PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO
EXTREMOS: MÁXIMOS E MÍIMOS
As questões de optimização estão relacionados com a escolha da melhor
alternativa para a resolução de um problema com base em critérios
particulares.
Os critérios de selecção mais usados na maioria das ciências são a
maximização e a minimização, e.g., maximização dos lucros de uma
empresa, minimização dos custos para produzir um determinado artigo.
Dada uma função objectivo y = f (x ) , os extremos podem ser
classificados de várias formas:
Extremos relativos: máximos e mínimos relativos; Extremos absolutos:
máximos e mínimos absolutos ou globais. Pode acontecer a não
existência de extremos e.g., função constante.
TESTE DA 1ª DERIVADA
O cálculo da 1ª derivada ou da derivada de 1ª ordem é fundamental para
determinar os extremos de uma função y = f (x ) .
Definição:
Diz-se que c é um ponto crítico de uma função f se f ' ( c ) = 0 ou se
f ' ( c ) não existe.
Se um extremo relativo ocorre em x = x0 , então ou f ' (x0 ) = 0 ou f ' (x0 )
não existe. Neste 2º caso (ver Figura 1), ambos os pontos A e B
representam
18
y
y
A
B
+ B
O
+
A
x
O
Figura 1
x
x1
x2
Figura 2
extremos relativos de y, no entanto as derivadas não estão definidas
nesses pontos agudos. Daqui para a frente vamos excluir esta situação
supondo que y = f (x ) é contínua e possui derivadas contínuas.
Na figura 2, A e B representam valores extremos, respectivamente um
mínimo e um máximo ( f ' (x1 ) = 0 e f ' (x 2 ) = 0 ).
Assim, se a primeira derivada de uma função f (x ) no ponto x = x0 é
f ' ( x0 ) = 0 , então o valor da função nesse ponto f ( x0 ) é: um máximo
relativo, um mínimo relativo, ou então não é nem um máximo nem um
mínimo (ponto de inflexão). Quando possui o mesmo sinal em ambos os
lados do ponto x0.
Se f ' (a ) > 0 , então f (x ) é crescente em x = a . Se f ' (a ) < 0 , então f (x ) é
decrescente em x = a .
Exercícios
1. Achar os extremos relativos da função y = f (x ) = x 3 − 12 x 2 + 36 x + 8
Resolução:
f ' (x ) = 3 x 2 − 24 x + 36 . Para acharmos os valores críticos, i.e., os valores
de x quando f ' (x ) = 0 , igualamos a zero a função derivada quadrática
obtendo a equação quadrática: 3x 2 − 24 x + 36 = 0 .
Resolvendo a equação do 2º grau, vem que x1 = 2 ( f ' (2) = 0, f (2) = 40 ),
x 2 = 6 ( f ' (6 ) = 0, f (6) = 8 ).
19
É fácil verificar que f ' (x ) > 0 para x < 2 e que f ' (x ) < 0 para x > 2 na
vizinhança imediata de x=2, portanto o valor correspondente da função
f (2 ) = 40 é um máximo relativo da função. Analogamente, já que
f ' ( x ) < 0 para x < 6 e f ' ( x ) > 0 para x > 6 na vizinhança imediata de x=6,
o valor da função f (6) = 8 é um mínimo relativo.
2.
Achar
o
extremo
CM = f (Q ) = Q − 5Q + 8 .
relativo
da
função
de
custo
médio
2
Resolução:
f ' (Q ) = 2Q − 5 , igualando a 0 obtemos a equação linear 2Q − 5 = 0 que
possui a raiz única Q1 = 2,5 .
Para realizarmos o teste da 1ª derivada, vamos achar os valores da
derivada em Q = 2,4 e Q = 2,6 .
f ' (2,4 ) = −0,2 < 0 e f ' (2,6 ) = 0,2 > 0 . Podemos concluir que o valor
estacionário CM = f (2,5) = 1,75 representa um mínimo relativo e também
absoluto.
3. Encontre os valores estacionários das seguintes funções (verifique se
são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. O domínio é IR.
a) y = −2 x 2 + 8 x + 7
b)
y = 3x 2 + 3
c)
d)
y = 3x 2 − 6 x + 2
2
y = 5x + x
20
TESTE DA 2ª DERIVADA
As derivadas de ordem superior nomeadamente de 2ª ordem
possibilitam desenvolver critérios alternativos para localização dos
extremos relativos de uma função.
A derivada de 2ª ordem pode ser representada por: f ' ' (x ) ou
d2y
.
dx 2
Se derivar a 2ª derivada obtenho a 3ª e assim por diante.
Exemplo
y = f ( x ) = 4 x 4 − x 3 + 17 x 2 + 3 x − 1
f ' ( x ) = 16 x 3 − 3 x 2 + 34 x + 3
f ' ' ( x ) = 48 x 2 − 6 x + 34
f ' ' ' ( x ) = 96 x − 6
f (4 ) ( x ) = 96
f (5 ) ( x ) = 0
Se pretender por exemplo conhecer o valor de f ' ' (x ) no ponto 0, fica
f ' ' (0 ) = 34
Se f '' (a ) > 0 , então f (x ) tem concavidade para cima em x = a . Se
f ' ' (a ) < 0 , então f ( x ) tem concavidade para baixo em x = a .
Exercícios
4. Calcular as primeiras 4 derivadas da função racional
y = g (x ) =
x
, ( x ≠ −1)
1+ x
Podemos tirar conclusões em relação à curvatura de uma determinada
função num ponto se conhecermos as 1ª e 2ª derivadas nesse ponto.
21
Se em
x = x1
f ' ( x1 ) > 0
f ' ' ( x1 ) < 0
x = x2
f ' (x2 ) = 0
f ' ' (x 2 ) < 0
ponto B
x = x3
f ' ( x3 ) < 0
f
( x3 ) < 0
ponto C
x = x4
g ' (x4 ) < 0
g ' ' (x4 ) > 0
ponto D
x = x5
g ' ( x5 ) = 0
g ' ' (x5 ) > 0
ponto E
x = x6
g ' (x6 ) > 0
g ' ' (x6 ) > 0
ponto F
''
ponto A
Figura 1
O teste da 2ª derivada para um extremo relativo diz que se a
primeira derivada de uma função f no ponto x = x0 é f ' (x0 ) = 0 , então o
valor da função nesse ponto f (x0 ) é,
a) um máximo relativo se f ' ' (x 0 ) < 0
b) um mínimo relativo se f ' ' (x 0 ) > 0
c) se f ' ' ( x0 ) = 0 , nada se pode concluir
22
Exercícios
5. Achar o extremo relativo da função y = f (x ) = 4 x 2 − x .
Resolução:
f ' (x ) = 8 x − 1
f
''
(x ) = 8
Igualando f ' (x ) a 0 e resolvendo a equação resultante, achamos o valor
crítico (único)
x =
1
8
1
1
que gera o valor estacionário (único) f   = − e
8
6
já que a segunda derivada é positiva (para todo o x), o extremo achado é
um mínimo.
6. Achar os extremos relativos da função y = g (x ) = x 3 − 3x 2 + 2 .
Resolução:
Calculando as 1ª e 2ª derivadas,
g ' (x ) = 3 x 2 − 6 x
g ' ' (x ) = 6 x − 6
Igualando g ' (x ) a 0 e resolvendo a equação quadrática, obtemos os
valores críticos x1 e x 2 .
3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ x1 = 0 ∨ x 2 = 2 que por sua vez geram os dois valores
estacionários g (0) = 2 (um máximo porque g ' ' (0) = −6 < 0 ) e g (2) = −2 (um
mínimo porque g ' ' (2) = 6 > 0 )
ESBOÇO DE GRÁFICOS
Alguns passos fundamentais a seguir para esboçar um gráfico:
23
1. A partir de f (x ) , calcular f ' (x ) e f ' ' (x ) .
2. Localizamos em seguida todos os pontos de máximo e mínimo
relativos fazendo em seguida um esboço parcial.
3. Estudamos a concavidade de f (x ) e localizamos todos os pontos de
inflexão (quando f ' ' (x ) = 0 ).
4. Outras propriedades do gráfico como por exemplo as intersecções
com os eixos dos xx e yy.
Exercícios
7. Esboce o gráfico de uma função f (x ) que tenha as seguintes
propriedades:
i) f (3) = 4 ;
ii) f ' (x ) > 0 para x < 3, f ' (3) = 0 e f ' (x ) < 0 para x > 3
8. Esboce o gráfico de uma função f (x ) que tenha as seguintes
propriedades:
i) (2,3), (4,5) e (6,7) são pontos do gráfico
ii) f ' (6) = 0 e f ' (2 ) = 0
iii) f '' (x ) > 0 para x < 4, f ' ' (4 ) = 0 e f '' (x ) < 0 para x > 4
24
1
4
9. O gráfico da função quadrática f (x ) = x 2 − x + 2 é uma parábola e,
portanto, tem um extremo relativo. Encontre esse ponto e esboce o
gráfico.
10. Localize todos os extremos relativos no gráfico da função
f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 5 . Verifique a concavidade nesses pontos e utilize essa
informação para esboçar o gráfico de f (x ) .
1
3
11. Esboce o gráfico de y = − x 3 + 3x 2 − 5 x .
1
6
3
2
12. Esboce o gráfico de f (x ) = x 3 − x 2 + 5 x + 1 .
QUESTÕES
DE OPTIMIZAÇÃO EM
UMA VARIÁVEL
FUÇÕES
COM
Uma das mais importantes aplicações do conceito de derivada está nos
problemas de optimização, nos quais alguma quantidade pode ser
maximizada ou minimizada. Estas aplicações podem ser utilizadas na
maioria das áreas do conhecimento e.g., uma companhia aérea pretende
decidir o número de voos diários entre duas localidades para maximizar
os lucros; um médico pretende conhecer a quantidade mínima de droga
que produzirá o efeito desejado nos seus pacientes; um fabricante
precisa determinar a frequência com que equipamentos devem ser
substituídos de forma a minimizar os custos de manutenção.
O objectivo passa por encontrar ou construir uma função que
corresponda a um “modelo matemático” para o problema. Depois a
partir do gráfico dessa função teremos possibilidade de responder ao
problema de optimização.
25
Exercícios
13.
Encontre
valor
f ( x ) = 2 x − 15 x + 24 x + 19 para x ≥ 0 .
3
o
mínimo
da
função
2
14. Uma pessoa quer plantar um jardim rectangular ao longo de um dos
lados da casa e construir uma cerca nos outros três lados do jardim.
Encontre as dimensões do maior jardim que pode ser cercado, utilizando
40 metros de cerca.
Nos anos recentes, as decisões económicas têm sido cada vez mais
orientadas pela matemática. Em face de uma enorme quantidade de
dados estatísticos, dependendo de centenas de diferentes variáveis, os
analistas de negócios e economistas tem recorrido à ajuda de métodos
estatísticos para descrever e compreender o que está a acontecer, prever
os efeitos das várias políticas e para decidir estratégias razoáveis dentro
de um enorme número de possibilidades. Entre os métodos utilizados
está o Cálculo. Vamos de seguida estudar algumas destas aplicações do
cálculo aos negócios e à economia.
Estas aplicações vão estar centradas em torno do que os economistas
chamam de teoria da firma. Por outras palavras estudamos a actividade
de um negócio ou de toda uma indústria e restringimos a análise a um
período de tempo durante o qual as condições básicas (tais como
fornecimento de matéria prima, salários, impostos) podem ser
consideradas constantes.
Vamos ainda mostrar como o cálculo pode ajudar a administração de
uma firma a tomar decisões vitais para a produção.
São utilizadas várias funções que passo a apresentar:
C(x) = custo para produzir x unidades de um produto
R(x) = facturação gerada pela venda de x unidades de um produto
26
P(x) = R(x) – C(x) = lucro (ou perda) gerado pela produção e venda de
x unidades de um produto.
Exercícios
15. Suponha que a função custo de um fabricante seja dada por C(x) =
(10 −6 )x 3 − 0,003x 2 + 5x + 1000 euros.
Descreva o comportamento do custo marginal.
Esboce o gráfico de C(x).
Resolução:
As primeiras duas derivadas de C(x) são dadas por :
(
)
(
)
C ' (x) = 3 × 10 - 6 x 2 - 0,006x + 5
C '' (x) = 6 × 10 −6 x − 0,006
Vamos em primeiro lugar esboçar o gráfico de C ' (x) . Do
comportamento de C ' (x) , teremos condições de obter o gráfico de C(x).
A função custo marginal y = (3 × 10 −6 )x 2 − 0,006x + 5 tem como gráfico
uma parábola com abertura para cima. y ' = C '' (x) = 0,000006(x − 1.000),
podemos observar que a parábola tem uma tangente horizontal em x=
1000. A coordenada y correspondente é
(3 × 10 )(1000)
−6
2
− 0,006 × (1000 ) + 5 = 3 − 6 + 5 = 2
Observando o gráfico C ' (x) podemos verificar que no início o custo
marginal diminui, atingindo o seu mínimo de 2 no nível de produção
1000, aumentando depois. Isto corresponde à parte de a) . Vamos agora
obter o gráfico de C(x). Podemos observar que o gráfico de C ' (x) nunca
é zero logo podemos concluir que não existem extremos relativos.
Como C ' (x) é sempre positivo, C(x) é sempre crescente.
27
Como C ' (x) é decrescente para x menor do que 1000 e é crescente para x
maior do que 1000, temos que C(x) tem concavidade para baixo para x
menor do que 1000 e concavidade para cima para x maior do que 1000 e
possui um ponto de inflexão em x=1000.
Podemos ver que o ponto de inflexão de C(x) ocorre no mesmo valor de
x para o qual o custo marginal é mínimo.
A maioria das funções custo marginal têm a mesma forma que a função
custo marginal do exemplo anterior. Para x pequeno, o custo marginal
diminui. Entretanto o aumento da produção eventualmente leva a horasextra, utilização menos eficiente dos recursos de produção, instalações
antigas e competição por matéria prima. Assim vemos que
C ' (x) inicialmente decresce e depois cresce.
Função facturação – De um modo geral num negócio interessa não
apenas os seus custos mas também a sua facturação. Como vimos R(x) é
a facturação recebida com a venda de x unidades de algum bem. A
derivada R ' (x) é chamada de facturação marginal. Os economistas
utilizam isso para medir a taxa de aumento da facturação por unidade de
aumento das vendas.
16. Se x unidades de um produto são vendidas a um preço p por unidade,
então a facturação total R(x) é dado por
R(x) = x.p.
Resolução:
1
2
A equação de procura de um certo produto é p = 6 - x euros. Encontre
o nível de produção que resulta na facturação máxima.
Neste caso, a função facturação é
1
1
R(x) = x.p= x 6 − x  = 6x − x 2 euros

2 
2
A facturação marginal é
28
R ' (x) = 6 − x
O gráfico de R(x) é uma parábola com abertura para baixo. Tem uma
tangente horizontal no valor de x para o qual R ' (x) = 0, isto é, para x=6, o
qual resulta numa facturação de 18 euros.
Exercícios
17. Uma Companhia Aérea oferece passeios turísticos em Lisboa. Um
dos passeios, custa 7 euros por pessoa e tem uma procura média de 1000
turistas por semana. Quando o preço baixar para 6 euros, a procura
semanal sobe para 1200 turistas. Supondo que a equação de procura seja
linear, encontre o preço do passeio por pessoa que maximiza a
facturação total em cada semana.
Funções Lucro – Tendo conhecimento da função custo C(x) e da função
facturação R(x), podemos obter a função lucro P(x) de P(x) = R(x) –C(x)
Exercício
18. Suponha que a equação de procura de um comerciante é p= 1000,01x e a função custo é C(x) = 50x+10000. Encontre o valor de x que
maximiza o lucro e determina o preço correspondente e o lucro total
para este nível de produção.
19. Refaça o exercício anterior com a condição que o governo cobra um
imposto de 10 euros por unidade.
20. Dada a função custo C(x) = x 3 − 6x 2 + 13x + 15 , encontre o custo
marginal mínimo.
21. A função facturação de uma firma que produz um único produto é
R(x) = 200 −
1600
−x
x +8
Encontre o valor de x que resulta na facturação máxima.
29
22. Uma empresa que produz um único produto estima que a sua função
custo diário é C (x ) = x 3 − 6 x 2 + 13x + 15 , e a sua função facturação é R(x ) = 28 x .
Encontre o valor de x que maximiza o lucro diário.
23. Para qual x a função g (x ) = 10 + 40 x − x 2 tem o seu valor máximo?
24. Encontre o valor máximo da função f (x ) = 12 − x 2 e forneça o valor de
x para o qual esse máximo ocorre.
25. Encontre o valor mínimo de f (t ) = t 3 − 6t 2 + 40, t ≥ 0 e forneça o valor de t
para o qual o mínimo ocorre.
26. Para que t a função f (t ) = t 2 − 24t tem o seu valor mínimo?
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