_g&feature=related. Acesso em 25/01/2011.
Software Kaleido Tile, produzido pelo Projeto Atractor. Disponível em
http://www.geometrygames.org/KaleidoTile/index.html.pt. Acesso em 12/02/2011.
Fonte: http://www.lanteuff.org/moodle/course/view.php?id=336
Os vídeos podem ser usados como introdução às aulas em que se abordará assuntos
ligados às simetrias, translações e rotações. Já o programa Kaleido Tile tem seu uso junto aos
alunos da segunda etapa do Ensino Fundamental, para o estudo de simetrias e pavimentações.
Pode-se, perfeitamente, levar a disciplina de Tópicos em Geometria, da maneira que
foi planejada e estruturada, para um curso de pós-graduação presencial, derrubando mais uma
crença sobre a qualidade dos cursos em EaD.
Neste capítulo foram discutidos desde os conceitos de EaD até as duas semanas que
trataram de transformações geométricas no plano (TGP) na disciplina TG-2.2011. É, portanto,
necessário uma abordagem mais aprofundada das TGP, o que será feito no Capítulo 3, para
embasar as análises da experiência realizada com os alunos através de leituras e atividades
sobre essas transformações que serão relatadas detalhadamente no Capítulo 4.
42
3
3.1
As Transformações Geométricas no Plano
História
As transformações geométricas estão presentes na constituição da maioria dos seres
vivos. Por isso, usar simetrias, rotações, translações e homotetias (ampliações e reduções),
copiando o que é apresentado pela natureza, para enfeitar cerâmicas, tecidos e cestas é uma
prática humana ancestral.
Mesmo sendo impossível para a arqueologia datar o momento exato do surgimento
dos tecidos e da cerâmica, pode-se pressupor validamente que eles são tão antigos quanto o
próprio ser humano, afinal,
O homem não nasceu equipado com órgãos para assegurar a sua
alimentação, para evitar o perigo, para manter a temperatura do corpo, nem
com nenhum instinto especial para remediar estas deficiências. O êxito
biológico do homem na luta pela sobrevivência foi conseguido pela sua
capacidade de fazer instrumentos, vestuários, casas, abreviando todo o
conteúdo do registro arqueológico. Esta capacidade foi aprendida através da
experiência e do erro, mas em quase todos os casos atuais derivou da
sociedade através da tradição social acumulada (CHILDE, 1969, p. 34).
No sítio arqueológico de El Buey, que fica na fronteira entre Cochabamba e Santa
Cruz, na Bolívia, encontra-se a pintura rupestre reproduzida abaixo (Figura 3).
Figura 3: Pintura rupestre do sítio de El Buey na Bolívia
Fonte: http://www.siarb-bolivia.org/esp/principal.htm
43
Sobre ela é dito no site da Sociedade de Investigação da Arte Rupestre da Bolívia
(SIARB) que
A iconografia geométrica destas pinturas mostra motivos de um alto
desenvolvimento que possivelmente tiveram sua inspiração em desenhos de
tecidos e cerâmica. O pesquisador Roy Querejazu Lewis concluiu que as
pinturas de El Buey correspondem a diferentes períodos das culturas agrooleiras da área (SIARB, 2011, tradução nossa).
Os padrões apresentados no canto superior esquerdo da Figura 3, mostram
translações e simetrias bastante elaboradas e a serpente desenhada mais ao centro da imagem
é um exemplo de aplicação e redução.
No Japão, o povo Jomon criou algumas das mais antigas peças de cerâmica do
mundo, datadas de 14 mil a.C., sendo que no período entre 4000a.C. e 2000a.C. essas
cerâmicas aparecem com decorações complexas e muito elaboradas.
A cerâmica chinesa, que remonta ao período Neolítico (3000 a.C.), era utilizada
como recipiente para guardar alimentos ou para rituais funerários ou religiosos. De acordo
com o Centro Científico e Cultural de Macau (CCCM), houve um grande aperfeiçoamento no
fabrico das cerâmicas na China a partir da invenção da roda de moleiro (2000 a.C.), que os
chineses reivindicam para si. A Figura 4 mostra a reprodução de uma tigela de cerâmica deste
período, onde pode-se constatar a presença do uso das transformações geométricas na sua
decoração.
Figura 4: Travessa de terracota pintada (3.000a.C. - 1500a.C.)
Fonte:
http://www.cccm.pt/page.php?conteudo=&tarefa=ver&id=15&item=Primeiras%20cer%E2micas
No Egito, no mesmo período que na China, a cerâmica seria usada também para a
confecção de colares, estatuetas e amuletos.
44
Além desses povos, pode-se citar os babilônios e os assírios, que utilizaram a
cerâmica em ladrilhos decorados (século VI a.C.) e os persas.
No Brasil, a cerâmica marajoara, que representa a produção artística dos habitantes
da Ilha de Marajó, no Pará, é considerada uma das mais antigas artes cerâmicas das Américas.
Ela é caracterizada pela ampla e sofisticada quantidade de objetos rituais, utilitários e
decorativos.
Sua ornamentação era mais usualmente feita através de símbolos geométricos e
padrões simétricos. A Figura 5 mostra a fotografia de um prato decorativo marajoara onde se
podem observar essas características.
Figura 5: Prato de cerâmica Marajoara.
Fonte: Acervo Particular.
Este prato foi adquirido em Belém, em 1976, o que mostra que "os traços simétricos
e cores da decoração marajoara podem ser encontrados até hoje no artesanato local em Belém
e da Ilha de Marajó" (Instituto Itaú Cultural, 2011).
Na tecelagem, as simetrias aparecem nos tecidos, nos tapetes e na cestaria. A
localização de suas origens é muito difícil, mas sabe-se que ela surgiu em vários lugares,
aproximadamente na mesma época.
Povos que habitavam a Mesopotâmia, Egito, Grécia, Roma, Pérsia, Índia, China e
África desenvolveram suas próprias técnicas utilizando algodão, lã, linho, seda ou outras
fibras.
A seguir é mostrada a imagem do tapete Pazyryk (Figura 6), encontrado no vale com
este nome na Sibéria. Segunda datação com carbono-14, ele foi tecido no século V a.C. e é
considerado o tapete mais antigo do mundo. Suas dimensões são 2,83m por 2m e pode-se
observar os padrões geométricos e as simetrias em sua ornamentação apesar do desgaste.
45
Figura 6: Tapete Pazyryk (Século V a.C.)
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tapete_persa
Turquia, Irã e outros países do Oriente Médio mantêm até hoje a tradição da
fabricação de tapetes com elaborados motivos geométricos. São os conhecidos tapetes persas.
Gerdes (2003) traz, de Moçambique, como exemplo a cestaria das carteiras de mão
entrecruzadas, chamadas sipatsi (singular: gipatsi) na língua falada na província de sua origem
(Inhambane). Em seu livro, Gerdes (2003, p.9) apresenta diversos motivos decorativos
diferentes e diz que "[...] a coleção até aqui organizada mostra a existência de mais de uma
centena de motivos, revelando a força de imaginação e a criatividade artística e geométrica
das cesteiras e dos cesteiros fabricantes de sipatsi".
Gerdes ainda relaciona a descobertas de cestarias com padrões parecidos no México carteiras oaxacas (Figura 8), que mantém a tradição pré-hispânica de fabricação, e no Brasil,
nas bolsas feitas pelos índios de Aracati no Ceará (Figura 9).
Figura 7: carteira sipatsi
Figura 8: carteira oaxaca
Figura 9: bolsa do Ceará
Fonte: Gerdes (2003, p.148)
Fonte: Gerdes (2003, p.161)
Fonte: Gerdes (2003, p.164)
Um exemplo que ilustra muito bem o uso das transformações geométricas no
46
desenvolvimento da arte na tecelagem vem da cultura Arica, localizada na região norte do
Chile.
Bassanezi e Faria (1988) mostram a relação entre o grau de complexidade dos
ornamentos e o da organização das estruturas sociais dessa cultura. Eles analisam a sua
evolução histórica e os classifica a partir do estudo matemático de seus desenhos.
Figura 10: Roseta do
período formativo.
Figura 11: Barra do
período Tiwanaku.
Figura 12: Mosaico do
período de
desenvolvimento
regional.
Figura 13: Mosaico do
período inca.
Fonte: BASSANEZI e
FARIA (1988, p.43)
Fonte: BASSANEZI
e FARIA(1988,p.43)
Fonte: BASSANEZI e
FARIA (1988, p.44)
Fonte: BASSANEZI e
FARIA (1988, p.44)
É no Período Formativo (1000 a.C. - 300 d.C.) dessa cultura que aparecem os
primeiros tecidos enfeitados com rosetas e barrados nos gorros e mantas (Figura 10). Estes
"eram produzidos, nas barras, por translações e reflexões perpendiculares à direção da
translação e, nas rosetas, por reflexão" (BASSANEZI e FARIA, 1988, p.43).
No Período Tiwanaku (300a.C. - 1100a.C.) seus ornamentos ganham cores vivas,
motivos mais elaborados e simetrias produzidas por rotações, nas rosetas, e translações e
reflexões perpendiculares à direção da translação, como no período anterior, além de
reflexões com eixo na direção das translações, nas barras. Neste período, aparecem os
primeiros mosaicos (Figura 11).
No Período de Desenvolvimento Regional (1100a.C. - 1470a.C.), esse povo começa
a utilizar, além de mosaicos coloridos e elaborados, figuras estilizadas de animais e simetrias
produzidas por translações refletidas (Figura 12).
No Período Inca (1470a.C. - 1535a.C.), apesar do avanço das técnicas de tecelagem
trazidas pelo povo Inca, não houve desenvolvimento em termos de ornamentações dos tecidos
(Figura 13). Bassanezi e Faria (1988, p.45) afirmam que "do ponto de vista artístico (e
matemático) o período inca parece representar uma involução".
Vindo, agora, para os tempos modernos, pode-se observar o uso das transformações
geométricas pelo artista holandês Maurits Cornelis Escher. Apesar de sua obra estar apoiada
em conceitos matemáticos e todos os seus trabalhos terem um forte conteúdo desta ciência,
47
ele era absolutamente leigo neste assunto.
Conta-se até que H.M.S. Coxeter, um dos papas da geometria moderna,
entusiasmado com os desenhos do artista, convidou-o a participar de uma de
suas aulas. Vexame total. Para decepção do catedrático, Escher não sabia do
que ele estava falando, mesmo quando discorria sobre teorias que o artista
aplicava intuitivamente em suas gravuras (LOPES, 2011).
Escher dedicou-se a trabalhos com isometrias decorativas a partir de suas visitas ao
palácio mourisco de Allambra, em Granada - Espanha. Este foi construído pelos árabes no
século XIII. Mesmo que ele não detivesse os conhecimentos de geometria necessários, o
mesmo não pode ser dito sobre este povo, seus construtores e artistas.
Escher, nessas visitas, copiou obsessivamente os ornamentos das paredes desse
palácio e, através dessas cópias acabou por descobrir os movimentos utilizados naqueles
ornamentos: as isometrias, ou seja, a translação, a rotação, a reflexão, a translação refletida e
suas combinações. A Figura 14 mostra algumas das cópias feitas por Escher em Allambra.
Figura 14: Maiólicas de Allambra.
Fonte: Landshoff (2003. p.57)
Escher conseguiu, através da experimentação, chegar aos dezessete grupos existentes
das combinações isométricas que deixam determinada figura invariante.
De acordo com Sérgio Alves, professor de geometria do Instituto de Matemática e
Estatística (IME), da Universidade de São Paulo (USP),
É notável que Escher, sem qualquer conhecimento prévio de Matemática,
tenha descoberto todas essas possibilidades. Quanto aos quatro movimentos,
são os únicos possíveis de serem aplicados sobre um padrão plano de modo
que o resultado obtido seja exatamente a figura original. Em termos
matemáticos, são as únicas isometrias do plano. O estudo desses
movimentos é chamado de Geometria das Transformações e suas leis
governam a construção dos desenhos periódicos (ALVES, apud LOPES,
2011).
Escher chamou a esses trabalhos de Divisão Regular do Plano (DRP). Algumas são
48
mostradas a seguir (Figuras 15 a 18).
Figura 15: Estudo para DRP nº 70.
Figura 16: Detalhe DRP nº 70.
Fonte: Landshoff (2003, p.60)
Fonte: Landshoff (2003, p.61)
Figura 17: Estudo para DRP nº 79.
Figura 18: Detalhe DRP nº 79.
Fonte: Landshoff (2003. p.76)
Fonte: Landshoff (2003. p.77)
Na natureza, além de aparecerem na constituição de diversos seres vivos, as
transformações geométricas podem ser observadas na composição dos cristais. Um cristal é
formado por milhões de moléculas iguais que, ao serem ordenadas lado a lado, geram formas
simétricas quase perfeitas.
É possível atribuir a cada composto cristalino um grupo de simetrias, a fim
de poder diferenciá-los bem. Existem milhares deles na natureza. A forma de
fazer isso consiste de partir de uma figura básica, a célula, formada por uma
certa combinação de moléculas e ir copiando esta célula no espaço, como
uma imagem refletida, rotacionada ou transladada da original. (MENDOZA,
1999, p.150, tradução nossa).
49
Recentemente muito se tem falado dos quasicristais, pois seu descobridor, o físico
israelense Daniel Shechtman, ganhou o Prêmio Nobel de Química de 2011.
Até a sua descoberta, acreditava-se que os átomos de qualquer matéria sólida
ficavam agrupados em cristais com padrões de simetria rotacional de quatro ou seis eixos.
Outros padrões, como o de cinco, sete, dez ou doze eixos eram considerados impossíveis.
Figura 19: Padrões com quatro (à esquerda), cinco (centro) e seis (à direita) eixos de simetria.
Fonte: YANO (2011)
Na Figura 19, são mostrados os padrões com quatro e seis eixos de simetria que
geram repetições periódicas da estrutura de cristais, além do de cinco (centro) que é de um
quasicristal.
Em abril de 1982, Shechtman, através de um microscópio eletrônico, vislumbrou
átomos arranjados em padrões com simetria de dez eixos. "O material sólido, sintético e
composto por alumínio e magnésio, se assemelhava, em nível molecular, a mosaicos árabes,
que obedecem a regras matemáticas, mas não repetem padrões em nenhum momento."
(YANO, 2011).
Figura 20: Imagem observada por Shechtman em seu microscópio eletrônico.
Fonte: YANO (2011)
Figura 21: Modelo atômico de um quasicristal de prata e alumínio.
50
Fonte: YANO (2011)
As imagens mostradas nas Figuras 20 e 21 constam da reportagem do jornal O
Globo, que leva o título, bastante sugestivo, de "Ciência que parece arte leva Nobel de
Química" e nela é dito que
Uma descoberta que aproximou ainda mais ciência e arte e revelou a
existência de uma estrutura considerada impossível deu ao cientista Daniel
Shechtmnan, 70 anos, do Instituto de Tecnologia de Israel-Technion, o
Prêmio Nobel de Química de 2011, anunciado ontem. (BAIMA, 2011).
Os quasicristais estão presente em algumas das mais fortes ligas metálicas utilizadas
atualmente no fabrico de lâminas, material cirúrgico, revestimento de panelas, como
substituto do Teflon, materiais resistentes a altas temperaturas, motores, entre outros.
Em 2009, foi encontrado na Rússia, um mineral composto de alumínio, cobre e ferro,
com padrões de simetria de dez eixos. Esta foi a primeira vez que cientistas reportaram a
existência de quasicristais na natureza.
Até agora, neste capítulo, mostrou-se que, independente da matematização, as
transformações geométricas existem na natureza e foram utilizadas pelo homem desde os
primórdios da evolução das culturas.
Este seria um exemplo do que Eves (1992, p.2) chama de "geometria subconsciente",
que segundo ele, "era empregada pelo homem primitivo para fazer ornamentos decorativos e
desenhos, e provavelmente é correto dizer-se que a arte primitiva preparou em grande escala o
caminho para o desenvolvimento geométrico posterior".
A história do desenvolvimento das transformações geométricas como conteúdo da
Matemática está, portanto, extremamente vinculada à história do desenvolvimento da
geometria como área desta ciência.
Segundo Eves (1992, p.1) "ninguém ignora que a geometria deve ter se iniciado
provavelmente em tempos muito remotos na antiguidade, a partir de origens muito modestas,
51
depois cresceu gradualmente até alcançar a dimensão enorme que tem hoje."
Acredita-se que a origem da geometria está ligada à capacidade humana de
reconhecer e comparar formas e tamanhos e pelas exigências práticas da utilização desta
capacidade. Por exemplo, a necessidade de delimitação de terras levou o homem a
desenvolver, primeiramente, o conceito geométrico de distância e, em seguida, passou a
conhecer figuras geométricas simples como o retângulo e o triângulo. Conceitos sobre posição
(paralelismo, perpendicularismo etc.) foram construídos a partir da edificação de muros e
moradias.
Mais tarde, o homem, através do uso de sua inteligência, torna-se capaz de perceber
certas propriedades gerais das formas, tamanhos e relações espaciais entre objetos.
Novamente Eves (1992, p.3) esclarece que
[...] Isto acarretou a vantagem de se ordenar problemas geométricos práticos
em conjuntos tais que os problemas de um conjunto podiam ser resolvidos
pelo mesmo procedimento geral. Chegou-se assim à noção de lei ou regra
geométrica. [...] Esse nível mais elevado do desenvolvimento da natureza da
geometria pode ser chamado de "geometria científica".
Heródoto, no século V a.C., defendeu a tese de que a geometria como ciência teria
nascido no Egito. Eves (1992, p.3) transcreve as palavras deste famoso historiador:
Eles diziam que este rei [Sesóstris] dividia a terra entre os egípcios de modo
a dar a cada um deles um lote quadrado de igual tamanho e impondo-lhes o
pagamento de um tributo anual. Mas qualquer despojado pelo rio de uma
parte de sua terra teria de ir a Sesóstris e notificar-lhe o ocorrido. Ele então
mandava homens seus observarem e medirem quanto a terra se tornara
menor, para que o proprietário pudesse pagar sobre o que restaram,
proporcionalmente ao tributo total. Dessa maneira, parece-me que a
geometria teve origem, sendo mais tarde levada até a Hélade.
Vê-se, portanto, que é na agrimensura que se localizam os primórdios da visão
científica da geometria. Daí vem o nome: geo = terra, metria = medida, então geometria =
medida da terra.
Vários indícios históricos contam que a geometria desenvolveu-se também em outra
culturas do antigo oriente. Além do povo egípcio, que vivia na bacia do rio Nilo, há os que se
instalaram nas bacias dos rios Tigre e Eufrates, na Mesopotâmia, do Indo e do Ganges, da
Ásia Central, e do Hwang Ho e do Yangtzé, da Ásia Oriental. Todos esses povos são
conhecidos
por terem sociedades avançadas e culturas ricas com conhecimentos sobre
irrigação e drenagem de terras, construção de edifícios e estruturas, além de ferramentas e
obras para defesa.
Os avanços do estudo da geometria, gerados pelos egípcios, babilônios, hindus e
chineses, chegam, então, à Grécia (Hélade), onde será desenvolvida a geometria
52
demonstrativa.
É com Os Elementos de Euclides que as ciências, em particular a geometria, ganham
um método de pesquisa: o modelo axiomático.
Para explicar o modelo axiomático, serão usadas as palavras de Bicudo que em sua
palestra sobre a geometria grega, proferida em setembro de 2010 diz que
O matemático quando está fazendo Matemática tem duas preocupações em
mente: a preocupação com as definições de seus objetos matemáticos e a
preocupação de demonstrar as propriedades referentes a esses objetos. Então
há duas operações do espírito essenciais na feitura de qualquer teoria
Matemática, a operação de definir os conceitos e a operação de demonstrar
as propriedades desses conceitos. Definir é, delimitar ou explicar um
conceito em termos de outros definidos anteriormente. Demonstrar uma
proposição significa argumentar pela validade dessa proposição usando as
regras válidas de dedução da lógica, a partir de proposições já anteriormente
demonstradas (BICUDO, 2010).
Para isso, o matemático aceita alguns conceitos sem definição (conceitos primitivos)
e, a partir desses, define todos os demais conceitos, os chamados conceitos derivados.
Acontece o mesmo com as proposições: ele aceita algumas
como verdadeiras e sem
demonstração (os axiomas e noções comuns) e demonstra, a partir dessas, todas as outras
proposições, os teoremas.
O Livro I de Os Elementos, parte de vinte e três definições, cinco postulados e nove
noções comuns para demonstrar toda a geometria que conhecemos como geometria euclidiana
ou geometria clássica. Os cinco postulados são:
1º De todo ponto até todo ponto é possível traçar uma reta. É possível
conduzir uma reta de todo ponto a todo ponto.
2º Quando temos uma reta limitada dada é possível prolongá-la
indefinidamente para qualquer um dos lados.
3º Por um ponto dado e passando por outro ponto dado é possível traçar
um círculo.
4º Todos os ângulos retos são iguais.
5º Se tiver duas retas e sobre elas cair uma reta, fazendo ângulos internos
do mesmo lado menores do que dois retos, essas duas retas se
encontrarão do lado em que esses ângulos são menores do que dois
retos (EUCLIDES, 2009, p.98).
A grosso modo, o que diferencia os postulados das noções comuns é que os
postulados dizem respeito exclusivamente à geometria, ao passo que as noções comuns são
afirmações de validade geral. Por exemplo, a primeira das noções comuns de Euclides (2009,
p.99) diz que "As coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si."
De acordo com Piaget e Garcia (2011, p. 129)
A importância da contribuição de Euclides que, na formulação de seus
Elementos, apresenta a primeira axiomatização da história da Matemática, só
53
foi apreciada (à exceção de Arquimedes) muito mais tarde. Ela só iria ser
compreendida em toda a sua essência no momento da transição do século
XIX ao XX, e a partir dos trabalhos de Hilbert e de Peano.
Além dos Elementos, Euclides escreveu três livros sobre porismos, que, segundo
Proclus e Pappus, eram mais profundos que o primeiro. Foi através de Pappus, na sua Coleção
Matemática, que chegaram aos dias atuais trinta proposições desta obra. Nela já era utilizada a
noção de transformações por projeção.
Considera-se que Apolônio (século III a.C.), no seu Elementos das Cônicas, foi o
precursor da ideia de uso de um sistema de coordenadas para suas demonstrações, mas
concebe-se que foram Fermat e Descartes que, vinte séculos depois, criam a geometria
analítica.
Piaget e Garcia mostram que é essa geometria criada por Fermat e Descartes que
vem relegar a geometria clássica à segundo plano. Eles apontam que,
Depois dos gregos, a primeira mudança espetacular foi produzida pela
geometria analítica. Ainda que precedido cronologicamente por Fermat
(1601 - 1665), é René Descartes que, com seu célebre Discurso do método
para bem conduzir a sua razão e procurar a verdade das ciências (1637),
será o motor mais importante desse processo. O terceiro apêndice do
Discurso, intitulado "A geometria", constitui o marco que define o início da
idade moderna em Matemática (PIAGET e GARCIA, 2011, p.130).
Com a geometria analítica, o estudo das figuras e curvas se viu reduzido à análise das
equações correspondentes a estas. A geometria foi, então, algebrizada.
Descartes não tinha como prever que, cinquenta anos depois de publicar seu
Discurso, seria publicado o Principia de Newton, que "apoiado em ombros de gigantes",
dentre os quais pode-se citar Arquimedes, foi responsável pela criação do cálculo diferencial,
o que deu à geometria analítica um destaque imenso e ajudou a reduzir ainda mais o interesse
pela geometria euclidiana.
Em fins do século XVIII, Euler traduziu as transformações no plano analiticamente e
demonstrou que um deslocamento no plano era uma rotação, ou uma translação, ou, ainda,
uma translação seguida de uma simetria.
De acordo com Eves (1992), foi seguindo as teorias de Desargues, que no século
XVII publicou um tratado sobre secções cônicas, explorando a ideia de projeção, e de Monge
(século XVIII), que criou a geometria descritiva, que Poncelet e, paralelamente, Chasles, já no
século XIX, chegam à geometria projetiva, onde incorporam, pela primeira vez,
[...] os sistemas de transformações como método fundamental da geometria,
procurando dar a essa ciência, independentemente da álgebra, a mesma
generalidade, a mesma leveza, a mesma fecundidade que a geometria
54
analítica tinha demonstrado no curso de seu desenvolvimento no século
XVIII (PIAGET e GARCIA, 2011, p.136).
Mas o conceito de transformação utilizado até este momento era intuitivo e, por isso,
limitado. Piaget e Garcia informam que
Para cada caso era aplicado um tipo de transformação que permitia estudar
as propriedades das figuras num grau de generalidade bastante elevado, mas
faltavam meios para identificar e exprimir a estrutura do conjunto dessas
transformações (PIAGET E GARCIA, 2011, p.149).
Foram Sophus Lie (1842 - 1899) e Félix Klein (1849 - 1925) que, baseados na teoria
de grupos, criaram a noção de grupos de transformações e invariantes correspondentes e,
assim, resolvem o problema de identificação da estrutura do conjunto de transformações.
De acordo com Fainguelernt (1999, p.72), "Klein, em 1870, revolucionou o enfoque
da geometria, ao afirmar que devemos entender o seu contexto como o estudo das
propriedades invariantes das figuras face às transformações de um grupo".
Ele expôs suas ideias no programa Erlangen em 1872, "onde se revelam de um lado
seu interesse profundo por questões pedagógicas e de outro seu envolvimento sério com a
pesquisa Matemática" (EVES, 2004, p.605).
Félix Klein foi professor na Universidade de Erlangen (1872 - 1875), antes de sê-lo
em Leipzig (1880 - 1886) e em Gottingen (1886 - 1913).
Nesta última foi chefe de
departamento, e em seu período esta universidade se transformou na meca dos estudantes de
Matemática de todo o mundo. Ele foi, ainda, editor de Mathematische Annalen e fundador da
Encyklopädie Mathematik.
A relação entre um grupo de transformações e uma geometria é que a define e, de
acordo com Klein, deve-se chamar a este grupo de transformações de grupo principal para
esta geometria. Assim, as "propriedades geométricas não se alteram pelas transformações do
grupo principal. Podemos também afirmar de modo inverso : as propriedades geométricas são
caracterizadas pela sua invariância com respeito às transformações do grupo principal"
(KLEIN, 1984, p.7).
Klein, com isso, estabeleceu relações entre diversos grupos de transformações que
caracterizam as diversas geometrias. O Quadro 5 contém algumas dessas relações.
55
Quadro 5: Classificação dos grupos de transformações.
Fonte: Fainguelernt (2007, p. 4)
Este trabalho se deterá no estudo da geometria euclidiana plana com os seus grupos
de transformações (semelhanças e isometrias), representadas pela homotetia, pela rotação,
pela translação, pelas simetrias (axial e central), bem como, pelas transformações compostas
dessas.
56
3.2
Análise Matemática das Transformações Geométricas no Plano
Dá-se o nome de Geometria das Transformações a uma teoria pedagógica usada para
ensinar Geometria, baseada no Programa Erlangen. As transformações geométricas no plano
fazem parte dessa teoria.
Para mostrar a importância do estudo das TGP na Educação Básica é necessário
conhecer suas representações geométricas, matriciais e algébricas. Para tanto, com base nos
textos de Fainguelernt e Veloso, serão discutidas a translação, a simetria central, a simetria
axial, a rotação, a homotetia, bem como algumas composições dessas.
Uma transformação geométrica no plano (ou em ℝ 2 ) é uma função (ou aplicação)
biunívoca de ℝ 2 sobre ℝ 2 , em que para qualquer ponto P de ℝ 2 , T(P) é um ponto de ℝ 2 nas
seguintes condições:
• Se P ≠ Q, então T(P) ≠ T(Q); isto é, T é biunívoca (também se costuma dizer
injetiva).
• Para todo o ponto Q de ℝ 2 , existe um ponto P de ℝ 2 tal que T(P) = Q; isto é, T
é uma aplicação “sobre” (também se costuma dizer sobrejetiva).
Ou seja, uma transformação T no plano π é uma função bijetora T : π → π, que
associa a cada ponto P do plano outro ponto do mesmo plano Q = T(P). O ponto Q é chamado
de imagem de P pela transformação T.
As transformações geométricas em que uma figura apenas muda de lugar, mas
conserva todas as suas características geométricas intrínsecas, mantém distâncias, ângulos e
áreas, são chamadas de isometrias.
Arthur Cayley (1821-1895) desenvolveu a álgebra das matrizes em 1857 e a associou
às transformações lineares do tipo: x’ = ax + by e y’ = cx + dy, onde a, b, c e d são números
reais, e que podem ser imaginados como aplicações que levam o ponto (x,y) ao ponto (x’,y’).
Algumas transformações geométricas são também transformações lineares e por isso
a b 
pode ser simbolizadas pela matriz 
.
c d 
3.2.1 Translação
A translação é uma função ou transformação de pontos no plano, T : ℝ 2 → ℝ 2 ,
definida por T ( x,y ) = ( x + a,y + b ) , onde a e b são constantes dadas. (FAINGUELERNT,
57
1999, p.75). Ela é uma isometria, pois conserva distâncias, ângulos e áreas. Se a ≠ 0 ou
b ≠ 0 (isto é, se a translação é não nula), então a transformação geométrica translação não é
uma transformação linear, uma vez que T ( 0,0 ) = ( a,b ) ≠ ( 0,0 ) .
Figura 22: Representação da translação no plano
Fonte: Fainguelernt (1999, p.75)
3.2.2 Simetria
A simetria é, geometricamente, a semelhança exata da forma em relação a uma
determinada reta, ponto ou plano.
Se a figura, ou parte dela, ao ser refletida, girada ou movida sobre a transformada, a
ela se sobrepor, ponto por ponto, então ela é simétrica.
A simetria no plano pode ser central ou axial.
3.2.2.1 Simetria Central
A simetria central no plano é uma função ou transformação de pontos do plano que
associa a um dado par ordenado (x,y) o seu simétrico (-x,-y) (FAINGUELERNT, 1999, p.
74). A simetria central aplicada a um ponto P do plano gerará um ponto P´, tal que O
(origem) seja o ponto médio do segmento PP’.
58
Figura 23: Representação da simetria central no plano
Fonte: Fainguelernt (1999, p.74)
Representação Matricial
 x ' − 1 0 
 y ' =  0 − 1 .
  

x
− x 
− 1 0 
 y  = − y  a matriz da transformação é então  0 − 1 .
 
 


Observações:
• Observa-se que a simetria é uma isometria, ou seja, mantém distâncias, ângulos e áreas, e
por isso o determinante da matriz de transformação dela é unitário.
• Para realizar simetria em relação a pontos fora da origem, basta combinar a simetria com
translações: transladar o centro da simetria para a origem, realizar a simetria proposta e
transladar de volta o centro da simetria à sua posição inicial.
3.2.2.2 Simetria Axial
A simetria axial em relação ao eixo y no plano é uma função ou transformação de
pontos do plano que associa a cada par (x,y) o par (-x,y) (FAINGUELERNT, 1999, p.74).
59
Figura 24: Representação da simetria axial no plano
Fonte: Faiguelernt (1999, p.74)
Representação Matricial
 x '   − 1 0  x 
− x 
 − 1 0
 y ' =  0 1 .  y  =  y  a matriz da transformação é então  0 1 .
  
  
 


Observações:
• A simetria axial é uma isometria, ou seja, mantém distâncias, ângulos e áreas.
• O exemplo anterior considera uma simetria axial em relação ao eixo Oy. Pode-se
considerar em relação ao eixo Ox, onde, se P = (x,y) então P’ = (x,-y). E sua matriz de
1 0 
transformação será 
.
0 −1
• A simetria em relação a uma reta qualquer é dada pela composição de uma simetria em
relação a Ox e uma rotação.
3.2.3 Rotação
É a transformação geométrica que realiza um giro, ou rotação, de um ou mais pontos
pertencentes a um plano π. Para ser definida, é necessário indicar um ângulo α, que definirá o
tamanho da rotação, e um ponto central, chamado de C, em torno do qual se realizará o
movimento.
60
Figura 25: Representação da rotação com centro em C de um ponto e de um quadrilátero
Representação Matricial
 x '
cos α
 y ' =  senα
 

cos α
 senα

− senα   x 
.
cos α   y 
 x cos α − ysenα 
= 

 xsenα + y cos α 
a matriz da transformação é então
− senα 
.
cos α 
Observações
• Observa-se que o determinante da matriz de transformação da rotação é unitário, o que
significa que ela é uma isometria, ou seja, mantém distâncias, ângulos e áreas.
cos α
senα
− senα
= cosα . cosα- (senα . -senα)= cos2α + sen2α = 1
cos α
• O exemplo anterior considera uma rotação centrada na origem do sistema de coordenadas.
Para realizar rotações fora desta origem, basta combinar a rotação com translações:
transladar o centro da rotação para a origem, realizar a rotação proposta e transladar de
volta o centro da rotação à sua posição inicial. Por exemplo, imaginando-se o centro de
rotação da Figura 26 o ponto P(3,2), como ficaria o triângulo ABC se ele fosse rotacionado
em 90º ou
π
2
rad?
• A simetria em relação a origem é exatamente igual à uma rotação de 180°, com centro em
O.
61
Figura 26: Transladando o centro da rotação P para a origem.
Transladando o centro da rotação P para a origem:
T(P) = P' = (x - 3 , y - 2)
A(5,4) ⇒ T(A) = A' (2,2)
B(7,4) ⇒ T(B) = B' (4,2)
C(7,7) ⇒ T(C) = C' (4,5)
Figura 27: Rotacionando o ∆ABC em 90º.
Rotacionando o triângulo ABC em 90º:
0 − 1  x  − y 
R(x,y) = 
.  =  
1 0   y   x 
62
R(x,y) = (-y, x)
A'(2,2) ⇒ R(A') = A'' (-2,2)
B'(4,2) ⇒ R(B') = B'' (-2,4)
C'(4,5) ⇒ R(C') = C'' (-5,4)
Figura 28: Transladando o centro da rotação P' de volta para seu lugar.
Transladando o centro da rotação P' de volta para o seu lugar:
T-1(P') = P = (x + 3 , y + 2)
A''(-2,2) ⇒ T-1 (A'') = A''' (1,4)
B''(-2,4) ⇒ T-1 (B'') = B''' (1,6)
C''(-5,4) ⇒ T-1 (C'') = ''C' (-2,6)
Figura 29: Resultado final da rotação.
63
Acima (Figura 29), o resultado final da rotação de um triângulo ABC em 90º em
torno de um ponto P fora da origem.
• O exemplo também considera uma rotação no sentido anti-horário. Para realizar uma
rotação de um ângulo α no sentido horário, realiza-se uma rotação de um ângulo 2π - α no
sentido anti-horário. Por exemplo, rotacionar em 90º um triângulo ABC no sentido horário
é o mesmo que rotacioná-lo 270º no sentido anti-horário. Seja o triângulo ABC na Figura
30:
Figura 30: Rotação do ∆ABC de 90º no sentido horário.
 0 1  x   y 
R(x,y) = 
.  =  
 − 1 0  y   − x 
R(x,y) = (y,- x)
A(2,1) ⇒ R(A) = A' (1,-2)
B(4,1) ⇒ R(B) = B' (1,-4)
C(2,3) ⇒ R(C) = C' (3,-2)
3.2.4 Homotetia
É uma transformação T : π → π, com centro na origem O e razão k > 0, que associa
a cada ponto P no plano π o ponto P’ = T(P) tal que OP’ = k. OP.
Com a definição acima, e considerando P = (x,y), as coordenadas (x’,y’) do ponto P’
são dadas pelo sistema:
64
x´= k . x
y´= k . y
Figura 31: Representação da homotetia de um segmento orientado OP
OP’= 1 OP
2
OP’ = 3 OP
P’
P
P
P’
O
O
Uma homotetia produz ampliações e reduções no tamanho de figuras no plano
(Figura 31). Ou seja, gera figuras semelhantes de razão k.
Ao considerar duas figuras poligonais semelhantes ABEDF e A’B’D’E’F’ (Figura
32), verifica-se que os lados correspondentes dos polígonos são proporcionais a uma razão e
que seus ângulos correspondentes são congruentes.
Figura 32: Representação da homotetia de centro C e razão k de um quadrilátero ABDE
k=
A' B '
B' D'
D' E ' '
E ' A'
=
=
=
AB
BD
DE
EA
No exemplo anterior, A’B’D’E’ é uma ampliação de ABDE, com razão k > 1, e
A”B”D”E” é uma redução obtida a partir de uma homotetia com razão 0 < k < 1.
Portanto, para se definir uma homotetia, são necessários dois elementos: o centro C e
a razão k.
65
Representação Matricial
 x ' k 0   x 
 k .x 
 y ' = 0 k  .  y  = k . y  a matriz da transformação é então
  
  
 
k 0 
0 k  .


Observa-se que o determinante da matriz de transformação da homotetia é diferente da
unidade, o que significa que ela não é uma isometria.
Como já visto, essa transformação mantém os ângulos das figuras e a
proporcionalidade de suas distâncias na razão k, além da proporcionalidade de suas áreas na
razão do determinante da matriz de transformação.
Observações:
• Apesar da definição considerar k > 0, ela é válida para qualquer k < 0. Isto porque uma
homotetia com razão negativa pode ser obtida através de uma composição de
transformações geométricas, ou seja, uma rotação de 180° com uma homotetia de razão
positiva.
Figura 33: Hometetia de razão k = -2 do ∆ABC.
Uma homotetia de razão k = -2 aplicada ao triângulo ABC da Figura 33 geraria o
triângulo A'B'C' representado na mesma figura, isso porque
H-2(x,y) = (-2x, -2y), que é o mesmo que
− 1 0 
R180º (x,y) = 
.
 0 − 1
x
 y =
 
− x 
− y 
 
66
R180º (x,y) = (-x,-y), mas H2(x,y) = (2x, 2y), logo
H2[R180º (x,y)] = H2 (-x,-y) = (-2x,-2y) que é o mesmo que H-2(x,y).
• Da mesma forma que foi feito com a rotação com centro fora da origem, homotetias com
centro fora da origem podem ser obtidas através da composição de uma translação e uma
homotetia.
• Duas figuras homotéticas são sempre semelhantes, mas duas figuras semelhantes nem
sempre são homotéticas. Ou seja, a semelhança é uma condição necessária, mas não
suficiente para garantirmos que uma figura é homotética de outra.
Para verificar se existe homotetia, traçam-se os segmentos de retas AA’, BB’ e CC’.
Caso elas se encontrem em um ponto O, a homotetia existe, sendo o referido ponto seu centro
ou foco (Figura 34).
Figura 34: Triângulos semelhantes e homotéticos.
Ou seja, para existir homotetia não basta as figuras envolvidas serem semelhantes,
mas seus lados correspondentes devem ser paralelos, e seus vértices correspondentes devem
pertencer a um mesmo segmento de reta.
Se os segmentos de reta forem traçados sobre os triângulos da Figura 35, é possível
verificar que não existe um ponto central, e, portanto, não existe homotetia.
Figura 35: Triângulos semelhantes e não homotéticos.
67
3.3
Aplicações das Transformações Geométricas no Plano na Educação Básica
O ensino das transformações geométricas no plano (TGP) é estimulado pelos PCN
desde a primeira etapa do ensino fundamental (EF). Neste documento, é defendido que
atividades envolvendo as TGP "permitem o desenvolvimento de conceitos geométricos de
forma significativa" (BRASIL, 1998, p.124), desenvolvem a capacidade de visualização na
criança e dão uma perspectiva mais dinâmica à geometria como um todo.
Na segunda etapa do EF "o estudo das transformações isométricas é um excelente
ponto de partida para a construção das noções de congruência" (BRASIL, 1998, p.124), como
o estudo da homotetia o é para o conceito de semelhança.
Uma abordagem contextualizadora para o trabalho com as TGP é através da
observação de objetos do cotidiano como tapetes, cerâmicas, tecidos, azulejos, logotipos de
empresas, grades de janela, frisos decorativos, imagens refletidas em espelhos etc.
Os PCN trazem como um dos objetivos da Matemática para o 2º ciclo (atuais quarto
e quinto anos do EF) "Identificar características das figuras geométricas, percebendo
semelhanças e diferenças entre elas, por meio de composição e decomposição, simetrias,
ampliações e reduções" (BRASIL, 2000, p.81).
Van de Walle (2009, p.462) defende que nesta etapa sejam utilizados termos mais
simples para introduzir os conceitos básicos de TGP. Por exemplo, chamar a translação de
deslizamento, a reflexão de espelhamento ou virada e a rotação de giro.
Os PCN para 3º e 4º Ciclos (6º ao 9º ano do Ensino Fundamental), referem-se às
TGP em conceitos e procedimentos de espaço e forma. Defende-se neste documento que
devem ser trabalhados
Transformações de uma figura no plano por meio de reflexões, translações e
rotações e identificação de medidas que permanecem invariantes nessas
transformações (medidas dos lados, dos ângulos, da superfície).
Ampliação e redução de figuras planas segundo uma razão e identificação
dos elementos que não se alteram (medida de ângulos) e dos que se
modificam (medidas dos lados, do perímetro e da área) (BRASIL, 1998,
p.73).
É interessante mostrar, por exemplo, a regra de sinais das operações de adição e
multiplicação com números inteiros, conteúdo do sétimo ano do EF, como transformações
geométricas na reta numerada (translações, homotetias e reflexões). Essa visão de conjunto
numérico munido dessas operações como "representação de ações geométricas" é defendida
por Mathias (2012) também para o trabalho sobre o conjunto real e, "por meio da extensão de
tais ações, construir o conceito de número complexo".
68
No ensino médio (EM), as TGP podem ser utilizadas na análise gráfica do
significado dos coeficientes de funções, na exemplificação de função, bijetividade e composta
de funções, na aplicação das operações com matrizes, além da construção do conceito de
números complexos.
As transformações geométricas podem privilegiar a conexão interna entre o ramos da
Matemática (geometria, álgebra e aritmética) e entre esta Ciência e outros domínios do saber.
Através de análise de cristais, cerâmicas ou outras expressões artísticas pode-se estabelecer
essas ligações, "podendo ser o ponto de partida para projetos interdisciplinares onde a
matemática, em geral, e a geometria, em particular, assumam papéis importantes" (BASTOS,
2006, p.9).
Bastos defende, ainda, o uso das TGP na educação básica pelo seu valor no
desenvolvimento da história da Matemática
[...] justificar-se-ia que se desse muito maior importância às transformações
geométricas, em primeiro lugar pela relevância que elas têm na história da
Matemática recente — veja-se o Programa de Erlangen, de Félix Klein, que
influenciou o desenvolvimento da Matemática no século XX — mas também
porque constituem um campo rico de conexões, uma ferramenta muito útil
para demonstrações, para resolver problemas e, de uma maneira geral, para
raciocinar sobre o plano e o espaço (BASTOS, 2007, p.23).
Percebe-se, então, que as TGP perpassam todos os níveis da educação básica,
apresentando-se como um conteúdo integrador de elementos matemáticos e como um assunto
de fácil e importante contextualização.
É importante lembrar que a sexta e a sétima semanas da disciplina de Tópicos em
Geometria (TG) do curso de Novas Tecnologias no Ensino da Matemática foram dedicadas a
atividades para desenvolver este tema na educação básica. Isso foi feito através das tarefas,
nas discussões em fóruns temáticos e na leitura dos textos indicados, como os de Veloso,
Bastos, Fainguelernt, entre outros. É esta experiência que será mostrada no próximo capítulo.
69
4
A EXPERIÊNCIA DE ABORDAGEM DE TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS EM
UM CURSO A DISTÂNCIA
Esta pesquisa de campo foi realizada com professores cursistas da Pós Graduação
Latu Sensu em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática oferecida pela UAB/UFF. Ela
abrange aspectos quantitativos, quando da análise dos percentuais oferecidos nas tabelas, e
qualitativos, quando da investigação das respostas abertas dos alunos e tutores. Os
pressupostos adotados são a multiplicidade de olhares, os conhecimentos prévios e a
modalidade dessa formação acadêmica.
No encalço de respostas ao problema dessa pesquisa buscou-se analisar, do grupo
envolvido, suas experiências anteriores, suas vivências e seus conhecimentos em geometria,
para isso foi realizado um diagnóstico (Anexo D) sobre os conceitos básicos
que
fundamentam a disciplina de Tópicos em Geometria (TG-2.2011).
A Tabela 1 mostra quantos alunos se inscreveram em TG-2.2011, bem como,
quantos a concluíram e quantos não o fizeram. Ressalta, ainda, que participaram dessa
pesquisa cento e oitenta (180) alunos sendo, então, esta a amostra em um universo de
trezentos e vinte (320) alunos.
Tabela 1: Número de alunos inscritos e concluintes da disciplina TG-2.2011
NÚMERO DE ALUNOS EM TG-2.2011
Total de alunos inscritos
Alunos que concluíram
Alunos que não concluíram
Alunos que trancaram
Alunos que nunca participaram
Alunos que abandonaram
Alunos que responderam a pesquisa
FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
RELATIVA
320
170
150
107
27
16
180
100,0%
53,1%
46,9%
33,4%
18,0%
10,7%
56,3%
Fonte:
http://www.lanteuff.org/moodle/mod/feedback/analysis.php?id=13665&courseid=&do_show=analysis
É importante frisar que o aluno desse curso - NTEM - era o professor de Matemática
com formação específica em licenciatura nessa área.
A Tabela 2 traz o índice de aproveitamento dos alunos que concluíram a disciplina.
70
Tabela 2: Número de alunos aprovados e não aprovados em TG-2.2011
NÚMERO DE ALUNOS APROVADO E
NÃO APROVADOS EM TG-2.2011
FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
RELATIVA
Alunos aprovados
Alunos reprovados
157
13
92,4%
7,6%
TOTAL
170
100,0%
Fonte:
http://www.lanteuff.org/moodle/mod/feedback/analysis.php?id=13665&courseid=&do_show=analysis
Foi perguntado onde o público alvo dessa pesquisa cursou a formação básica, se em
escolas públicas ou em particulares. A Tabela 3 mostra o que foi apurado como resposta.
Tabela 3: Número de alunos que cursaram a EB em escolas públicas ou particulares de TG-2.2011
ONDE CURSOU A EDUCAÇÃO BÁSICA
Rede pública
Rede particular
Ambas
TOTAL
FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
RELATIVA
128
34
18
180
71,1%
18,9%
10,0%
100,0%
Fonte:
http://www.lanteuff.org/moodle/mod/feedback/analysis.php?id=13665&courseid=&do_show=analysis
Nota-se que a incidência de ex-alunos da rede pública é muito maior do que o da
privada. O que se inverte no ensino superior como mostra a Tabela 4.
Tabela 4: Número de alunos que cursaram a graduação em cursos públicos ou particulares de TG2.2011
ONDE CURSOU A GRADUAÇÃO
Universidade pública
Universidade particular
Ambas
TOTAL
FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
RELATIVA
55
119
6
180
30,6%
66,1%
3,3%
100,0%
Fonte:
http://www.lanteuff.org/moodle/mod/feedback/analysis.php?id=13665&courseid=&do_show=analysis
Define-se, então, nosso aluno como um professor de Matemática que, em sua
maioria, estudou a educação básica em escolas públicas e na superior em escolas particulares.
Com relação à pergunta "Você estudou geometria na educação básica?" observa-se
que somente 62,8% respondem que sim, ou seja, quase 40% não estudaram ou não estudaram
71
o suficiente. A Tabela 5 mostra esta distribuição.
Tabela 5: Respostas à pergunta "Você estudou Geometria na Educação Básica?"
VOCÊ ESTUDOU GEOMETRIA NA
EDUCAÇÃO BÁSICA?
Sim
Não
Pouco
Não sabe / Não lembra
Total
FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
RELATIVA
113
20
44
3
180
62,8%
11,1%
24,4%
1,7%
100,0%
Fonte:
http://www.lanteuff.org/moodle/mod/feedback/analysis.php?id=13665&courseid=&do_show=analysis
É importante ressaltar que em "pouco" foram computadas respostas como:
praticamente nenhuma, pouquíssimo, muito pouco, quase nada, bem pouco, muito vagamente,
pouco, muito deficitária e pouco, bem pouco.
Os computados em "não sabe / não se lembra" são pessoas ou que cursaram há muito
tempo o EB como o Cursista-63 que disse “Fazem 42 anos, não me lembro com clareza” ou
que realmente não sabem se estudaram ou não como o Cursista-68 que respondeu “Que eu me
lembre não.”.
Foram computadas como SIM respostas desde "[...] apenas formas, classificação de
triângulos, apenas o básico do básico." (Cursista-16) ou “Sim, Desenho geométrico.”
(Cursista-6), ou ainda, “Ponto, linha, reta, superfície, plano e figuras geométricas.” (Cursista52) até “Sim, estudei a geometria básica ensinada no ensino fundamental desde a 5ª série ao
ensino médio e também a geometria voltada para a mecânica industrial (desenho geométrico
durante o Curso de Aprendizagem Industrial no SENAI-SP.” (Cursista-48) ou "Sim,
geometria euclidiana - plana, espacial e analítica." (Cursista-156).
Junto à pergunta anterior, foi questionado que, se a resposta fosse afirmativa, que
geometrias os alunos estudaram. A Tabela 6 mostra os resultados.
72
Tabela 6: Respostas à pergunta "Que geometria você estudou na educação básica?"
SE RESPONDEU SIM A PERGUNTA
FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA
ANTERIOR, QUE GEOMETRIA(S) VOCÊ
ABSOLUTA
RELATIVA
ESTUDOU?
Plana
Espacial
Analítica
Trigonometria
Desenho
Sem resposta
104
62
27
4
8
3
92,0%
54,9%
23,9%
3,5%
7,1%
2,7%
Fonte:
http://www.lanteuff.org/moodle/mod/feedback/analysis.php?id=13665&courseid=&do_show=analysis
A questão Que geometrias você conhece? ajudou a trazer luz sobre a profundidade
dos conhecimentos dos alunos de TG-2.2011 traziam de geometria. A Tabela 7 mostra um
resumo da quantificação dessas respostas.
Tabela 7: Respostas à pergunta "Que geometria(s) você conhece?" pesquisa inicial
QUE GEOMETRIA(S) VOCÊ CONHECE?
FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
RELATIVA
Plana
Espacial
Analítica
Descritiva
Elíptica
Hiperbólica
Fractal
Do taxi
Projetiva
Não euclidianas (sem especificar)
Não especificou
Não sabe
177
166
69
18
40
42
16
4
5
38
2
1
98,3%
92,2%
38,3%
10,0%
22,2%
23,3%
8,9%
2,2%
2,8%
21,1%
1,1%
0,6%
Fonte:
http://www.lanteuff.org/moodle/mod/feedback/analysis.php?id=13665&courseid=&do_show=analysis
Observou-se nessa questão que muitos não conhecem o que caracteriza cada
geometria. Há respostas como "Plana, espacial, analítica, euclidiana e não-euclidiana."
(Cursista-8), "Espacial, euclidiana, analítica." (Cursista-30), "Euclidiana, espacial, esférica e
fractal." (Cursista-49), "Analítica, dinâmica, espacial e euclidiana" (Cursista-54), "Plana,
espacial, analítica e euclidiana." (Cursista-91) entre outras.
Nota-se que há pessoas que acham que geometria plana é o mesmo que geometria
euclidiana e que a espacial é a não euclidiana. Percebe-se que há um problema no que se
73
refere às definições sobre as geometrias euclidianas e as não euclidianas.
Em nove respostas foi mencionado o que foi estudado em outras disciplinas do
NTEM, principalmente no que se refere às geometrias não euclidianas, como Tópicos em
Álgebra, Aritmética e Geometria para o Ensino Médio (TAAGEM) e Tópicos em Ensino de
Geometria (TEG). Ambas foram oferecidas ao mesmo grupo de alunos em momentos
anteriores ao curso de TG. É importante observar que nenhuma dessas disciplinas é
obrigatória. Sobre isso há falas como: “Eu só conhecia a geometria euclidiana, porém na
disciplina TAAGEM, descobri que há outras geometrias a qual não conheço detalhes.”
(Cursista-2) ou “Euclidiana. Aqui na pós é que passei a conhecer outras...” (Cursista-10) ou
“Geometrias euclidiana,
fractal e estudamos na disciplina TAAGEM um pouco das
geometrias hiperbólica e elíptica” (Cursista-22) ou, ainda, “Sinceramente até iniciar esse
curso conhecia praticamente a geometria euclidiana, mas agora já tivemos contato com as
geometrias não euclidianas: hiperbólica e elíptica.” (Cursista-64).
Uma informação importante extraída do que foi relatado na primeira reunião do
Conselho Técnico e Científico da Educação Básica, em 2008, é que de acordo com Jussara
Vieira4, “a idade dos professores que estão nas salas de aula está na faixa de 40 a 50 anos
[...]” (LORENZONI, 2008). Ou seja, o professor que está em exercício cursou sua graduação
há, aproximadamente, vinte anos. Os alunos e a sociedade mudaram nesse período, logo, a
esse professor foram atribuídas novas e diferentes funções. Esse fato torna ainda maior a
importância e a premência de que sejam oferecidos cursos de formação continuada a esses
professores de maneira que eles possam conciliar seus horários de trabalho aos estudos.
Vemos na fala de Maia e Mattar que a EaD é a modalidade indicada para esta formação, pois
[...] a EaD traz novas (e diversas) possibilidades e oportunidades de
aprendizagem para os alunos, independente de sua localização geográfica ou
dos horários em que possam estar disponíveis para frequentar o curso. Os
que antes não podiam freqüentar uma instituição de ensino, como os que
residem longe dos grandes centros ou que não podem abandonar fisicamente
seu local de trabalho, podem agora se educar a distância. [...] Além disso,
seu aprendizado é também contínuo e permanente: o estudo não é mais
encarado, em nossa sociedade, como algo que deva ocorrer somente em um
determinado momento da vida, mas sim algo que deve nos acompanhar por
toda a vida, isto é, tempo e espaço não são mais limites para as ambições de
conhecimento do aprendiz virtual (MAIA e MATTAR, 2007, p.83).
Na pesquisa ao final da disciplina de TG (Anexo E) foi feita a mesma pergunta (Que
geometrias você conhece?), a quantificação das respostas é mostrada na Tabela 8. Essa
4
Presidente da Confederação Nacional dos Trabalhadores em Educação
74
pesquisa foi respondida por noventa e um (91) alunos dos cento e setenta (170) que
concluíram a disciplina, ou seja, a amostra nessa pesquisa perfazia um total de 53,5% do
universo dos alunos.
Tabela 8: Respostas à pergunta "Que geometria(s) você conhece?" pesquisa final
QUE GEOMETRIA(S) VOCÊ CONHECE?
Plana
Espacial
Analítica
Descritiva
Elíptica
Hiperbólica
Fractal
Do taxi
Projetiva
Das transformações
Não euclidianas (sem especificar)
Não especificou
FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
RELATIVA
90
88
74
9
43
40
41
9
5
4
36
1
98,9%
96,7%
81,3%
9,9%
47,3%
44,0%
45,1%
9,9%
5,5%
4,4%
39,6%
1,1%
Fonte:
http://www.lanteuff.org/moodle/mod/feedback/analysis.php?id=14633&courseid=&do_show=analysis
Observou-se que aumentou bastante a compreensão sobre o que caracteriza cada
geometria e aparece a geometria das transformações nas respostas. Dez (10) dos alunos
observaram que, devido a disciplina, passaram a conhecer mais as geometrias e suas
particularidades. Vemos isso nas falas do Cursista-7 “Antes deste curso conhecia a geometria
Básica, a Espacial e a Analítica, com este curso e em especial com esta disciplina pude
constatar que a geometria é muito mais abrangente do que pensava e como sei que ainda
tenho muito que aprender vou citar aqui a geometria não euclidiana.”, do Cursista-21
“Geometria euclidiana, mas agora que fiz esse curso também aprendi sobre a não euclidiana,
que até então desconhecia. Trabalhar com retas e descobrir que curvas também são partes
dela, foi sensacional.”, ou do Cursista-25 “Para dizer bem a verdade, antes e durante toda
minha formação, baseamos nossos estudos praticamente na geometria euclidiana, agora com
essa disciplina, alargou meus conhecimentos também em outras geometrias como a elíptica e
a hiperbólica.”.
A partir do conhecimento de que a maioria dos professores atuantes está na faixa
entre 40 e 50 anos de idade, deduziu-se que eles foram formados em cursos de graduação
presenciais, e a pesquisa em pauta mostra que esta modalidade de curso pode ser falha tanto
75
quanto qualquer outra modalidade de curso.
Apesar do último número do Jornal da Ciência (JC) da Sociedade Brasileira para o
Progresso da Ciência (SBPC) trazer uma reportagem que mostra que na última avaliação do
MEC, "os cursos a distância de administração, matemática e pedagogia tiveram um
desempenho 2,09 pontos acima dos cursos presenciais" (2012), Maia e Mattar, defendem que
Inúmeros estudos concluem que não há diferença significativa nos resultados
da aprendizagem dos alunos quando comparamos a EaD com a educação
presencial. Isso quer dizer não apenas que a EaD não é inferior ao ensino
presencial, mas também que apenas ensinar a distância não servirá para
gerar melhores resultados (MAIA e MATTAR, 2007, p.13).
Mais importante que a modalidade de um curso é o desafio que seu aluno tem que
enfrentar nos dias atuais, que é
[...] desenvolver diferentes abordagens para seu aprendizado - de maneira
que ele se torne capaz de 'aprender a aprender' com diferentes situações que
enfrentará na vida, não apenas em uma instituição de ensino formal. O
essencial, hoje, não é se encher de conhecimentos, mas sim, a capacidade de
pesquisar e avaliar fontes de informação, transformando-as em
conhecimento (MAIA e MATTAR, 2007, p.84).
Nessa pesquisa, perguntou-se aos alunos se eles, em sua prática em sala de aula,
relacionavam a geometria a outras áreas. Essa discussão foi sempre uma constante na
disciplina. As respostas a esta questão foram divididas em duas tabelas. A Tabela 9, que traz a
tabulação das repostas sim ou não, e a Tabela 10, onde é revelado se o aluno acredita na
possibilidade de relacionar a geometria somente a outro assunto da Matemática ou a outras
áreas do saber.
Tabela 9: Respostas à pergunta "Na sua prática você relaciona a geometria a outras áreas?"
NA SUA PRÁTICA VOCÊ RELACIONA
A GEOMETRIA A OUTRAS ÁREAS
Sim
Não
Às vezes
Não leciono geometria
FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
RELATIVA
85
0
4
2
93,4%
0,0%
4,4%
2,2%
Fonte:
http://www.lanteuff.org/moodle/mod/feedback/analysis.php?id=14633&courseid=&do_show=analysis
Nota-se que as discussões mantidas sobre esse assunto na disciplina frutificaram,
pois a intensa maioria respondeu "sim". Obtivemos respostas como "Sim. Gostei muito de
saber que podemos estabelecer relações das geometrias não-euclidianas com as artes, física,
geografia,sem comentar sobre o processo histórico de construção destas geometrias."
76
(Cursista-8), "Acredito que agora posso relacionar muito mais, como geometrias de
transformações,como geometrias dos fractais com as áreas de computação gráfica, artes, área
de informática, científica." (Cursista-34), "Sim, hoje mesmo falei em aula sobre a razão áurea
e o número de ouro, relacionado a proporcionalidade." (Cursista-78) e "Eu procuro relacionar
as ideias da geometria com a álgebra a aritmética, creio que ela é matemática, costumava
dizer para os alunos que dia tal teríamos geometria, não faço mais isso, simplesmente vou
estudando com os alunos a matemática." (Cursista-83).
Tabela 10: Respostas à pergunta "Você relaciona a geometria a que assuntos?"
VOCÊ RELACIONA A GEOMETRIA A
QUE ASSUNTOS?
FREQUÊNCIA FREQUÊNCIA
ABSOLUTA
RELATIVA
Internos à Matemática
Externos à Matemática
Não especificou
12
34
39
14,1%
40,0%
45,9%
Fonte:
http://www.lanteuff.org/moodle/mod/feedback/analysis.php?id=14633&courseid=&do_show=analysis
Ainda há professores nesse grupo que acreditam que só se possa relacionar a
geometria às outras áreas da Matemática. Respostas como "sim principalmente com a
álgebra." (Cursista-43), "Agora, sim. Com o ensino de funções por exemplo." (Cursista-74) e
"Sim, podemos relacionar o estudo geométrico com a trigonometria, com as funções,
equações, matrizes, etc." (Cursista-80) demonstram isso.
À luz das pesquisas, inicial e final, feitas em TG-2.2011 pode-se afirmar que esta
disciplina pôde dar conta de superar as falhas oriundas da formação inicial dos alunos
relacionadas aos conceitos e definições das diversas geometrias.
As pesquisas revelaram que o ensino de qualidade não depende da modalidade do
curso. O importante é que a metodologia pedagógica deste, em vez de ser discursiva e baseada
na exposição oral do professor, proponha recursos de interatividade, colaboração, troca e
cooperação e seja focada no aluno. Maia e Mattar lembram que
Trabalhar coletivamente é importante porque proporciona oportunidades
para que o aluno exponha ao grupo suas posições e interpretações,
contribuindo portanto para o desenvolvimento das atividades. Além disso, a
atividade colaborativa permite que ele caminhe lado a lado com seus
colegas, em uma forma de co-criação do conhecimento, desenvolvendo um
pensamento crítico mais amplo, diversificado e complexo, e mais bem
elaborado do que em processos individuais, já que no trabalho colaborativo
são levadas em consideração todos os pontos de vista do grupo. 'Co-laborar'
significa justamente isto: trabalhar com (MAIA e MATTAR, 2007, p.88).
Ficou evidente a necessidade de que existam cursos de formação continuada de
77
qualidade, como o NTEM, para que esse professor que fez sua formação há algum tempo
atrás possa se colocar em sintonia com as práticas educacionais mais atuais.
Fica claro, também, o grande envolvimento, a boa formação e qualificação, os
valorosos conhecimentos e experiências que os tutores colocaram à disposição desse curso,
fazendo do NTEM um curso de altíssima qualidade.
4.1
Palavras dos Tutores
A disciplina TG-2.2011 contou com onze (11) tutores até a sua quinta semana,
quando o Tutor-5 foi substituído pelos Coordenadores de Tutoria. Como o foco desta pesquisa
está nas semanas seis e sete, participaram dela dez (10) tutores.
Oito (8) desses tutores responderam às perguntas sobre a sua formação acadêmica,
que resultou nas seguintes observações: 85,7% estudaram na rede pública na educação básica
e 75% tiveram sua formação superior também em escolas públicas.
Nove (9) dos dez tutores são formados em Licenciatura em Matemática e um é
Bacharel. Este tutor possui título de mestre em Modelagem Computacional e estava cursando
o doutorado na mesma área.
Sabe-se, também, que sete deles são especialistas em Educação Matemática e um em
Planejamento Educacional.
O tópico do fórum de discussão com os tutores para as semanas seis e sete (Anexo
A) foi aberto com o texto
Oi
gente,
De acordo com Klein (1908, p.91) o capítulo sobre as transformações
geométricas é um dos mais importantes da ciência geométrica. Ele nos fala,
ainda, As transformações que vamos estudar, apresentam também um grande
interesse pedagógico, porque, definitivamente, não são outra coisa do que
uma generalização do conceito de função, o que constitui segundo as
tendências modernas, o eixo do ensino da matemática. (KLEIN, Félix.
Matemática Elemental desde um punto de vista superior, volume II.
Geometria. Madrid: Nuevas Gráficas, 1908).
Trataremos aqui em nossa disciplina das Isometrias (Simetrias, Translação e
Rotação) e Homotetias (Ampliações e Reduções).
Vamos às discussões! (TG-2.2011)
Logo em seguida foi feita a pergunta "Vocês estudaram essas transformações
geométricas na educação básica? E na faculdade?"
Sete (7) tutores responderam que não estudaram na EB, um não respondeu e dois
disseram que estudaram superficialmente.
78
Já no curso superior seis (6) responderam que sim e quatro disseram que estudaram
pouco. Seguem algumas de suas falas:
Eu acho que na educação básica não as estudei. Na universidade, "passei"
por algumas translações e rotações, sem ampliar muito minha limitada visão
do tema.
Lendo o artigo transformações geométricas, disponível para esta semana em
nosso Moodle, vi que nunca havia percebido as simetrias de rotação no
quadrado e no pentágono, por exemplo, mas apenas as de reflexão!
Há realmente muito a aprender!
Um abraço, (Tutor-9)
Na Educação Básica estudei desenhos geométricos, assim como o Tutor-10
descreveu: desenhos num caderno de desenho com folhas brancas alternadas
com papel de seda.
Já na graduação, vi muito pouco. Aqui, com certeza será um momento de
aprendizagem.
Abraços (Tutor-6)
Boa Noite colegas,
no ensino básico tive apenas o contato com o conceito de semelhança focado
na proporcionalidade.
Na pós-graduação começamos a ter uma idéia das transformações
geométricas focando o movimento , porém acredito que a carga horária
tenha sido reduzida demais. É muito interessante e proveitoso que tenhamos
essa oportunidade de revê-las e discuti-las juntamente com os alunos a fim
de potencializar o ensino de geometria.
Um grande abraço (Tutor-1)
Oi colegas,
Minha Educação básica foi composta pelo antigo ginasial e o cientifico (Ary
Quintella e Jairo Bezerra), não me recordo (pode ser DNA) de ter estudado
as transformações geométricas neste segmento.
Porém na graduação, tanto em Engenharia (que não conclui) quanto em
matemática, lembro que nas disciplinas de desenho projetivo, bem como nas
de geometria descritiva e analítica, estes tópicos faziam parte do currículo.
Inclusive na primeira, de forma bem acentuada que envolvia alguns
desenhos bem trabalhosos.
Contudo e de forma lastimável, nunca trabalhei as mesmas em minha prática
docente. Portanto, compartilho da mesma opinião do Bruno, poder rever e
discutir este tópico será muito enriquecedor para todos nós!
Um abraço, (Tutor-4)
Todos esses tutores são, no mínimo especialistas, mas nota-se até um tom de surpresa
na fala do Tutor-9 no que se refere ao estudo das transformações geométricas no plano "[...] vi
que nunca havia percebido as simetrias de rotação no quadrado e no pentágono, por exemplo,
mas apenas as de reflexão!".
Percebe-se, também, em todas essas postagens a disposição e a certeza que esse
estudo será enriquecedor para todos.
79
O Tutor-10 ofereceu ao seu grupo o link http://www.atractor.pt/ujr/materiais2005/simetria.pdf, que contém uma lista de atividades sobre transformações geométricas
elaboradas pelo Projeto Atractor para a Universidade Junior (Universidade do Porto),
sugerindo que seus alunos apreciassem as atividades e escolhessem uma para comentar.
Outros tutores seguiram a sua sugestão levando também aos alunos de seus grupos.
A segunda questão de discussão nesse fórum foi relativa a viabilidade da inserção do
estudo de transformações geométricas na educação básica e sua importância. Oito tutores
responderam afirmativamente e dois não responderam a questão proposta.
A fala do Tutor-1 respondendo a essa questão demonstra seu perfeito entendimento
quanto ao que as TGP podem trazer para a EB. Ele fala
Olá caros colegas,
acredito que seja essencial que se faça a introdução dessas transformações
desde as séries iniciais da Educação Básica, respeitando o nível de cada série
e a realidade de cada turma. Seria extremamente importante para romper
com a forma tradicional e estática com que os conceitos geométricos são
apresentados e fazer com que o aluno tenha uma melhor percepção do
mundo que o cerca.
Um grande abraço (Tutor-1)
Outros tutores citaram o que é preconizado nos PCN. Este foi o caso dos Tutores-2 e
do Tutor-10. Nestas postagens, eles relacionam o ensino das TGP à possibilidade de
associação com outras áreas do conhecimento.
Oi pessoal,
O estudo de transformações geométricas pode e deve ser iniciado na
educação básica. Primeiramente pode-se recorrer à história da humanidade
para verificar e justificar a importância de tal estudo, visto que nas pinturas
rupestres há indícios de desenhos com o uso de padrões de simetria e
regularidades, além de ser encontrada na natureza em diversas formas e nas
artes de diferentes civilizações, como grega entre outras...
Além disso, encontramos recomendações dos PCN para trabalhar tais
conceitos desde o segundo ciclo, conforme podemos observar abaixo:
“Objetivos de Matemática para o segundo ciclo:
Neste ciclo, o ensino de Matemática deve levar o aluno a: Identificar
características das figuras geométricas, percebendo semelhanças e diferenças
entre elas, por meio de composição e decomposição, simetrias, ampliações e
reduções.” (PCN 1997, p. 56).
Desta forma, acredito que trabalhar a matemática (e em especial a
geometria) associada a outros conhecimentos como a artes na educação
básica pode contribuir para a formação de um aluno com uma melhor
visualização das representações de figuras planas e espaciais, ainda mais nos
dias de hoje, com o auxilio do computador, através do uso dos softwares de
geometria dinâmica.
Abraços (Tutor-2)
Olá,
é viável sim, inclusive segundo o PCN:
80
[...] É fundamental que os estudos do espaço e forma sejam explorados a
partir de objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos,
esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões
entre a Matemática e outras áreas de conhecimento[...] (PCN, 1998, p. 31)
Associar o estudo da geometria à arte desde as séries iniciais do ensino
fundamental, promove o desenvolvimento da habilidade de percepção e da
visualização das transformações geométricas e isso aliado ao computador
pode contribuir para a aquisição de conceitos geométricos e aumento da
capacidade de visualizações, pois as representações de figuras planas e
espaciais na tela da máquina podem ser manipuladas e transformadas de
diferentes maneiras.
Abraços, (Tutor-10)
Este ponto do fórum foi o momento de preparar a finalização das atividades da sexta
semana da disciplina e foi discutido a solução da tarefa da semana (Anexo F). O Tutor-9
disponibilizou uma sugestão de gabarito que foi sendo comentada por todos, até que se
chegou a um gabarito mais completo.
Outra questão discutida nesse fórum foi em que conteúdos as TGP podem ser
exploradas na educação básica. Estudo de matrizes, de funções, de sistemas de equações
lineares e de números complexos são exemplos do que apareceu nas respostas. Houve,
novamente, a sugestão de uso de material disponibilizado na Internet, desta vez pelo Tutor-6.
O texto sugerido pelo Tutor-6 discorre sobre a construção de gráficos de funções reais a partir
de transformações isométricas.
Olá!
Este assunto (TG) para mim tem sido um aprendizado, confesso que tenho
pesquisado bastante para poder acompanhar as postagens de meus alunos.
Respondendo ao seu questionamento:
Todos concordamos que podemos usar as TG na Educação Básica, mas em
que conteúdos?
Acredito que o conteúdo mais "fácil" para que possamos apresentar as
transformações geométricas seja funções, pois elas aprecem constantemente
nos gráficos.
Achei
um
material
muito
legal
e
vou
compartilhar.
http://magiadamatematica.com/diversos/apostilas/GRaFICOSDEFUNcoES.p
df
Espero que gostem.
Abraços (Tutor-6)
O Tutor-1 trouxe uma experiência que teve com o uso das TGP em uma aula sobre
matrizes.
Boa Noite colegas,
creio que podemos utilizar perfeitamente as transformações geométricas ao
introduzir o estudo de Matrizes. Falo por experiência própria, pois ano
passado trabalhei com a 2ª série do E.M. e apliquei as transformações de
rotação, translação e escala em minha turma. É obvio que o assunto exige
um pouco mais de cuidado por parte do professor, mas contextualizá-lo e
81
associar conceitos algébricos e geométricos aumenta consideravelmente sua
potencialidade.
Indico aos colegas o livro do Dante, pois aborda o conteúdo de uma forma
compatível com o nível de nossos alunos.
Um grande abraço (Tutor-1)
Discutiu-se, então, no fórum a possibilidade desse assunto representar um conteúdo
integrador entre os ramos da Matemática (álgebra, aritmética e geometria). Mais uma vez, as
respostas foram positivas. O Tutor-1, por exemplo, considerou que
[...] as transformações geométricas são permeadas e possibilitadas por uma
série de relações algébricas e aritméticas, logo, poder explorar essa relação
de causa e consequência seria de grande valia para a aprendizagem de nossos
alunos.
O Tutor-3 descobriu um tema para uma artigo. Ele diz
Nos dois textos trabalhados nesta semana, há conceitos que podem ser
explorados nessa ligação, nesse elo integrador. A grande vantagem é que
podemos ver o saber humano matemático em sua totalidade ou quase.
Transformações geométricas ≡ Matemática em sua perfeita harmonia. Será?
(Eis aqui a temática para um bom artigo)
O Tutor-4 disponibilizou uma construção no Geogebra5 relacionando, através de
TGP, a aritmética e a geometria. Nessa construção pode-se movimentar uma das parcelas,
aumentando-a ou diminuindo-a, e a soma aumenta ou diminui ao mesmo tempo. Ou seja,
apresenta a adição de números Reais como uma translação.
As discussões desse fórum foram finalizadas com a resolução da tarefa da sétima
semana (Anexo G) e, como da outra vez, todos ajudaram na construção de um gabarito
completo.
É importante elencar aqui a fala de alguns tutores no fórum de pedido de revisão de
notas, quando respondem a alunos que participaram pouco das discussões e que estão
reclamando das notas aferidas a ele.
Oi, Aluna.
Revi sua participação no fórum da semana 1, foi realmente muito boa, mas
faltou interação com o grupo, pois você só participou no último dia do
fórum.
Defendemos, como os estudiosos desta modalidade de ensino, que a
cooperação, a interação e a relação com o grupo é que leva à construção do
conhecimento almejado. É o que se chama “aprendizagem colaborativa”.
Em nosso curso, o ambiente onde ocorre a construção do conhecimento
colaborativo é o fórum de discussão. Na verdade, o fórum é a "sala de aula
virtual", onde alunos e tutores interagem democraticamente, visando atingir
a construção do conhecimento.
5
Software livre de geometria dinâmica disponível em http://www.geogebra.org/cms/pt_BR
82
Em consequência, a participação do aluno no fórum não se restringe apenas
a responder aos questionamentos do tutor, mas também engloba comentar os
posts dos colegas e colocar para o grupo suas experiências profissionais,
dúvidas e opiniões.
Quando um aluno deixa de participar ativamente de uma discussão ou
participa somente no último dia, ele está privando o grupo de informações
valiosas a respeito do tema em debate.
Além disso, o fato do curso ser a distância não significa que o aluno pode
dedicar-se menos, significa, antes, que o aluno pode dedicar-se em vários
momentos diferentes, o que um curso presencial não possibilitaria. Mas a
dedicação deve ser até maior.
Por tudo isso, temos como norma reduzir em 50% a nota dos alunos que
participam pouco ou deixam para fazê-lo no último dia.
Conto com sua compreensão e com a participação ativa que teve no fórum
da semana 3!
Um abraço, (Tutor-9)
Bom Dia Aluno,
[...] Mantenho as justificativas referentes à sua ausência no fórum. Você tem
participado apenas nos últimos dias, e isso faz com que perca grande parte
das discussões e interações e dificulta a criação de novos questionamentos
acerca de suas postagens. Tente participar com maior frequência. (Tutor-1)
Olá Aluna,
[...] Quanto a maior interação solicitada, o ideal é que participe mais dias do
fórum (se possível não deixe apenas para o final) para dinamizar a interação
com o grupo, permitindo assim que seus colegas possam também replicar
suas postagens.
Obs: Reitero que a quantidade não é mais importante que a qualidade, mas
neste espaço de troca de informações e exposições de ideias é fundamental a
sua "presença". (Tutor-6)
Observa-se nessas falas que nesta disciplina é dada grande importância à presença, à
colaboração e à aplicação nos fóruns temáticos, pois são eles as salas de aulas da EaD. Caem,
portanto, por terra mais duas crenças sobre esta modalidade, a de que nela o aluno pode
dedicar-se menos e de que não há interação e colaboração entre seus atores.
Alguns tutores deixaram suas opiniões sobre as semanas seis e sete de TG-2.2011
depois de terminada a disciplina. Seguem algumas transcrições de suas falas.
As duas semanas abordaram de uma maneira muito interessante e prática as
transformações geométricas. Acredito que se fosse possível disponibilizá-las
por um período maior , seria de grande valia. (Tutor-1)
O conteúdo trabalhado nas semanas 6 e 7 foi muito relevante principalmente
por tratar de um assunto que ainda apresenta certa dificuldade entre os
professores. Trabalhar com textos que apresentam duas abordagens distintas
sobre como tratar as transformações geométricas no plano também foi
enriquecedor e esta estratégia acabou mostrando que os alunos-professores,
na sua maioria, desconheciam a abordagem matricial (e em alguns casos o
conteúdo como um todo). Mas como os textos apresentados eram objetivos e
com linguagem bem clara, os objetivos propostos para estas semanas foram
atingidos. (Tutor-2)
83
As atividades propostas foram muito significativas para o aluno, pois
privilegiavam a visualização, o que facilitava a compreensão. (Tutor-6)
Aprendi bastante junto com os alunos e achei bem didática a maneira como
as atividades foram desenvolvidas. (Tutor-9)
Os textos da semana 6 e 7, são pertinentes aos conteúdos das respectivas
semanas, pois nos conduzem à reflexão sobre a abordagem da geometria das
transformações na educação básica que quando trabalhada deve ser dosada
de acordo com a clientela e ainda faz uma ponte entre as TG usadas como
conteúdo integrador entre os campos da matemática, tendo em vista que
quando usamos conceitos distintos nossa intenção é complementar um
conteúdo com esclarecimentos ou representações já associadas ao senso
comum dos alunos. É fato que ao resgatarmos um conteúdo há sempre a
possibilidade de reabrir “feridas”, mas também é fato que fazemos resgates
diários com frações, potências e outros mais. Dessa forma as TG poderão ser
bastante úteis em alguns conteúdos desde funções até matrizes. Um bom
planejamento sempre será a chave para evitarmos surpresas. (Tutor-10)
Aprecia-se um nível bem alto de satisfação por parte do tutores. Foi perguntado a
eles, nesta ocasião, se eles achavam que as atividades propostas nessa duas semanas
motivaram os alunos a utilizar ou pesquisar mais sobre as TGP. Sobre isso há falas como
Acredito que sim. Por mais simples que possam ser, acredito que muitos não
tiveram acesso a esse conteúdo em sua formação. E sua grande área de
aplicação motiva e fomenta a pesquisa. (Tutor-1)
Sim, as atividades propostas motivaram o grupo a pesquisar mais,
principalmente por verificarem que, apesar de desconhecerem uma das
abordagens (ou as TGP como um todo), conseguiam entender o conteúdo
apresentado através dos textos indicados, das pesquisas realizadas e das
atividades propostas, instigando assim a irem à busca das soluções das
atividades, de novas informações para os debates nos fóruns e de novas
aplicações. (Tutor-2)
Sim, pois as questões eram baseadas em imagens e a parte teórica para
resolução das mesmas, o aluno precisava “buscar”, o que o incentivava a
realizar pesquisas constantes.
As questões realizadas nos softwares de GD eram motivadoras, o que levava
os alunos a realizá-las. Eu mesma, como tutora, fui motivada a refazer
algumas das construções, como por exemplo, a construção do barquinho.
(Tutor-6)
Sim, muitos demonstraram interesse em usar as atividades sugeridas com
seus alunos e aprofundar seu conhecimento sobre as TGP.(Tutor-9)
Sim, pois as questões levantadas, obrigavam o aluno a pesquisar, mais como
uma forma de se pautar nas afirmações feitas, bem como de elaborar
argumentos para os questionamentos. (Tutor-10)
Sim, a abordagem do conteúdo foi feita de maneira diferenciada, propondo
uma integração entre a álgebra e a geometria, o que instigou o aluno a
pesquisar para descobrir novas soluções. . (Tutor-11)
84
Nota-se aqui, também, um alto grau de satisfação dos tutores com os resultados da
disciplina TG-2.2011.
4.2
Palavras dos Alunos
Como foi informado anteriormente neste trabalho, na disciplina de TG-2.2011 os
alunos foram divididos em onze grupos e, com a finalidade de salvaguardar suas identidades,
a referência a cada um deles foi representada por Aluno-x.y, onde x é o número do grupo e y é
o seu número dentro do grupo, que pode variar de 01 a 30.
No fórum temático da semana seis (Anexo B) foi indicada, aos alunos, a leitura de
dois textos para que eles obtivessem uma visão inicial do que são as TGP e uma panorâmica
sobre os tipos de transformações existentes. Foi interessante verificar que diversos alunos
elogiaram os conteúdos disponibilizados e os textos da semana. Percebemos isso em falas tais
como: "Gostei muito dos textos da semana, são ricos em informações [...]" (Aluno-4.09) ou "
Muito interessante o material desta semana." (Aluno-4.28) ou, ainda, "[...] gostei do material
disponibilizado, muito enriquecedor!" (Aluno-4.10).
O Aluno-5.20 apresentou a sugestão de um vídeo sobre rotação e simetrias6,
disponível no YouTube7, que foi muito bem recebida. Os coordenadores informaram aos
tutores dos outros grupos e o endereço foi disponibilizado a todos os alunos. Este tipo de ação
revela o caráter colaborativo na construção do conhecimento, bem como a flexibilidade de
planejamento.
Este aluno (Aluno-5.20) compartilhou, ainda, durante esta semana de TG-2.2011, o
endereço de um vídeo contendo a o Depoimento do Prof. Alberto Perotti, dado em maio de
2010 ao Prof. Wagner Valente do Grupo de Pesquisa de História da Educação Matemática no
Brasil, descrevendo suas experiências como aluno do Curso de Matemática da Faculdade de
Filosofia Ciências e Letras da USP no período 1961-19688, e uma apresentação em
PowerPoint sobre as TGP, retirada do site do Prof. Ilydio de Sá Pereira9.
6
Disponível em http://www.youtube.com/watch?v=sLToIH7-UKk&feature=player_embedded
Sítio de compartilhamento de vídeo da Google Inc.
8
Disponível em http://www.youtube.com/watch?v=_cefGVQ4c5g&feature=player_embedded
9
Disponível em www.magiadamatematica.com/unifeso/transform.pps
7
85
O Aluno-5.02 e o Aluno-4.17 sugeriram, cada um em seu grupo, uma visita ao site
do capítulo 26 da aula de pré-cálculo da UFRJ10. Nele são exibidas as TGP e sugeridas
experiências para os alunos. O Aluno-5.07 trouxe para a discussão um vídeo, também
disponível no YouTube, sobre o uso das TGP no Geogebra11.
A discussão inicial do fórum temático da semana seis tratou sobre o que caracteriza a
geometria das transformações. Na atividade, muitos alunos apenas citaram as autoras dos
textos base desta semana, Bastos e Fainguelernt. Outros foram além e pesquisaram opiniões
diferenciadas. Apareceram falas como: "As transformações estão presentes na natureza desde
sempre, e se caracterizam pela mudança/deslocamento de seus pontos. A transformação
geométrica transporta um ponto do plano para outro lugar do mesmo plano." (Aluno-4.09) ou
"[...] é caracterizada pelo estudo e pela descrição dos tipos de 'movimento' que podem ser
realizados por uma figura num plano." (Aluno-4.15), ou, ainda, "[...] podemos : manipular,
refletir, rotacionar, transladar e ampliar figuras no espaço a partir da figura original." (Aluno5.23). Estas falas revelam a idéia de movimento, mas apareceram, ainda, postagens como as
do Aluno-4.10
A Geometria das Transformações se caracteriza por uma aplicação bijetiva
entre duas figuras geométricas no mesmo plano ou em planos diferentes, de
forma que, a partir de uma figura geométrica original se forma outra
geometricamente igual ou semelhante. Essas transformações desenvolvem
percepções geométricas como simetria (reflexão, rotação e translação) e
homotetia.
A segunda questão levantada no fórum da semana seis tratava de quando e como as
TGP deveriam ser exploradas na educação básica.
Todos os alunos concordaram que a geometria das transformações devem ser
trabalhadas utilizando materiais manipuláveis e recursos tecnológicos. Quanto a inserção do
conteúdo, concluíram que desde os anos iniciais do ensino fundamental até a universidade. O
Aluno-4.28 resume bem o que foi defendido no fórum de seu grupo
Trata-se de um assunto que colabora com o desenvolvimento da percepção
espacial, assim como com a capacidade de elaboração de uma linguagem
própria da área e a aprendizagem das formas de fazer a representação gráfica
de imagens. O tema é rico para fazer conexões entre a Matemática, as artes e
a engenharia e seu aprendizado pode ocorrer por meio de inúmeras
aplicações. [...] Assim como as autoras, eu também acredito que desde as
séries iniciais é preciso estar apresentando estes conhecimentos para as
crianças a nível de cada faixa etária e série. Como? Através de experiências
em que observem, representem e descrevam movimentos, ampliações e
reduções.(Aluno-4.28)
10
11
Disponível em http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/precalculo1/sala/conteudo/capitulos/cap26.html#roda
Disponível em http://www.youtube.com/watch?v=YNnthJTQvCI&feature=player_embedded
86
Em relação ao "como" da questão lançada no fórum, mais uma vez os alunos
apresentaram diversas sugestões de sites, como o da Biblioteca Nacional de Manipuladores
Virtuales12 da Utah State University (Aluno-4.06), ou da Revista Nova Escola13, que traz
sugestões e até planos de aula de como trabalhar as TGP em sala de aula (Aluno-4.28 e
Aluno-5.07), ou da Associação de Professores de Matemática de Portugal (APM)14, para
busca de mais textos (Aluno-4.10 e Aluno-5,02), ou da Universidade Regional de Ijuí, que
trabalha as TGP através da análise dos frisos e ladrilhos presentes nas Igrejas do Rio Grande
do Sul15, (Aluno-4.10), ou uma apresentação sobre a simetria em nosso cotidiano16,
disponibilizada no SlideShare17 (Aluno-5.07) ou um vídeo, disponível no YouTube, de como
abordar translações na análise de gráficos da função quadrática18 (Aluno-5.20).
Neste fórum, além dessas propostas para pesquisa, apareceram opiniões de que as
TGP podem ser utilizadas na melhoria da capacidade de visualização e de representação na
criança (Aluno-5.20), para facilitar a compreensão dos conceitos de semelhança, de
proporcionalidade, de função matemática e, no secundário no estudo das cônicas e dos
números complexos.
Concordando diretamente com Fainguelernt (2007), considero que podem
ser trabalhados:
- as isometrias e as simetrias progressivamente, simultaneamente e em
conjunto com outros conceitos mediante comparações, composições e
relações de suas propriedades;
- as semelhanças, no terceiro ciclo, integrado com o conceito de funções,
proporcionalidades diretas e razão;
- geometria projetiva, no ensino secundário, como no estudo das cônicas e a
geometria analítica em geral;
- a algebrização, no ensino secundário, integrado aos números complexos.
Um programa de geometria dinâmica, como o Régua e Compasso, é um
ótimo recurso de integração entre a geometria e os números complexos.
(Aluno-5.29)
O Aluno-5.29 trouxe falas interessantíssimas sobre como interpretou os textos
sugeridos para os debates da semana, tais como "Acredito que uma palavra representa bem a
idéia transmitida pelos autores: INTEGRAÇÃO, integração dos conceitos matemáticos
mediante a geometria de transformações.". Isso instigou o debate sobre as TGP como
12
Disponível em http://nlvm.usu.edu/es/nav/topic_t_3.html
Disponível em http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/geometria-transformacoesreflexao-translacao-621936.shtml?page=0
14
Disponível em http://www.apm.pt/portal/index.php
15
Disponivel em http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/CC/CC_3.pdf
16
Disponível em http://www.slideshare.net/Joeanechegatti/simetria-em-nosso-cotidiano
17
Sítio de compartilhamento de apresentações, vídeos e documentos profissionais.
18
Disponivel em http://www.youtube.com/watch?v=zOUrposfTr4&feature=player_embedded
13
87
conteúdo integrador entre os ramos internos da Matemática e estimulou respostas como a do
Aluno-5.11 "Realmente, podemos observar a importância da palavra integração, pois o
ensino da Geometria deve estar integrado aos conteúdos de Aritmética e Álgebra,
principalmente no Ensino Fundamental".
Outra colocação do Aluno5.29, que levanta hipóteses interessantes, é de que ele
acredita que as autoras acreditam que o ensino dessas transformações deve objetivar o
aprofundamento da perspectiva da existência de uma estrutura matemática comum a vários
outros conceitos por trás de tanta diversidade.
Esses últimos debates evidenciam que os alunos não apenas construíram muito bem
os conceitos mais importantes sobre as transformações geométricas no plano, como souberam
identificar essas TGP como um conteúdo integrador dos ramos da Matemática. Estas
conclusões revelam a eficiência da proposta do curso, bem como, a importância do
desenvolvimento de atividades ligadas às TGP.
Outra conclusão é a de que esses alunos não tiveram contato com as TGP na forma
didático/metodológica como foi abordado nessa disciplina, ou seja, através das diversas
representações da importância deste conteúdo. Vemos na fala do Aluno-5.02 a confirmação
dessa conclusão: "Após ler os textos e consultar outros materiais, observei que as
transformações geométricas possuem uma abrangência e relevância muito grande no estudo
da geometria. No meu ponto de vista, pouco explorado".
Na análise das tarefas da semana seis, foram examinadas vinte e sete tarefas de um
total de cento e quarenta e seis entregues, ou seja, a amostra analisada representou 18,5% do
total. Por sua relevância, a tarefa completa consta do Anexo F deste trabalho.
Na questão inicial, dez das tarefas analisadas apresentaram alguma falha, quase todas
relacionadas à falta ou precariedade da justificativa dada.
A questão dois apresentava uma lista de figuras e solicitava ao aluno que
identificasse seus eixos de simetria, caso existissem. Dos vinte e sete trabalhos, treze
continham erros, alguns deles estão exemplificados nas figuras 36, 37 e 38 a seguir.
Figura 36: Resposta da questão 2a do Aluno-5.29.
Fonte: http://www.lanteuff.org/moodle/mod/assignment/submissions.php?id=13751
88
Na resposta acima, o aluno considerou dois eixos de simetria do losango que
inexistem.
Figura 37: Resposta da questão 2a do Aluno-5.02.
Fonte: http://www.lanteuff.org/moodle/mod/assignment/submissions.php?id=13751
Nesta resposta, o aluno não identificou o eixo de simetria horizontal do losango.
Figura 38: Resposta da questão 2a do Aluno-5.01.
Fonte: http://www.lanteuff.org/moodle/mod/assignment/submissions.php?id=13751
Observa-se que, na resposta acima, o aluno não identificou os eixos de simetria das
figuras II e IV.
As questões três e quatro, que tratavam, respectivamente, de uma simetria central (ou
rotação de 180º) e de uma translação, foram detectados pouquíssimos erros. Vale ressaltar que
na última, o problema que se apresentou nada teve a ver com as TGP, mas com a
interpretação do que foi pedido na questão.
A questão cinco trazia a figura abaixo (Figura 39), uma bandeirinha sobre um plano
quadriculado, que deveria ser transladada para outra posição determinada daquele plano, no
item a. O item b perguntava qual o quadrilátero que caracterizava aquela translação. Do total
analisado, dezoito alunos não responderam a este item.
89
Figura 39: Questão 5 da Tarefa da Semana 6.
Fonte: http://www.lanteuff.org/moodle/file.php/336/Tarefas/Tarefa_6.pdf
Por fim, a questão seis dessa tarefa demonstrou ser de fácil solução. Os poucos erros
relatados foram motivados por problemas de escala no momento da impressão.
O fórum temático 7 (Anexo C) foi uma extensão das discussões sobre as TGP. Nele
foram discutidos dois textos sobre o assunto que já haviam sido utilizados em outros cursos
de formação continuada. O primeiro, Transformações Geométricas, foi elaborado pela equipe
da Escola Superior de Educação/ Instituto Superior de Leiria (ESE/ IPL) de Portugal. Já o
segundo, Transformações no Plano, das autoras Fainguelernt e Bordinhão, foi utilizado, em
versão digital, em cursos de Especialização Lato Sensu da Universidade Severino Sombra/RJ,
nele vemos as transformações geométricas no plano numa visão matricial de ℝ 2 em ℝ 2 .
O que se pretendeu com esses textos foi estimular a percepção da existência de
diferentes representações que caracterizam uma transformação geométrica. Buscou-se a
compreensão de que elas podem ser apresentadas por meio da linguagem gráfica, coloquial
ou matemática, através de funções e, no caso particular das transformações lineares,
utilizando a linguagem matricial.
90
Para que se alcançasse esse objetivo foram formuladas três questões para discussão:
O que diferencia os dois textos trazidos para esse fórum?, Em que se complementam? e Em
que contexto utilizar cada uma dessas maneiras de se trabalhar com a geometria das
transformações?
É unânime, entre os alunos, a opinião de que o que diferencia os dois textos é o
enfoque dados às transformações geométricas no plano. No primeiro o enfoque é geométrico,
mais visual e mais coloquial. Já o segundo apresenta uma abordagem algébrica, mais
matemática e mais formal. Seguem algumas colocações dos alunos:
A diferença entre os dois textos, é a seguinte: o Transformações
Geométricas trata da visão geométrica das transformações; e
Transformações no Plano traz uma visão geométrica e algébrica, com
ênfase ao uso das matrizes (Aluno-4.09).
A diferença entre os dois textos está na maneira de abordar/representar o
mesmo assunto, ou seja, os textos usam demonstrações diferentes, mas
ambos tem o mesmo objetivo.
O texto ESE/IPL aborda de maneira muito esclarecedora, com muitos
exemplos, as transformações geométricas, tais como: simetrias e isometrias
no plano e o texto Fainguelernt e Bordinhão aborda a parte geométrica e
também de maneira muito teórica a parte algébrica, tendo como "foco" no
seu desenvolvimento funções e matrizes (Aluno-4.10).
O primeiro texto, de ESE/ IPL (2007), apresenta uma abordagem da
Geometria das transformações (Isometria, simetria e ampliações ou
reduções) sob uma perspectiva coloquial, de suas definições e de alguns
gráficos correspondentes. Como colocado no enunciado, o segundo texto, de
Faiguenlert (2003), apresenta uma abordagem da Geometria da
transformação sob uma perspectiva matemática, apresentando as
transformações geométricas como função, principalmente utilizando uma
linguagem matricial para as transformações lineares (Aluno-5.29).
Os textos se diferenciam basicamente pela forma como é apresentado. Em
um o texto é escrito de uma forma mais fácil e o outro faz utilização de uma
linguagem Matemática não tão simples (Aluno-5.01).
O que diferencia os dois textos trazidos para esse fórum é o destaque
geométrico focado no texto do ESE/ IPL. Transformações Geométricas e o
destaque algébrico focado no texto de FAINGUELERNT, E. K;
BORDINHÃO,
N.
de
C.
Transformações
no
Plano.
Este tipo de comparação nos remete a reflexões sobre a nossa prática, pois
quase nunca permitimos que nossos alunos possam conhecer a parte
geométrica de um conceito para fazer uso dela na álgebra e facilitar a
compreensão do todo (Aluno-5.18).
Não houve discordância sobre o fato de que os textos se complementam, pois a
apresentação do mesmo assunto através de diferentes estratégias e representações
matemáticas facilita a compreensão e a assimilação dos conceitos referentes às TGP. Verificase isto nas falas a seguir: "O complemento de um para outro está exatamente no fato de que a parte
91
geométrica ajuda no entendimento da parte matricial e vice versa." (Aluno-4.09), ou "Ambas
abordagens estão corretas e se complementam porque são dependentes. A visão geométrica é muito
necessária para o entendimento da parte algébrica." (Aluno-4.21), ou ainda,
A complementação se dá pelo fato de que tanto a representação algébrica
quanto a geométrica são fundamentais para melhor entendimento do assunto.
Trabalhar o conceito de transformações geométricas utilizando-se apenas a
representação algébrica ou apenas a representação geométrica, com certeza
tornará a aprendizagem bem mais complicada (Aluno-4.28).
Ambos tratam de um mesmo assunto, sendo que os gráficos, definições e
textos coloquiais presentes no primeiro texto, de ESE/ IPL (2007), são
formalizados matematicamente no segundo texto, de Faiguenlert (2003). Ou
seja, o primeiro texto propõe um desenvolvimento intuitivo do aluno e o
segundo um desenvolvimento formal da matemática, ambos necessários a
uma aprendizagem significativa (Aluno-5.25).
Para generalizar uma hipótese precisamos do formalismo da demonstração e
para agradar os alunos precisamos de figuras e uma linguagem mais fácil. O
que faz com que esses dois textos se completem é justamente o fato de que
um faz bastante uso das imagens, porém sem muito formalismo e o outro
focar mais nas demonstrações (Aluno-5.01).
Eles se completam, pois exibem uma ponte que une os conteúdos, ricos em
elementos facilitadores à aprendizagem da álgebra e da geometria. Um
favorece a percepção espacial e a visualização, sendo conhecimento
relevante para as diferentes áreas, permitindo que o aluno desenvolva sua
percepção,sua linguagem e raciocínio geométrico de forma a construir
conceitos algébricos. O outro organiza as informações geométricas através
da álgebra e completa a construção do conhecimento.
Tomando por base as experiências da nossa prática pedagógica,verificamos a
dificuldade dos alunos de Ensino Médio quando se trata da Geometria
Espacial, com relação à visualização, conhecimentos básicos da geometria
plana e nas relações existentes entre as formas. Quando o aluno se depara
com cálculos de área e volume, por exemplo, o entendimento torna-se ainda
mais complicado, realizando-os por mecanização, não entendendo a
aplicação em novas situações.
Acredito que esse fato ocorra devido à defasagem existente no Ensino
Fundamental, em que a geometria nem sempre é apresentada ao aluno
interrelacionada com os demais conteúdos estruturantes, como a álgebra e
números, tornando-se mera ilustração e exemplificação, sem entendimento
de conceitos e propriedades (Aluno-5.01).
Os alunos, em sua totalidade, também concordaram que o texto ESE/IPL deve ser
utilizado no ensino fundamental, enquanto o de Fainguelernt e Bordinhão são mais indicados
ao ensino médio e superior. Acerca disso há falas como:
Também concordo com os colegas Aluno-4.09 e Aluno-4.06, que o texto
TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS - ESE/IPL deve ser trabalhado
desde das séries iniciais de maneira progressiva para que seja bem
assimilado pelos alunos e o texto TRANSFORMAÇÕES- de Fainguelernt
Bordinhão deve ser trabalhado no Ensino Médio e em cursos de graduações
e especializações.
Abraços (Aluno-4.10).
92
Conforme a frase de Eduardo Veloso:
“É essencial retomar a intenção de dar às transformações geométricas o seu
papel importante no ensino da geometria, num tratamento que tenha por
ponto de partida e desenvolva as intuições que os alunos já possuem e
prossiga numa via lenta de formalização ao longo de toda a escolaridade.”
(ESE/IPL, 2007, p.1). Assim, o primeiro texto, de ESE/IPL (2007), pode ser
utilizado como introdução aos conteúdos relativos à geometria das
transformações e o segundo texto, de Fainguelernt e Bordinhão
(2003), paralelamente ao conteúdo curricular que envolva os conceitos de
funções e de álgebra linear (matrizes).
Abraços, (aluno-5.29).
O texto do ESE/ IPL. Transformações Geométricas, traz uma visão bem
clara e simples - de certo modo- de se apresentar as transformações
geométricas, fato que me leva a creditar que é possível trabalhar essas
transformações desde os primeiros ciclos da educação básica. ( uma criança
de 1 ano de idade já está tendo contato com essas transformações uma vez
que constata, sem saber, que há uma simetria de reflexão quando ela se põe
em frente ao espelho para observar seu corpo).
Como bem já dissemos e discutimos, há um trabalho concreto e de
exploração geométrica que precisa ser desenvolvido desde bem cedo no
indivíduo.
Nas séries iniciais não há a necessidade de nomear tais transformações, mas
é possível brincar com a geometria, desenvolver habilidades que futuramente
serão facilitadoras da interrelação entre a álgebra e a geometria.
Já o segundo texto nos remete a formalização de conceitos geométricos
desenvolvidos, para tal se faz necessário um conhecimento prévio e uma
habilidade de manipulação algébrica que não pode ser utilizada nas séries
iniciais, portanto, acredito que neste contexto a apresentação deva ocorrer no
Ensino Médio.[...]
Apesar de criar um desconforto, pela sua carregada linguagem álgebrica,
quando observo no texto 2 a maneira que foi demonstrado o assunto
"Alongamento ou Dilatação", percebo como perdemos a oportunidade de
associarmos a álgebra com a geometria, afinal de contas, a matemática é um
fruto de interdependências entre ambas.
Apesar de utilizar uma linguagem algébrica, a multiplicação de matrizes
pode desenvolver as percepções geométricas de alongamento ou dilatação e
simetria, nos despertando para práticas que conduzam a uma completa e
relacionada matemática que certamente produzirá uma esclarecedora
compreensão de um assunto matemático (Aluno-5.18).
Como no fórum temático seis, os alunos trouxeram diversas sugestões de filmes,
textos e sites para seus grupos. O Aluno-4.09 indicou um filme sobre as isometrias19,
disponível no YouTube, e citou novamente o site do capítulo 26 da aula de pré-cálculo da
UFRJ20. Os alunos Aluno-4.28 e Aluno-4.17 trouxeram o endereço do Departamento de
Educação da Universidade de Lisboa, onde há um trabalho sobre homotetia21, suas
19
Disponível em http://www.youtube.com/watch?v=EyGxo0Fc-Es&feature=player_embedded
20
Disponível em http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/precalculo1/sala/conteudo/capitulos/cap26.html#roda
Disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm12/1homot.htm
21
93
propriedades, classificação e atividades. O Aluno-5.18 falou dos applets22 disponibilizados no
site do CAP-UFRGS23 que trazem as TGP desenvolvidas no Cabri-Géométre II24.
Em relação aos textos para aprofundamento dos estudos nessa área, apareceram
sugestões como da dissertação de mestrado defendida por Setsuko Takara Mabushi na PUCSP "Tranformações Geométricas a trajetória de um conteúdo ainda não incorporado às
práticas escolares nem à formação de professores"25 (Aluno-5.20), ou "Geometria das
Transformações"26, de José Carlos Pinto Leiva, disponível na Associação de Professores de
Matemática de Portugal (APM), onde o autor utiliza o estudo das transformações para
desenvolver a percepção geométrica de seus alunos (Aluno-5.25), ou uma monografia de
conclusão de curso, em que os autores trazem uma definição de função que foge dos termos
de domínio, dontradomínio e imagem, cujo nome é " O ensino de funções e de transformações
geométricas com o auxílio do software Geogebra"27 (Aluno-5.25). Foi sugerida também, pelo
Aluno-5.02, a leitura do texto "Geometria: Texto de Apoio para Educadores de Infância"28, de
Maria de Fátima Mendes e Catarina Coutinho Delgado.
Houve, ainda, um debate sobre se toda ampliação/redução era uma homotetia ou se
toda figura semelhante é homotética? Os alunos pesquisaram e trouxeram contribuições
excelentes às discussões. Explicações completas como a do Aluno-4.10
A Homotetia é a ampliação ou a redução de distâncias de pontos de qualquer
um espaço em relação a um ponto fixo. Uma homotetia é definida pelo seu
centro O e pela razão k de homotetia e é a aplicação afim, tal que a cada
ponto P faz corresponder o ponto P' tal que:
Uma homotetia preserva:
• ângulos
• razões entre segmentos de reta
• segmentos e linhas são transformados em segmentos e linhas paralelos
aos originais
22
Applet é um aplicativo que é executado no contexto de outro programa, como por exemplo um navegador da
Internet
23
Disponível em http://www.tem.mat.br/algebra-e-geometria/matrizes-e-transformacoes-geometricas
24
Programa de Geometria Dinâmica fabricado e comercializado por Chartwell-Yorke
25
Disponível em www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/setsuko_mabuchi.pdf
26
Disponível em http://www.apm.pt/files/_Co_Leivas_486fe4f620fb3.pdf
27
Disponível em http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/publicacoes/minhapagina/Microsoft%20Word%20%20transforma%E7%F5es%20geogebra.pdf
28
Disponível em http://area.dgidc.mindu.pt/materiais_NPMEB/006_Brochura_geometria_pre_escolar.pdf
94
A homotetias mantêm um ponto fixo e "esticam" ("contraem") os segmentos
de reta que passam por este ponto por um fator constante a.
Quando a ≠ 1, as homotetias mudam o tamanho do desenho original, mas
não a sua forma. Se a > 1, esta transformação aumenta o tamanho da figura
original sendo, então, chamada de dilatação. No caso em que a < 1 o
tamanho da figura original será diminuído e a transformação é dita uma
contração. A figura original e a obtida após esta transformação são ditas
semelhantes.
Portanto, concordo com os colegas de que nem sempre toda ampliação e/ou
redução é uma homotetia.
Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Homotetia
http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitul
os/cap26s5.html
Acesso em 13 de Junho de 2011.
Abraços, (Aluno-4.10)
Ou feita através de imagens, tais como a construção do Tutor-4 e a explicação do
Aluno-4.23.
Figura 40: Construção em R.e.C. feita pelo Tutor-4 sobre homotetia
Fonte: http://www.lanteuff.org/moodle/mod/forum/discuss.php?d=21192
95
Figura 41: Explicação sobre homotetia dada pelo Aluno-4.23
Fonte: http://www.lanteuff.org/moodle/mod/forum/discuss.php?d=21192
Alguns alunos reclamaram que os livros didáticos se aprofundam muito em alguns
assuntos e deixam outros de lado, como é o caso das TGP. Isso pode ser visto em
Olá Aluno-5.20 e Aluno-5.18, o conteúdo dos livros didáticos realmente
deixam a desejar em vários aspectos. Em um certo momento focam alguns
conteúdos demasiadamente, em outros deixam alguns conteúdos de fora, e
por vezes a organização dos conteúdos é feita de forma que dificulta um
ensino qualificado. Por isso é muito difícil seguir o livro adotado nas salas
de aula. Como exemplo podemos ver a falta que este conteúdo de
Transformações faz no ensino.
Um abraço. (Aluno5.25)
Boa tarde, Aluno-5.25!
Concordo com você! Acredito que não exista um livro didático matemático
completo, o professor é obrigado a sempre estar "buscando" outros materiais
para estar enriquecendo ou até mesmo completando o conteúdo estudado.
96
abraço (Aluno5.10)
Outros, como o do Aluno-5.29, o do Aluno-5.13 e do Aluno-5.23, lembraram que o
livro do Dante29 traz exemplos interessantes do uso de matrizes com a geometria das
transformações.
Este fórum temático foi muito produtivo e mostrou que os alunos construíram com
bastante segurança os conceitos relativos às transformações geométricas no plano. Ele foi
encerrado por uma postagem das coordenadoras da disciplina TG-2.2011 que resume bem
seus resultados,
Como prevíamos ao planejar este módulo, o tema Transformações
Geométricas deveria ser explorado em mais de uma semana, dado a sua
importância e quase total desconhecimento de como explorá-lo na Educação
Básica. Acompanhando os debates vemos o quanto as equipes melhoraram
seus níveis de conhecimento sobre os tópicos trabalhados.
No fórum desta sétima semana partimos de textos que nos levaram a dois
olhares: o texto da ESE/IPL (2006/2007) trouxe-nos uma forma de enfocar o
tema, via linguagem geométrica, em turmas mais novas (como o nosso
Ensino Fundamental). No segundo, Fainguelernt e Bordinhão (s/data)
trataram o tema de forma mais acadêmica e matematicamente mais elegante:
alguns colegas viram a viabilidade de, com alguma adequação, utilizar o
encaminhamento dessas autoras em algumas turmas de Ensino Médio,
embora todos tenham concordado em levá-lo às graduações de Matemática.
Praticamente todos os grupos trouxeram grandes contribuições, sugerindo
recursos e metodologias, justificando a necessidade de incluirmos as
Transformações Geométricas ao longo da Educação Básica, até mesmo
vendo-a como uma forma de integrar conteúdos que usualmente aparecem
desconectados em Matemática. Vimos o debate encaminhar-se para questões
como “figuras homotéticas são sempre semelhantes (ampliadas ou
reduzidas), mas duas figuras semelhantes nem sempre são homotéticas” ou
"que a rotação de 180º em relação ao um centro é o mesmo que sua
reflexão". Vimos, também, sugestões de novas leituras, novos filmes etc.
Concluímos juntos, por fim, que o ensino das Transformações Geométricas é
uma interessante opção para a construção do conhecimento matemático de
alunos em qualquer nível de escolaridade.
Abraços
Na tarefa da semana sete (Anexo G), em que o percentual da amostra analisada se
manteve o mesmo que o da tarefa da semana seis, havia quatro questões.
As três primeiras questões, que tratavam das TGP de maneira teórica (questão 2) e
geométrica (questões 1 e 3), foram facilmente resolvidas por todos os alunos. Já a quarta, que
apresentava a transformação com representação algébrica: T: ℝ 2 → ℝ 2 , definida por T(x,y) =
(x+5, y+7), e requeria que os alunos fizessem a transformada de uma reta (y = 2x), a de uma
circunferência (x2 + y2 = 4) e as representassem graficamente, os alunos tiveram grande
29
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2010. v.2. p. 113-115.
97
dificuldade. Nesta atividade, alguns alunos erraram a questão e outros deixaram-na em
branco. Isso mostra que a percepção geométrica das TGP foi alcançada, mas demonstra,
também, que os alunos encontraram dificuldades na sua representação algébrica.
Esta pesquisa revelou, portanto, que os alunos construíram os conceitos sobre as
transformações geométricas no plano, necessários para a aplicação desses conteúdos em sua
prática docente, valorizando as múltiplas representações da cada assunto abordado em sala de
aula e mostrando o potencial integrador que as TGP representam para a Matemática.
98
5
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao analisar os questionários respondidos pelos alunos no início da disciplina de TG
do NTEM, confirmou-se a necessidade da presença do estudo da geometria em cursos de
formação continuada para professores de Matemática. Notou-se aí que quase 40% desses
alunos não havia estudado esse conteúdo na educação básica e, mesmo depois de cursar a
licenciatura em Matemática, não detinham, de forma clara,
os conceitos sobre o que
caracteriza as diversas geometrias.
O questionário respondido ao final da disciplina mostrou o sucesso alcançado por ela
em relação ao esclarecimento desses conceitos. É de se destacar que foi quase unânime a
opinião de que é importante relacionar as geometrias com outros campos do conhecimento
como Artes, Geografia e Física em sala de aula.
A pesquisa revelou que os conhecimentos prévios dos tutores e alunos sobre as
transformações geométricas no plano era muito pouco, mas que foi bem desenvolvido nas
semanas seis e sete de TG-2.2011. Nessas semanas, tutores e alunos, através da leitura de
textos, de discussões em fóruns temáticos e de tarefas, não só construíram esses conceitos
como discutiram as possibilidades de uso das TGP em suas aulas na EB.
Concordaram que as TGP podem e devem ser utilizadas como um conteúdo
integrador entre os ramos da Matemática (aritmética, álgebra e geometria) e da Matemática
com outras áreas do saber.
Esta pesquisa constatou que a Educação a Distância é um excelente meio para
possibilitar aos professores a formação continuada de que eles tanto necessitam, permitindo
que eles estudem no tempo e no lugar que lhes for possível.
Foi comprovado que um curso em EaD não é nem melhor nem pior que um curso
presencial, jogando por terra as crenças dos que têm preconceito com esta modalidade de
ensino, que foram destacadas na introdução deste trabalho.
Esta pesquisa revelou duas vertentes de investigação, uma seria o aprofundamento da
averiguação sobre os resultados da utilização das TGP na educação básica como conteúdo
contextualizante e agregador dos ramos da Matemática e outra sobre o uso das tecnologias da
EaD na facilitação da formação continuada de professores de Matemática.
Essa dissertação tem como produto um ambiente virtual de aprendizagem (AVA),
disponível em http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle, que pode ser visitado por
qualquer pessoa interessada, onde foram disponibilizados textos, filmes, construções
99
geométricas dinâmicas, fóruns de discussão e um caderno de sugestões de atividades para
desenvolver os conceitos de TGP. Pretende-se que este produto seja como um ser vivo que se
desenvolva, prospere e dê bons frutos. O Apêndice A deste trabalho traz uma descrição
minuciosa de suas funcionalidades.
Por fim, este trabalho teve a intenção de semear, junto aos professores em formação
continuada a distância do NTEM, a ideia de refletir sobre as possibilidades de aperfeiçoar o
ensino da Matemática através das transformações geométricas no plano, um conteúdo, que
como foi demonstrado neste trabalho, é atual, contextualizado e agregador.
100
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Matemática no Ensino Fundamental: Formação de Professores e
Aplicação em Sala de Aula. 6 ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
WIKIPEDIA.
Cerâmica
Jomon.
Disponível
em
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADodo_Jomon#cite_note-habu-1>. Acesso em 21
ago. 2011.
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APÊNDICA A - DESCRIÇÃO DO PRODUTO
Essa dissertação tem como produto um Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA)
desenvolvido sobre a plataforma Moodle. Nele são apresentados um caderno com uma
coletânea de atividades para a inserção do estudo das Transformações Geométricas no Plano
(TGP) na Educação Básica, o conteúdo dessa dissertação, recursos disponíveis na Internet
sobre TGP, Educação a Distância (EaD) e Geometria, além de construções geométricas feitas
com o software Régua e Compasso (ReC).
Este AVA é um ambiente aberto ao público. Os visitantes que se interessem no uso
das TGP nos Ensinos Fundamental e Médio poderão acessar esse AVA no endereço
http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle.
Figura 1 - Tela inicial do produto
Fonte: http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle/
Após selecionar a opção Dando Movimento à Forma, é necessário clicar no botão
que permite o acesso como visitante na tela de login, distinguido na Figura 2 com uma seta
vermelha.
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Figura 2 - Tela de login
Fonte: http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle/course/view.php?id=3
A seguir, o visitante entrará no espaço específico do produto, terá acesso a uma
descrição do que é pretendido com ele, a um fórum de bate-papo (Nosso café) e a um fórum
de notícias, que traz informações sobre eventos relacionados à educação Matemática e a EaD,
conforme mostrado na Figura 3.
Figura 3 - Descrição do AVA
Fonte: http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle/course/view.php?id=3
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Nesse ambiente foram incluídos todos os capítulos da dissertação Dando Movimento
á Forma: as Transformações Geométricas no Plano na Formação Continuada a Distância de
Professores de Matemática, incluindo suas páginas pré-textuais, como pode ser visto na
Figura 4.
Figura 4 - Capítulos da dissertação
Fonte: http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle/course/view.php?id=3
No tópico dois do produto, foi disponibilizado um caderno com uma coletânea de
atividades que possibilitam a inserção das TGP na Educação Básica além de um Fórum de
Sugestões (Figura 5).
Neste fórum foram abertos três tópicos. Em todos o intuito é levar o usuário a dar
sugestões sobre o Caderno de Atividades, o primeiro, sobre o texto da dissertação, o segundo,
e sobre a inserção de novos links na página.
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Figura 5 - Apresentação da dissertação.
Fonte: http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle/course/view.php?id=3
A seguir o produto elenca vários vídeos, sites e programas, relacionados com o tema
da dissertação, que se encontram disponíveis na Internet.
Figura 6 - Relação de vídeos, sites e programas
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Fonte: http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle/course/view.php?id=3
Foram também disponibilizados vários textos, que serviram de referência para o
trabalho ou que se relacionam com seu tema, conforme descrito na Figura 7.
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Figura 7 - Relação de textos
Fonte: http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle/course/view.php?id=3
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Finalmente, são apresentadas quatro construções geométricas relativas às TGP. Essas
construções podem ser trabalhadas em qualquer computador, não sendo necessário a
instalação do programa utilizado para criá-las (Régua e Compasso). As Figuras 8, 9, 10 e 11
apresentam uma imagem estática de cada uma delas.
Figura 8 - Simetria facial.
Fonte: http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle/course/view.php?id=3
Figura 9 - Quadrado com o Sistema TR
Fonte: http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle/course/view.php?id=3
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Figura 10 - Sistema TR.
Fonte: http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle/course/view.php?id=3
Figura 11 - Hometetia
Fonte: http://www.antoniomedeiros.pro.br/USS/moodle/course/view.php?id=3
Este AVA representa um proposta de material didático sobre as Transformações
Geométricas no Plano (TGP) adequada à formação continuada do professor de Matemática na
modalidade a distância.
Aqui foram disponibilizados textos, filmes, construções geométricas dinâmicas,
fóruns de discussão e um caderno de sugestões de atividades para desenvolver os conceitos de
TGP e o conteúdo completo da dissertação. Espera-se que, com a ajuda dos usuários que
acessarem este AVA, este produto seja como um ser vivo que se desenvolva, prospere e dê
bons frutos.
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Por fim, este produto tem a intenção de semear, junto aos professores que o
acessarem, a ideia de refletir sobre as possibilidades de aperfeiçoar o ensino da Matemática
através das transformações geométricas no plano.
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ANEXO A - IMPRESSÃO DA TELA INICIAL DO FÓRUM TEMÁTICO DOS TUTORES
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ANEXO B - IMPRESSÃO DA TELA INICIAL DO FÓRUM TEMÁTICO DOS ALUNOS
NA SEMANA SEIS
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ANEXO C - IMPRESSÃO DA TELA INICIAL DO FÓRUM TEMÁTICO DOS ALUNOS
NA SEMANA SETE
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ANEXO D - IMPRESSÃO DA TELA INICIAL DA ANÁLISE DA PESQUISA INICIAL
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ANEXO E - IMPRESSÃO DA TELA INICIAL DA ANÁLISE DA PESQUISA FINAL
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ANEXO F - TAREFA DA SEMANA 6 DE TG-2.2011
Tarefa da semana 6.
1) Considere o hexágono ABCDEFA e a reta r:
1.a) Trace retas perpendiculares à reta r por A, B, C, D, E e F. Ao traçar essas
perpendiculares, o que você observou quanto ao hexágono A’B’C’D’E’F’A’?
1.b) Dobrando a figura pela reta r, que resultado obtemos?
1.c) Que transformação geométrica do hexágono ABCDEFA, o hexágono A’B’C’D’E’F’A’
representa?
2) Observe as figuras abaixo:
II
I
III
IV
V
VI
VII
2.a) Selecione a(s) que possu(em) eixo de simetria. Reproduza-as na lista a ser enviada
a seu tutor, indicando o eixo de simetria.
2.b) Justifique a não inclusão das figuras que sobraram.
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3) Observe as figuras abaixo:
3.a) Trace os segmentos AA ' , BB ' , CC ' , DD ' , EE ' , FF ' , GG ' . O que representa o
ponto 0 para cada um dos segmentos AA ' , BB ' , CC ' , DD ' , EE ' , FF ' , GG ' ?
3.b) Identifique a transformação geométrica realizada descrevendo suas características.
4) No applet (ou construção em R.e.C.) cujos links estão logo abaixo deste, clique sobre o
ponto vermelho embaixo do barquinho da figura I, deslizando-o para a direita sobre a reta
u, até que o ponto B encontre a reta s. Chamemos a essa nova figura de figura II.
4.a) Compare as figuras I e II e responda:
4.a.1) Conservam as mesmas medidas?
4.a.2) Coincidem por superposição?
4.a.3) Ocupam a mesma posição no plano?
4.b) Como a figura II foi obtida?
4.c) Quais as características desta transformação geométrica?
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5) Observe a figura representada a seguir:
5.a) Sabendo que A’ é o transformado do ponto A, determine o transformado da figura
por esta translação. (Obs.: Copie esse desenho na lista a ser enviada a seu tutor e lá
represente sua resposta).
5.b) Qual é o quadrilátero que caracteriza a translação?
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6) Observe a figura abaixo:
6.a) Determine a razão entre as medidas dos segmentos:
6.a.1) AB e A' B ' .
6.a.2) BC e B 'C ' .
6.a.3) AC e A'C '
6.b) Qual foi a transformação geométrica realizada?
6.c) Descreva essa transformação.
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ANEXO G - TAREFA DA SEMANA 7 DE TG-2.2011
Tarefa 7
1) Na página 6 do texto da ESE/ IPL, ao explorar simetrias em polígonos regulares,
os autores analisaram o quadrado (que é um caso particular de losango), mas
deixaram a pergunta em relação à quantidade de simetrias em um losango qualquer:
quantas são essas simetrias?
2) Retome o texto de Fainguelernt e Bordinhão:
2.a) Cite as transformações lineares encontradas nesse texto, explicitando o
que as caracteriza.
2.b) Quais as isometrias encontradas?
3) Sendo A (0,0); B(4,0); C(4,4) e D(0,4) vértices de um quadrado no plano
cartesiano ortogonal, qual é o transformado deste quadrado aplicando a
transformação T(x, y) = (x, 3y).
4) Dada T : IR² em IR², definida por T(x,y) = (x+5, y+7), qual a imagem:
4.a) da reta de equação y = 2x;
4.b) da circunferência de equação x2 + y2 = 4 ;
4.c) faça graficamente cada uma das representações dos itens a e b