Solução Comentada da Prova de Matemática
VTB 2008 – 2ª ETAPA
01. Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 100 alunos. Dentre estes, 30% foram aprovados por
média e os demais ficaram em recuperação. Dentre os que ficaram em recuperação, 70% foram
aprovados. Determine o percentual de alunos aprovados nessa disciplina.
Solução:
Aprovados por média:
Ficaram em recuperação:
Aprovados na recuperação:
Total de aprovados:
M 1 = 30 .
R = 70 .
M 2 = 70 ⋅ 0,7 = 49 .
M = 30 + 49 = 79 .
Como a turma tinha 100 alunos, o percentual de aprovados na disciplina foi de79% .
Pontuação: Até dez pontos.
02. A matriz quadrada A de ordem 3 é tal que
2

A = 1
1

1
2
1
2
1

1 .
2

A) Calcule A2 – 3 · I, em que I é a matriz identidade de ordem 3.
B) Sabendo-se que A cumpre a propriedade A3 – 3 · A = 2 · I, determine a matriz inversa de A .
Solução:
A) Calcule A2 – 3 · I, em que I é a matriz identidade de ordem 3.
1
1
2 1 1 
1 0 0   −1



 

2
A − 3 ⋅ I = 1 2 1  − 3 ⋅ 0 1 0  =  1 −1
1 .
1 1 2 
0 0 1   1
1 −1



 

B) Sabendo-se que A cumpre a propriedade A3 − 3 ⋅ A = 2 ⋅ I , determine a matriz inversa de A .
Como A3 – 3 · A = 2 · I; fatorando o membro esquerdo dessa igualdade por A, temos a expressão
1 2
A −3⋅ I ⋅ A = I .
A 2 − 3 ⋅ I ⋅ A = 2 ⋅ I . Daí, segue que
2
1 2
Da mesma forma, fatorando por A , chegamos a A ⋅ A − 3 ⋅ I = I . Isso implica que
2
1 2
−1
A = A −3⋅ I .
2
(
(
)
)
(
(
)
)
Pelo item anterior, obtemos: A
−1
 −1

 2
 1
=
 2
 1
 2

1
2
−1
2
1
2
1
2
1
2
−1
2




.




Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B
vale até sete pontos.
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03. Os lados a, b, e c do triângulo ABC são opostos aos ângulos internos α, β e γ, respectivamente, e as
medidas, em graus, dos ângulos α, β e γ estão, nessa ordem, em progressão aritmética com razão positiva.
A) Determine a medida do ângulo β.
B) Sabendo-se que a medida do lado a é a metade da medida do lado c, determine as medidas dos
ângulos α e γ.
Solução
A) Determine a medida do ângulo β.
Se a razão da progressão aritmética é r > 0 , temos α = β − r e γ = β + r . Visto que a soma
dos ângulos internos de um triângulo vale 180 0 , concluímos, imediatamente, que β = 60 o .
B) Sabendo-se que a medida do lado a é a metade da medida do lado c, determine as medidas dos
ângulos α e γ.
1
Pela Lei dos co-senos, temos b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos 60 o . Substituindo os valores a = c e
2
1
3
cos 60 o = ,obtemos a relação b 2 = c 2 .
4
2
sen β
sen γ
3
=
Pela Lei dos senos, temos
. Substituindo os valores b =
c e
b
c
2
3
, chegamos a sen γ =1 , ou seja, γ = 90 o . Como os ângulos estão em
sen β =
2
progressão aritmética, concluímos que α = 30 o .
Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até quatro pontos, e o
B vale até seis pontos.
04. Considere o conjunto de dígitos C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A) Dentre todos os números naturais com quatro dígitos que se pode formar utilizando somente
elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 4.
B) Dentre todos os números naturais com três dígitos distintos que se pode formar utilizando somente
elementos de C, calcule quantos são múltiplos de 3.
Solução:
A) Um número natural com mais de um dígito é múltiplo de 4 se, e somente se, ele termina em 00 ou
quando o número natural formado pelos dois últimos dígitos da direita é divisível por 4.
Sendo assim, os números naturais de quatro dígitos, abcd, múltiplos de 4 com a, b, c e d ∈ C
devem terminar em 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56 ou 64. Como podemos escolher qualquer um dos
seis dígitos em C para a e qualquer um dos seis dígitos em C para b, dentre os números
considerados existem 6 2 ⋅ 9 = 324 múltiplos de 4.
B) Um número natural é divisível por 3 se, e somente se, a soma dos valores absolutos dos seus dígitos
é um número natural divisível por 3.
Os números naturais com três dígitos, abc, e divisíveis por 3 que podem ser escritos com os
elementos de C em ordem crescente de valores absolutos, a < b < c , são: 123, 126, 234, 246, 345
e 456. Permutando-se os dígitos em cada um desses números obtemos todos os múltiplos de 3
procurados. Logo, o total é 6 ⋅ 3! = 36 .
Pontuação: A questão vale dez pontos, sendo que cada item vale até cinco pontos.
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05. Dada a reta r : y = 2x do plano cartesiano xy, determine a equação da reta s, a qual é paralela à r, e está,
de r, a uma distância igual a 1 e não intercepta o quarto quadrante do plano cartesiano.
Solução
A equação procurada da reta tem a forma s : y = 2 x + b com b > 0 , pois ela é paralela à reta
r : y = 2 x e não intercepta o quarto quadrante.
P (0, b)
A distância do ponto
para a reta
r é igual a 1 , portanto
2
2
b =1 ⋅ sec α = tg α +1 = 2 +1 = 5 .
Daí, segue a equação da reta s ,
s : y =2x + 5 .
Pontuação: Até dez pontos.
06. Calcule o valor numérico da expressão
 π
 3π 
logtg  + logtg
,
 5
 10 
em que log indica o logaritmo na base 10 e tg indica a tangente do ângulo.
Solução:
Observe que os ângulos são complementares,
cos
3π
π
= sen
10
5
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e
sen
π
2
=
3π π
π 3π π
+
< . Sendo assim,
e 0< <
10
5
5 10
2
3π
π
= cos
.
10
5
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Essas igualdades implicam que
tg
π
3π
= tg
5
10
1.
Agora, utilizando as propriedades do logaritmo, podemos calcular o valor pedido,
3π 
 π
 3π 
 π
logtg  + logtg
⋅ tg
 = logtg
 = log 1 = 0.
10 
 5
 10 
 5
Pontuação: Até dez pontos.
07. As arestas de um cubo medem 1 unidade de comprimento. Escolhido
um vértice V do cubo, considera-se um tetraedro VABC de modo que
as arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam contidas nas arestas do
cubo (como descrito na figura) e tenham a mesma medida,
x =VA =VB =VC , com 0 < x ≤ 1 .
A) Calcule o volume do tetraedro VABC em função de x.
B) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determine o valor de x para que o plano determinado pelos
pontos A, B e C seja tangente a essa esfera.
Solução:
A) Considerando a face ABV do tetraedro como a sua base, a altura fica sendo a aresta
VC . Como ABV é um triângulo retângulo com medida dos catetos igual a x e a medida
1
1 3
da altura é x =VA , então área ( ABV ) = x ⋅ x e o volume é vol (VABC ) = x .
2
6
B) Calculemos o volume desse tetraedro considerando o triângulo eqüilátero ABC de lados 2 x
como a base. Seja x o o valor procurado. Sendo assim,
1
3
3 2
2 xo ⋅ 2 xo ⋅
=
xo .
2
2
2
O dobro da medida h da altura do tetraedro em relação ao vértice V será a medida da diagonal l do
cubo menos a medida d do diâmetro da esfera. Pelo Teorema de Pitágoras, l = 3 , e pelo fato de a
área ( ABC ) =
esfera ser inscrita ao cubo, temos d = 1 . Logo, h =
3 −1
.
2
Calculando o volume do tetraedro, chegamos a
3 2 3 −1
xo
.
6
2
Pelo item anterior, podemos escrever a igualdade
3
3 −1 1 3
xo 2
= xo .
6
2
6
vol (VABC ) =
(
)
3 −1
.
2
Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B
vale até sete pontos.
Resolvendo essa equação, encontramos o valor x o =
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08. Os números a, b, c e d são reais. Determine os coeficientes do polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d,
sabendo-se que o polinômio Q(x) = ax2 + bx + 1 divide P(x) e que P(a) = Q(a) = a ≠ 0.
Solução:
Efetuando a divisão de P ( x ) por Q ( x ) concluímos que P ( x ) = Q ( x ) ⋅ x + (c −1) ⋅ x + d . Por
hipótese, Q ( x ) divide P ( x ) , logo, devemos ter c = 1 e d = 0 . Reescrevamos os polinômios:
P ( x ) = ax 3 + bx 2 + x

.

 Q( x) = ax 2 + bx +1

Da condição P ( a ) = a , chegamos à igualdade a 2 ( a 2 +b) = 0 , de onde segue que b = −a 2 .
Substituindo o valor de b no coeficiente de Q (x) e reescrevendo esse polinômio, obtemos
Q ( x) = ax 2 − a 2 x +1 . Novamente, pela hipótese Q ( a ) = a , obtemos o valor a = 1 , e,
conseqüentemente, b = −1 .
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