Exame e Testes de Mecânica e Ondas / MEEC
Pedro Abreu, Mário Pimenta,
Marco Cardoso, Michele Gallinaro,
Rodrigo T. Dias de Abreu
15 de Junho de 2013
Duração do exame: 3h 00min.
Duração dos testes: 1h 30min.
1º teste: grupos 1 e 2 (20 valores)
2º teste: grupos 3 e 4 (20 valores)
Exame: todos grupos (40 valores/2)
[10,0]
[2,0]
[2,0]
[3,0]
[3,0]
Justifique sumariamente todas as respostas
1) A fenda dupla de Young pode ser utilizada na determinação local das propriedades ópticas de
materiais (em particular, do seu índice de refracção).
a) Obtenha a expressão, em função de θ e da distância d entre as duas fendas, para as posições dos
máximos de intensidade num ecrã a uma distância D ≫ d das fendas iluminadas com radiação
de comprimento de onda λ. Indique as aproximações que achar apropriadas.
b) Sabendo que as fendas foram iluminadas com uma radiação amarela com λ=500 nm e que o
máximo de 10ª ordem se encontra a y=+25 mm do centro num ecrã a D=1 m de distância,
calcule a distância d entre as duas fendas.
c) Considere que tem uma amostra transparente com uma espessura de t=10–5 m e um índice de
refracção n1=1,2. Qual é o comprimento de onda da radiação no interior desse material?
Calcule a diferença de fase Δφ entre dois raios paralelos coerentes após um deles atravessar
essa amostra, incidindo perpendicularmente à amostra e com um ângulo de incidência de 30º.
d) Refaça a alínea a) supondo que interpõe agora essa amostra à saída da fenda superior da dupla
fenda de Young. Lembre-se que esta lâmina pode introduzir uma diferença de fase Δφ. O
máximo central desvia-se? E a largura deste máximo é alterada? Justifique sumariamente.
[10,0] 2) Uma esfera pontual de massa m = 0,010 kg desliza sem atrito numa calha circular colocada na
vertical com raio r = 0,2 m (Fig. 1).
a) Determine o Lagrangeano do sistema.
[2,0]
b) Obtenha a equação de movimento, e determine o período do movimento na aproximação de
[2,0]
pequenas oscilações.
c) Suponha agora (Fig. 2) que se largam sem velocidade inicial duas pequenas esferas iguais de
[3,0]
massa m = 0,005 kg com ângulos iniciais de 3º (esfera 1) e de –6º (esfera 2). Determine o ponto
em que as esferas colidem e o ângulo máximo que vão atingir após a primeira colisão, e calcule
o período do movimento de cada esfera.
[3,0]
d) Determine o ponto em que as esferas colidem e o ângulo máximo que vão atingir após a
primeira colisão, supondo que as esferas têm massas diferentes:
m1 = 0,005 kg, m2 = 0,010 kg.
θ2
θ 1
[10,0] 3) Uma estação espacial encontra-se numa órbita equatorial circular a cerca de 400 km da superfície
da Terra e roda sobre si mesma com um período de Tr = 1h30min.
[2,0]
a) Determine o período e a velocidade do centro de massas da estação orbital.
[3,0]
b) Determine a energia que foi despendida para acoplar à estação espacial, num porto situado a
100 m do eixo de rotação da estação, um módulo com uma massa de 25 toneladas e um
momento de inércia de 500 000 Kg m2 em relação ao centro de massa do módulo. Admita que
o lançamento foi efectuado na direção do movimento de rotação da Terra a partir de uma base
situada no Equador da Terra.
[3,0]
c) Indique todas as forças que determinam o movimento da estação espacial do ponto de vista de
um observador situado:
i) Num referencial de Inércia com origem no centro da Terra.
ii) Num referencial local (origem no centro de massa da estação e fixo nela).
[2,0]
d) Esta estação poderá servir de base para o lançamento de missões interplanetárias. Suponha que
se pretende enviar uma nave a Marte. Considere que, após um breve impulso a nave escapa à
atração gravítica da Terra (ou seja a força gravítica do Sol passa a ser dominante) e desliga os
motores. Qual é a configuração mais favorável em que se devem encontrar o Sol, a Terra e
Marte para a realização da missão. Responda esboçando um diagrama com as posições
relativas dos Planetas em relação ao Sol e indicando a órbita aproximada da nave. Justifique os
raciocínios sem efectuar cálculos.
G ~ 6.7 x 10-11 Nm2kg-2 ; Massa da Terra ~ 6 x1024 kg ; Raio da Terra~ 6.4 x106 m.
[10,0] 4) O bosão de Higgs foi descoberto em 2012 no LHC/CERN, com massa
mH≈125 GeV/c2 = 2,23x10–25 kg e um tempo próprio de vida média tH≈10–22 s. Considere um
bosão de Higgs com velocidade vH=0,998c ( βH2=0,996) no referencial do laboratório.
a) Calcule no referencial do laboratório, o momento linear e a energia do bosão de Higgs.
[2,0]
Compare com os valores obtidos no referencial do centro de massa.
[1,0]
b) Determine no referencial do laboratório, a distância média percorrida pelo bosão de Higgs
antes de decair.
[1,0]
c) Suponha que o bosão de Higgs decai em dois fotões, emitidos ao longo da linha de voo do
bosão. Determine, no referencial do centro de massa do bosão de Higgs, a energia dos fotões
emitidos.
[2,0]
d) Calcule no referencial de laboratório as energias dos fotões emitidos.
[2,0]
e) Verifique que poderia ter chegado aos resultados da alínea d) utilizando o efeito de Doppler.
[2,0]
f) Suponha agora que os fotões são emitidos, no referencial do centro de massa do bosão de
Higgs, numa direção perpendicular à da linha de vôo do laboratório (igual à linha de vôo do
bosão de Higgs no laboratório). Refaça a alínea 1d) e calcule o ângulo entre os fotões no
referencial do centro de massa e no referencial do laboratório.
c = 299 792 458 m/s ≈ 3 × 108 m/s
Se precisar, aqui estão as transformações de Lorentz (de S para um referencial S’ com velocidade
em S dada por V=+ßc – segundo ex – e de S’ para S):