Projeto de Compensadores/Controladores pelo Diagrama de Lugar
das Raízes
Carlos Eduardo de Brito Novaes
[email protected]
http://professorcarlosnovaes.wordpress.com
12 de novembro de 2012
1
Introdução
O diagrama do lugar das raízes é uma ferramenta muito útil para visualizar as possibilidades de alocação de polos em
um sistema de controle. Através dele, pode-se verificar qual a ação a ser tomada para que o sistema em malha fechada
se comporte segundo as características desejadas.
Serão apresentadas alguns procedimentos para o projeto de compensadores utilizando o diagrama de lugar das
raízes. As técnicas descritas estão detalhadas no livro texto [1], e em diversas outras referências recomendadas, como
[2, 3], por exemplo.
Serão discutidos os compensadores do tipo:
1. “Lead” ou “Avanço de fase”
2. “Lag” ou “Atraso de fase”
3. PID
O material ora apresentado se presta apenas como uma breve introdução, sendo também recomendada a leitura da
apostila do curso e, para um maior domínio, a consulta ao livro texto.
Em especial, o método de projeto apresentado para compensadores PID é apenas ilustrativo para o uso do diagrama
de lugar das raízes e, embora funcional, é bastante dependente de um software para traçar o lugar das raízes e assim,
acelerar o processo de melhoria da sintonia.
2
Compensador do tipo “Lead” ou “Avanço de Fase”
O compensador do tipo “Lead” ou “Avanço de Fase” é utilizado para modificar o diagrama de lugar das raízes, permitindo a alocação dos polos de malha fechada em posições que antes não seriam possíveis. Possui uma função de
transferência dada por
GC (s) =
s+a
s+b
(2.1)
com um polo em s = −b e um zero em s = −a e com a particularidade de que o seu polo é “mais rápido” que o
zero, ou seja, o polo esta localizado no eixo real em um valor mais negativo que o zero.
Sendo assim, para ser um compensador do tipo lead, então a função de transferência da equação 2.1 apresenta b > a.
Por exemplo:
GC (s)
=
s+8
s + 10
(2.2)
que possui um polo em s = −10 e um zero em s = −8. No plano complexo, o polo do compensador esta localizado à
esquerda do seu zero, apresentando portanto um transitório mais “rápido”.
Aplicando um degrau unitário a um compensador lead e utilizando-se o teorema do valor final, podemos verificar
que a longo prazo, o compensador apresenta um ganho dado por:
1
2
(
lim s
s→0
COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”
1
GC (s)
s
)
=
s+a
s→0 s + b
=
a
b
lim
(2.3)
a
Como foi visto, o compensador “lead” apresenta b > a e portanto a razão é menor que a unidade. Isto significa
b
que ao introduzir um compensador “lead” na malha direta de um sistema de controle, estamos reduzindo o ganho desta
e portanto, reduzindo o valor das constantes de erro estacionário. O efeito final é que a introdução de um compensador
do tipo “lead” aumenta o erro estacionário do sistema em malha fechada.
Um bom projeto visa escolher a e b de modo que os polos de malha fechada sejam alocados nos pontos de interesse,
a
mas buscando também o maior valor para a relação , de modo que o erro estacionário em malha fechada não seja
b
muito prejudicado.
Suponha por exemplo que um sistema a ser controlado possui função de transferência
G (s) =
1
(s + 1) (s + 2)
(2.4)
e, por questões de desempenho deseja-se alocar os polos de malha fechada em s = −2 ± 2j, garantindo que a saída em
malha fechada estabilize em 5% do valor final em aproximadamente 1 segundo, com fator de amortecimento ζ = 0, 7
e portanto, um sobressinal também inferior a 5%.
O primeiro passo é determinar o lugar das raízes do sistema sem compensador, e então verificar se é possível alocar
os polos nesta posição apenas pelo ajuste do ganho de realimentação. A figura 2.1 ilustra o diagrama de lugar das raízes.
Figura 2.1: Lugar das Raízes da planta sem compensador.
como se pode verificar, não os pontos s = −2 ± 2j não são parte do lugar as raízes e portanto, será necessário
projetar um compensador para alterar o lugar das raízes de modo que este passe por s = −2 ± 2j. A seguir vamos
descrever dois métodos de projeto.
Muitas vezes, utiliza-se a representação
2
2.1
Projeto por cancelamento de polo
2 COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”
GC (s) =
KC α
Ts + 1
αT s + 1
(2.5)
onde KC α representa o ganho que o compensador aplica quando em regime, T esta relacionado à constante de tempo
do zero e αT corresponde à constante de tempo do polo (Com α estabelecendo a relação entre as duas). Nesta representação, KC é o ganho calculado a partir da condição de módulo para alocar os polos de malha fechada.
2.1
Projeto por cancelamento de polo
Uma técnica para o projeto de um compensador do tipo “lead” é o que se chama de cancelamento de polo ou zero. A
ideia fundamental é verificar se é possível obter um diagrama de lugar das raízes satisfatório ao se cancelar um polo da
planta e coloca-lo em outra posição. Para o exemplo anterior, bastaria cancelar o polo da planta em s = −2, colocando
ai o zero do compensador e, posicionar o polo do compensador em s = −3. Neste caso, a função de transferência do
compensador será
GC (s)
=
s+2
s+3
então, a função de transferência do ramo direto é
Gc (s) × G (s) =
=
s+2
1
×
s + 3 (s + 1) (s + 2)
s+2
3
s + 6s2 + 11s + 6
(2.6)
e traçando o novo lugar das raízes, obtém-se
Figura 2.2: Lugar das Raízes da planta com compensador lead projetado por cancelamento.
claramente, é possível agora posicionar os polos de malha fechada em s = −2 ± 2j. O ganho de realimentação
necessário pode ser encontrado pela condição do módulo, ou seja
3
2.1
Projeto por cancelamento de polo
2 COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”
1 = K× |Gc (s) × G (s)|s=−2+2j
(2.7)
e que ao ser resolvida resulta em
K
=
=
1
|Gc (s) × G (s)|s=−2+2j
1
s+2
3
s + 6s2 + 11s + 6
s=−2+2j
=
=
=
=
=
=
=
1
− 2 + 2j + 2
(−2 + 2j)3 + 6 (−2 + 2j)2 + 11 (−2 + 2j) + 6
1
− 2 + 2j + 2
(16 + 16j) + 6 (−8j) + 11 (−2 + 2j) + 6
1
2j
16 + 16j − 48j − 22 + 22j + 6
1
2j −10j 1
|−0, 2|
1
0, 2
5
(2.8)
O resultado anterior representa o ganho que deve ser aplicado ao ramo direto. Podemos calcular então as constantes
de erro estático para este ajuste de K
Kp
lim (K × GC (s) × G (s))
(
)
5 (s + 2)
= lim
s→0
s3 + 6s2 + 11s + 6
=
=
=
s→0
10
6
1, 667
(2.9)
e portanto, o erro estático de posição será, em termos percentuais:
Erro%
=
1
1 + Kp
1
2, 6667
= 0, 375
= 37, 5%
=
O diagrama em blocos do sistema de controle é ilustrado na figura 2.3 e a resposta é apresentada na figura 2.4.
4
2.2
Projeto pelo método gráfico
2 COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”
Figura 2.3: Diagrama em blocos do sistema de controle.
Figura 2.4: Resposta do sistema de controle.
2.2
Projeto pelo método gráfico
Uma técnica mais elaborada para o projeto de compensadores do tipo “lead” é o procedimento gráfico. Utilizando esta
técnica garante-se o maior ganho possível no ramo direto e consequentemente, o menor erro estacionário.
Esta técnica consiste em
1. Localizar no gráfico a posição dos polos e zeros da planta e também a posição dos polos desejados em malha
fechada, a figura 2.5 ilustra esta situação para a planta em questão, com polos em s = −1 e s = −2 e o polo
desejado de malha fechada em s = −2 + 2j.
5
2.2
Projeto pelo método gráfico
2 COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”
Figura 2.5: Projeto gráfico de compensador “Lead” - Passo 1.
2. A partir do polo desejado de malha fechada, trace uma reta horizontal e outra ligando à origem, a figura 2.6 ilustra
este procedimento.
Figura 2.6: Projeto gráfico de compensador “Lead” - Passo 2.
3. Trace a bissetriz do ângulo formado entre as retas traçadas anteriormente, procedimento ilustrado na figura 2.7.
6
2.2
Projeto pelo método gráfico
2 COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”
Figura 2.7: Projeto gráfico de compensador “Lead” - Passo 3.
4. Determine qual deve ser a contribuição angular do compensador, φ. Para realizar este cálculo, basta determinar
qual a contribuição angular da função de transferência no ponto desejado e verificar quanto falta (ou quanto
excede) 180 graus. No nosso exemplo temos
1
G (s)|s=−2+2j =
(s + 1) (s + 2)
s=−2+2j
= −0, 2 + 0, 1j
= 0, 2236∠153, 4◦
e portanto, constatamos que a contribuição angular da planta no ponto s = −2 + 2j é de aproximadamente
153, 4◦ . Para completar 180◦ , faltam aproximadamente 26, 6◦ . Dizemos que a planta apresenta uma deficiência
angular de 26, 6◦ em s = −2 + 2j e que esta deficiência deve então ser suprida pelo compensador. Conclui-se
que o compensador deve contribuir com um ângulo φ = 26, 6◦ .
5. Partindo do ponto onde se deseja alocar o polo de malha fechada, traçamos duas, formando com a bissetriz um
φ
ângulo de ± o que é equivalente a dizer que o ângulo entre estas duas retas é φ. Veja a figura 2.8.
2
7
2.2
Projeto pelo método gráfico
2 COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”
Figura 2.8: Projeto gráfico de compensador “Lead” - Passo 5.
6. Por fim, o ponto onde as retas interceptam o eixo real determina a posição do polo e do zero do compensador.
Veja a figura 2.9.
Figura 2.9: Projeto gráfico de compensador “Lead” - Passo 6.
Este procedimento permite a determinação do melhor compensador “lead” possível para a planta em questão. Pelos
valores obtidos para este exemplo, o compensador deve ter um polo em s = −3, 4 e um zero em s = −2, 3.
A função de transferência do ramo direto será
Gc (s) × G (s) =
=
1
s + 2.3
×
s + 3.4 (s + 1) (s + 2)
s + 2.3
3
s + 6.4s2 + 12.2s + 6.8
O diagrama do lugar das raízes com o compensador é ilustrado na figura 2.10
8
(2.10)
2.2
Projeto pelo método gráfico
2 COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”
Figura 2.10: Lugar das Raízes da planta com compensador lead projetado graficamente.
Pela condição do módulo, determinamos o ganho K que deve ser imposto para posicionar os polos de malha fechada
em s = −2 ± 2j.
Determinando o ganho adequado:
K
=
=
1
|Gc (s) × G (s)|s=−2+2j
1
s + 2.3
3
s + 6.4s2 + 12.2s + 6.8
s=−2+2j
1
=
|−0, 1852|
1
=
0, 1852
= 5.4
(2.11)
resultado que é confirmado pela figura 2.10.
O resultado anterior representa o ganho que deve ser aplicado ao ramo direto. Podemos calcular então as constantes
de erro estático para este ajuste de K
Kp
lim (K × GC (s) × G (s))
(
)
5.4 (s + 2.3)
= lim
s→0
s3 + 6.4s2 + 12.2s + 6.8
=
s→0
12.42
6.8
= 1, 83
=
(2.12)
9
3 COMPENSADOR DO TIPO “LAG” OU “ATRASO DE FASE”
e portanto, o erro estático de posição será, em termos percentuais:
Erro%
=
1
1 + Kp
1
2.83
= 0, 375
= 35, 3%
=
(2.13)
O erro obtido pelo projeto gráfico foi apenas um pouco inferior ao obtido por cancelamento de polos. Esta situação
não é a regra geral, muitas vezes o erro estacionário é muito menor, e portanto, o projeto pelo método gráfico é sempre
preferível em relação ao simples cancelamento de polo.
O diagrama em blocos do sistema de controle é ilustrado na figura 2.11 e a resposta é apresentada na figura 2.12.
Figura 2.11: Diagrama em blocos do sistema de controle.
Figura 2.12: Resposta do sistema de controle.
3
Compensador do tipo “Lag” ou “Atraso de Fase”
Utiliza-se o compensador do tipo “lag” quando o sistema em malha fechada não satisfaz os requisitos de erro estacionário, mas a resposta transitória é suficientemente rápida. Neste caso, a função de transferência do compensador
10
3.1
Projeto de um compensador “lag”
3 COMPENSADOR DO TIPO “LAG” OU “ATRASO DE FASE”
é
GC (s) =
s+a
s+b
(3.1)
com um zero em s = −a e um polo em s = −b e com duas particularidades:
1. O seu zero é “mais rápido” que o polo, ou seja, o zero esta localizado no eixo real em um valor mais negativo
que o zero. Sendo assim, para ser um compensador do tipo lead, então a função de transferência da equação 2.1
apresenta a > b.
2. O polo e o zero estão localizados no eixo real, próximos à origem. Desta maneira, garante-se que a interferência
no ponto de localização dos polos em malha fechada é mínima.
Por exemplo:
GC (s) =
s + 0.1
s + 0.01
(3.2)
que possui um polo em s = −0.01 e um zero em s = −0.1. No plano complexo, o polo do compensador esta localizado
à direita do seu zero, apresentando portanto um transitório mais “lento”.
Ao se aplicar o teorema do valor final na função de transferência do compensador “lag”, verifica-se que a longo
a
prazo é como se fosse incluído um ganho com valor > 1. A inclusão de um compensador do tipo “lag”, tem então
b
o efeito de aumentar o ganho na malha direta, reduzindo o erro estacionário às custas de uma pequena modificação na
posição dos polos de malha fechada que tende a tornar o sistema ligeiramente mais lento.
3.1
Projeto de um compensador “lag”
O projeto de um compensador do tipo “lag” se resume a:
1. Determinar o fator pelo qual a constante de erro estático do sistema deve ser aumentada.
2. Escolher os valores a e b da função de transferência do compensador próximos da origem e, de modo que a
a
relação seja igual ao aumento desejado para a constante de erro estático.
b
3. Traçar o novo diagrama do lugar das raízes e verificar se existe alteração sensível. Caso a alteração do lugar das
raízes seja pequena, determinar o novo ganho K que leva os polos até a posição desejada. Do contrário escolher
novos valores de a e b.
4. No caso de um reprojeto de a e b, cabe observar que quanto mais próximos da origem estiverem o polo e o zero
do compensador “lag”, menor sera a modificação no CLR, mas por outro lado, mais lenta será a minimização do
erro estacionário.
Nada impede que se utilize um compensador “lead” para tornar o sistema mais rápido e um compensador “lag” para
minimizar o erro estacionário. Este arranjo é conhecido como compensador “lead-lag” e possui uma técnica de projeto
específica. Aqui apresenta-se apenas as técnicas isoladas, e por este motivo fizemos primeiro o projeto do compensador
“lead” e agora faremos o projeto do compensador “lag” de modo independente.
Vamos projetar um compensador do tipo “lag” para o sistema anterior, da figura 2.11, de modo a obter um erro
estacionário ao degrau de 2%. Neste caso, a constante de erro do sistema era Kp = 1, 83 (nossa planta agora é a planta
original em série com o compensador lead projetado graficamente).
Para obter um erro estacionário ao degrau de 2%, a nova constante de erro estacionário ao degrau deve ser tal que
1
. Assim:
0, 02 =
Kp,novo + 1
Kp,novo + 1 =
Kp,novo
Então, o aumento desejado na constante de erro é
11
50
= 49
(3.3)
3.1
Projeto de um compensador “lag”
3 COMPENSADOR DO TIPO “LAG” OU “ATRASO DE FASE”
Kp,novo
Kp
=
=
49
1, 83
26, 77
(3.4)
Escolhendo-se a posição do zero do compensador “lag” em s = −0, 5, para satisfazer o aumento desejado na
constante de erro estático:
a
= 26, 77
b
0.5
= 26, 77
b
0.5
b =
26, 77
= 0, 0187
(3.5)
portanto, o polo deve estar localizado em s = −0, 0187.
A próxima etapa é traçar o novo lugar das raízes. A função de transferência da malha direta agora é dada por
GC,lag × GC,lead × G =
s + 0.5
s + 2.3
1
×
×
s + 0.0187 s + 3.4 (s + 1) (s + 2)
| {z } | {z } |
{z
}
”lag”
”lead”
planta
2
=
s + 2.8s + 1.15
4
s + 6, 42s3 + 12, 32s2 + 7s + 0, 13
e o novo diagrama do lugar das raízes é apresentado na figura 3.1
Figura 3.1: Lugar das Raízes da planta (planta+lead) com compensador lag..
Percebe-se que o lugar das raízes foi modificado e não é mais possível alocar o polo de malha fechada exatamente
em s = −2 ± 2j. Se esta modificação for aceitável, podemos prosseguir o projeto escolhendo novos polos próximos
12
3.1
Projeto de um compensador “lag”
3 COMPENSADOR DO TIPO “LAG” OU “ATRASO DE FASE”
aos desejados, por exemplo em s = −1.8 ± 2j. Observe que se a modificação do CLR devida à inclusão do “lag” não
for muito significativa, o ganho K da realimentação também permanece praticamente o mesmo.
Determina-se o novo ganho K que leva os polos até esta posição em malha fechada pela condição de módulo
K
=
=
1
|Gc (s) × G (s)|s=−2+2j
1
2
s + 2.8s + 1.15
4
s + 6, 42s3 + 12, 32s2 + 7s + 0, 13
s=−2+2j
1
=
|−0, 1656|
1
=
0, 1656
= 6, 04
(3.6)
informação que é confirmada pelo MATLAB na figura 3.1.
O diagrama em blocos do sistema de controle é ilustrado na figura 3.2 e a resposta é apresentada na figura 3.3.
Figura 3.2: Diagrama em blocos do sistema de controle.
13
4 O COMPENSADOR PID
Figura 3.3: Resposta do sistema de controle.
Muitas vezes, utiliza-se a representação
GC (s) =
Ts + 1
KˆC β
βT s + 1
(3.7)
onde KˆC β representa o ganho que o compensador aplica quando em regime, T esta relacionado à constante de tempo
do zero e αT corresponde à constante de tempo do polo (Com β estabelecendo a relação entre as duas). Nesta representação, KˆC é o ganho calculado a partir da condição de módulo para alocar os polos de malha fechada.
4
O compensador PID
O compensador do tipo PID (Proporcional, Integrativo e Derivativo) é um tipo de compensador amplamente utilizado
na industria, podendo ser encontrado em implementação independente ou mesmo como um bloco funcional em CLPs.
A sintonia de um PID (ou seja, o ajuste de seus parâmetros) pode ser feita com base no diagrama de lugar das
raízes, embora, outros métodos são comumente utilizados, como por exemplo o método de Ziegler-Nichols e até mesmo
de forma totalmente empírica (não recomendável, mas pode levar a ótimos resultados dependendo da experiência do
profissional que ajusta o PID)
Basicamente, um PID possui um diagrama esquemático como o da figura 4.1 (outras configurações ou algorítimos
são possíveis)
14
4 O COMPENSADOR PID
Figura 4.1: Esquema interno do PID.
Teoricamente, o bloco derivador tem função de transferência do tipo F (s) = s, ou seja, não tem polos e possui um
zero na origem. Na prática, para poder ser construído e apresentar alguma robustez a ruídos, utiliza-se um bloco com
s
função de transferência do tipo F (s) =
onde α tem um valor muito grande e em alguns casos pode ser ajustado
s+α
no CLP ou PID.
Ao se simplificar o diagrama de blocos do PID, obtém-se para o algorítimo representado na figura 4.1
P ID (s) =
=
KI
+ KDs + KP
s
KDs2 + KP s + KI
s
(4.1)
observa-se então que o PID apresenta um polo na origem e dois zeros (devidos à equação de segundo grau no numerador).
O projeto pelo diagrama de lugar das raízes deve então considerar a inclusão de um polo na origem (algo normalmente desejável pois elimina o erro estacionário ao degrau) e de dois zeros que podem estar localizados em pontos
distintos do eixo real ou ser complexos conjugados.
Pela avaliação do diagrama de lugar das raízes, é possível verificar qualitativamente as modificações devidas aos
zeros e ao polo do PID. Pode-se então, determinar a localização aproximada dos zeros adicionados pelo PID, de modo
a levar os polos de malha fechada para a posição de interesse e realizar um ajuste mais preciso utilizado o MATLAB
para traçar o CLR exato e verificar o resultado.
Para a planta exemplificada, com função de transferência
G (s) =
1
(s + 1) (s + 2)
(4.2)
após algumas experiências (traçando o CLR no MATLAB), verificou-se que adicionar um polo na origem e dois
zeros complexos conjugados em s = −2.3 ± 0.8j leva o lugar das raízes a passar próximo do ponto desejado.
Então, a função de transferência temporária do PID deve ser da forma
P ID (s) =
=
β (s + 2.3 + 0.8j) (s + 2.3 − 0.8j)
s
βs2 + 4, 6βs + 5, 93β
s
fazendo β = 1 e traçando o CLR obtém-se o o diagrama da figura 4.2
15
4 O COMPENSADOR PID
Figura 4.2: Lugar das Raízes da planta com compensador PID.
onde se observa que para um ganho de aproximadamente K = 3, 74, os polos de malha fechada se localizam em
s = −2, 04 ± 2, 04j. Desta maneira, deve-se escolher o valor final de β = 3, 74.
O próximo passo é determinar a função de transferência definitiva do PID e os correspondentes parâmetros de
sintonia. Assim:
P ID (s)
=
=
3, 74s2 + 4, 6 × 3, 74s + 5, 93 × 3, 74
s
3, 74s2 + 17, 2s + 22, 17
s
(4.3)
e que, pela equação 4.1 correspondem a
KD
KP
= 3, 74
= 17, 2
KI
= 22, 17
O diagrama em blocos do sistema de controle é ilustrado na figura 4.3 e a resposta é apresentada na figura 4.4.
16
REFERÊNCIAS
REFERÊNCIAS
Figura 4.3: Diagrama em blocos do sistema de controle.
Figura 4.4: Resposta do sistema de controle PID.
Como era de se esperar, o erro estacionário ao degrau é nulo devido à inclusão de um polo na origem.
Referências
[1] K. Ogata, Engenharia de controle moderno, 5th ed.
Prentice Hall / SP, 2010. 1
[2] R. C. Dorf and R. H. Bishop, SISTEMAS DE CONTROLE MODERNOS, 11th ed.
Científicos Editora, 2009. 1
[3] N. S. Nise, ENGENHARIA DE SISTEMAS DE CONTROLE, 5th ed.
17
LTC, 2009. 1
LTC - Livros Técnicos e