Economia Financeira
Unidade 4
.
Medição da performance de um portefolio
a partir do modelo CAPM
Avaliação da performance:
Selectivity
Market to Time
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
1
Avaliação da Performance
• Em que medida o resultados de um porfólio são anormalmente
elevados?
• O que se entende por anormalmente elevado ?
– Mercado ajustado, ou modelo de mercado ajustado?
– Rácio de Sharpe como medida de recompensa do risco.
• Problemas:
– Elevado número de medidas.
– Diferentes medidas podem levar a diferentes implicações na
avaliação da performance.
05-11-2015
Economia Financeira - Mestrado
em Economia Carlos Arriaga Costa
2
Medição da performance de um portfolio
a partir do modelo CAPM
e do modelo APT
• Medidas de Performance com risco ajustado.
• Sharpe Index
• Jensen Index
• Treynor Index
•
• Medidas CAPM quando o índice de mercado é
ineficiente.
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
3
Medição da performance de um portfolio
a partir do modelo CAPM
• Como determinar se um investidor obteve
retornos elevados devido à sua “boa “
gestão ou apenas devido a uma situação
de elevado risco? Como poderemos
selecionar a performance de um
investidor tendo em conta o risco
ajustado?
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
4
Três medidas de performance com risco ajustado
baseado no CAPM
– Pressuposto: (1) A CML e a SML são
aplicáveis ao preço dos títulos. (2)
Pode-se emprestar ou pedir emprestado
à taxa sem risco. (3) A construção da
CML e da SML é função da informação
pública disponível.
– Dados os pressupostos indicados , os
investidores poderão utilizar
informação particular autorizada para
identificar títulos que estejam sub
avaliados ou sobre avaliados.
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
5
Índice de Jensen (também designado por Jensen’s Alpha)
• O índice de Jensen é a distância vertical da SML.
• Avaliação dos retornos esperados:
Jj 
E(r j )  (rF  [E(r M )  rF ] β j )
Retornos
Retornos esperados
Esperados
na SML
• Avaliação dos retornos passados
Jˆ  rj  [ rF  ( rM  rF ) βˆ j ]
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
6
Índice de Jensen (2)
• O índice de Jensen é sensível à dimensão do
excesso de retornos mas não à dimensão da
variância residual (isto é, será que o portefolio se
encontra bem diversificado?)
• Desde que o beta é uma medida de risco:
– Apenas o risco sistemático é relevante e não a
a variância residual.
– O índice de Jensen tanto pode ser utilizado
para títulos individuais como para portefolios.
(Não se espera que o títulos individuais se
encontrem diversificados)
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
7
Índice de Jensen :
Retornos esperados
18
16
14
+Jj
12
E(rM) 10
8
rF 6
4
2
0
-Jj
0
05-11-2015
SML
1
Beta
Economia Financeira MEMBF/MEIE
2
3
8
Índice de Treynor
• O índice de Treynor é o declive da linha que passa pela taxa
sem risco e pelo valor esperado do retorno do portfolio,
dado um determinado risco. Pode ser assim definido como
o prémio de risco ganho por cada unidade de risco, sendo
o Beta a medida do risco.
• Avaliação dos retornos esperados:
• Avaliação dos retornos passados:
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
9
Índice de Treynor - 2
• Semelhanças com o índice de Jensen :
Sendo beta a medida de risco, o
índice de Treynor (tal como o índice
de Jensen) ignora a variância
residual
– Sendo o beta a medida de risco, aplicase tanto a portefolios como a títulos
individuais.
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
10
Índice de Treynor :
Retornos esperados
B
A
SML
C
TA > TB > TC
05-11-2015
Economia Financeira -
BetaMEMBF/MEIE
11
Índice de Treynor versus índice de Jensen
Retorno Esperado
20
C
16
B
A
SML
12
8
4
0
0
05-11-2015
0,5
1
Beta
1,5
Economia Financeira MEMBF/MEIE
2
2,5
12
Vantagens do índice de Treynor relativamente ao índice
de Jensen
• O índice de Treynor tem em conta o excesso de retornos
quando se faz um ranking de alternativas (pois tem em
conta o risco medido através do beta).
• Exemplo:
– Um investidor pode pedir emprestado à taxa sem risco,
investindo no título (A) com vista à obtenção do
portfolio (C). Nota: o portfolio (C) domina o título (B):
– E(rC) > E(rB) ainda que C = B
• Índice de Treynor Versus Índice deJensen :
– TA > TB embora JA = JB
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
13
Índice de Sharpe
• O índice de Sharpe é o declive da linha que passa pela taxa
sem risco e pelo valor esperado do retorno do portfolio,
dado um determinado risco (tal como o indice de Treynor).
No entanto, pode ser assim definido como o prémio de
risco ganho por cada unidade de risco, sendo o risco do
portfolio σ (p) a medida do risco.
• Avaliação dos retornos esperados:
• Avaliação dos retornos passados:
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
14
Índice de Sharpe (Continuação)
O índice de Jensen é sensível à dimensão
do excesso de retornos e à dimensão da
varância residual (isto é, saber se o
portefólio se encontra bem diversificado)
• Nota: Tendo em conta o desvio padrão, o índice
de sharpe só faz sentido se aplicado a portfolios
e não a títulos em termos individuais.
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
15
Índice de Sharpe
Retornos Esperados
16
CML
12
M
A
B
8
SA > SM > SB
4
0
0
05-11-2015
10
20
Economia Financeira
Desvio padrão
dos retornos
σ(p)
MEMBF/MEIE
30
16
Medidas de CAPM quando se pode emprestar mas
não pedir emprestado à taxa sem risco.
E(r)
E(r)
0,25
0,25
SML
X
E(rM)
E(rM)
M
L
E(rZ)
E(rZ)
rF
(r)
0
0
05-11-2015
0,48

0
0
Economia Financeira MEMBF/MEIE
0,5
1
1,5
17
Medidas de CAPM quando se pode emprestar mas
não pedir emprestado à taxa sem risco
• A CML é: (rF para L, M e X)
• De acordo com o índice de Sharpe :
Notar que Sp,( L) > Sp,(M) > Sp,(X)
ainda que, L, M, e X, se encontrem na mesma CML.
Por outro lado, o indice de Sharpe encontra-se enviesado
em alta para portfolios de baixo risco e enviesado em baixa
para portfolios de elevado risco . Por outro lado, não
seencontra maneira de corrigir este roblema no índice de
Sharpe.
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
18
Medidas de CAPM quando se pode emprestar mas
não pedir emprestado à taxa sem risco
• Se o índice de Sharpe é dificil de aplicar na
correcção desta situação, o índice de Jensen e
de Treynor pode ser modificado:
• Índice de Jensen revisto:
J jJj E(rE(r
) )E(r
(E(r
 [E(r
 E(r
Zβ)]jβ) j )
j ) j) (E(r
Z )Z)[E(r
MM
Z )]
• Índice de Treynor revisto:
Tj 
05-11-2015
E(r j )  E(r Z )
βj
Economia Financeira MEMBF/MEIE
19
Medidas do CAPM quando o índice de mercado é
ineficiente
• O índice de mercado é ineficiente, na
medida em que os títulos e portfolios
se encontram acima ou abaixo da
SML. Por outro lado, não se pode
afirmar se a posição relativa à SML é
devido à performance ou à
ineficiência do índice de mercado.
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
20
Medidas do CAPM quando o índice de mercado é
ineficiente
E(r)
E(r)
0,25
0,25
M
E(rM)
E(rM)
M’
E(rz)
E(rz)
(r)
0
0
05-11-2015
0,48

0
0
Economia Financeira MEMBF/MEIE
0,5
1
1,5
21
Eficiência
Serão os mercados realmente eficientes?
• Alguns gestores conseguem ultrapassar as rentabilidade
de mercado por longos perio de tempo e os
investidores encomtram-se dispostos a pagar caro as
suas análises.
• Resultados anormais podem não ser muito elevados
mas o suficiente para causar ruido.
– Os mercados serão aproximadamente eficientes (“nearly
efficient”)
• Há evidência empírica de situações anormais.
• Efeito ano, efeito dimensão de empresa, efeito
momento,etc.
•05-11-2015
 Também há evidência
empírica
de gestão activa.
Economia Financeira
- Mestrado
em Economia Carlos Arriaga Costa
22
Market Timing
• O que é market timing?
– Ajustar os ponderadores da carteira de acordo com
uma antecipação (previsão) dos movimentos no
período seguir.
(EX) Modificação dos
ponderadores entre acções, obrigações e
instrumentos do mercado monetário.
– Resultados: rentabilidades mais elevadas, risco
mais baixo.
05-11-2015
Economia Financeira - Mestrado
em Economia Carlos Arriaga Costa
23
Alguns aspectos de Market
Timing
• Timing (antecipação) é muito difícil de
analisar.
• Timing (antecipação) pode adicionar risco
ao investimento, no sentido em que
potencia eventuais ganhos ou perdas.
05-11-2015
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em Economia Carlos Arriaga Costa
24
Hypothetical Returns and
Market Timing
Period Treasury Common Correct
bills
stocks
guess
1
2
3
4
Total
Ave.
Return
05-11-2015
+10%
+8%
+12%
+6
+36%
+9%
+40%
-20%
+50%
-10%
+60%
+15%
+40%
+8%
+50%
+6%
+104%
+26%
Economia Financeira - Mestrado
em Economia Carlos Arriaga Costa
Incorrect
guess
+10%
-20%
+12%
-10%
-8%
-2%
25
Rate of Return for
a Perfect Market Timer
rf
05-11-2015
rf
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em Economia Carlos Arriaga Costa
rM
26
Como analisar capacidade de timing ?
• Longo horizonte de tempo
• Analisar as respetivas proporções do
portefólio.
– Quer em Bull markets quer em bear market
– Observar se os gestores ajustam os portefólios
quer nos movimentos de subida quer nos
movimentos de descida.
– Baixas rentabilidades de mercado  baixo ßeta
– Elevadas rentabilidades de mercado  elevado
ßeta
05-11-2015
Economia Financeira - Mestrado
em Economia Carlos Arriaga Costa
27
Example of Market Timing
= Steadily increasing the beta
as the market moves up
rp - rf
* *
* *
* **
*
* **
* *
* * *
** *
*
*
* *
05-11-2015
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em Economia Carlos Arriaga Costa
r m - rf
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Gestão de portefólio activa. selectivity
• Considerar os investimentos em acções subavaliadas, ou atividades sub-avaliadas.
• O procedimento de seleção ativa resultará na
tomada de um risco não sistemático adicional.
• Equilibrar o portefólio entre um portefólio
ativo e passivo.
(Ex) Modelo Treynor/Black
05-11-2015
Economia Financeira - Mestrado
em Economia Carlos Arriaga Costa
29
Treynor-Black Model
• Modelo utilizado para melhor combinar portefólios
ativos e pasivos.
– Encontrar uma combinação ótima através de uma medida
de combinação valor esperado-risco tal como o índice de
Sharpe
– Pressupostos:
– Capacidade limitada de escolha de ativos sub-avaliados
– Os gestores poderão estimar a rentabilidade esperada e o
risco quer para a carteira ativa quer para a passiva.
05-11-2015
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em Economia Carlos Arriaga Costa
30
Reward-to-Variability Measure
Passive Portfolio : Squared Sharpe ratio
 E ( rm)  rf 

S 

m 

2
2
m
05-11-2015
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Appraisal Ratio
Active Portfolio : Squared Abnormal return
 aA 


  
2
eA
aA = Alpha for the active portfolio
e = Unsystematic standard
A
05-11-2015
deviation for active
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32
Combined portfolio’s Squared Sharpe ratio
 E ( rm)  rf   a A 

S 
 

 m    eA 

2
2
2
P
CAL
E(r)
P
CML
A (active)
M (market: passive)
Rf
05-11-2015

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Treynor-Black Model
• Então, o rácio de sharpe pode ser aumentado com esta
capacidade de saber selecionar ativos sub-avaliados.
• Declive da nova CAL > CML
(rp-rf)/p > (rm-rf)/p
– P será a carteira que melhor combinará um portefólio
passivo e ativo.
– A carteira combinada terá uma rentabilidade eperada mais
elevada para o mesmo nível de risco.
– Capacidade baseada numa capacidade de seleção de
ativos (selectivity).
05-11-2015
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em Economia Carlos Arriaga Costa
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TPC 4
• Vários portefólios apresentam as seguintes características:
•
•
•
•
•
R Esperada
Desvio padrão
Rentabilidade
observada
A
6%
5,66%
8%
B
7%
7%
6%
C
8%
9,31%
9%
D
9%
12,06%
8%
E
10%
15%
10%
Taxa de juro sem risco é igual a 3% e o portefólio de mercado oferece uma
rentabilidade esperada de 7,5% com um desvio padrão de 7,5%.
A. Quer portefólio deverá escolher segundo o rácio de sharpe?
B. Avalie os retornos esperados segundo o índice de Treynor.
C. Avalie os portefólios segundo o índice de Jensen.
D. Faça um comentário sobre os portefólios apresentados.
05-11-2015
Economia Financeira MEMBF/MEIE
35
Conclusão
• Um dos problemas do CAPM é não se poder
determinar se a performance é derivada da
habilidade do investidor ou à ineficiência do
índice de mercado.
• Capacidade de antecipar o mercado e
seleccionar ativos pode se revelar uma
importante capacidade de gestão de ativos
financeiros num mercado imperfeito.
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Economia Financeira MEMBF/MEIE
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