MATEMÁTICA FICHA INFORMATIVA NOME: ___________________________________________ SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ANO: ____ TURMA: ____ N.º ____ INTRODUÇÃO No dia-a-dia deparamo-nos muitas vezes com figuras ou objectos semelhantes. No entanto temos que ter em atenção que em Matemática dizer que duas figuras são semelhantes é muito diferente de dizer que são parecidas. Numa ampliação ou redução, as figuras conservam a mesma forma mas não as mesmas dimensões. Figuras geometricamente iguais têm a mesma forma e a mesma dimensão. Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma. A A é semelhante a B (A ~ B). B Considera as seguintes figuras: Comparemos os lados da figura: comprimento _ B 20 = =2 comprimento _ A 10 l arg ura _ B 12 = =2 l arg ura _ A 6 A razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes é sempre igual a 2. A esta razão constante chama-se razão de semelhança da ampliação. A razão de semelhança costuma representar-se por r. Nota: - Numa ampliação, a razão de semelhança é maior do que 1. - Numa redução, a razão de semelhança é um número positivo menor do que 1. - No caso em que temos duas figuras geometricamente iguais a razão de semelhança é igual a 1. Duas figuras são semelhantes quando de uma para a outra: - os ângulos correspondentes são geometricamente iguais; - os comprimentos correspondentes são directamente proporcionais. A constante de proporcionalidade é a razão de semelhança ou escala. A razão de semelhança costuma representar-se por r. CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS CRITÉRIO ÂNGULO-ÂNGULO – CRITÉRIO AA Consideremos os triângulos [ABC] e [DEF]. Critério Ângulo – Ângulo Dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos com amplitudes iguais. CRITÉRIO LADO-LADO-LADO – CRITÉRIO LLL Consideremos os triângulos [GHI] e [JKL]. Critério Lado – Lado – Lado Dois triângulos são semelhantes quando os comprimentos dos três lados são directamente proporcionais. CRITÉRIO LADO-ÂNGULO-LADO – CRITÉRIO LAL Consideremos os triângulos [MNO] e [PQR]. Critério Lado – Ângulo – Lado Dois triângulos são semelhantes quando têm dois lados de comprimentos proporcionais e a amplitude do ângulo por eles formado igual. RELAÇÃO ENTRE SEMELHANTES PERÍMETROS E ÁREAS DE TRIÂNGULOS Consideremos os triângulos [ABC] e [DEF]. E B 4,5 3 A 4 C D 6 Verifiquemos se os triângulos são semelhantes: ∧ ∧ DE 4,5 DF 6 = = 1,5 ; = = 1, 5 e A = D = 90º 3 AB AC 4 F Podemos então afirmar, pelo critério LAL, que os triângulos [ABC] e [DEF] são semelhantes. Podemos também verificar que a razão de semelhança entre os dois triângulos é 1,5. Vamos então determinar o perímetro e a área de ambos os triângulos. Para isso vamos ter de usar o Teorema de Pitágoras para determinar a hipotenusa de ambos os triângulos. h 2 = 4 2 + 32 h2 = 62 + 4,52 ⇔ h2 = 16 + 9 ⇔ h2 = 36 + 20,25 ⇔ h2 = 25 ⇔ h2 = 56,25 ⇔ h = ± 25 ⇔ h = ± 56,25 ⇒ ⇒ h = 25 ⇔ h=5 h = 56,25 ⇔ h = 7 ,5 Perímetro do [ABC] Área do [ABC] P[ABC ] = 4 + 3 + 5 = 12 A [ABC ] = Perímetro do [DEF] Área do [DEF] P[DEF ] = 4,5 + 6 + 7 ,5 = 18 A [DEF ] = 4 × 3 12 = =6 2 2 4,5 × 6 27 = = 13,5 2 2 Repara que: P[DEF ] P[ABC ] = 18 = 1,5 12 ; A [DEF ] A [ABC ] = 13,5 = 2,25 = 1, 52 6 Se dois triângulos, A e B, são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então: P - a razão entre os perímetros A PB A - a razão entre as áreas A AB é r; é r 2 ;