Eletrônica Digital
Sistemas de Numeração
Prof. Wanderley
Introdução


Os sistemas de numeração são uma invenção humana
Dentre os sistemas de numeração inventados, destacam-se:







O decimal;
O binário;
O octal; e
O hexadecimal.
O mais importante no dia-a-dia é o decimal, composto de
dez algarismos (0,1,2,..8,9)
Entretanto, na área de sistemas digitais e informática, os
outros três sistemas de numeração citados, sobretudo o
binário e o hexadecimal, são extremamente importantes
Tal importância ficará evidente no decorrer deste curso
O Sistema Binário


Se no decimal há dez algarismos, no binário vamos
encontrar apenas dois algarismos, 0 e 1
Então, como representamos algarismos maiores que 1
utilizando o sistema binário?



No sistema decimal não temos o algarismo dez, de modo que
representamos a quantidade utilizando o algarismo 1 seguido do 0
Da mesma forma, no binário não temos o algarismo dois, por exemplo, e o
representamos utilizando o algarismo 1 seguido do 0
Utilizamos da mesma regra para representar outras quantidades
O Sistema Binário
DECIMAL
BINÁRIO
0
0
1
1
2
10
3
11
4
100
5
101
6
110
7
111
8
1000
9
1001
 Cada
dígito
binário
recebe
denominação de bit (binary digit)
 Nibble é o conjunto de quatro bits
 Byte é o conjunto de oito bits
a
Conversão Binário-Decimal
 Considere o número decimal 594 como exemplo, o qual
pode ser decomposto como segue:
5x100
+
Centena
5x102
9x10
+
dezena
+
9x101 +
4x1
=
594
=
594
unidade
4x100
 5, 9 e 4 são algarismos decimais
 10 é chamado de base, correspondente ao sistema decimal
 Os expoentes 2, 1 e 0 são os índices relativos à posição de cada algarismo
decimal
Conversão Binário-Decimal
 Considere, agora, o número binário
101, correspondente ao número
decimal 5
 Por
equivalência
com
a
decomposição do número decimal,
temos que:
 1, 0 e 1 são algarismos binários
 No sistema binário, a base é 2
 Os índices correspondentes a
cada algarismo binário são 2, 1 e 0
 Assim, temos que:
1x22 + 0x21 + 1x20 = 5
DECIMAL
BINÁRIO
0
0
1
1
2
10
3
11
4
100
5
101
6
110
7
111
8
1000
9
1001
Conversão Binário-Decimal
 Exercício: Converta o byte 10101101 para decimal.
Resposta:
1x27 + 0x26 + 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 =
1x128 + 0x64 + 1x32 + 0x16 + 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 173
Logo, 101011012 = 17310
Obs: Quando suprimimos a base, então ficará subentendido que tratase de um número na base 10. Quando o número estiver em qualquer
outra base, então essa deverá ser explicitada.
Conversão Binário-Decimal
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para
decimal:
a) 011102
b) 10102
c) 11001100012
Conversão Decimal-Binário
 A conversão binário-decimal é importante, pois ajudanos a saber a quantidade representada por um conjunto de
bits
 Veremos agora a transformação inversa, de modo que,
dada uma quantidade decimal, obteremos sua
representação binária
 Para ilustrar o processo de conversão, considere o
número decimal 10
Conversão Decimal-Binário
O Método das Divisões Sucessivas
 O último quociente é o bit
MSB (Most Significant Bit)
 O primeiro resto é o bit LSB
(Least Significant Bit)
Conversão Decimal-Binário
 Exercício: Converta o número 4710 para binário.
Resposta:
47 / 2
1 23 / 2
1 11 / 2
1 5/2
1 2/2
0 1
Logo, 4710 =1011112
Conversão Decimal-Binário
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para
binário:
a) 2110
b) 55210
c) 71510
Conversão Binário Fracionário - Decimal
Até agora tratamos somente de números inteiros. E se o
número for um binário fracionário, como o convertermos
para decimal?
 Considere o número fracionário decimal 10,5, o qual
pode ser decomposto como:
1x101 + 0x100 + 5x10-1 = 10,5
 Para binários fracionários procede-se de forma
semelhante.
Conversão Binário Fracionário - Decimal
 Exemplo: Considere o número fracionário 101,1012.
Converta-o para decimal.
1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2
1x4 + 0x2
+ 1x2-3
=
+ 1x1 + 1x0,5 + 0x0,25 + 1x0,125 = 5,625
Conversão Binário Fracionário - Decimal
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para
decimal:
a) 111,0012
b) 100,110012
Conversão Decimal Fracionário - Binário
 Um número decimal fracionário pode ser decomposto em uma parte inteira
e um parte fracionária
 Exemplo: 8,375 = 8 + 0,375
 Procedimento:
 Decompõe-se o número em parte inteira e fracionária
 Converte-se a parte inteira utilizando divisões sucessivas (já visto)
 Converte-se a parte fracionária utilizando multiplicações sucessivas
8 / 2
0 4 / 2
0 2 / 2
0 1
Logo, 810 =10002
Multiplicações Sucessivas
0,375
x2
0,750
x2
1,500
0,500
x2
1,000
Logo, 0,37510 =0,0112
Assim,
10002 + 0,0112 =1000,0112
Conversão Decimal Fracionário - Binário
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para
binário:
a) 3,38010
b) 57,310
Sistema Octal de numeração
 Trata-se de um sistema de base 8,
contendo oito algarismos, a saber: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6 e 7
 Logo, a representação da quantidade
810 = 108, isto é, análogo ao procedimento
observado no sistema binário
DECIMAL
OCTAL
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
10
9
11
10
12
11
13
Conversão Octal-Decimal
 Exemplo: Converta 1438 para decimal.
1x82 + 4x81 +
1x64 + 4x8 +
3x80 =
3x1 = 99
Logo, 1438 = 9910
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para
decimal:
a) 778
b) 1008
c) 4768
Conversão Decimal-Octal
É análoga à conversão decimal-binária, ou seja, utilizase o método de divisões sucessivas. Entretanto, agora a
base é 8, isto é, as divisões são por 8.
 Exemplo: Converta 9210 para octal.
92 / 8
4 11 / 8
3/1
Logo, 9210 = 1348
Conversão Decimal-Octal
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para
octal:
a) 7410
b) 51210
c) 71910
Conversão Octal-Binário e Binário-Octal
OCTAL
BINÁRIO
0
000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111
 Esta
conversão
é
direta
se
consideramos a tabela ao lado
 Exemplo: Converta 278 para binário
 28 = 0102
 78 = 1112
 Logo, 278 = 0101112
 Exemplo: Converta 1100112 para
octal
 1102 = 68
 0112 = 38
 Logo, 0101112= 638
Obs: A conversão da base 2N (4, 8, 16,
32...) para binário, e vice-versa, é direta
Conversão Octal-Binário e Binário-Octal
Tarefa para casa:
1) Converta os números a seguir para binário:
a) 348
b) 5368
c) 446758
2) Converta os números a seguir para octal:
a) 101112
b) 110101012
c) 10001100112
Sistema de Numeração Hexadecimal
 Trata-se de um sistema de base 16,
contendo dezesseis algarismos, a saber:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F
 Observe que a sequência de letras
representam as quantidades 10, 11, 12,
13, 14 e 15, respectivamente.
 Logo, a representação da quantidade
1610 = 1016, isto é, análogo ao
procedimento observado nos sistemas
binário e octal
 O sistema hexadecimal é de extrema
importância em sistemas digitais. É muito
utilizado tanto em projeto de softwares
quanto de hardwares digitais
DECIMAL
HEXADECIMAL
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
11
B
12
C
13
D
14
E
15
F
Conversão Hexadecimal-Decimal
 Exemplo: Converta 3F16 para decimal.
3x161 + Fx160 =
3x16 + 15x1 = 63
Logo, 3F16 = 6310
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para
decimal:
a) 1C316
b) 23A16
c) 5FB916
Conversão Decimal-Hexadecimal
 Exemplo: Converta 100010 para hexadecimal.
1000 / 16
8 62 / 16
14 3
E
Logo, 100010 = 3E816
Tarefa para casa: Converta os números a seguir para hexadecimal:
a) 13410
b) 38410
c) 256710
Conversão Hexadecimal-Binário e BinárioHexadecimal
HEXADECIMAL
BINÁRIO
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
A
1010
B
1011
C
1100
D
1101
E
1110
F
1111
 Esta
conversão
é
direta
se
consideramos a tabela ao lado
 Exemplo: Converta C1316 para binário
 c16 = 11002
 116 = 00012
 316 = 00112
 Logo, C1316 = 1100 0001 00112
 Exemplo: Converta 100110002
para hexadecimal
 10012 = 916
 10002 = 816
 Logo, 100110002= 9816
Conversão Hexadecimal-Binário e BinárioHexadecimal
Tarefa para casa:
1) Converta os números a seguir para binário:
a) 1ED16
b) 6CF916
c) 3A716
2) Converta os números a seguir para hexadecimal:
a) 11000112
b) 110001111000111002