Solução do exercı́cio 47, página 243, Cálculo - Anton
a) A equação reduzida de uma circunferência com centro em C(h, k) e raio r é da forma
(x − h)2 + (y − k)2 = r2 .
Para encontrarmos o centro e o raio da circunferência dada no exercı́cio, devemos realizar
completamento de quadrado para deixá-la na forma expressa anteriormente.
Assim realizamos os seguintes cálculos:
x2 − 4x + y 2 + 3
x2 − 4x + y 2
(x2 − 4x) + y 2
(x2 − 4x + 4) + y 2
(x − 2)2 + y 2
=
=
=
=
=
0
−3
−3
−3 + 4
1.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Na equação (4), somamos 4 dos dois lados da equação porque com esse termo, o parênteses
torna-se o resultado de um produto notável conhecido: (x − 2)2 . Na equação (5), substituı́mos
a expressão (x2 − 4x + 4) pelo produto notável (x − 2)2 e chegamos então na equação reduzida
da circunferência, de onde podemos concluir que ela possui centro em (2, 0) e o raio é 1.
O gráfico dessa circunferência é mostrado abaixo:
Na figura anterior, já representamos também as duas retas que passarão pela origem e que são
tangentes à circunferência.
Como já conhecemos um ponto dessa reta tangente que é a origem, ou seja, x0 = 0 e y0 = 0,
então precisamos apenas encontrar a inclinação dessa reta. Para isso, usaremos o seguinte
conhecimento: a inclinação m de uma reta é o valor da tangente do ângulo que essa reta faz
com o eixo x.
Determinamos o ângulo e o valor da tangente, observando o seguinte: se traçarmos uma reta
passando pelo ponto de interseção B e pelo centro da circunferência, esta reta é perpendicular
à reta tangente, ou seja, forma um ângulo reto em B e o triângulo ABC é retângulo.
Neste triângulo ABC temos as seguintes medidas:
-AC = 2, pois é a medida da origem até o centro da circunferência;
- BC = 1, pois é a medida do raio da circunferência.
Para determinarmos a medida de AB aplicamos o teorema de Pitágoras:
22 = 12 + AB
√
AB =
3.
2
b pois:
Com essas medidas dos lados dos catetos, conseguimos determinar o valor do ângulo A,
√
b
3
cat.adjacenteaA
b
b
b = 30o .
cos A =
⇒ cos A =
⇒A
hipotenusa
2
Então a inclinação da reta tangente será:
√
b ⇒ m = tg30o = 3 .
m = tgA
3
Agora, determinamos então a equação da reta crescente que passa pela origem e é tangente à
circunferência:
√
√
3
3
y−0=
(x − 0) ⇒ y =
x.
3
3
A equação da outra reta, que é a decrescente, é então da forma:
√
√
3
3
y−0=
(x − 0) ⇒ y = −
x.
3
3
b) Vamos agora procurar chegar no mesmo resultado utilizando derivação implı́cita, pois y é
uma função de x.
Derivando a equação
x2 − 4x + y 2 + 3 = 0
obteremos a inclinação da reta tangente à circunferência em qualquer ponto:
2x − 4 + 2y
dy
4 − 2x
dy
=0⇒
=
.
dx
dx
2y
Para encontrar o ponto (x1 , y1 ) da reta que tangencia a circunferência, devemos igualar a
inclinação obtida na derivada, com a inclinação da reta que passa pela origem e por esse ponto
(x1 , y1 ). Assim
y1 − 0
3
4 − 2x1
=
⇒ x1 = .
2y1
x1 − 0
2
Para chegar no valor de x1 , observe que podemos subsituir no cálculo anterior a seguinte
expressão: y12 = 4x1 − x2 − 3, que obtemos isolando
o y na função.
√
3
3
Substituindo x1 = na função obtemos y1 =
. Então a inclinação dessa reta que passa na
2
3
origem e por (x1 , y1 ) é
√
√
3/3
3
m=
=
.
3/2
3
Substituindo essa inclinação na equação da reta obtemos:
√
√
3
3
y−0=
(x − 0) ⇒ y =
x.
3
3
A equação da outra reta, que é a decrescente, é então da forma:
√
√
3
3
y−0=
(x − 0) ⇒ y = −
x.
3
3