12/02/2006
AFC/2005
Resolução da prova de Matemática Financeira
Questão 11.
Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$370.000,000. A taxa de desconto comercial
simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva de juros da operação
são, respectivamente, iguais a
a) R$550.000,00 e 3,4% ao mês.
b) R$400.000,00 e 5,4% ao mês.
c) R$450.000,00 e 64,8% ao ano.
d) R$400.000,00 e 60% ao ano.
e) R$570.000,00 e 5,4% ao mês.
Solução:
De 60% ao ano determinamos a taxa proporcional para 45 dias. Temos:
(60÷360)×45 = 7,5%.
O desconto comercial é por fora, ou seja para cada R$100,00 de valor nominal
desconta-se R$7,50 resultando em R$92,50 de valor presente. A proporção ao
lado estabelece a relação entre o valor nominal, o desconto comercial e o
valor presente. Portanto,
370.000
=
92,50
VN
100
⇒
VN = 370.000 × 100
92,50
Da proporção também determinamos a taxa de juros. A taxa de juros é dada
considerando o valor presente como caoital a disposição (antecipação do
capital a disposição). Para cada R$92,50 de capital disponíveis por 45 dias
paga-se R$7,50. A proporção ao lado fornece a taxa de juros.
De onde:
x =
100 × 7,50
92,50
DC
VN
VP
92,50 = 7,50 = 100
⇒
92,50
100
=
7,50
x
x = 8,108108% (para 45 dias)
Da taxa de juros para 45 dias determinamos proporcionalmente a taxa de juros α para 30 dias. Temos:
α = (8,108108 ÷ 45) × 30 = 5,41%.
Portanto, o valor nominal é de R$570.000,00 e a taxa de juros é de α = 5,41% ao mês. (opção e)
Observação:
Mesmo o desconto sendo comercial simples  taxa proporcional  seria mais correto determinar a taxa de juros para
30 dias de forma exponencial, para evitar maiores distorções. Desta forma o cálculo teríamos:
Β = [(1,08108108)2/3 – 1] × 100 ⇒ β = 5,335% ao mês.
Evidentemente, a ESAF elaborou a questão para ser resolvida pela taxa proporcional.
Questão 02.
Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60% ao ano com capitalização semestral. O
Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais
próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a:
a) 69% e 60%.
b) 60% e 60%.
c) 69% e 79%.
d) 60% e 69%.
e) 120% e 60%.
Solução:
A taxa de 60% ao ano do Banco A é uma taxa nominal que corresponde a taxa efetiva semestral de 30% (proporcional).
Essa taxa efetiva de 30% ao semestre resulta na taxa equivalente anual dada por
iA = (1,30)2 – 1) × 100
⇒
iA = 69% .
A taxa de 30% ao semestre do Banco B é uma taxa nominal que corresponde a taxa efetiva mensal de 5%
(proporcional). Essa taxa efetiva de 5% ao mês resulta na taxa equivalente anual dada por
iB = (1,05)12 – 1) × 100 ⇒ iB = 79% .
A opção correta e a de letra c.
Observação:
Muitos têm dificuldade em entender a idéia da taxa nominal. A Matemática Financeira apenas estabelece critérios de
cálculo e a escolha é de quem elabora a questão. Para mostrar a distorção desse processo de cálculo, basta calcular a
taxa efetiva anual para a taxa nominal de 120% ao ano com capitalização mensal. Temos:
i = (1,10)12 – 1) × 100 ⇒ i = 213,84% ao ano.
Questão 03.
Considere três títulos de valores nominais iguais a R$5.000,00, R$3.000,00 e R$2.000,00. Os prazos e as taxas de
desconto bancário simples são, respectivamente, três meses a 6% ao mês, quatro meses a 9% ao mês e dois meses a
60% ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da taxa média mensal de desconto é igual a:
a) 7%.
b) 6%.
c) 6,67%.
d) 7,5%.
e) 8%.
Solução:
Devemos estabelecer que a taxa média é aquela que produz o mesmo desconto total que o total dos descontos nas
taxas dadas. As taxas proporcionais são dadas por
18% para o título de R$5.000,00, 36% para o título de R$3.000,00 e 10% para o título de R$2.000,00
A soma dos desconto nas taxas dadas é de:
5.000 × 0,18 + 3.000 × 0,36 + 2.000 × 0,10
=
900 + 1.080 + 200
Para uma taxa de desconto mensal im temos a igualdade:
5.000 × im × 3 + 3.000 × im × 4 + 2.000 × im × 2 = 2.180
Donde
31.000im = 2.180
⇒
im = 0,0703
Portanto a taxa porcentual é de 7,03% ao mês (opção a)
=
2.180.
Questão 04.
Uma pessoa contraiu uma dívida no regime de juros compostos que deverá ser quitada em três parcelas. Uma parcela
de R$500,00 vencível no final do terceiro mês; outra de R$1.000,00 vencível no final do oitavo mês e a última, de
R$600,00 vencível no final do décimo segundo mês. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final do
sexto mês o cliente decidiu pagar a dívida em uma única parcela. Assim, desconsiderando os centavos, o valor
equivalente a ser pago será igual a:
a) R$2.535,00.
b) R$2.100,00.
c) R$2.153,00.
d) R$1.957,00.
e) R$1.933,00.
Solução:
Vamos representar a situação na linha de tempo ao lado.
À taxa de 5% ao mês, determinamos os equivalentes na data
6. A dívida de R$500,00 é capitalizada em três meses, a
dívida de R$1.000,00 é descapitalizada em dois meses e a
dívida de R$600,00 é descapitalizada em seis meses. A soma
das dívidas na data seis é o valor P da nova dívida.
Temos a equação:
P
0
3
500
× (1,05)
3
12
8
6
1.000
600
2
÷ (1,05)
6
÷ (1,05)
P = 500 × (1,05)3 + 1.000 ÷ (1,05)2 + 600 ÷ (1,05)6
P = 500 × 1,157625 + 1.000 ÷ 1,1025 + 600 ÷ 1,340096
Portanto,
P = R$1.933,00 (opção e)
Observação:
“Advinhamos” o que a ESAF queria. Na afirmação “No final do sexto mês o cliente decidiu pagar a dívida em uma única
parcela” fica claro que a decisão foi tomada após a data de vencimento da parcela de R$500,00 da data três. Não fica
clara é “qual dívida”? Será a dívida total, supondo não paga a parcela de R$500,00; ou a dívida restante, supondo paga
a parcela de R$500,00.
Questão 05.
Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma
entrada de R$15.000,00 e mais três parcelas: duas iguais e uma de R$30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em
um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final de sexto mês. A segunda parcela, cujo valor é
de R$30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será
realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor
de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a:
a) R$35.000,00.
b) R$27.925,00.
c) R$32.500,00.
d) R$39.925,00.
e) R$35.500,00.
Solução:
Uma repetição da questão anterior, porém bem formulada.
85.000
Representaremos a situação em uma linha de tempo com
12
0
6
periodicidade mensal. taxa de 4% ao mês, as parcelas
P
30.000
6
são levadas para data focal zero. A parcela de valor P é
÷ (1,04)
descapitalizada em seis meses, a parcela de R$30.000,00
12
÷ (1,04)
é descapitalizada em doze meses e a segunda parcela de
valor P é descapitalizada em dezoito meses. soma dos
valores na data zero é igual a R$85.000,00. temos a
equação:
P ÷ (1,04)6 + 30.000 ÷ (1,04)12 + P ÷ (1,04)18 = 85.000
Donde
P = 39.925,00 (opção d)
18
P
18
÷ (1,04)
Questão 06.
No dia 10 de setembro, Ana adquriu um imóvel financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$20.000,00. A primeira
parcela vence no dia 10 de novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subseqüentes. A taxa de juros
compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os
centavos, foi de:
a) R$155.978,00.
b) R$155.897,00.
c) R$162.217,00.
d) R$189.250,00.
e) R$178.150,00.
10/08 20.000
10/07 20.000
10/06 20.000
10/05 20.000
10/04 20.000
10/03 20.000
10/02 20.000
10/01 20.000
10/12 20.000
10/11 20.000
10/10 20.000
Uma questão clássica. Na linha de tempo temos
uma série de 10 capitais de R$20.000 com início em
10/11, dois meses após a compra. A taxa anual de
60,1032%, através da tabela, resulta na taxa mensal
de 4% ao mês.
10/09
Solução:
VP
Adotando 10/10 como data focal, um mês após a compra, temos a equação para o valor presente. O fator para o valor presente
é fornecido pela ESAF. Temos:
⇒
VP × 1,04 = 20.000 × a 10 4%
VP × 1,04 = 20.000 × 8,110896
⇒
VP = 155.978,00
A opção correta é a de letra a.
Questão 07.
Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$20.000,00 e uma
parcela de R$20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de
R$17.000,00, que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês,
então, sem considerar os centavos, o valor da entrada deverá ser igual a:
a) R$23.455,00.
b) R$23.250,00.
c) R$24.580,00.
d) R$25.455,00.
e) R$26.580,00.
Solução:
Novamente, a linha de tempo com periodicidade
mensal. Adotando a data zero como data focal, o
capital de R$20.000,00 da data 6 é descapitalizado
em seis períodos e o capital de R$17.000,00 é
descapitalizado em 8 períodos. Temos a equação:
8
÷ (1,03)
P
17.000
0
6
20.000
20.000
6
÷ (1,03)
P + 17.000 ÷ (1,03)8 = 20.000 + 20.000 ÷ (1,03)6
donde
P + 17.000 ÷ 1,266771 = 20.000 + 20.000 ÷ 1,194052
P = R$23.250,00 (opção b)
Questão 08.
8
Ana comprou, no regime de juros compostos, um aprtamento financiado a uma taxa de 2% ao mês. O apartamento
deverá ser pago em 12 prestações mensais iguais a R$8.000,00, vencendo a primeira delas 30 dias após a compra.
Após pagar a sétima prestação Ana resolveu transferir o contrato de compra para Beatriz, que seguirá pagando as
prestações restantes. Assim, para assumir a dívida de modo que nenhuma das duas seja prejudicada, Beatriz deverá
pagar a Ana, sem considerar os centavos, o valor de:
a) R$61.474,00
b) R$51.775,00.
c) R$59.474,00.
d) R$59.775,00.
e) R$61.775,00.
Temos a equação:
VF = 8.000 × s7 2%
⇒
8.000
8.000
8.000
8.000
8.000
8.000
8.000
8.000
0
VP
8.000
Na linha de tempo temos a representação das
prestações do financiamento. Devemos determinar o
valor das sete prestações pagas por Ana capitalizadas
para a data sete. Trata-se do valor futuro de uma série
de oito capitais de R$8.000,00 cada um. O fator para
o montante é fornecido pela ESAF.
8.000
Solução:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
VP = 8.000 × 7,434283
VP = R$59.474,00 (opção c)
Questão 09.
O preço á vista de um imóvel é de R$180.000,00. Um comprador propõe pagar 50% do preço a vista em 18 prestações
mensais e iguais, vencíveis a partir do final do primeiro mês após a compra, a uma taxa de 3% ao mês. Os 50%
restantes do valor á vista ele propõe pagar em 4 parcelas trimestrais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro
trimestre após a compra, a uma taxa de 9% ao trimestre. Desse modo, o valor que o comprador desembolsará no final
do segundo trimestre, sem considerar os centavos, será igual a:
a) R$34.323,00
b) R$32.253,00.
c) R$35.000,00.
d) R$37.000,00.
e) R$57.000,00.
Solução.
A linha de tempo ao lado representa as parcelas do
financiamento. O valor V que o comprador
desembolsará no final do segundo trimestre (data 6)
é a soma de uma parcela mensal (Pm) com uma
parcela trimestral (Pt). Determinemos as parcelas.
0
VP
Pm
Pm
Pt
Pm
Pm
Pm
Pt
Pm
1
2
3
4
5
6
...
7
90.000 = Pm × a 183%
⇒
90.000 = Pm × 13,753513
⇒
Pm = 6.543,78
90.000 = Pt × a 49%
⇒
90.000 = Pt × 3,239720
⇒
Pt = 27.780,18
V = Pt + Pm
⇒
V = 6.543,78 + 27.780,18
V = R$34.323,00 (opção a)
8
9
10
Questão 10.
Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida, comprometendo liquidá-la em dois pagamentos. O primeiro de
R$2.500,00 com vencimento para o final de fevereiro. O segundo de R$3.500,00 com vencimento para o final de junho.
Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos para honrá-la, o devedor propôs um novo
esquema de pagamento. Um pagamento de R$4.000,00 no final de setembro e o saldo em dezembro do corrente ano.
Sabendo que a taxa de juros compostos da operação é de 3% ao mês, então, sem considerar os centavos, o saldo a
pagar em dezembro será igual a
a) R$2.168,00
b) R$2.288,00.
c) R$2.000,00.
d) R$3.168,00.
e) R$3.288,00.
Solução.
Em uma linha de tempo vamos representar as situações.
× (1,03)10
× (1,03)6
3.500
2.500
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4.000
× (1,03)
12
P
3
Escolhendo a data 12 (final de dezembro) como data focal temos a igualdade das duas alternativas:
2.500 × (1,03)10 + 3.500 × (1,03)6 = 4.000 × (1,03)3 + P
2.500 × 1,343916 + 3.500 × 1,194052 = 4.000 × 1,092727 + P
3.359,79 + 4.179,18 = 4.370,91 + P
P = R$3.168,00 (opção d).