Aula teórica 3: Sistemas com resposta inversa e
de grandes retardos de Tempo
Conteudo:
• Sistemas com resposta inversa
• Sistemas com grandes retardos de tempo
Sistemas com grandes retardos de tempo
retardo de transporte
É um fenômeno muito comum
em sistemas de fluxo,
também lhe chama tempo morto
A maneira de exemplo
Considere a seguinte figura na qual um fluxo de líquido q atravessa um tubos isolado de
área uniforme A e longitude L
Considere que a densidade e a capacidade calorífica são constantes
O fluído entra no tubos com uma temperatura X e se estivermos em estado estacionário
a temperatura de saída Y deve ser igual a de entrada.
Se se produzir uma mudança em forma de degrau na temperatura de entrada,
a mudança não se detecta na saída do tubos até que passe um tempo que
chamaremos T, que é o tempo que requer o fluído para atravessá-la
A resposta Y(t) ao final do tubos deve
ser idêntica a X(t) somente deslocada
o tempo T
T se pode calcular
Desta figura pode observar-se que
Y (t )  X (t  T )
Se se transformar pelo Laplace ambos
os lados
Y ( s)  e
 ST
X ( s)
A função de transferência entre a temperatura de saída e entrada do
fluído no tubos é
Y ( s)
 e  ST
X (s)
Observe que esta função de transferência é diferente
às que usualmente vemos (divisão de polinômios)
Y ( s)
 e  ST
X (s)
Quando trabalhamos com o Simulink,
existe um bloco (Transport Delay)
que nos permite simulá-lo
Mas não no Matlab propriamente
Tampouco pode aplicar a este tipo de função o critério de estabilidade do Routh.
Muitas vezes por isso se utilizam aproximações
Mas usada, aproximação
do Padé de 1er Ordem
(Há outras)
Resposta de freqüência do retardo de transporte
Y ( s)
G( s) 
 e  ST
X ( s)
G( jw)  e
 jwT
 cos(wT )  jsen( wT )
Módulo e fase
G( jw)  cos ( wT )  sen ( wT )  1
2
2
 sen( wT ) 
  ( wT )
G( jw)  tan  
 cos(wT ) 
1
Diagrama polar
w0
G(jw)  1
G(jw)  0o
w0
G(jw)  1
G(jw)  
O retardo de transporte não contribui nada à magnitude de um sistema
mas acrescenta fase negativa crescente com a variação de freqüência
Observe o que pode acontecer com a presença de um retardo de
transporte devido à soma de fase negativa que ele introduz
1
Gp( s) 
( S  1)(S  1)
e 0.1S
Gp(s) 
(S  1)(S  1)
O retardo de transporte
faz que o sistema
se torne instável
Porque acontece isto?
Quando se produz uma mudança na entrada não se reflecte na saída até passado
muito tempo o qual é geralmente insatisfatório
Se este retardo é igual o maior que a constante de tempo dominante do sistema,
pode se considerar com grande retardo de tempo.
Nestes casos a correcção chegará muito tarde.
Para superar essa dificuldade se propõe o que se conhece como
Preditor do Smith
O efeito do retardo pode se reduzir com uma modificação como a seguinte:
O compensador do retardo reduz o efeito retardado que a variável manipulada
terá sobre a saída do processo.
Note que a implementação do Predictor de Smith só é possível si se conhece o
modelo do processo.
Matematicamente
O sinal medida A

A  EGc 1  e
TS
G  EGcGe
TS
A  EGcG  EGcGeTS  EGcGeTS
A  EGcG
O sinal de realimentação
¨não vê o retardo¨
Exemplo com o mesmo sistema que já vimos anteriormente
Processos com resposta inversa:
Existem processos que pela combinação de diferentes fenômenos, a
resposta a um passo inicialmente se move em sentido oposto ao
sentido ao que finalmente tenderá.
Estes processos se denominam de resposta inversa o de não-mínimo
desfasaje.
Um exemplo deste tipo de processos é o Nível do líquido no domo de uma caldeira.
1.A água fria causa uma caída de temperatura, pelo que decresce o volume
das borbulhas de vapor. Isto cria uma diminuição do nível do líquido da
água fervendo,
2.Com um fluxo de calor constante a produção de vapor permanece
constante e o nível do líquido de água fervendo começa a crescer em forma
integral.

Y K2
K1
K 2 1  K1 s  K 2



X
s s 1  1
s 1s  1
Ante uma mudança tipo degrau ocorre na entrada

K2
K1
K 2 1  K1 s  K 2


s s 1  1
s 1s  1
Para K21 < K1, o segundo termo domina inicialmente a
resposta.
O modelo resultante tem um zero positivo no ponto
K2
s
0
K 21  K1
LGR do sistema exposto
Observe que o zero na parte direita provoca que as raízes se
desloquem fazia ali e portanto o sistema pode muito facilmente
tornar-se instável
Os processos com resposta inversa são difíceis de controlar
Tem duas formas básicas de controle:
.
Controle com PID.
Usa-se um controlador PID sintonizado
por Ziegler-Nichols. A ação derivativa
antecipa-se ao movimento em forma oposta
da resposta e provoca uma ação corretiva para
limitar (nunca é eliminado totalmente) o pico
inverso
Compensador de resposta inversa.
Nos casos de sistemas com grandes retardos
de tempo, utilizava-se um Predictor de Smith
para compensar esse retardo. Neste caso, se
utilizará um compensador similar ao Predictor
de Smith, concebido para atuar contra a
resposta inversa.
Suponhamos o
sistema:
Esse processo terá uma
resposta inversa se
 1 K1

1
 2 K2
Que terá um zero positivo na
malha aberta no ponto:
K1  K 2
z
0
K1 2  K 2 1
Agregando um compensador
 1
1 

k 

  2 s  1  1s  1 
onde
K 2 1  K1 2
k
1   2
Com isso obtém-se que o zero na função de transferência
de malha aberta resultante seja não positiva:
K1  K 2
z
0
K 1 2  K 2 1   k  1   2 
O sistema será:
Exemplo
K 2 1  K1 2
k
1   2
0.5 * 4  1*1 2  1 1
k


4 1
3
3
k 1
O esquema de controle anterior pode reordenar-se assim
Comparando sem e com a compensação
Conclusões:
O compensador com resposta inversa predize o comportamento inverso do
processo e cria um sinal corretiva para eliminá-lo. A predição é baseada no
modelo do processo, que sempre é aproximado.
As imprecisões no 1 y 2 deteriora o comportamento do compensador de
resposta inversa, ocasionando incrementos do pico inverso e uma resposta
mais lenta
Exemplo: Encontre o compensador de retardo apropriado (Predictor do
Smith) e simule de novo em um terceiro esquema para repetir a comparação
O compensador ou predictor do Smith deve obtê-lo a partir de um esquema
como este
.