Matemática 4
aula 1
C O M E N T Á R I O S –A T I V I D A D E S
1.
PARA
5.
SALA
N = 25 . 8x → N = 52 . 23x
Número de divisores = (2 + 1)(3x + 1) = 21 →
→ 3x + 1 = 7 → x = 2 um número primo.
Resposta correta: E
Pelo algoritmo da divisão, temos:
I. n1 = n2 ⋅ q + r
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
II. n1 + 21 = (n2 + 3) ⋅ q + r
n1 + 21 = n2 ⋅ q + r + 3q
n1
1.
Do enunciado, temos:
I) x + y = 565
II)
n1 + 21 = n1 + 3q ⇒ q = 7
Substituindo (II) em (I):
x + y = 565
21y + 15 + y = 565
22y = 550
y = 25
31754xy = N
Se 3/N → 3/20 + x + y → 3/x + y + 2
5/N → y = 0 ou 5
Se y = 0 → 3/x + 2 → x = 1, 4, 7
Se y = 5 → 3/x + 7 → x = 2, 5 , 8
x = 1, 2, 4, 5, 7, 8
x = 21y + 15
x + y = 565
x + 25 = 565
x = 540
Resposta correta: D
2.
Resposta correta: A
3.
y
(15) 21
Resposta correta: D
2.
x
Lembrando...
Se N = 2a ⋅ 3b ⋅ 5c ⋅ 7d. ... , a quantidade de divisores positivos de N é dada por n[D(N)] = (a + 1) ⋅ (b + 1)(c + 1)
(d + 1).
I. Como temos 366 dias e cada semana tem 7 dias,
temos: 366 = 52 ⋅ 7 + 2 → Como sobram dois dias
e tem que ter 53 domingos, então 1º de janeiro
(Semanas completas) é sexta-feira.
I. Se K tem 264 divisores (positivos e negativos), então
ele tem 132 positivos e 132 negativos)
II. K = 23 ⋅ 32 ⋅ 49x ⇒ K = 23 ⋅ 32 ⋅ (72)x ⇒ K = 23 ⋅ 32 ⋅ 72x
II. Número de dias até 9 de março
Janeiro : 31 dias
Feveiro : 28 dias +
Março : 9 dias
III. n[D(K)] = (3 + 1)(2 + 1)(2x + 1)
132 = (4 ⋅ 3)(2x + 1)
11 = 2x + 1 ⇒ x = 5
69 dias
Resposta correta: E
3.
III. 69 = 9 ⋅ 7 + 6 → sexto dia que sobra!
↑
⎛ semanas ⎞
⎜
⎟
⎝ completas ⎠
IV. S
1º
S
D
S
T
Q
2º
3º
4º
5º
6º
Q
Resposta correta: C
4.
Fatorando 3600:
3600
2
1800
2
900
2
450
2
225
3
75
3
25
5
5
5
1
x = 3600 = 24 . 32 . 52
720 = 24 . 32. 5
a) Número de divisores = (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 30.
b) Número total de divisores = 2 . 30 = 60.
c) Consideraremos os divisores de 32 . 5 e retiraremos
esses do total.
(2 + 1)(1 + 1) = 6
os pares 30 – 6 = 24.
d) Já calculados 24.
e) N/720 e N = q2 → N = 22k . 526
k = 0,1 ou 2 e L = 0,1 pelo princípio fundamental da
contagem, temos:
6 divisores quadrados perfeitos
O número de divisores naturais é p = (4 + 1) (2 + 1) (2+ 1) =
45, enquanto o número de divisores pares e naturais é
dado por q = 4 . (2 + 1) (2 + 1) = 36
Resposta correta: A
4.
n = p1θ1 .... pkθk , temos:
(θ1 + 1) ... (θk + 1) = 3 → θ1 = 2 e θk = 0 se k ≥ 2
n = p12 → n3 = p6
O número de divisores de n3 = 7.
p (divisores de x) = 27 = 128
Resposta correta: B
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
1
5.
Fatorando 9 x 10m:
9 x 10m = 32 . (2 . 5)m
9 x 10m = 32 . 2m . 5m
O valor que torna 100a – 27 divisível por 7 é a = 3, pois:
100a – 27 = 100 . 3 – 27 = 273
O número de divisores positivos é dado por (2 + 1) (m + 1)
(m + 1) que é igual a 48:
3 (m + 1)2 = 48
(m + 1)2 = 16
m+1=±4
m+1=4
m=3
ou
7
39
Resposta correta: B
10. N = 2 . p . q; p e q primos.
Números de divisores de N = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8.
m+1=–4
m = – 5 (Não convém)
Resposta correta: E
Resposta correta: 03
6.
273
63
(0)
I. 2310 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11
II. 1300 = 22 ⋅ 52 ⋅ 13 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 13
III. Para que 2310 ⋅ x seja divisível por 1300, devemos ter
que “x”, no mínimo que o que sobra em 1300, ou seja, 2 ⋅ 5 ⋅ 13 = 130
11. A classe é formada por 3 algarismos, dividindo-se 1999
por 3:
19’9’9
19
19
(1)
3
666
Resposta correta: 130
7.
Existem 333 classes de ordem par e 333 classes de ordem ímpar completos
Sendo q o resto da divisão de a por 6, teremos:
a
4
6
q
N=1
a = 6q + 4
6q + 5
N
5
Note que 2 e 7 deixam resto 2 na divisão por 5. E que
3 = 5 . 0 + 3; 4 = 5 . 0 + 4; 5 = 5 . 1 + 0; 6 = 5 . 1 + 1.
Logo a razão r ≥ 5.
Temos 5k + 2 e 5k + 2 + 5 = 5(k + 1) + 2.
Logo a razão r = 5.
Resposta correta: D (Retificação do gabarito)
Para o número ser divisível por 2 e por 5 é necessário
que termine em zero, ou seja, b = 0.
Para o número ser divisível por 7 é necessário que a diferença entre as classes ímpares e pares seja múltiplo de 7:
⇒
⇒
⇒
⇒ 1 + 333 . 111
⇒ 333 . 111
⇒1
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
7
q
⇒ N = 7q + 5
Substituindo N = 7q + 5 na expressão:
N2 + N + 1 = (7q + 5)2 + 7q + 5 + 1
N2 + N + 1 = 49q2 + 70q + 25 + 7q + 5 + 1
N2 + N + 1 = 49q2 + 77q + 31
Dividindo-se a expressão por 7:
N2 + N + 1 49q2 + 77q + 31
=
7
7
N2 + N + 1 49q2
77q 31
=
+
+
7
7
7
7
N2 + N + 1
31
= 7q2 + 11q +
7
7
Para obtermos o resto da divisão de N por 7, basta dividirmos 31 por 7:
a30
57
a30 – 57
31
(3)
7
4
O resto 3.
Como a30 = 100a + 3 . 10, então a diferença é:
a30 – 57 = 100a + 30 – 57
a30 – 57 = 100a – 27
2
2
111
12. Temos que:
Resposta correta: D
57 a 30
Classe ímpar
Classe par
Diferença
2
111
Classe par Classe ímpar
Resposta correta: C
3
2
9.
2
111 ...
Classe par
Desta maneira, o resto da divisão de N por 7 é 1.
– 6q – 3 2q + 1
8.
2
111
Classe ímpar
Soma das classes ímpares
Soma das classes pares
Diferença
Dividindo-se a + 1 por 3:
I. a = 6q + 4
a + 1 = 6q + 4 + 1
a + 1 = 6q + 5
II.
2
111
Classe par
Resposta correta: C
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
aula 2
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
PARA
2.
SALA
24 = 23 . 3
36 = 22 . 32
60 = 22 . 3 . 5
MMC(24, 36, 60) = 23 . 32 . 5 = 360
2
2
2
2
3
24 . 3
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
140
70
35
7
1
3
2
2
5
7
22 . 5 . 7
2
2 .3
MMC(48, 72, 140) = 24 . 32 . 7 . 7 = 5.040
Resposta correta: A
Resposta correta: C
3.
2.
48
24
12
6
3
24, 36, 60 2
12, 18, 60 2
06, 09, 30 3
02, 03, 10
12
48 = 24 . 3
64 = 26
São apenas os divisores pares de 48, ou seja, os divisores de 24 que são 5, um número primo.
Resposta correta: B
4.
Resposta correta: D
3.
Escrevendo m e n como produto de fatores primos:
I) m = 25 . 33 . 62
m = 25 . 33 . 32 . 22
m = 27 . 35
Resposta correta: D
II) n = 2 . 3 . 42 . 52
n = 2 . 3 (22)2 . 52
n = 25 . 3 . 52
A divisão de m por n não é exata, pois n tem o fator 52
que m não possui.
5.
Resposta correta: C
4.
Os tempos em que os médicos dão o plantão são:
Médico 1 ⇒ 15, 30, 45, ...; dias
Médico 2 ⇒ 20, 40, 60, ...; dias
Médico 3 ⇒ 12, 24, 36, ...; dias
Esses médicos se encontrarão a cada 60 dias, que é
mmc (15, 20, 12). Se eles se encontraram em 14 de abril,
voltarão a se encontrarem no dia 13 de junho, pois o
mês de maio tem 31 dias.
I. Como não deve sobrar material, então a aresta do
cubo deve ser máxima, portanto, deve ser um número maior possível que divida 144, 180 e 108, que é o
mdc (144, 180, 108) = 36
II. Vtotal = 180 . 144 . 108 e o Vcubo = 363. Assim nº de
180 . 144 . 108
= 5 . 4 . 3 = 60
cubos =
36 . 36 . 36
Resposta correta: D
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
120, 180, 210
060, 090, 135
020, 030, 045
004, 006, 009
2
3
5
O tamanho do barbante terá de ser um divisor de 96 e
150 ao mesmo tempo. Para termos o menor número de
pedaços é necessário que o barbante tenha o maior valor possível, então, o barbante deve ser múltiplo comum
de 96 e 150 e ter o maior valor possível, ou seja, temos
de calcular o MDC entre 96 e 150:
96, 150 2
48, 75 2
24, 75 2
12, 75 2
6, 75 2
3, 75 3
MDC (96, 150) = 2 x 3 = 6
1, 25 5
1, 5 5
1, 1
O pedaço deve ser de 6m, do primeiro rolo vão ser formados 96 ÷ 6 = 16 pedaços, enquanto do segundo rolo
vão ser formados 150 ÷ 6 = 25 pedaços. Num total de
16 + 25 = 41 pedaços.
Resposta correta: B
5.
I. Seja “x” a quantidade de laranjas. Se “x” dividido
por 50 e por 36, deixa resto 12, então x = mmc (50,
36) + 12. Como mmc (50; 36) = 900, então x = 912.
II. Se dividirmos 912 por 35 obteremos resto = 2.
Resposta correta: B
6.
O número de dias decorridos em que cada satélite
completará uma volta será:
• Satélite A ⇒ 6, 12, 18, 24, ...
• Satélite B ⇒ 10, 20, 30, 40, ...
• Satélite C ⇒ 9, 18, 27, 36, ...
Eles estarão alinhados quando decorrer um tempo igual
a um múltiplo entre 6, 10 e 9, o primeiro alinhamento
ocorrerá quando se passar o menor múltiplo comum entre 6, 10 e 9, ou seja, MMC (6, 9, 10) = 90 dias, que contado a partir de 03/05, ocorrerá em 01/08.
30
Resposta correta: A
Resposta correta: C
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
3
7.
Como o número de alunos é maior que 30, então o número de alunos é 42.
Encontrar a quantidade de moedas é encontrar um número maior que 118 e menor que 180 que dividido por
6; 12 e 18 deixa resto 4.
Os números que são divisíveis por 6, 12 e 18, são os
múltiplos de 36, pois mmc (6; 12 e 18) = 36, ou seja:
M(36) = {36, 72, 108, 144, 180,...}
Os números que divididos por 6; 12 e 18 e deixam resto
4 são os números {40, 76, 112, 148, 184,...}
Resposta correta: C
aula 3
C O M E N T Á R I O S –A T I V I D A D E S
118 < 148 < 180
1.
SALA
(n + 1) !− (n + 1) . (n − 1) ! =
n!+ (n − 1) !
(n + 1)(n)(n − 1) !− (n + 1) . (n − 1) ! =
=
n (n − 1) !+ (n − 1) !
2
n + n − (n + 1) n2 − 1
=
=
= n −1
ƒ (n) =
Resposta correta: 148
8.
PARA
Basta tirar o MMC (1, 2, ..., 10) e subtrair 1.
x = mmc(1, ..., 10) – 1 tem essa propriedade
x = 8 . 9 . 5 . 7 – 1 = 2519.
x + 1 é múltiplo de todos os números de 1 a 10.
n+1
n+1
Resposta correta: C
Daí ƒ(2009) = 2008
9.
A sala mede 3m por 4, 25m, ou seja, 300cm por 425cm.
O ladrilho deve ter para medida do lado, um número
que divide 300 e 425, portanto, um divisor comum.
a) Para a dimensão ser máxima é necessário que a medida do lado seja igual ao MDC entre 300 e 425.
Resposta correta: B
2.
300, 425 2
150, 425 2
75, 425 3
25, 425 5
5, 85 5
1, 17 17
1, 1
Observe que:
(n + 1)! – n! = (n + 1) . n! – n!
(n + 1)! – n! = (n + 1 – 1) . n!
(n + 1)! – n! = n . n!
Portanto:
2! – 1! = 1 . 1!
3! – 2! = 2 . 2!
4! – 3! = 3 . 3!
...
101! – 100! = 100 . 100!
101! – 1! = 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ... + 100 . 100!
MDC (300, 425) = 5 x 5 = 25cm
1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + ... + 100 . 100! = 101! –1
b) O terreno tem dimensão 300cm X 425cm, enquanto
ladrilho tem dimensão 25cm X 25cm, o número de
300 x 425
= 204
ladrilhos é
25 x 25
Resposta correta: B
3.
10. O número de alunos é divisor da quantidade de material, para que cada aluno receba a mesma quantidade. Fatorando as quantidades de cada material:
126, 168, 210, 252
63, 84, 105, 126
63, 42, 105, 63
63, 21, 105, 63
21, 7, 35, 21
7, 7, 35, 7
7, 7, 7, 7
1, 1, 1, 1
4
= 210 → n(n + 1) = 210 → n = 14
(k + 3)! + (k + 2)! = 15(k + 1)! →
→ (k + 3)(k + 2) (k + 1)! + (k + 2) (k + 1) ! = 15 (k + 1) !
→ (k + 2)(k + 4) = 15 → k = 1
2
2
2
3
3
5
7
Daí n + k = 15
Resposta correta: E
4.
I. log1010100 = 100 ⋅ log1010 = 100
II.
Os fatores comuns são 2, 3 e 7, os possíveis divisores
comuns são iguais às possíveis quantidades de alunos.
Os possíveis divisores são:
•
•
•
•
•
•
•
(n + 1) !
(n − 1) !
2
3
7
2x3=6
2 x 7 = 14
3 x 7 = 21
2 x 3 x 7 = 42
log1010100 = 100 = 10
III. 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ .... 2n = 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 4 ... 2 ⋅ n =
= 2n ⋅ 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = 2n ⋅ n!
n1
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ ...2n 2n ⋅ n!
=
IV.
= 2n
n!
n!
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ ...2n
V.
> log10 10100 ⇒
n!
2n > 10, é verdadeiro para n ≥ 4. Assim, o menor é 4.
Resposta correta: B
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
5.
Fatorando 75600 teremos: 24 . 33 . 52 . 71, o número de
divisores positivos é (4 + 1) (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 5 . 4 .
3 . 2 = 5!
6.
n! + 1 + n! + 2 + ... + n! + n =
n ! + n ! + n ! + ... + n ! + 1+ 2 + 3 + ... + n =
Resposta correta: D
n
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
n2 + 49n
2
PA de n
n2 + 49n
2
(1+ n) n n + 49n
=
2
2
2
n. n! +
12 ! − (12 + 1)!
, temos
12 !
12 ! − 13 !
K=
12 !
12 ! − 13. 12 !
K=
12 !
12 ! (1− 13)
K=
12 !
K = –12
n2 + 49n n2 + n
−
2
2
48n
n. n! =
2
n. n! = 24n
n! = 24
n! = 4!
n=4
Sendo K =
n. n! =
Resposta correta: B
Resposta correta: D
2.
7.
1
1
1
Sendo K = log
+ log
+ ... + log , teremos:
2
3
n
1 1 1
1
.
.
. ... .
K = log
2 3 4
n
1
K = log
n ... 4 . 3 . 2 .1
Temos que:
I) (n – 6)! = 720
(n – 6)! = 6!
n–6=6
n = 12
II) 0, 2 = 0,222 ...
1
n!
K = log (n!)–1
K = log
0, 2 =
Portanto:
2
Resposta correta: B
5120,2 + log144 n = 512
e j
= 29
3.
x!
x!
2
→
=
2.
= 4!
( x − 4) !
( x − 5) ! (5!)
( x + 4 ) ( x − 5)
4!
( x − 5) ! 5. 4!
Observe:
1! =
2! =
3! =
4! =
5! =
2⋅1=
3⋅2⋅1=
4⋅3⋅2⋅1=
5⋅4⋅3⋅2⋅1=
=
Desenvolvendo a expressão
2
. 12
8.
(n + 1)! − n !
= 7n
(n − 1)!
+
(n + 1) n (n − 1)! − n (n − 1)!
= 7n
(n − 1)!
b g
(n − 1)! n + 1 n − n
......... 0
......... 3
(n − 1)!
n2 = 7n
n2 – 7n = 0
n (n – 7) = 0
n=0
ou
Resposta correta: C
5.
+ log12
+ log144 12
Resposta correta: E
A partir de 5! todos os algarismos das unidades são zeros.
2000! =
9
9
1
log1212
2
1
=4+ .1
2
9
=
2
→ x − 4 = 10 → x = 14
1
2
6
24
120
2
= 22 +
Resposta correta: D
4.
2
9
5m! − 2(m − 1)!
, temos:
m!
n–7=0
Não convém.
5m(m − 1)! − 2(m − 1)! (m − 1)! [5m − 2] 5m − 2
=
=
m
m(m − 1)!
(m − 1)! ⋅ m
= 7n
n=7
Resposta correta: A
Resposta correta: A
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
5
9.
A = 1 . 3 . 7 ... 49 →
3.
2 . 4 . ... . 50 A = 1 . 2 . 3 ... 49 . 50 →
50!
→ 2 (1 . 2 ... 25)A = 50! = A =
25
25
2
1ª
Questão
.
.25!
Para cada questão existem 2 possibilidades: sim ou não,
portanto:
2
2ª
Questão
x
5ª
Questão
2
x
2
32
possibilidades
=
Resposta correta: E
Resposta correta: C
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8...2n 2 ⋅ 1⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ ...2 ⋅ n
=
=
n!
n!
2n ⋅ 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ n 2n ⋅ n!
=
=
= 2n
n!
n!
10. I.
II. log2
4.
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ ... ⋅ 2n
= log2 2n = n
n!
Resposta correta: C
Resposta correta: D
5.
aula 4
C O M E N T Á R I O S –A T I V I D A D E S
1.
PARA
Vamos encontrar a quantidade de números menores que
62417:
Começando por 1, 2 ou 4.
1, 2 ou 4
3
SALA
6
1
CEN
Nº de
possibilid.
DEZ
x
5
x
4
x
3
x
6
1
= 125
5
2
3
x
2
1
1
x
2
x
1
= 72
1
1
x
x
1
=6
x
2
1
x
x
1
=2
Começando por 624 ⇒ 62417
b)
CEN
≠0
9
DEZ
x
UNI
10
x
10
Existem 80 números menores que 62412, então é o 81º
número.
= 900
Resposta correta: D
c)
CEN
≠0
9
x
DEZ
≠ 1º alg.
9
x
UNI
≠ 1º e 2º alg.
8
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
= 648
d) Terminando em Zero:
CEN
≠ 3º alg.
9
x
1.
DEZ
≠ 1º e 3º alg.
8
x
UNI
0
1
CEN
≠ 0 e 3º alg.
8
x
DEZ
≠ 2º e 3º alg.
8
Temos uma questão com as letras P, Q e R e os algarismos 9, 1, 7 e 8.
1º caso: Letras e algarismos distintos
= 72
Possibilidades → ____ ____
3
2
Terminando em 2, 4, 6 ou 8:
x
UNI
2, 4, 6 ou 8
3
6
= 192
3p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 3 . 26 possibilidades. Temos 3
possibilidades apenas na primeira, pois daí em diante
não podemos ter a cor igual a anterior.
Possibilidades → ____ ____
3
3
Resposta correta: B
|
⋅
24
= 144
2º caso: Podendo repetir letras e algarismos
9
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
____ ____ ____ ____
4
3
2
1
Resposta correta: C
Resposta correta: C
6
x
Começando por 621
UNI
⇒
5
x
Começando por 61
Para formar o número devemos escolher o algarismo da
centena, da dezena e da unidade:
a)
2.
⎯ ⎯ ⎯ ⎯ C5,4 = 5
⎯ ⎯ ⎯ C5,3 = 10
⎯ ⎯ C5,2 = 10
⎯ C5,1 = 5
Temos 10 + 10 + 5 + 5 = 30 possibilidades.
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
____ ____ ____ ____
4
4
4
4
⋅
256
= 2304
2.
I. Como não existe código de uma só cor, então pelo
menos uma barra tem cor diferente. Assim, temos
que não pode existir esses dois códigos abaixo:
B
B
B
B
B
B
P
P
P
P
P
P
2 códigos
3ª, a 4ª e a 5ª posição, num total de 4 x 336 = 1344 números.
Resposta correta: B
7.
Existem duas possibilidades, ir de A a B usando rodovia
e de B a C usando ferrovia ou ir de A a B usando ferrovia
e de B a C rodovia.
II. Se pudessem também ser de cores iguais tínhamos
um total de 64 códigos. Veja:
A→B
B→C
ou
A→B
B→C
Rodovia
Ferrovia
+
Ferrovia
Rodovia
2
+
2
_____ _____ _____ _____ _____ _____
→
2
⋅
2
⋅
⋅
2
2
⋅
2
⋅
2
= 64
3
III. Finalmente o total de códigos possíveis é: 64 − 2 = 62
.
.
2
= 10
Resposta correta: B
Resposta correta: C
3.
n(0, 3, 4, 7, 8) não distintos.
12p 11p
= 132 maneiras
1º 2°
8.
4p 5p 5p 100 números; n = 100
Resposta correta: B
m(0, 3, 4, 7, 8) distintos.
4p 4p 3p 48 números, m = 48
9.
Considerando os percursos ABCX, ADEX, AFX:
A →B B→ C C→ X
= 6 caminhos
ABCX ⇒
1 x 3 x 2
p(0, 3, 4, 7, 8) pares distintos
4p 3p 0
12 números
3p 3p 4
9 números
3p 3p 8
9 números
ADEX ⇒
A →D D→E E→ X
= 12 ca minhos
x 2 x 3
2
A →F F→ X
= 2 ca minhos
3 x 2
p = 12 + 9 + 9 = 30
daí n + m + p = 100 + 48 + 30 = 178
AFX ⇒
Resposta correta: B
Total = 6 + 12 + 6 = 24 caminhos
Resposta correta: B
4.
3p 3p 2p 2p 1p 1p
= 36
M H M H M H
10.
Resposta correta: E
5.
1ª
Linha
O primeiro algarismo não pode ser zero para que o
número tenha 5 algarismos:
1º
alg.
2º
alg.
≠ 1º
alg.
≠0
9
x
3º
alg.
≠ 2º
alg.
9
x
4º
alg.
≠ 3º
alg.
9
x
9
x
2º
alg.
6
9
=9
1
x
1
x
8
x
4º alg.
5º alg.
≠ 1º, 2º
e 3º alg.
≠ 1º, 2º, 3º
e 4º alg.
7
x
5ª
linha
≠ 4ª
linha
= 1.280
formas
aula 5
5
C O M E N T Á R I O S –A T I V I D A D E S
3º
alg.
≠ 1º e
2º alg.
7
4ª
linha
≠ 3ª
linha
Resposta correta: E
Para formar o número temos de fazer 5 escolhas dentre
os algarismos de 0 a 9, o algarismo 6 ocupa a 1ª posição, vamos considerar o 7 na segunda posição.
1º
alg.
3ª
linha
≠ 2ª
linha
5
4
4
4
4
x
x
x
x
possib.
possib.
possib.
possib.
possib.
5º
alg.
≠ 4º
alg.
Resposta correta: E
6.
2ª
linha
≠ 1ª
linha
6
PARA
SALA
1.
I. Calculando os casos em que João e Pedro ficam juntos:
Referente à ordem
J ___
P
___
= 336
considere
1 só
Com 7 ocupando o 2º ALG. Temos 336 números, do
mesmo modo teremos 336 números com 7 ocupando a
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
4 x ___
3 x ___
2 x ___
1 = 24 x 5 x 2 = 240
___
referente
ao deslocamento
ou P5 . P2 = 5! 2! = 240
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
7
II. Calculando o total de casos:
P6 = 720
5.
I. Temos oito espaços para colocarmos 8 números. Porém três destes números devem ficar juntos, que são
os números 1, 3 e 5, sobrando para o restante 5 números.
Número
1 3 5 ___ ___ ___ ___ ___
Possibilidade 3 2 1
5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
III. Como João e Pedro não podem ficar juntos, teremos:
P6 – P5 . P2 = 720 – 240 = 480
Resposta correta: C
Não importa a
ordem dos números,
por isso 3 . 2 . 1 = 6
2.
A ___
E
___
II. Como os números 1, 3 e 5, que estão sempre juntos,
podem mudar de posição, por exemplo:
3
5
____ ___
____ ____ ____ 1
O ___
4 x ___
3 x ___
2 x ____
1
___
= 24 x 5 = 120
1 só
referente
ao deslocamento
Então o total de manobras é 6 . 120 = 720.
ou P5 = 120
Resposta correta: D
Resposta correta: C
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
3.
1.
I. Inicialmente teremos o trecho:
B
A
Caminho N N L L L L
B
A
Resposta correta: E
2.
Marcelo ,
Danielle ,
Márcio
Temos de permutar 4 pessoas, P4. Mas temos de considerar a troca de posição de Rogério e Reginaldo, P2:
P2 x P4 = 2! x 4! = 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 maneiras.
Resposta correta: 48
3.
Resposta correta: 150
Como temos três marcas distintas, podemos relacionar
da seguinte forma: x + y + z = 6, onde x, y e z são as
referidas marcas.
4
8x7
= 28
21
II. Analogamente ao item I, temos x + y + Z = 3, pois é
necessário relacionar pelo menos uma unidade de cada
marca, portanto, temos:
P5
5!
5 x 4 x 3 ! 20
=
=
=
= 10
P3 . P2 3 ! 2 !
3! x 2!
2
8
Devemos considerar que Rogério e Reginaldo são uma
única pessoa.
Rogério, Reginaldo ,
II. Analogamente com o trecho de B a C:
5!
5 . 4 . 3!
P52,3 =
∴
= 10
2! 3!
2! . 3!
Com os 2 trechos, temos: 15 . 10 = 150
P8
8!
8 x 7 x 6!
Portanto, temos:
=
=
=
P6 . P2 6 ! 2 !
6! x 2!
Para formarmos os anagramas da palavra ENIGMA,
devemos trocar de lugar ou permutar as 6 letras:
P6 = 6! = 720 anagramas.
II. Se a primeira letra for A, só precisaremos trocar de
posição as outras 5 letras do ANIGME, ou seja,
P5 = 5! = 120 anagramas.
III. Se as duas primeiras letras forem EN, só precisaremos trocar de posição as outras 4 letras de
NEGMAI, ou seja, P4 = 4! = 24 anagramas.
As afirmações I e III são verdadeiras.
NLLNLL
A cada caminho formado, temos que ir 2 para o norte e
4 para o leste. O que muda de um caminho para outro é
a ordem dos N (Norte) e dos L (Leste). Permutaremos 6
letras sendo 2 repetidas (Norte) e mais 4 repetidas (Les6!
6 . 5 . 4!
2, 4
∴
= 15
te). P6 =
2! 4!
2! . 4!
4.
I.
I.
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VESTIBULANDO:
I. Calculando os anagramas em que as vogais aparecem
juntas:
A E I O U 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = P8 . P5
1 só
P5
II. Total de anagramas: P12
III. Os anagramas em que as vogais não aparecem juntas
é igual a:
P12 – P8 . P5, ou ainda, 12! – 8! 5!
Resposta correta: C
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
4.
Para as consoantes estarem juntas, vamos considerá-las
como uma só letra e na ordem alfabética:
JNR A
E
I
9.
a) Ele tem que andar 9 quadras. Ao escolher as quadras que vão para cima, as outras estarão determi⎛ 9⎞
nadas ⎜ ⎟ .
⎝ 4⎠
b) Analogamente, o número de maneiras de Pirúvico ir
⎛ 4⎞
à Liturgina é ⎜ ⎟ = 4 .
⎝ 1⎠
O
Os anagramas serão formados trocando de posição as 5
letras acima.
P5 = 5! = 120 anagramas
Não levamos em conta a troca de posição das consoantes, pois só nos interessa a ordem JNR, que é a ordem
alfabética.
⎛ 6⎞
E estando em Liturgina para ir à Ambrozina ⎜ ⎟ = 15
⎝ 2⎠
Pelo princípio multiplicativo há 4 . 15 = 60 possibilidades.
Resposta correta: C
5.
Calculando a quantidade de números que começam por
2 ou 3:
2 ou 3
. . . . = 48
2
4 3 2 1
Calculando a quantidade de números que começam por
42:
4 2
. . . . =6
1 1 3 2 1
Calculando a quantidade de números que começam por
432 ou por 438:
4 3 2 ou 8
. .
. . =4
1 1
2
2 1
Existem 48 + 6 + 4 = 58 números menores que 43928,
então esse será o 59º número.
Um número de 5 algarismos será políndromo quando o
primeiro algarismo for igual ao quinto, e o segundo algarismo for igual ao quarto, portanto, o número total de
números políndromos é:
1º ALG
b) 60 (Retificação do gabarito)
10.
Juntas (4)
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
4 . 3 . 2 . 1
7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2
P4
P7
P4P7
Resposta correta: B
11.
Resposta correta: C
6.
Resposta correta: a) 4
2º ALG
3º ALG
4º ALG
5º ALG
I. ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
3p 3p 3p
3p 3p
8
3 números formados com 1, 2, 3.
II. ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p
8
≠0
9
.
10
.
10
.
= 2º a lg.
1
C3, 2 . 2 números formados com apenas dois do três
algarismos.
= 1º a lg.
= 900
1
8
8
Daí o que queremos é 3 – 3 . 2 .
Resposta correta: A
Resposta correta: B
7.
Podemos interpretar o problema da seguinte forma, x é
o número de pastéis de carne; y de queijo; z de palmito.
Assim nitidamente temos:
x+y+z=5
E o mesmo que permutar cinco pontos e duas vírgulas;
exemplo de uma permutação.
.., .., .
Neste caso x = 2, y = 2 e z = 1, o número de permutações é:
7!
7
=
= 21
p5,2
5!2!
Resposta correta: C
8.
A cada par de circunferência temos no máximo dois
pontos de interseção. O total de pares de circunferência
10 !
10 x 9 x 8 !
=
= 45 , então o número
é C10,2 =
(10 − 2)! 2 !
8! 2 . 1
máximo de pontos será 45 . 2 = 90 pontos.
Resposta correta: B
-91208
Rev.: Jéssica da silva
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 4
9