VETORES
Marcos Germano Degenhardt
Definição
Ente matemático representado por um segmento
de reta orientado:

A
Elementos
•Direção:
Reta r suporte onde o vetor é traçado
•Sentido:
Lado sobre a reta r para o qual o vetor aponta
•Módulo:
Valor numérico associado ao vetor
•Ponto de aplicação:
Local inicial o vetor
Exemplo
Observe o vetor:
12,92 cm
Direção: horizontal
Sentido: para direita
Módulo: 12,92 cm
Aplicação: Objeto O
Componentes dos Vetores
Se os vetores estiverem inclinados, faz-se a
projeção dos mesmos sobre eixos horizontais
e verticais:

A

A


A

Ay

Ax
Valores das Componentes
• Componente Horizontal
Vx  V cos
• Componente Vertical
Vy  V sen 
Expressão de um Vetor
Depois de calcular as componentes de um
vetor, pode-se escrevê-lo em termos delas, por
meio da expressão:

V  Vxiˆ  Vy ˆj
Exemplo
Dado o vetor abaixo, determinar:
(a) suas componentes ortogonais
(b) sua expressão vetorial.

V  100 N
30 º
(a) suas componentes
Vx  V cos
Vx  100cos30º  86,6 N
V y  V sen 
V y  100sen 30º  50N
(b) sua expressão

V  Vx iˆ  V y ˆj

V  86,6iˆ  50 ˆj N
Adição de Vetores
Pode ser feita de três modos:
• regra do polígono
• regra do paralelogramo
• regra das componentes
Regra do polígono
• Os vetores são unidos de modo que o vetor
seguinte esteja conectado à extremidade do
vetor anterior;
• O vetor soma inicia-se junto ao primeiro e
termina junto ao último vetor.
Exemplo
Dados os vetores a seguir,
determine a soma:
  

A
S  A B C

B

C

B

A

S

C
Regra do Paralelogramo
• Os vetores são iniciados a partir de um
ponto comum;
• Da extremidade de cada vetor se traça uma
linha paralela ao outro vetor;
• O vetor soma inicia no ponto comum e
termina onde as paralelas se encontram
Exemplo
Dados os vetores a seguir,
determine a soma:
 

A
S  A B

B

A

B

S
Regra das Componentes
• Decompor o vetor nas componentes horizontal e
vertical;
• Efetuar a soma das componentes, separadamente.
Exemplo
Dados
os vetores a seguir, determine a soma:
   
S  A B C

A

B

C
Solução:
•Escrever cada vetor na
forma das componentes:



A  2i  3 j



B  2i  2 j



C i 2j
•Somar
as componentes:



A  2i  3 j



B  2i  2 j



C i 2j



S  5i  3 j
•Representar o vetor soma:

S
Módulo de um Vetor
Dado o vetor:

S
Seu módulo será dado aplicando-se o
Teorema de Pitágoras:
2
2
ˆ
ˆ
S  S xi  S y j
2
Exemplo
Seja o Vetor S, representado a seguir. Qual seu módulo?

S
Solução:
2
2
ˆ
ˆ
S  S xi  S y j
2
S  5  3  25  9
2
2
2
S  34  5,83u
Produto Vetorial
Pode ocorrer de três modos distintos:
• produto de vetor por escalar
• produto escalar entre vetores
• produto vetorial entre vetores
Produto por escalar
Quando se multiplica um vetor por uma
grandeza escalar qualquer:


m  k .v
Exemplo
Determine o produto:


P  3B

B

B

B


B
P
Produto escalar
Quando se multiplica um vetor por outro
vetor e se obtém uma grandeza escalar, tal
como o trabalho:
 
P  A.B
Que tem como módulo:
 
P  A . B . cos
Exemplo
Dados os vetores a seguir, determine seu produto escalar:

A

B




A  4i  4 j  A  4 2  4 2

A  5,67u

Ay j
4
  arctg   arctg  arctg1
Ax i
4
  45º
 
P  A.B
 
P  A . B . cos  5,67.3. cos 45º
P  12,02u
Produto Vetorial
Quando se multiplica um vetor por outro
vetor e se obtém novo vetor, tal como o torque:
  
P  A B
Que tem como módulo:
 
P  A . B . sen 
Exemplo
Dados os vetores a seguir, determine seu produto vetorial:

A

B




A  4i  4 j  A  4 2  4 2

A  5,67u

Ay j
4
  arctg   arctg  arctg1
Ax i
4
  45º
  
P  A.B
 
P  A . B . sen   5,67.3. sen 45º
P  12,02u