MATEMÁTICA
FICHA INFORMATIVA
NOME: ___________________________________________
SEMELHANÇA DE
TRIÂNGULOS
ANO: ____ TURMA: ____ N.º ____
INTRODUÇÃO
No dia-a-dia deparamo-nos muitas vezes com figuras ou objectos semelhantes.
No entanto temos que ter em atenção que em Matemática dizer que duas
figuras são semelhantes é muito diferente de dizer que são parecidas.
Numa ampliação ou redução, as figuras conservam a mesma forma mas não as
mesmas dimensões.
Figuras geometricamente iguais têm
a mesma forma e a mesma dimensão.
Duas figuras são semelhantes quando
têm a mesma forma.
A
A é semelhante a B (A ~ B).
B
Considera as seguintes figuras:
Comparemos os lados da figura:
comprimento _ B 20
=
=2
comprimento _ A 10
l arg ura _ B 12
=
=2
l arg ura _ A 6
A razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes é sempre igual
a 2. A esta razão constante chama-se razão de semelhança da ampliação.
A razão de semelhança costuma representar-se por r.
Nota:
- Numa ampliação, a razão de semelhança é maior do que 1.
- Numa redução, a razão de semelhança é um número positivo menor do que 1.
- No caso em que temos duas figuras geometricamente iguais a razão de semelhança
é igual a 1.
Duas figuras são semelhantes quando de uma para a outra:
- os ângulos correspondentes são geometricamente iguais;
-
os
comprimentos
correspondentes
são
directamente
proporcionais.
A constante de proporcionalidade é a razão de semelhança ou
escala.
A razão de semelhança costuma representar-se por r.
CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
CRITÉRIO ÂNGULO-ÂNGULO – CRITÉRIO AA
Consideremos os triângulos [ABC] e [DEF].
Critério Ângulo – Ângulo
Dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos com
amplitudes iguais.
CRITÉRIO LADO-LADO-LADO – CRITÉRIO LLL
Consideremos os triângulos [GHI] e [JKL].
Critério Lado – Lado – Lado
Dois triângulos são semelhantes quando os comprimentos dos
três lados são directamente proporcionais.
CRITÉRIO LADO-ÂNGULO-LADO – CRITÉRIO LAL
Consideremos os triângulos [MNO] e [PQR].
Critério Lado – Ângulo – Lado
Dois triângulos são semelhantes quando têm dois lados de
comprimentos proporcionais e a amplitude do ângulo por eles
formado igual.
RELAÇÃO ENTRE
SEMELHANTES
PERÍMETROS
E
ÁREAS
DE
TRIÂNGULOS
Consideremos os triângulos [ABC] e [DEF].
E
B
4,5
3
A
4
C
D
6
Verifiquemos se os triângulos são semelhantes:
∧
∧
DE 4,5
DF 6
=
= 1,5 ;
= = 1, 5 e A = D = 90º
3
AB
AC 4
F
Podemos então afirmar, pelo critério LAL, que os triângulos [ABC] e [DEF] são
semelhantes. Podemos também verificar que a razão de semelhança entre os dois
triângulos é 1,5.
Vamos então determinar o perímetro e a área de ambos os triângulos.
Para isso vamos ter de usar o Teorema de Pitágoras para determinar a
hipotenusa de ambos os triângulos.
h 2 = 4 2 + 32
h2 = 62 + 4,52
⇔ h2 = 16 + 9
⇔ h2 = 36 + 20,25
⇔ h2 = 25
⇔ h2 = 56,25
⇔ h = ± 25
⇔ h = ± 56,25
⇒
⇒
h = 25
⇔ h=5
h = 56,25
⇔ h = 7 ,5
Perímetro do [ABC]
Área do [ABC]
P[ABC ] = 4 + 3 + 5 = 12
A [ABC ] =
Perímetro do [DEF]
Área do [DEF]
P[DEF ] = 4,5 + 6 + 7 ,5 = 18
A [DEF ] =
4 × 3 12
=
=6
2
2
4,5 × 6 27
=
= 13,5
2
2
Repara que:
P[DEF ]
P[ABC ]
=
18
= 1,5
12
;
A [DEF ]
A [ABC ]
=
13,5
= 2,25 = 1, 52
6
Se dois triângulos, A e B, são semelhantes e a razão de semelhança
de A para B é r, então:
P
- a razão entre os perímetros  A
 PB
A
- a razão entre as áreas  A
 AB

 é r;


 é r 2 ;
