LISTA 1 - GEOMETRIA QUANTITATIVA II
MTM 7112
DR. CELSO M. DORIA
? - o problema faz parte do conteúdo do livro.
* - o problema não esta no livro.
√
Problema 1 : Mostre que a diagonal de um quadrado de lado l mede l 2.
Problema 2: Seja
4DEF um triângulo eqüilátero de lado l. Mostre que a
√
l 3
altura mede 2 .
Problema 3: Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 5 e as projeções
dos catetos sobre a hipotenusa medem m = 9/5 e n = 16/5. Determine os
outros lados e a altura relativa à hipotenusa.
Problema 4: Mostre que se um cateto for o dobro do outro, então a altura
divide a hipotenusa em dois segmentos tais que um é o quádruplo do outro.
Problema 5 *: Seja 4ABC um triângulo retângulo em A tal que a hipotenusa
BC mede a e os catetos AB e AC medem c e b, respectivamente. Considere
que as projeções dos catetos AB e AC sobre a hipotenusa medem m e n,
respectivamente. Nos itens abaixo calcule os comprimentos indicados;
(1) Considerando que b = 3 e c = 4 calcule a, m, n e h.
(2) Considerando que h = 12/17, m = 64/17 e n = 225/17 calcule a, b e
c.
(3) Considerando que a = 13 e h = 60/13 calcule b, c, m e n.
(4) Determine os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede
25 m e a altura relativa à hipotenusa mede 12 m.
Problema 6: Triângulos Pitagóricos.
O conceito de número para os Pitagóricos era restrito aos racionais, pois
haviam poucos exemplos de números irracionais. Devido ao exemplo da
diagonal do quadrado de lado 1, os gregos deram especial atenção aos
triângulos retângulos cujas medidas dos lados são números inteiros. Eles
perguntaram-se sobre um método para encontrar números inteiros m, n e
p tais que p2 = m2 + n2 e observaram que
(x2 + y 2 )2 = (x2 − y 2 )2 + (2xy)2 .
Date: 28/03/2011.
Key words and phrases. Relações Métricas em Triângulos Retângulos.
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Sejam a = x2 + y 2 , b = x2 − y 2 e c = 2xy. Faça uma tabela na qual,
para cada par de número natural (x, y), onde 1 ≤ x ≤ 10 e 1 ≤ y ≤ 10,
associamos a trı́ade (a, b, c) correspondendo aos lados.
Problema 7 *: Considere que o triângulo 4ABC seja retângulo em A. Para
cada par (x, y) de números reais, considere que os catetos medem b = x2 −y 2
e c = 2xy.
(1) Determine a, h, m e n em função de x e de y.
(2) Complete a tabela abaixo:
x y
2 1
3 2
4 1
4 3
3 1
b
c
3
4
5 12
a
5
h
m
48
5
144
20
256
20
n
20 21
Problema 8 *: Dado um triângulo de lados a = 3 cm, b = 4 cm e c = 6 cm
calcule a projeção do lado a sobre o lado c.
Problema 9 *: Resolva os seguintes problemas:
(1) Um triângulo isósceles de base 12 cm é inscrito numa circunferência
de 12, 5 cm de diâmetro. calcular a medida dos lados congruentes do
triângulo.
(2) 4ABC é um triângulo inscrito num cı́rculo. A reta que contém a
altura BE, intercepta a circunferência em D. Se AB = BC, BD = 16
e DE = 7, calcular AB e AC.
Problema 10: Sejam 4ABC um triângulo retângulo em A, D o pé da altura
relativa ao lado BC e DE o segmento perpendicular ao lado AB. Mostre
que
(AD)2 = (AC) × (DE).
Problema 11: Sejam a e b números positivos. Mostre que a média geométrica
entre a e b é menor do que a média aritmética, isto é,
√
a+b
.
2
(dica: construa um cı́rculo com diâmetro a + b, calcule o raio do cı́rculo
e a altura relativa a hipotenusa. Agora compare as quantidades calculadas)
ab ≤
Problema 12: Seja a um
√número real positivo. Construa um segmento com
comprimento igual a a 7.
Problema 13: Sejam 4ABC um triângulo retângulo em A, D o ponto médio
de AB e DE ⊥ BC. Mostre que
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(EC)2 − (EB)2 = (AC)2 .
Problema 14: Mostre que dados dois cı́rculos tangentes externamente, o segmento definido pelos pontos de contato da tangente comum, com cada um
dos cı́rculos, é a média geométrica entre os diâmetros dos cı́rculos.
Problema 15: Suponha que no triângulo 4ABC os ângulos B̂ e Ĉ são agudos e a razão dos quadrados dos lados opostos a esses ângulos é igual à
razão das projeções desses lados sobre BC. Mostre que 4ABC é retângulo
ou isósceles.
Problema 16: Se os números positivos b, c e h satisfazem a relação
1
1
1
+ 2 = 2,
b2
c
h
mostre que existem 2 triângulos com lados medindo b, c e altura relativa
ao terceiro lado medindo h. Um dos triângulos é retângulo em A e tem a
soma dos ângulos opostos aos lados b e c igual a B̂ + Ĉ = 90o ; no outro
triângulo, que não é retângulo, tem-se B̂ + Ĉ = 90o .
Problema 17 *: Num cı́rculo de raio R, considera-se uma corda AB = c e
se traça a corda BC perpendicular ao diâmetro que passa em A. Calcular
B em funçâo de R e c. Detemine BC quando R = 25 e c = 30.
Problema 18: Considere duas circunferências externas com raios r, r0 e cuja
distância entre os centros mede d. Determine os comprimentos dos segmentos tangentes comuns.
Problema 19:
(1) os lados
(2) os lados
(3) os lados
(4) os lados
(5) os lados
Reconheça a natureza do triângulo no qual
medem 6, 12 e 13.
medem 6, 10 e 12.
medem 5, 12 e 13.
estão na razão 3 : 4 : 4, 5.
são inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.
Problema 20: Mostre que num paralelogramo a soma dos quadrados dos
lados é igual à soma dos quadrados das diagonais.
Problema 21 ?: Prove o Teorema de Pitágoras. Apresente duas demonstrações distintas. (pesquise uma 2a. demonstração)
*** FIM ***
Departamento de Matemática - UFSC