GESTÃO DE EMPRESAS
CÁLCULO E INSTRUMENTOS FINANCEIROS I
(2º ANO)
Exercícios - Capitalização
CAPITALIZAÇÃO
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Exercício 1
Calcule os juros simples produzidos:
a)
Por um capital de 500 € aplicado durante 6 anos à taxa anual de 14%;
b)
Por um capital de 250 € aplicado durante 4 anos e 6 meses à taxa anual de 12%;
c)
Por um capital de 5.000 € aplicado durante 180 dias à taxa anual de 11%;
d)
Por um capital de 1.500 € aplicado durante 4 meses à taxa anual de 12,5%.
Exercício 2
Um indivíduo colocou 20.000 €, durante 5 anos, à taxa de juro anual de 10%.
a) Considerando um regime de capitalização dito simples, calcule:
9 o juro periódico;
9 o valor a receber no termo do processo de capitalização;
9 os juros totais.
b) Considerando um regime de capitalização composta, calcule:
9 os juros totais;
9 os juros de juros totais;
9 os juros de juros dos 3º e 4º anos.
Exercício 3
Um capital de 2.500 € aplicado em regime de juro dito simples a uma determinada taxa
anual, produziu nos primeiros 5 anos de aplicação um juro de 1.000 €. Qual o juro que
produziria durante o mesmo período se estivesse aplicado a mesma taxa anual mas
agora em regime de juro composto.
Exercício 4
Um capital C0 aplicado em regime de juro dito simples a uma determinada taxa anual,
produziu até ao final do 2° ano de aplicação um juro de 1.260 €. Se o mesmo capital
estivesse aplicado em regime de juro composto à mesma taxa anual, o juro produzido
durante o mesmo prazo seria de 1.297,8 €. Calcule o capital C0 e a taxa de juro a que foi
aplicado.
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CAPITALIZAÇÃO
Exercício 5
Certo indivíduo comprou um automóvel cujo preço de pronto pagamento era de
20.000 € nas seguintes condições:
9 uma prestação de 10.000 € a realizar no fim do primeiro ano;
9 outra prestação final de 15.153,13 € a entregar no fim do 2º ano após a
celebração do contrato.
a) Determine a taxa de juro semestral implícita nesta venda a prazo.
b) Se a segunda prestação de 14.394,24 € tivesse sido paga ano e meio após a
celebração do contrato, qual teria sido a taxa de juro semestral?
Exercício 6
Um capital de 10.000 €, colocado em regime de capitalização composta à taxa de juro
anual i, gerou ao fim de 20 anos um valor acumulado de 26.532,98 €.
a) Determine a taxa utilizada no processo de capitalização.
b) Calcule os juros de juros produzidos durante o processo de capitalização.
c) Calcule os juros de juros produzidos durante o 13º ano.
d) Acaso se tratasse de um processo de capitalização dito simples à mesma taxa, qual
o juro produzido durante o 13º ano?
e) Ainda dentro da hipótese anterior, qual o juro produzido durante o período
compreendido entre o 10º e o 12º ano?
Exercício 7
Considere um processo de capitalização a juros compostos que, tendo-se iniciado com
40.000 €, em 2 anos produziu um capital acumulado de 44.100 €.
A taxa de juro foi de 7% ao ano nos 3º, 4º e 5º anos, tendo sido alterada para 8% ao ano
no início do 6º ano. Sabendo que a duração do processo foi de 7 anos, calcule:
a) A taxa de juro anual que vigorou nos primeiros 2 anos.
b) O juro do 4º período.
c) O capital no início do 5º período.
d) O juro do 6º período.
e) O capital acumulado ao fim de 6 anos.
f) O juro total vencido em 7 anos.
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CAPITALIZAÇÃO
Exercício 8
A empresa XYZ contraiu um empréstimo de 10.000 €, em regime de juro composto nas
seguintes condições:
9 Em 01/06/2001 é adiantado 40% do empréstimo à empresa, os quais
começam a vencer juros à taxa de 10% ao semestre;
9 Os restantes 60% serão postos à disposição da empresa em 01/12/2001,
passando também a partir desta data, a vencer juros à taxa de 10% ao
semestre;
9 O empréstimo e os juros vencidos serão pagos de uma só vez em 01/06 do
ano N.
a) Sabendo que em 01/06 do ano N a empresa de forma a liquidar o empréstimo
pagou 16.749,3 € diga qual o prazo, em anos, do empréstimo.
b) Se pretendesse reembolsar este empréstimo em 01/12/2003, qual a importância
que teria de pagar nesta data?
c) Se este empréstimo passasse a partir de 01/06/2003 a vencer juros em regime de
juro dito simples, e à mesma taxa, determine o montante a reembolsar em 01/06 do
ano N.
Exercício 9
Dada a taxa de juro anual nominal i(4) = 5%, Calcule:
a)
A taxa de juro anual efectiva.
b)
A taxa de juro anual nominal capitalizável mensalmente.
c)
A taxa de juro anual nominal capitalizável bimestralmente.
Exercício 10
Dada a taxa de juro anual nominal i(3) = 6%, calcule:
a)
A taxa de juro trimestral efectiva.
b)
A taxa de juro anual nominal capitalizável semestralmente.
c)
A taxa de juro anual nominal capitalizável de 5 em 5 meses.
Exercício 11
Dada a taxa de juro anual nominal i(2) = 8%, calcule:
a)
A taxa de juro mensal efectiva.
b)
A taxa de juro anual nominal capitalizável quadrimestralmente.
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CAPITALIZAÇÃO
Exercício 12
O Sr. Sousa depositou em 15/06/01, num determinado banco, a importância de 3.800 €.
Pretende-se saber quanto teve de levantar ou depositar em 15/12/01 para poder passar
a levantar 50 € todos os meses, com início em 15/02/02, mantendo-se constante, após
cada um desses levantamentos, o capital em depósito no banco.
A taxa de juro praticada pelo banco é de 4,5% anual nominal, capitalizável
mensalmente.
Exercício 13
Um dado capital C0, foi colocado em regime de capitalização composta à taxa de juro
anual i(2).
Tendo presente que:
9 O capital acumulado no fim do 3º ano deste processo de capitalização é
superior em 3,0843% ao que seria obtido se o mesmo capital C0, fosse
investido à mesma taxa de juro i(2) em regime de capitalização dito simples;
9 Os juros de juros produzido durante o 5º ano foram de 5.143,92 €;
determine então:
a)
A taxa de juro i(2) declarada.
b)
O capital investido C0, neste processo de capitalização.
Exercício 14
O Sr. Josué efectuou uma aplicação junto do Banco 2000 no montante de 20.000 €. As
condições de remuneração da referida aplicação são as seguintes:
9 Taxa anual nominal com capitalização semestral de 6%, nos 3 primeiros anos;
9 Taxa anual nominal com capitalização trimestral de 6%, a partir do 3º ano;
Nestas condições:
a) Calcule o montante acumulado da aplicação no fim do sexto ano.
b) Determine os juros totais referentes aos 5º e 6º anos da vida da aplicação.
c) Qual será o montante de juros de juros no 3º ano da vida da aplicação?
Exercício 15
O Sr. Alfredo Costa efectuou uma aplicação durante 20 anos, em regime composto,
junto do Banco DGC no montante 50.000 €, cujas características de remuneração são:
9 Primeiros 10 anos: i(2) = 4%;
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CAPITALIZAÇÃO
9 Últimos 10 anos i(4) = 4%
Nestas condições:
a) Determine o capital acumulado no final do 15ª ano.
b) Determine os juros de juros pagos pelo Banco DGC nos 10º e 11º anos da aplicação.
c) Supondo que no início do 13º ano, o Sr. Alfredo Costa efectuou um depósito
adicional de 5.000 €, determine os juros totais auferidos nos 20 anos da aplicação.
Exercício 16
O Sr. Joaquim efectuou um depósito de montante C0 no Banco ISLA durante n anos à
taxa de juro trimestral de 1%. No início do 5º ano do regime de capitalização, o Banco
informou o Sr. Joaquim que a taxa de juro tinha sido alterada para 2,5% ao semestre.
Este facto implicou que o montante de juros a pagar pelo Banco nesse mesmo ano
excedesse o inicialmente previsto em € 352,51. Nestas condições:
a) Determine valor do depósito C0.
b) Sabendo que no n-ésimo ano o saldo da conta do Sr. Joaquim ascendia a
€ 47.309,64, determine o prazo da aplicação.
c) Calcule os juros de juros totais pagos pelo Banco ISLA.
Exercício 17
Um indivíduo recebeu uma herança de 10.000 €. Como não necessitava da totalidade
do dinheiro, decidiu fazer uma aplicação de 50% desse montante por um prazo de 8
anos. Assim, após consulta a algumas instituições financeiras, conseguiu sistematizar a
seguinte informação:
A) Poupança 2003
B) Rendimento Garantido
ƒ Taxa de juro anual nominal: 3%;
ƒ Taxa de juro anual efectiva: 2,25%;
ƒ Vencimento de juros mensal;
ƒ Prémio de permanência de 0,5%
ƒ Taxa de IRS sobre os juros: 20%.
por cada 5 anos de aplicação;
ƒ Isenção IRS sobre juros.
a) Determine a taxa de juro semestral efectiva líquida de impostos da “Poupança
2003”.
b) Determine o capital acumulado ao fim dos 8 anos, sabendo que o referido
indivíduo escolheu a aplicação mais rentável.
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CAPITALIZAÇÃO
Exercício 18
O Sr. Hélder dispondo de uma quantia C0 efectuou durante n anos duas aplicações, de
igual montante, cujas principais características são as seguintes:
Poupança Certa
Poupança Incerta
9 Taxa de juro anual nominal: 3%;
9 Taxa de juro anual efectiva: 2,5%;
9 Vencimento de juros semestral;
9 Vencimento de juros anual;
9 Taxa de IRS sobre os juros: 20%.
9 Isenção IRS sobre juros.
Sabendo que :
9 O valor acumulado ao fim de n anos de uma poupança era superior ao da
outra em 0,5865431%;
9 e que os juros totais das duas aplicações ascenderam a 17.595,90 €;
determine:
a) Qual das 2 aplicações é mais rentável.
b) O prazo das aplicações.
c) O valor de C0.
d) A taxa de juro anual efectivamente auferida pelo Sr. Hélder.
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CAPITALIZAÇÃO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Exercício 19
O Sr. Miguel efectuou um investimento financeiro de 50.000 € por 10 anos à taxa de
juro anual nominal i(2) = 4%. Sabendo que:
9 Durante os primeiros 5 anos, no final de cada semestre, o Sr. Miguel efectuou
levantamentos semestrais e iguais, mantendo-se constante o capital aplicado após
cada um dos levantamentos;
9 No final do 6º ano do investimento financeiro a taxa de juro alterou-se para i(4) =
4%;
determine:
a) O capital acumulado no vencimento do investimento financeiro.
b) Os juros totais auferidos nos 10 anos.
c) Os juros de juros dos últimos 5 anos do investimento financeiro.
Resolução
a)
O investimento financeiro será remunerado de acordo com as seguintes taxas de juro:
9 Primeiros 6 anos
→
i1/2 =
0,04
= 0,02 = 2%
2
9 Últimos 4 anos
→
i1/4 =
0,04
= 0,01 = 1%
4
Considerando que, durante os primeiros 5 anos do investimento financeiro, o Sr.
Miguel levanta a totalidade do juro produzido semestralmente (regime simples puro) –
daí o capital aplicado manter-se constante – então pode-se concluir que:
C 5º ano = C 0 = 50.000 €.
O capital acumulado no vencimento do investimento financeiro, tendo em atenção a
alteração da taxa de juro, será:
C 10º ano = 50.000 ∗ ( 1 + 0,02 ) ∗ ( 1 + 0,01 ) = 60.997, 54 €.
2
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b)
Os juros totais auferidos nos 10 anos do investimento financeiro serão dados por:
J T = C 10º ano − C 0 + Levantamentos
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CAPITALIZAÇÃO
J T = 60.997, 54 − 50.000 + 10 ∗ 50.000 ∗ 0,02 = 20.997, 54 €
c)
Os juros de juros totais auferidos nos últimos 5 anos do investimento financeiro serão
dados por:
JJ últimos 5 anos = C 10º ano − C 5º ano − ∑ J simples
JJ últimos 5 anos = 60.997, 54 − 50.000 − ( 2 ∗ 50.000 ∗ 0,02 + 16 ∗ 50.000 ∗ 0,01 ) = 997, 54 €
Exercício 20
O Sr. Carlos dispõe de uma quantia C0 no Banco CFIN remunerada à taxa de juro anual
nominal de 10% com capitalização semestral. Os juros estão sujeitos a IRS à taxa
liberatória de 20%.
a) Determine a taxa de juro anual efectiva líquida de impostos.
b) O Sr. Rui, que se encontra em dificuldades financeiras, pediu ao Sr. Carlos a quantia
de 75% de C0 emprestada por 2 anos, propondo duas hipóteses alternativas de
pagamento:
1) Através de um único pagamento, de acordo com o regime de capitalização
composto, à taxa de juro anual efectiva de 12%;
2) Através do pagamento semestral dos juros devidos, à taxa de juro anual
nominal de 14%, e reembolso do capital no final dos 2 anos.
Sabendo que o Sr. Carlos à medida que recebe os valores do Sr. Rui imediatamente
os deposita no Banco CFIN e que escolheu a hipótese financeiramente mais rentável
– a que lhe proporcionará daqui a 3 anos um saldo bancário de 4.105,99 € –
determine o valor de C0.
Resolução
a)
i1/2 (bruta) =
0,1
= 0,05 = 5%
2
i1/2 (líquida) = 0,05 ∗ ( 1 − 0, 2 ) = 4%
i(líquida) = ( 1 + 0,04 ) − 1 = 8,16%
2
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CAPITALIZAÇÃO
b)
ALTERNATIVA 1
Caso o Sr. Carlos opte pela primeira alternativa de pagamento, o valor a receber do Sr.
Rui no final do 2º ano será igual a 0,75 ∗ C 0 ∗ ( 1 + 0,12 ) = 0,9408 ∗ C 0 .
2
O capital acumulado no Banco CFIN no final do 3º ano seria:
0, 25 ∗ C 0 ∗ ( 1 + 0,04 ) + 0,9408 ∗ C 0 ∗ ( 1 + 0,04 ) = 1, 333899 ∗ C 0
6
2
ALTERNATIVA 2
Caso o Sr. Carlos opte pela segunda alternativa de pagamento, os valores a receber do
Sr. Rui no final dos 4 semestres serão:
9 1º, 2º e 3º semestres: 0,75 ∗ C 0 ∗
0,14
= 0,0525 ∗ C 0
2
9 4º semestre: 0,75 ∗ C 0 + 0,75 ∗ C 0 ∗
0,14
= 0,8025 ∗ C 0
2
O capital acumulado no Banco CFIN no final do 3º ano seria:
0, 25 ∗ C 0 ∗ ( 1 + 0,04 ) + 0,0525 ∗ C 0 ∗ ( 1 + 0,04 ) + 0,0525 ∗ C 0 ∗ ( 1 + 0,04 ) +
6
5
4
+0,0525 ∗ C 0 ∗ ( 1 + 0,04 ) + 0,8025 ∗ C 0 ∗ ( 1 + 0,04 ) = 1, 368661 ∗ C 0
3
2
Considerando que o Sr. Carlos escolheu a hipótese financeiramente mais rentável – a
alternativa 2, cujo capital acumulado daqui a 3 anos é mais elevado – pode-se concluir
que o C0 é:
1, 368661 ∗ C 0 = 4.105,99
⇒
C 0 = 3.000 €
Exercício 21
A Sra. Dona Branca, reconhecida capitalista da cidade de Gaia, efectuou uma aplicação de
80.000 € no BANCO SODINHEIRO à taxa de juro i(4) = 2%. Sabendo que:
9 No final do 4º ano da aplicação a Sra. Dona Branca efectuou um levantamento de 5.000 €;
9 O capital acumulado no final do prazo da aplicação ascendeu a 86.681,42 €;
determine:
a) Os juros auferidos nos 2 primeiros anos da aplicação.
b) Os juros de juros do 2º ano da aplicação.
c) O prazo da aplicação.
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Pag. 9
CAPITALIZAÇÃO
Resolução
a)
i 1/4 =
0,02
= 0, 5%
4
J 1os 2 anos = C 2 º ano − C 0 = 80.000 ∗ (1 + 0,005)8 − 80.000 = 3.256, 56 €
b)
JJ 2º ano = C 2º ano − C 1º ano − 4 ∗ J simples
JJ 2º ano = 80.000 ∗ (1 + 0,005)8 − 80.000 ∗ (1 + 0,005)4 − 80.000 ∗ 0,005 ∗ 4 = 44, 52 €
c)
86.681, 24 = ⎡⎣80.000 ∗ (1 + 0,005)16 − 5.000 ⎤⎦ ∗ (1 + 0,005)4n −16
86.681, 24 = 81.645,69 ∗ (1 + 0,005)4n − 16
(1 + 0,005)4n −16 = 1,061676
4n − 16 =
ln 1,061676
ln 1,005
4n − 16 = 12
⇒
n = 7 anos
Exercício 22
A DRAGON, SAD, fruto dos sucessos desportivos obtidos na Liga dos 24, apresentou
no último exercício um excedente de tesouraria de 250.000 €. Assim, na última reunião
de direcção da SAD, foi decidido aplicar a totalidade do excedente, à taxa de juro anual
nominal de capitalização semestral de 1,5%. Os juros estão sujeitos a IRS à taxa
liberatória de 20%.
a) Determine a taxa de juro anual efectiva líquida de impostos.
b) Determine o capital acumulado no início do 4º ano da aplicação.
c) No final do 5º ano, a referida instituição financeira baixou a taxa de juro para i(4) = ?.
Este facto originou que o capital acumulado ao fim de 7 anos fosse inferior ao
inicialmente previsto em 2.151 €. Determine a taxa de juro i(4).
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Pag. 10
CAPITALIZAÇÃO
Resolução
a)
i 1/2 (bruta) =
0,015
= 0,75%
2
i 1/2 (líquida) = 0,0075 ∗ (1 − 0, 2) = 0,6%
i(líquida) = (1 + 0,006)2 − 1 = 1, 2036%
b)
C 3º ano = 250.000 ∗ (1 + 0,006)6 = 259.136,08 €
c)
C 7 º ano efectivo = C 7 º ano previsto inicialmente − 2.151
250.000 ∗ (1 + 0,006)10 ∗ (1 + i 1/4 )8 = 250.000 ∗ (1 + 0,006)14 − 2.151
265.411, 55 ∗ (1 + i 1/4 )8 = 269.687,98
(1 + i 1/4 )8 = 1,016112449
1 + i 1/4 = 1,0161124491/8
i 1/4 (bruta) =
⇒
0,002
= 0, 25%
(1 − 0, 2)
i 1/4 = 0, 2% (taxa líquida)
⇒
i ( 4) = 4 ∗ 0,0025 = 1%
Exercício 23
Um comerciante negociou com um banco uma aplicação financeira, por um prazo de
10 anos, em regime de juro composto onde lhe é possível efectuar, a qualquer
momento, depósitos ou levantamentos. Sabe-se que o banco para este tipo de aplicação
financeira pratica uma taxa de juro anual nominal de 4% com capitalização trimestral
(os juros são tributados em sede de IRC à taxa de 20%) e que os movimentos
efectuados na aplicação foram:
▪
Depósito inicial de 50.000 €;
▪
Após 2 anos, depósito adicional de 10.000 €;
▪
Decorridos 5 anos do depósito inicial, levantamento de 20.000 €;
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Pag. 11
CAPITALIZAÇÃO
Nestas condições, determine:
a) A taxa de juro anual efectiva líquida (TAEL) auferida pelo comerciante.
b) O valor na aplicação no final do 10º ano.
c) Os juros totais auferidos sabendo que no final do 10º ano o comerciante resgatou
integralmente a aplicação.
Resolução
a)
i1/4 (bruta) =
0, 4
= 1%
4
i1/4 (líquida) = 0,01* (1- 0, 2 ) = 0,8%
TAEL = (1 + 0,008 ) -1 = 3, 2386%
4
b)
C 2º ano (após depósito adicional) = 50.000 * (1 + 0,008)8 + 10.000 = 63.291,05 €
C 5º ano (após levantamento) = 63.291,05 * (1 + 0,008)12 - 20.000 = 49.641, 59 €
C 10º ano = 49.641, 59 * (1 + 0,008)20 = 58.217,87 €
c)
J T = C 10º ano - C 0 + Levantamentos - Depósitos = 58.217,87 - 50.000 + 20.000 - 10.000 = 18.217,87 €
Exercício 24
O Sr. Nelson efectuou uma aplicação junto do Banco X no montante de 20.000 €. As
condições de remuneração da referida aplicação são as seguintes:
▪
Taxa anual nominal com capitalização semestral de 4%, nos 3 primeiros anos;
▪
Taxa anual nominal com capitalização trimestral de 5%, a partir do 3º ano;
Nestas condições:
a) Calcule o montante acumulado da aplicação no fim do sexto ano.
b) Determine os juros totais referentes aos 5º e 6º anos da vida da aplicação.
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Pag. 12
CAPITALIZAÇÃO
c) Determine os juros de juros referentes aos primeiros 4 anos da aplicação.
Resolução
▪
Primeiros 3 anos
→
i 1/2 =
0,04
= 0,02 = 2%
2
▪
A partir do 3º ano
→
i 1/4 =
0,05
= 0,0125 = 1, 25%
4
a)
C 6º ano = 20.000 * (1 + 0, 02)6 * (1 + 0, 0125)12 = 26.143, 96 €
b)
C 4º ano = 20.000 * (1 + 0,02)6 * (1 + 0,0125)4 = 23.670,70 €
J 5o e 6º anos = C 6º ano - C 4º ano = 26.143,96 - 23.670,70 = 2.473, 26 €
c)
JJ 1os 4 anos = C 4º ano - C 0 - ∑ J simples
JJ 1os 4 anos = 23.670,70 - 20.000 - 20.000 * 0,02 * 6 - 20.000 * 0,0125 * 4 = 270,70 €
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