Problema 1
Um bloco com 35 kg está apoiado pelo conjunto de molas tal como
visualizado na figura ao lado. O bloco é deslocado verticalmente para
baixo e em seguida libertado. Sabendo que a amplitude do movimento
resultante é de 45 mm, determine:
a) o período e a frequência (cíclica) do movimento;
b) a velocidade e a aceleração máxima do bloco.
Considere k1 = 16 kN/m, k2 = k3 = 8 kN/m.
Solução: a) T  0, 21s , f  4,81Hz ;
b) vmax  1,36m/s , amax  41,14m/s2
Problema 2
Sabe-se da resistência de materiais que quando uma carga
estática P é aplicada na extremidade B de uma viga
encastrada (consola) com secção transversal uniforme,
provoca uma flecha u = PL3/(3EI), em que L é o
comprimento da viga, E o módulo de elasticidade do material
e I o momento de inércia da secção transversal. Sabendo que
L = 3.05 m, E = 200 GPa e I = 4.84 × 10-6 m4, determine:
a) a constante de rigidez equivalente da viga;
b) a frequência das vibrações verticais de um bloco com 2313 N ligado à extremidade B da
mesma viga. Despreze a massa da viga e considere que o bloco permanece em contacto
com a viga. Use g=9,81m/s2.
Solução: a) keq  102,35kN/m , b) f  3,32Hz
Problema 3
Um cursor com 5 kg repousa sobre uma mola, não estando ligado a ela. Observa-se que, se
o cursor for empurrado para baixo 180 mm ou mais, perde o contacto com a mola depois de
libertado. Determine:
a) a constante de rigidez da mola;
b) a posição, a velocidade e a aceleração do cursor, 0.16 s após ter sido empurrado para
baixo 180 mm e, depois, libertado.
Solução: a) k  272,5N/m
b) u  0, 068m  , u  1, 23m/s  , u  3, 73m/s 2 
k
Problema 4
Considere a estrutura composta por duas
barras indeformáveis com uma massa por
unidade de comprimento ρ, um amortecedor e
duas molas.
a) Para pequenas oscilações, escreva a
equação do movimento.
b) Qual valor do coeficiente de amortecimento,
c, que assegura amortecimento crítico do
sistema?
Solução: a) 3 Lu  cu  3ku  0
b) c  ccr  6  kL
1
L
3
c
2
L
3
2k
L
L
Problema 5
O cursor de massa m e dimensões desprezáveis, está ligado a barra
de massa m e comprimento L assim como se mostra na figura.
Determine:
a) a distância b para a qual a frequência das pequenas oscilações do
sistema é máxima;
b) o valor desta frequência circular máxima.
g
Solução: b  0, 264 L , n  1,377
L
Problema 6
Admitindo que não há escorregamento entre o fio inextensível e o disco
de massa M, determine a frequência circular das pequenas vibrações do
sistema representado. Use as equações de movimento e confirme o
resultado pela conservação da energia mecânica.
2k
Solução: n 
3M  8m
Problema 7
O cilindro de massa m e raio r rola sem escorregar numa superfície de
raio R. Determine a frequência circular das pequenas oscilações do
sistema. Use as equações de movimento e confirme o resultado pela
conservação da energia mecânica.
2g
Solução: n 
3 R  r 
Problema 8
Um cilindro de massa m e raio r está suspenso por um laço de corda,
conforme mostrado. Uma extremidade da corda está presa directamente a
um suporte rígido, enquanto a outra extremidade está presa a uma mola
de constante k. Determine a frequência circular natural das vibrações do
cilindro.
8k
0.8m
Solução: n 
3m
Problema 9
Para a figura ao lado, considerando que a barra tem
uma massa uniformemente distribuída de m=6kg, a
massa concentrada é mD=4kg, e a rigidez das molas
é k=10N/m, determine a equação canónica do
movimento para a vibração pequena rotacional e
linear em função do deslocamento u. Considere que
a estrutura está em equilíbrio na posição apresentada
Solução: 3,84  10  0 ; 6u  15, 625u  0
U
U
0, 6m0.8m
0, 2m
Problema 10
Considere o sistema mecânico representado na
figura, composto por uma massa concentrada
M=5kg e uma barra rígida de comprimento L=5m
e de massa total m. A rigidez das molas é
k1=500N/m e k2=250N/m, respectivamente.
a) Determine a massa da barra, m, de modo a que a
frequência circular própria da estrutura seja de
10rad/s
b) Impondo num determinado instante um
deslocamento horizontal, u0 no topo da barra para a
direita (e velocidade inicial nula), qual o
deslocamento na outra extremidade da barra após
1s.
k1
M
3L/4
L/4
k2
Solução:
a) m=0,548kg
b) 0, 28u0 
Problema 11
O sistema representado na figura consiste numa barra rígida,
apoiada num ponto fixo em D, ligada a molas em B e C e a
um amortecedor em A. A massa total da barra é 5kg e está
uniformemente distribuída no seu comprimento. A massa no
ponto E vale 10kg e tem o raio desprezável. Os outros
valores são: c=20Ns/m, k1=800N/m, k2=500N/m,
k3=700N/m.
a) Determine a equação de movimento do sistema para
pequenas oscilações;
b) Calcule a frequência circular das vibrações nãoamortecidas e amortecidas.
Use g=9,81m/s2.
Solução: a) 0,867  7, 2  157, 01  0 ;
b) n  13, 46rad/s , a  12,80rad/s
Problema 12
Considere as estruturas da figura ao lado composta por duas
barras a vibrar com pequenas oscilações. Cada barra tem a massa
m e comprimento L. Sabe-se que a posição das barras na
horizontal corresponde à posição de equilíbrio estático. Calcule a
frequência natural de vibração.
3k
3k
Solução: n 
(acima); n 
(abaixo);
2m
4m
c
A
B
k2
k1
k1 C
k3
2
2
2
D
2
E
dm
Problema 13
Os discos A e B, cada um com massa m=800g
e raio R=60mm, estão ligados à extremidade
de uma barra de massa desprezável. A barra
está ligada ainda a uma mola de rigidez
k=200N/m e a um amortecedor de constante
de amortecimento c=20N.s/m e está dobrada
como se mostra na figura. O sistema pode
oscilar em torno do pino O sem atrito.
Sabendo que a posição representada é a
posição de equilíbrio estático do sistema e
admitindo que o centro de massa do disco A é
deslocado para baixo u0=0.02m e em seguida
libertado, determine:
a) a posição inicial sem massas;
b) o período das pequenas oscilações do sistema, não-amortecido e amortecido;
c) o factor de amortecimento do sistema;
d) o deslocamento horizontal do centro de massa do bloco B, t=0.5s após o início do
movimento (valor e sentido).
e) condição que assegura o equilíbrio estável;
Considere L1=0.3m, L2=0.8m, L3=0.5m, L4=0.3m.
Use g=9,81m/s2
Solução:
a)  est  0, 067rad  3,86º (horário)
b) Tn  0, 69s , Ta  0, 71s
c)   18, 61%
d) uB  2, 76mm 
e) k ,eq  kL22  mg  L3  L4   0
Problema 14
A barra uniforme AB com 8 kg está articulada em C e
ligada em A a uma mola de constante de rigidez k =
500 N/m. Determine:
a) a posição de um amortecedor de coeficiente de
amortecimento c=60N.s/m para obter a vibração com o
amortecimento crítico;
b) admitindo que a barra foi libertada na posição de
ângulo de 8º no sentido horário, calcule o ângulo em
t=0.2s.
Considere L = 250 mm e d = 40 mm.
Use g=9,81m/s2
Solução:
a) 0,159m (medido a partir de C para cima)
b)   t    0,140  1,936t  e13,87t ,   t  0, 2   0,0329rad  1,885º (horário)
Problema 15
O sistema representado na figura consiste numa barra rígida, apoiada num ponto fixo em O,
ligada a uma mola e a um amortecedor. A massa total mB = 2kg do troço OB está
uniformemente distribuída no seu comprimento. Os troços AO e BC não possuem massa
estando uma placa circular de massa mC = 1kg ligada rigidamente ao ponto C. Sabendo que
L = 3m, k = 800N/m e c = 200Ns/m, determine:
a) O deslocamento estático da mola;
b) A equação de movimento do sistema
para pequenas oscilações. Adopte o
ângulo θ de rotação da barra em torno do
ponto O como coordenada generalizada;
c) A frequência circular das vibrações
amortecidas ωa e o factor de
amortecimento do sistema ζ.
Use g=10m/s2
1
m=3,33cm ,
30
b) 15, 63  450  4042,5  0 ,
c) n  16, 08rad/s ,   0,9
Solução: a) uest 
Problema 16
Para a estrutura ao lado escreva a equação canónica de
vibração livre em função do deslocamento horizontal.
(Considere o efeito do peso, use g=9,81m/s2)
Solução:
15u  200u  877,375u  0
Problema 17
Considere a estrutura da figura ao lado. Admita
que apenas a barra inclinada tem a massa não
desprezável. Escreva a equação canónica de
vibração livre. Qual é a condição necessária?
Dados: k  3kNm , c  0, 2kNs/m ,
  10kg/m , use g  10m/s 2
Solução:
1588  5000  657  0
com a condição que
k  3mg  0
c
m, L

5m
k
5m
Problema 18
Considere a estrutura na figura ao lado.
Assuma que a massa da barra é   5 kg/m e
que o disco tem a massa mD=2kg e raio
desprezável. Assuma que a posição horizontal
é a posição do equilíbrio estático e determine a
equação canónica de vibração rotacional.
Assuma ainda que a vibração inicia-se pelo
ângulo inicial 10º no sentido horário e a
velocidade angular nula. Determine a função
  t  para os seguintes valores de coeficiente
de amortecimento:
a) c=5Ns/m
b) c=42,4264Ns/m
c) c=50Ns/m
c
A
k  100N / m
L  1,5m
Solução:
10,125  t   ceq  t   225  t   0 , n  4, 71rad/s , ccr  95, 46Nsm
a) ceq  11, 25Nsm ,   0,11785 , amortecimento subcrítico:
  t    0,0207sin  4,6812t   0,1745cos  4,6812t   e0,5556t ou
  t   0,1758e0,5556t sin  4, 6812t  1, 4527  (verde)
b) ceq  95, 46 Nsm ,   1 , amortecimento crítico:   t    0,1745  0,8228t  e4,7140t
(vermelho)
c) ceq  112,5Nsm ,   1,1785 , amortecimento supercrítico:
  t   0, 0777e8,4953t  0, 2522e2,6158t (violeto)
c)
a)
b)
Problema 19
G
F
Considere a estrutura a seguir representada. Assuma
que a massa da barra AE é 2kg/m, os troços CF e EG
B
têm a massa desprezável, as massas concentradas A
D
C
têm o raio desprezável e valores mF =4kg e mG =8kg
k
e a mola tem constante k=5kN/m. Assuma que a
posição horizontal é a posição do equilíbrio estático,
use g=9,81m/s2 e calcule:
2m
2m
2m
2m
a) a força elástica da mola correspondente a esta
posição.
Assumindo pequenos deslocamentos, calcule ainda:
b) a frequência natural circular;
Deslocando a extremidade A para baixo pelos 2mm e libertando, calcule ainda:
c) a amplitude de vibração livre;
d) a fase de vibração livre.
Deixando as condições iniciais definidas acima, assuma ainda em A aplicação de uma força
harmónica de forma 100sin(20t) (N), que actua no sentido para baixo. Resolva a vibração
subsequente.
Solução:
a) Fe  215,82N , b) n  12,89rad / s , c) A   0,001rad , d)    / 2
e) t   cos12,89t   2,76 sin12,89t   1,78sin20t  103 (anti-horário)
Verde - vibração livre, alíneas c) e d)
Restantes curvas pertencem à alínea e):
Azul – solução particular
Castanha – solução homogénea
Vermelha – solução total
1,5m
E
Problema 20
Um pequeno reboque e o barco possuem a massa total de 250 kg. O reboque está apoiado
em duas molas, cada uma com 10 kN/m e desloca-se ao longo de uma estrada cuja
superfície se pode aproximar a uma curva sinusoidal com uma amplitude de 40 mm e um
comprimento de onda de 5 m. Determine:
a) a velocidade para a qual ocorre a
ressonância;
b) a amplitude da vibração do reboque à
velocidade de 50 km/h.
Solução: a) v=25,62km/h; b) A=0,014m
Problema 21
Um motor com 180 kg está fixo a uma viga horizontal de massa desprezável. O
desequilíbrio do rotor é equivalente a uma massa de 28 g situada a uma distância de 150
mm do eixo de rotação, e a deformação estática da viga devida ao peso do motor é igual a
12 mm. A amplitude de vibração devida ao desequilíbrio pode ser atenuada através da
adição de uma placa à base do motor. Se a amplitude de vibração em regime estacionário
tiver que ser menor que 60 μm para velocidades do motor acima de 300 rpm, determine a
massa necessária da placa.
Solução: mp=39,01kg
Problema 22
Escreva na forma canónica a equação de
movimento que rege as pequenas oscilações da
estrutura na figura ao lado com um grau de
liberdade. Use o ângulo da rotação no lugar da
variável. Admita que a posição representada
corresponde à situação de equilíbrio estático e
que as barras têm uma massa de 3kg/m. Use
g=10m/s2
Solução: 294  800  15400  0
Problema 23
rD , mD
Considere a estrutura na figura ao lado.
Assuma que a massa da barra é ρ kg/m e que o
A
disco tem a massa mD e raio rD e a mola tem
constante de rigidez k. Assuma que a posição
horizontal é a posição do equilíbrio estático e
L
L
determine a equação canónica de vibração
pequena rotacional.
1
1


Solução: I A   kL2  mD gH   gH 2   0 , quando kL2  mD gH   gH 2  0
2
2


2

2
1
H  1
2
2
2
onde I A   L3   H 3   H  L2 
  mD rD  mD  L  H 
3
12
4  2

H
k
B
D
A
C
Problema 24
O sistema representado na figura consiste
k1
c
de uma barra rígida, apoiada num ponto
E
fixo em B, ligada a um conjunto de molas e
k3
k2
a
um
amortecedor
(c=200Ns/m,
k1=800N/m, k2=500N/m, k3=700N/m).
O troço DE não possui massa estando uma placa circular de massa mE ligada rigidamente
ao ponto E. A viga AD tem massa de 0,5kg/m. Os troços AB, BC, CD e DE têm
comprimentos de 0,2m, 0,8m, 0,2m e 0,3m, respectivamente.
Considere g=9,81m/s2 e determine:
a) a massa E para a frequência natural não-amortecida do sistema seja 2Hz;
b) a equação de movimento do sistema para pequenas oscilações;
c) a deformação estática do conjunto das molas que corresponde à posição de equilíbrio;
d) a frequência das vibrações amortecidas;
e) a posição do ponto D em 0,5 segundos, assumindo que o início do movimento foi dado
pelo deslocamento do ponto E de 2cm para baixo e depois libertado.
Solução: a) mE  1, 66kg ; b) 1,98  8  312,1  0 ; c) uest  0, 049m ; d) a  12, 4rad/s ;
e) uD  7,15mm 
Problema 25
Considere um sistema mecânico com uma rigidez de 160N/m, uma massa de 10kg e um
coeficiente de amortecimento de 25%. Este sistema encontra-se a vibrar com pequenas
oscilações devido à acção de uma força: P  t   0, 4sin(3t ) (unidade das forças em N).
Sabendo que no instante inicial (t=0s) o corpo encontrava-se na posição de equilíbrio
estático e em repouso:
a) Escreva a solução da equação do movimento deste problema.
b) Determine a aceleração do sistema para o instante inicial.
c) Altere a massa da estrutura de maneira a que o sistema entre em ressonância.
Solução: a) u  t   et  1,82sin  3,87t   2,82cos 3,87t    3, 29sin 3t   2,82cos(3t )  103
b) u  0   0 , c) m  17, 78kg
Problema 26
A barra AC de peso 5,56 N possui duas massas nas suas
extremidades, a massa A de peso 3,9 N e a massa C de peso 2,78 N.
Determine, através do princípio da conservação da energia mecânica,
o período de vibração do conjunto.
Use g=9,81m/s2
Solução: Tn=1.84s
Problema 27
Duas barras uniformes, cada de peso 5.34 N e comprimento 203 mm,
estão soldadas entre si de modo a formar o conjunto mostrado. Sabendo
que a mola tem rigidez k igual a 105 N/m e que a extremidade A sofre
um pequeno deslocamento e é depois libertada, determine a frequência
(cíclica) do movimento oscilatório através do princípio da conservação
da energia mecânica. Use g=9,81m/s2
Solução: fn=2,1Hz
Problema 28
Partindo da rigidez elementar das molas, determine a rigidez equivalente das mesmas agora
combinadas e escreva a equação do movimento do sistema mola-massa mostrados nas três
situações abaixo.
Solução: 1) mu   k1  k2  u  P  t  ; 2) mu 
k k  k 
k1k2
u  P  t  ; 3) mu  3 1 2 u  P  t 
k1  k2
k1  k2  k3
Problema 29
O sistema seguinte consiste numa barra rígida de massa total, m1, (distribuída
uniformemente ao longo do seu comprimento), apoiada num ponto fixo e numa mola de
constante k. Numa das extremidades encontra-se uma massa de raio desprezável, m2.
Calcule a frequência de vibração do sistema para pequenas oscilações. Escreva a equação
que rege a vibração em função do ângulo θ. Assuma, que a posição tracejada (horizontal)
corresponde à posição do equilíbrio estático.
2
1

3 
Solução:  m1l 2  m2l 2    k  l    0
3

4 
Problema 30
Determine a frequência circular de vibração
(admitindo pequenos deslocamentos) do sistema
da figura abaixo, constituído por duas massas
ligadas por uma barra rígida de massa
desprezável. Na situação de equilíbrio estático a
barra encontra-se na horizontal.
k
Solução: n 
2
m1l1  m2l22
l2
l1
Problema 31
O sistema representado consiste numa chapa
rígida, rectangular, com densidade ρ e espessura
constante e, apoiada num ponto fixo e suportada
por uma mola de constante k. Calcule a
frequência circular de vibração do sistema para
pequenos deslocamentos. Assuma, que a posição
tracejada corresponde à posição do equilíbrio
estático.
Solução: n 
3  2kb2  mgh 
2m  a 2  b 2 
, onde m  abe
Problema 32
O sistema seguinte consiste numa massa, m, suportada por uma
barra rígida (de massa desprezável) ligada a um apoio por
intermédio de uma mola de rotação de constante kθ. Determine a
frequência circular de vibração do sistema admitindo pequenos
deslocamentos. Assuma, que a mola indeformada assegura a
barra (sem a massa colocada) na posição vertical. No entanto a
posição de equilíbrio estático com a massa colocada já não é
vertical. Certifique que neste caso é preciso de considerar o peso
da massa. Calcule com o pressuposto que o ângulo que
corresponde ao equilíbrio estático não se pode considerar
pequeno.
k  mgl cos est
Solução: n  
ml 2
Problema 33
Considere a estrutura abaixo indicada, actuada no grau de liberdade q por uma força
excitadora harmónica F. Determine a força máxima na mola no regime estacionário.
Calcule também o tempo necessário para se poder a resposta total considerar estacionária.
Considere que a resposta natural considera-se desprezável quando a sua amplitude não
ultrapasse 5% da amplitude da resposta estacionária.
F(t) = 25×sin(20t)
[kN]
ζ = 0.05
kmola = 50 kN/m
EI = 2500 kNm2
M = 10 ton
PL3
é deslocamento no meio da viga simplesmente apoiada provocado pela
48 EI
força P aplicada no mesmo lugar.
Solução: Fe,max  326,3N , t=22,2s
Nota: umax 