1
Variáveis Aleatórias
Exercício 1.1 Num lançamento de 3 moedas equilibradas seja X a variável
aleatória que representa o número de caras saídas. Escreva a função de
probabilidade de X.
Exercício 1.2 Quantas vezes se deve lançar um dado ao ar para que a probabilidade de não sair a face 6 em nenhum dos lançamentos seja inferior a
0.01?
Exercício 1.3 O número de carros vendidos semanalmente num stand é uma
variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade
x
1
f (x) c
2
3
4
c
2
c
3
c
4
1. Calcule, justificando, o valor de c.
2. Determine a função de distribuição de X.
3. Calcule a probabilidade do número de carros vendidos não chegar a 4,
sabendo que este valor é superior a 1.
4. Se os custos fixos semanais são de 30 unidades monetárias (u.m.) quando
são vendidos 2 ou menos carros e 15 u.m. quando se vende mais de 2
carros e, além disso, por cada carro vendido há um lucro de 35 u.m.,
determine a função de distribuição da receita líquida semanal.
Exercício 1.4 Uma empresa dedica-se à venda de artigos eléctricos. As
vendas diárias de gravadores (em unidades) são representadas por uma v.a.
X com a seguinte função de probabilidade
½
k(x + 1) , x = 0, 1, 2, 3, 4
f (x) =
.
0
, caso contrário
1. Determine o valor de k. Justifique a sua resposta.
2. Calcule a função de distribuição da v.a. X.
3. Calcule, através da função de probabilidade e da função de distribuição,
a probabilidade de as vendas serem exactamente iguais a 3 gravadores,
num dia em que estas foram pelo menos 2.
1
Exercício 1.5 Numa loja de electrodomésticos a procura diária de aspiradores é uma v.a. X com função de probabilidade
x
0 1 2
3
4
f (x) 0.2 b 0.3 0.2 0.1
1. Calcule b, justificando.
2. No início de um dia existem apenas 2 aspiradores na loja. Calcule
a probabilidade de serem vendidos (considere que procura = venda
sempre que exista o produto procurado).
3. A partir da alínea anterior obtenha a função de distribuição da variável
“número de aspiradores vendidos”.
Exercício 1.6 Dado o quadro seguinte
x
f (x)
0
1
2
3
1
8
1
4
1
2
1
8
1. Mostre que f representa a função de probabilidade de uma v.a. X.
2. Calcule E [X] , E [X + 2] e V [2X + 1].
Exercício 1.7 Seja. X uma v.a. discreta com função de probabilidade dada
por
x
0 1 2 3
5
f (x) 18 18 13 12
1. Determine a função de distribuição da v.a. X.
2. Calcule P (0 < X ≤ 2).
3. Calcule E[X] e V [X].
Exercício 1.8 A função de probabilidade da v.a. X, que representa o
número de imperfeições em cada 10 metros de uma fibra sintética fabricada
em rolos contínuos de largura uniforme, é dada por
x
0
1
2
3
4
f (x) 0.41 a 0.16 0.05 0.01
1. Calcule a, justificando.
2. Determine a função de distribuição da v.a. X.
2
3. Calcule P (1 < X ≤ 4).
4. Calcule E[X] e V [X].
Exercício 1.9 Seja X uma v.a. discreta com a função de distribuição dada
por
⎧
0 , x<1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1
⎪
, 1≤x<2
⎪
4
⎪
⎪
⎪
⎨
3
, 2≤x<3 .
F (x) =
4
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
k
⎪
, 3≤x<4
⎪
⎪
8
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1 , x≥4
1. Determine os possíveis valores para k.
2. Suponha k = 7.
(a) Determine a função de probabilidade de X.
(b) Calcule P (2 < X ≤ 4).
(c) Calcule E[X] e V [X].
Exercício 1.10 Considere a variável aleatória discreta com a seguinte função
de distribuição
⎧
a , x<0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1
⎪
, 0≤x<2
⎪
6
⎪
⎪
⎪
⎨
1
, 2≤x<4 .
F (x) =
4
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
b , 4≤x<6
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
c , x≥6
1. Sabendo que P (X = 6) = 12 , determine, justificando, os valores de a, b
e c.
2. Calcule o valor esperado e a variância da variável aleatória Y =
3
2−3X
.
4
Exercício 1.11 O número de vendas realizadas por um agente de seguros
diariamente é uma v.a. com função de probabilidade
x
0
f (x) w
1 2 3 4
z t z w
1. Sabendo que em 10% dos dias as vendas são inferiores a um e que em
70% dos dias são superiores a um, determine w, z e t.
2. Determine o número médio de seguros vendidos diariamente.
3. Determine E[2X − 1] e V [2X − 1].
4. Determine a probabilidade de que, quando considerados dois dias, as
vendas sejam superiores, em cada um deles, a duas unidades (suponha
que as vendas realizadas num dia não influenciam as vendas realizadas
no outro dia).
5. Se cada seguro é feito por 15000 unidades monetárias, determine a
função de probabilidade da receita obtida com a venda dos seguros
num dia.
6. Se num dia a receita for inferior a 50000 unidades monetárias, determine
a probabilidade de que seja superior a 20000 unidades monetárias.
Exercício 1.12 Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função
de probabilidade
x
m−1 m m+3 m+5
k+1
k
k−1
k
f (x)
8
8
8
8
1. Determine k e m de modo que E[X] = 14 .
2. Determine V [3X − 2].
3. Determine F (x) e P (2 < X < 5).
Exercício 1.13 Quais das seguintes funções podem representar a função
densidade de probabilidade de uma v.a.:
½
4x − 2x2 , 0 < x < 2
;
1. f (x) =
0
, caso contrário
½ 12x−6x2
,0<x<2
8
2. f (x) =
.
, caso contrário
0
4
Exercício 1.14 Uma máquina faz parafusos com diâmetros distribuídos segundo uma v.a. X com a seguinte função densidade de probabilidade
½
k(x − 1)(x − 2) , 1 < x < 2
.
f (x) =
0
, caso contrário
1. Determine k.
2. Os parafusos são rejeitados se o seu diâmetro diferir de 1.5 mais de 0.4.
Qual a probabilidade de um parafuso ser rejeitado?
Exercício 1.15 Considere a seguinte função
½ k
,1<x<b
x2
f (x) =
0 , caso contrário
.
Que relação deve existir entre k e b para que f seja uma função densidade
de probabilidade de uma v.a. X.
Exercício 1.16 Suponha que o gráfico da figura seguinte representa a função
densidade de probabilidade de uma v.a. X.
(a,b)
-a
00
a
b
1. Qual a relação entre a e b?
2. Se b > 0, determine o valor de b quando a = 1 e calcule, com estes
valores, a função de distribuição da v.a. X.
Exercício 1.17 Seja X uma v.a. com função densidade de probabilidade
dada por
½ 3 2
,3<x<5
− 4 x + 6x − 45
4
.
f (x) =
0
, caso contrário
1. Prove que f é de facto uma função densidade de probabilidade.
2. Determine a respectiva função de distribuição.
5
Exercício 1.18 Seja X uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade
⎧ x
,0≤x≤k
⎨ 4
1 − x4 , k < x < 4
f (x) =
.
⎩
0
, caso contrário
1. Determine k, justificando.
2. Determine a função de distribuição de X.
3. Calcule P (0.5 < X ≤ 2.5) através da função densidade de probabilidade de X.
4. Calcule P (X < 1/X ≥ 0.25) através da função de distribuição de X.
Exercício 1.19 A quantidade de peixe pescado diariamente, em toneladas,
por certo barco é uma v.a. X com a seguinte função densidade de probabilidade
⎧
x
, 0 ≤ x < 10
⎨
200
a(20 − x) , 10 ≤ x < 20
.
f (x) =
⎩
0
, caso contrário
1. Determine o valor da constante a.
2. Determine a função de distribuição da v.a. e, com base nela, calcule a
probabilidade do barco, num dia, não pescar menos de 8 toneladas de
peixe.
3. Sabendo que numa manhã o barco já pescou mais de 3 toneladas de
peixe, qual a probabilidade de até ao fim do dia exceder as 8 toneladas
de pescado?
4. Se cada caixa de peixe enviada para a lota leva 25 kg, qual a probabilidade de num dia se enviarem mais de 400 caixas?
Exercício 1.20 O Sr. João tem um carro que necessita de uma reparação
urgente. Considere X a v.a. que representa o número de semanas que o
carro se manterá em funcionamento sem reparação. A função densidade de
probabilidade é a seguinte
⎧ x
⎨ 20 , 0 < x ≤ 4
x
,4<x≤b
f (x) =
.
⎩ 40
0 , caso contrário
6
1. Qual o número máximo de semanas que o carro funcionará sem reparação?
2. Determine a função de distribuição da v.a. X.
3. O Sr. João precisa de ir ao Porto daqui a 6 semanas. Qual a probabilidade de poder utilizar o seu carro sem ter efectuado qualquer
reparação?
Exercício 1.21 Seja X uma v.a. contínua.
1. Indique para que valores de β é que a seguinte função pode ser uma
função densidade de probabilidade de X
½ −βx
βe
,x>0
f (x) =
.
0
, caso contrário
2. Usando a função densidade de probabilidade definida na alínea anterior,
prove que para quaisquer s, t > 0 se verifica
P (X > s + t/X > s) = P (X ≥ t).
Exercício 1.22 Considere X uma
probabilidade dada por
⎧
⎨ 1+x
1−x
f (x) =
⎩
0
v.a. contínua com função densidade de
, −1 < x ≤ 0
,0<x<1
, restantes casos
.
1. Determine a função de distribuição e esboce o seu gráfico.
2. Determine a esperança matemática e a variância.
Exercício 1.23 A v.a. contínua X tem função densidade de probabilidade
dada por
½ 2
3x , −1 < x < 0
f (x) =
.
0 , x ≤ −1 ou x ≥ 0
Seja b um número real tal que −1 < b < 0.
1. Calcule a função de distribuição de X.
¡
¢
2. Calcule P X > b/X < 2b .
3. Determine a esperança matemática e a variância.
7
Exercício 1.24 A função densidade de probabilidade de uma v.a. X é dada
por
½
a + bx2 , 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
.
0
, caso contrário
1. Sabendo que E[X] = 35 , determine a e b.
2. Determine a função de distribuição de X.
¡
¢
3. Calcule P 12 ≤ X ≤ 34 .
Exercício 1.25 Considerando X uma v.a. que representa a duração em
centenas de horas de um certo componente eléctrico e em que a sua função
densidade de probabilidade é dada por
½
ax , 0 < x ≤ 10
f (x) =
.
0 , caso contrário
1. Determine, justificando, o valor de a.
2. Calcule P (X > 5).
3. Calcule E[X] e V [X].
Exercício 1.26 Dada a função de distribuição da v.a. X
⎧
⎨ 0 ,x<0
x
,0≤x<6 .
F (x) =
⎩ 6
1 ,x≥6
1. Determine a respectiva função densidade de probabilidade.
2. Calcule P (2 ≤ X ≤ 4).
3. Calcule E[X] e V [X].
4. Calcule E[1 − X] e V [1 − X].
Exercício 1.27 Considere uma variável
função de distribuição
⎧
0
,
⎪
⎪
⎪
3
⎪
x
1
⎪
⎪
⎨ 3 +3 ,
x2
F (x) =
+ 13 ,
2
⎪
⎪
x
3
⎪
⎪
⎪ 12 + 4 ,
⎪
⎩
1
,
8
aleatória contínua com a seguinte
x < −1
−1 ≤ x < 0
0≤x<1
1≤x<3
x≥3
.
1. Determine a respectiva função densidade de probabilidade.
¡
¢
2. Calcule P 12 < X < 2 / X ≥ 32 .
3. Calcule E [X] e V [X].
£
4. Calcule E [X 2 + 2] e V 1 −
X
2
¤
.
Exercício 1.28 A proporção de álcool de um certo composto pode ser considerada uma v.a. X com a seguinte função densidade de probabilidade
½
kx + 12 , 0 < x < 1
.
f (x) =
0
, caso contrário
1. Calcule k, obtenha a função de distribuição da v.a. X e esboce o seu
gráfico.
2. Determine m de modo que P (X > m) = P (X < m) e mostre que m é
único.
3. Calcule E[X] e V [X].
4. Suponha que o preço de venda desse composto depende da percentagem de álcool. Especificamente se 14 < X < 34 o composto vende-se
por 1000 unidades monetárias (u.m.) por litro e de contrário vende-se
por 700 u.m. por litro. Se o custo for 500 u.m. por litro, calcule a
esperança matemática do lucro líquido por litro.
Exercício 1.29 O diâmetro de um cabo eléctrico é uma v.a. X com a
seguinte função densidade de probabilidade
½
6x(1 − x) , 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
.
0
, caso contrário
1. Mostre que f é de facto uma função densidade de probabilidade.
¡
¢
2. Determine a função de distribuição da v.a. X e calcule P X ≤ 12 .
3. Calcule E[X].
4. Suponha que o cabo eléctrico é considerado defeituoso se o diâmetro
diferir da sua média em mais de 0.05. Qual a probabilidade de se
encontrar um cabo defeituoso?
5. Calcule V [X].
9
Exercício 1.30 A quantidade de cerveja vendida diariamente numa feira
(em milhares de litros) é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade
⎧
kx
,0≤x≤4
⎨
k(12 − 2x) , 4 < x ≤ 6
f (x) =
.
⎩
0
, caso contrário
1. Obtenha o valor de k e de E [3X + 2].
2. Determine a função de distribuição da v.a. X.
3. Considere os seguintes acontecimentos:
A = “venda diária superior a 4000 litros”
B = “venda diária entre 3000 e 5000 litros”
Indique, justificando, se A e B são independentes.
Exercício 1.31 Uma estação de gasolina enche os reservatórios uma vez por
semana. O volume semanal de vendas, expresso em milhares de litros, é uma
variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade
⎧
0
, x<0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1
⎪
, 0≤x<5
⎨ 10
.
f (x) =
⎪
10−x
⎪
, 5 ≤ x < 10
⎪
25
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
, x ≥ 10
0
1. Mostre que f é de facto uma função densidade de probabilidade de uma
variável aleatória X.
2. Calcule a função de distribuição de X.
3. Determine a probabilidade de numa semana se venderem mais de 7000
litros de gasolina, sabendo-se que já foram vendidos pelo menos 4000
litros.
4. Calcule a quantidade média de gasolina que é vendida semanalmente.
10
Exercício 1.32 Relativamente à distribuição da v.a. X sabe-se que
E[X] = 4
e
E[X 2 ] = 52.
Sendo Y uma outra variável tal que Y = 12 X + 3, determine E[Y ], V [Y ] e
σY .
Exercício 1.33 Seja X uma variável aleatória e a e b constantes. Prove as
seguintes propriedades da esperança matemática:
1. Se X = a, então E [X] = a.
2. E [bX] = bE [X].
3. E[X + a] = E[X] + a.
4. Se g(X) e h(X) são funções de X, então
E[g(X) + h(X)] = E[g(X)] + E[h(X)],
caso existam estas esperanças matemáticas.
Exercício 1.34 Seja X uma variável aleatória e a e b constantes. Prove as
seguintes propriedades da variância:
1. V [X] = E[X 2 ] − E 2 [X].
2. V [X] ≥ 0.
3. Se X = a, então V [X] = 0.
4. V [X + a] = V [X].
5. V [bX] = b2 V [X].
Exercício 1.35 Seja X uma variável aleatória e a e b constantes. Prove,
por definição, que
V [aX − b2 ] = a2 V [X].
11
Soluções
1.1: −.
1.2: Pelo menos 26 lançamentos.
1.3.1: 12
. 1.3.2: −. 1.3.3: 10
. 1.3.4: −.
25
13
1
1
1.4.1: 15 . 1.4.2: −. 1.4.3: 3 .
1.5.1: 0.2. 1.5.2: 0.6. 1.5.3: −.
1.6.1: −. 1.6.2: E [X] = 13
, E [X + 2] = 29
, V [2X + 1] = 47
.
8
8
16
11
49
599
1.7.1: −. 1.7.2: 24 . 1.7.3: E[X] = 24 , V [X] = 576 .
1.8.1: 0.37. 1.8.2: −. 1.8.3: 0.22. 1.8.4: E[X] = 0.88, V [X] = 0.846.
1.9.1: k ∈ [6, 8]. 1.9.2a: −. 1.9.2b: 14 . 1.9.2c: E[X] = 17
, V [X] = 55
.
8
64
1
21
1.10.1: a = 0, b = 2 , c = 1. 1.10.2: E[Y ] = − 8 , V [Y ] = 2.7969..
1.11.1: w = 0.1, z = 0.2, t = 0.4. 1.11.2: 2. 1.11.3: E[2X − 1] = 3,
V [2X − 1] = 4.8. 1.11.4: 0.09. 1.11.5: −. 1.11.6: 0.667.
1.12.1: k = 2, m = −1. 1.12.2: 55.688. 1.12.3: P [2 < X < 5] = 0.25.
1.13.1: Não. 1.13.2: Sim.
1.14.1: −6. 1.14.2: 0.056.
b
1.15: k = b−1
, com b > 1.
2
1.16.1: a = 2−b
, com b 6= 0. 1.16.2: b = 1.
b
1.17.1: Sim. 1.17.2: −.
1.18.1: 2. 1.18.2: −. 1.18.3: 0.688. 1.18.4: 0.118.
1.19.1: 0.015. 1.19.2: 0.84. 1.19.3: 0.859. 1.19.4: 0.75.
1.20.1: 8. 1.20.2: −. 1.20.3: 0.35.
1.21.1: β > 0. 1.21.2: −.
1.22.1: −. 1.22.2: E[X] = 0, V [X] = 16 .
3
3
. 1.23.3: E[X] = − 34 , V [X] = 80
.
1.23.1: −. 1.23.2: −7b
b3 +8
3
6
1.24.1: a = 5 , b = 5 . 1.24.2: −. 1.24.3: 0.269.
1
1.25.1: 50
. 1.25.2: 34 . 1.25.3: E[X] = 20
, V [X] = 50
.
3
9
1
1.26.1: −. 1.26.2: 3 . 1.26.3: E[X] = 3, V [X] = 3.
1.26.4: E[1 − X] = −2, V [1 − X] = 3.
5
1.27.1: −. 1.27.2: 13 . 1.27.3: E
£ [X]X=¤ 12 , V [X] = 0.99861.
2
1.27.4: E [X + 2] = 3.1722, V 1 − 2 = 0.24965.
7
11
, V [X] = 144
. 1.28.4: 350
1.28.1: k = 1. 1.28.2:¡ 0.618. ¢1.28.3: E[X] = 12
1
1.29.1: −. 1.29.2: P X ≤ 2 = 0.5. 1.29.3: 0.5. 1.29.4: 0.8505.
1
.
1.29.5: 20
1
1.30.1: k = 12
, E [3X + 2] = 12. 1.30.2: −. 1.30.3: Não são independentes.
1.31.1: −. 1.31.2: −. 1.31.3: 0.3. 1.31.4: 4.58.
1.32: E[Y ] = 5, V [Y ] = 9, σ Y = 3.
1.33: −. 1.34: −. 1.35: −.
12