Função do 2º Grau
1. (Espcex (Aman) 2014) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor
mensal resultante da venda deste produto é V(x)  3x2  12x e o custo mensal da produção é
dado por C(x)  5x2  40x  40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor
resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa
indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a
a) 4 lotes.
b) 5 lotes.
c) 6 lotes.
d) 7 lotes.
e) 8 lotes.
2. (Insper 2013) No gráfico estão representadas duas funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do
segundo grau.
O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é
a)
b)
d)
e)
c)
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3. (Fgv 2013) Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade
B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o
preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau.
Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada
aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o
preço da passagem que maximiza a receita em cada voo?
a) R$ 220,00
b) R$ 230,00
c) R$ 240,00
d) R$ 250,00
e) R$ 260,00
4. (Epcar (Afa) 2013) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau y  f  x  , que tem
como coordenadas do vértice (5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), também passará pelo ponto de
coordenadas
a) (1, 18)
b) (0, 26)
c) (6, 4)
d) (–1, 36)
5. (Fgv 2013) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro Descobrindo o
Pantanal em uma Feira Internacional de Livros, em 2012. Uma pesquisa feita pelo
departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquirida pelos consumidores em
função do preço de cada exemplar.
Preço de venda
R$ 100,00
R$ 90,00
R$ 85,00
R$ 80,00
Quantidade vendida
30
40
45
50
Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do
1º grau y  a  x  b, em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada
exemplar.
a) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora?
b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da
editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a
sua decisão? Por quê?
6. (Fgv 2013) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões:
capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x

reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, 130x  70y  x2  y2

exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu
que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão.
a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros
vendida seja a maior possível?
b) Nas condições do item (a), quantos exemplares a editora estima vender no total?
7. (Ufpr 2013) O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após
t horas de operação, é dado por N(t)  20  t  t 2, sendo que 0  t  10. Suponha que o custo C
(em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N)  50  30  N.
a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora.
b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 2300 milhares de
reais?
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8. (Pucrj 2013) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = x + 1 e g(x) = 1 + 2x2.
Os valores de x tais que f(x) = g(x) são:
1
a) x = 0 ou x = 1
b) x = 0 ou x = 2
c) x = 1 ou x =
2
d) x = 2 ou x = 1
e) x = 0 ou x =
1
2
9. (G1 - cftmg 2013) A função real representada pelo gráfico é definida por
a) f  x   2x 2  x  1.
b) f  x   2x 2  3x  1.
c) f  x   x 2  3x  1.
d) f  x   2x 2  3x  1.
10. (Pucrj 2013) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = 2 + x2 e g(x) = 2 + x.
Os valores de x tais que f(x) = g(x) são:
a) x = 0 ou x = –1
b) x = 0 ou x = 2
c) x = 0 ou x = 1
d) x = 2 ou x = –1
e) x = 0 ou x = 1/2
11. (Ibmecrj 2013) Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de
R$ 6,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a
quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches.
Considerando o custo de R$ 4,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o
maior lucro ao proprietário é:
a) R$ 5,00
b) R$ 5,25
c) R$ 5,50
d) R$ 5,75
e) R$ 6,00
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12. (Ufsj 2013) Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico de uma
parábola, conforme a figura a seguir.
Nessa trajetória, a altura máxima, em metros, atingida pelo corpo foi de
a) 0,52m.
b) 0,64m.
c) 0,58m.
d) 0,62m.
13. (Pucrj 2013) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação
y
x 2 11
 x  3 e dois vértices no eixo x, como na figura abaixo.
6
6
Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede.
a) Determine as coordenadas do ponto A.
b) Determine as coordenadas do ponto C.
c) Calcule a área do retângulo ABCD.
14. (Ibmecrj 2013) O gráfico da função quadrática definida por f  x   4x 2  5x  1 é uma
parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo
AVB é
a) 27/8
b) 27/16
c) 27/32
d) 27/64
e) 27/128
15. (Ufrgs 2013) Dada a função f, definida por f  x   x2  9  6x, o número de valores de x
que satisfazem a igualdade f  x   f  x  é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
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TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
A figura a seguir representa a evolução dos milhares de unidades vendidas de um produto em
função do tempo, dado em meses, desde seu lançamento.
O trecho correspondente ao intervalo [0,t1] pode ser representado pela expressão y  0,05x2 e
o trecho correspondente ao intervalo ]t 1,t2] por y  0,05x2  4x  40.
16. (Insper 2013) O valor de t1 é
a) 5.
b) 10.
c) 15.
d) 20.
e) 25.
17. (Insper 2013) Considere que o ponto (t2,V) corresponde ao vértice da parábola de equação
y  0,05x2  4x  40. Nos últimos dez meses representados no gráfico, as vendas totais, em
milhares de unidades, foram iguais a
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
2
18. (Ufsj 2012) O gráfico da função f(x) = ax + bx + c é:
Com relação a f(x), é INCORRETO afirmar que
a) seu discriminante (  ) é maior que zero.
b) o vértice da parábola tem ordenada positiva.
c) o coeficiente do termo quadrado (a) é positivo.
d) as raízes da função quadrática são 0 e 3/2.
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19. (Ufrn 2012) Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao preço de
R$ 3,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui no preço, a
quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches.
Considerando o custo de R$ 1,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o
maior lucro ao proprietário é
a) R$ 2,50.
b) R$ 2,00.
c) R$ 2,75.
d) R$ 2,25.
 1

20. (G1 - cftmg 2012) Se a função L(x)  10.(x  2). 
 x  representa o lucro de uma
 10

indústria em que x é a quantidade de unidades vendida, então o lucro será
a) mínimo para x  3.
b) positivo para x  2.
1
.
c) máximo para x 
10
1
 x  2.
d) positivo para
10
21. (Ucs 2012) Uma dose de um medicamento foi administrada a um paciente por via
intravenosa. Enquanto a dose estava sendo administrada, a quantidade do medicamento na
corrente sanguínea crescia. Imediatamente após cessar essa administração, a quantidade do
medicamento começou a decrescer.
Um modelo matemático simplificado para avaliar a quantidade q, em mg, do medicamento, na
corrente sanguínea, t horas após iniciada a administração, é q  t   t 2  7t  60.
Considerando esse modelo, a quantidade, em mg, do medicamento que havia na corrente
sanguínea, ao ser iniciada a administração da dose e o tempo que durou a administração
dessa dose, em horas, foram, respectivamente,
a) 5 e 12.
b) 0 e 12.
c) 0 e 3,5.
d) 60 e 12.
e) 60 e 3,5.
22. (G1 - ifal 2012) Assinale a alternativa que completa corretamente a frase: “A função real
f(x) = x2 – 4x + 5
a) não admite zeros reais”.
b) atinge um valor máximo”.
c) tem como gráfico uma reta”.
d) admite dois zeros reais e diferentes”.
e) atinge um valor mínimo igual a –1”.
23. (Ufpb 2012) Um estudo das condições ambientais na região central de uma grande cidade
indicou que a taxa média diária (C) de monóxido de carbono presente no ar é de
C(p)  0,5p  1 partes por milhão, para uma quantidade de (p) milhares de habitantes. Estimase que, daqui a t anos, a população nessa região será de p(t)  2t 2  t  110 milhares de
habitantes. Nesse contexto, para que a taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse o
valor de 61 partes por milhão, é necessário que tenham sido transcorridos no mínimo:
a) 2 anos
b) 2 anos e 6 meses
c) 3 anos
d) 3 anos e 6 meses
e) 4 anos
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24. (G1 - cftrj 2012) Um objeto é lançado do topo de um muro, de altura h, atingindo o solo
2
após 5 segundos. A trajetória parabólica do objeto é representada pela equação y = – 0,5x +
bx + 2,5, cujo gráfico está apresentado abaixo, onde y indica a altura atingida pelo objeto em
relação ao solo, em metros, no tempo x, em segundos.
a) Calcule a altura h e o valor do coeficiente b da equação da trajetória.
b) Determine a altura máxima, em relação ao solo, atingida pelo objeto.
25. (Espm 2012) A parábola de equação y = x2 – x + 1 intercepta a reta de equação y = x + 4
nos pontos A e B. O comprimento do segmento AB é igual a:
a) 4 2
b) 5
c) 5 2
d) 4
e) 3 2
26. (Uel 2012) O óxido de potássio, K 2 O , é um nutriente usado para melhorar a produção em
lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas três dosagens diferentes
do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente se
deu conforme mostra a tabela a seguir.
Dose do
nutriente
(kg/hectare)
0
70
140
Produção de
cana-de-açúcar
(toneladas/hectare)
42
56
61
Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente
pode ser descrita por uma função do tipo y(x)  ax2  bx  c , determine a quantidade de
nutriente por hectare que maximiza a produção de cana-de-açúcar por hectare.
Apresente os cálculos realizados na resolução da questão.
27. (Insper 2012) A área da região sombreada na Figura 1, limitada pelo gráfico da função
f  x   9  x 2 e pelos eixos coordenados, é igual a 18.
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Assim, a área da região sombreada na Figura 2, limitada pelo gráfico da função g  x   x 2 , pelo
eixo x e pela reta de equação x  3, é igual a
a) 4,5.
b) 6.
c) 9.
d) 12.
e) 13,5.
28. (Fgvrj 2012) Deseja-se construir um galpão com base retangular de perímetro igual a 100
m. A área máxima possível desse retângulo é:
a) 575 m2
b) 600 m2
c) 625 m2
d) 650 m2
e) 675 m2
29. (Ulbra 2012) Preocupados com o lucro da empresa VXY, os gestores contrataram um
matemático para modelar o custo de produção de um dos seus produtos. O modelo criado pelo
matemático segue a seguinte lei: C = 15000 – 250n + n2, onde C representa o custo, em reais,
para se produzirem n unidades do determinado produto. Quantas unidades deverão ser
produzidas para se obter o custo mínimo?
a) – 625.
b) 125.
c) 1245.
d) 625.
e) 315.
30. (Ueg 2012) Em um terreno, na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim
retangular, conforme figura abaixo.
Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim
para que ele tenha a maior área possível, serão, respectivamente,
a) 2,0 m e 4,5 m.
b) 3,0 m e 4,0 m.
c) 3,5 m e 5,0 m.
d) 2,5 m e 7,0 m.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
Seja L(x) o lucro obtido, então:
L(x) = V(x) – C(x) = – 2x2 + 28x + 40
O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por:
xV  
b
28

7
2a
2  ( 2)
Resposta da questão 2:
[C]
Como o gráfico de f passa pelos pontos (2, 0) e (0, 2), segue que f(x)  x  2. Além disso,
como o gráfico de g passa pelos pontos (0, 0) e (0, 1), temos que g(x)  ax2  ax, com a  0.
Portanto, h(x)  ax2  (a  1)x  2.
Desse modo, o gráfico de h intersecta o eixo y no ponto de ordenada 2 e tem sua
concavidade voltada para cima.
A abscissa do vértice do gráfico de h é dada por
xv  
(a  1) 1 1
1
 
 .
2a
2 2a 2
Finalmente, como f(1)  3 e g(1)  0, segue que h(1)  f(1)  g(1)  3 e, portanto, o gráfico que
melhor representa a função h é o da alternativa [C].
Resposta da questão 3:
[D]
Seja x o número de aumentos de R$ 10,00 no preço da passagem.
A receita de cada voo é dada pelo produto entre o preço da passagem e o número de
passageiros, ou seja,
R(x)  (200  10x)  (120  4 x)
 40  (x 20)  (x 30).
Logo, o número de aumentos que proporciona a receita máxima é
xv 
20  30
5
2
e, portanto, o resultado pedido é 200  10  5  R$ 250,00.
Resposta da questão 4:
[A]
Sendo V(xv, yv) o vértice de uma função polinomial do segundo grau dada por f(x) = ax2 + bx +
c. Toda função polinomial do segundo grau pode ser escrita através de sua forma canônica f(x)
= a  (x – xv)2 + yv.
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Portanto, f(x) = a  (x – 5)2 + 2.
Como f(4) = 3, temos:
2
a  (4 – 5) = 3
a = 3.
Logo, f(x) = (x – 5)2 + 2.
Portanto, o ponto (1, 18) pertence ao gráfico da função, pois (1 – 5)2 + 2 = 18.
Resposta da questão 5:
a) Tomando os pontos (30, 100) e (40, 90), segue que a taxa de variação da função
y  ax  b é igual a
a
90  100
 1.
40  30
Logo,
90  (1)  40  b  b  130.
Portanto,
y  x  130.
A função R :  , definida por R(x)  x  (x  130)  x  (x  130), fornece a receita obtida
com a venda de x livros. Logo, a quantidade a ser vendida, a fim de se obter a receita
máxima, é
xv 
0  130
 65.
2
Desse modo, o preço pedido é igual a y  65  130  R$ 65,00.
b) Seja L :

a função definida por
L(x)  x 2  130x  8x
  x2  122x
  x  (x  122),
que fornece o lucro obtido na venda de x livros (supondo que todos os livros produzidos são
0  122
 61.
vendidos). Logo, a quantidade a ser vendida para se obter o lucro máximo é
2
Para essa quantidade, o preço de venda unitário deveria ter sido
y  61 130  R$ 69,00.
Por conseguinte, a decisão do gerente não foi correta.
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Resposta da questão 6:
a) Se x  2y, a quantidade de livros vendidos seria
130  2y  70y  (2y)2  y2  5y  (y  66).
Logo, o preço da versão capa de papelão que maximiza a quantidade vendida de livros é
0  66
 R$ 33,00.
2
Portanto, o preço da versão capa dura deverá ser 2  33  R$ 66,00.
b) O resultado pedido é igual a 5  33  (33  66)  5445.
Resposta da questão 7:
a) C(t) = 50 + 30.(20t – t2)
C(t) = –30t2 + 600t + 50
2
b) 2300 = –30t + 600t + 50
Dividindo por 30, temos:
2
30t – 600t + 2250 = 0
t2 – 20.t + 75 = 0
Resolvendo a equação, temos t = 15h (não convém) e t = 5h.
Resposta da questão 8:
[E]
Os valores de x para os quais f(x)  g(x) são tais que
x  1  1  2x 2  2x 2  x  0

1
 2x   x    0
2


1
 x  0 ou x  .
2
Resposta da questão 9:
[D]
A forma canônica da função quadrática f :

é f(x)  a  (x  x v )2  y v , com (x v , y v ) sendo
 3 1
o vértice do gráfico de f. Logo, como (x v , y v )   ,   , temos:
4 8
2

3
1
f(x)  a   x    .
4
8


Além disso, sabendo que o gráfico de f passa pelo ponto (0,1), vem
2

3
1
1  a   0     a  2.
4
8


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Portanto,
2

3
1
f(x)  2   x   
4
8


 2 3x 9  1
 2x 


2 16  8

 2x 2  3x  1.
Resposta da questão 10:
[C]
Os valores de x para os quais f(x)  g(x) são tais que
2  x2  2  x  x2  x  0
 x(x  1)  0
 x  0 ou x  1.
Resposta da questão 11:
[D]
Seja x o número de reduções de R$ 0,10 no preço de venda do sanduíche.
A receita obtida com a venda dos sanduíches é dada pela função R :   , definida por
R(x)  (6  0,1 x)  (200  20  x)
 2x 2  100x  1200.
Além disso, o custo total para produzir os sanduíches é dado pela função C :
por

 , definida
C(x)  4,5  (200  20x)
 90x  900.
Por conseguinte, a função que dá o lucro total é L :

 , definida por
L(x)  R(x)  C(x)
 2x 2  100x  1200  (90x  900)
 2x 2  10x  300.
O valor de x que proporciona o lucro máximo é igual a 
10
 2,5.
2  (2)
Portanto, o resultado pedido é 6  0,1 2,5  6  0,25  R$ 5,75.
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Resposta da questão 12:
[B]
Utilizando a forma fatorada da função do segundo grau, temos:
f(x) = a.x. (x – 4). Como o gráfico da função passa pelo ponto (1,48), temos:
48 = a.1(1 – 4)
a = – 16
Portanto, f(x) = -16x2 + 64x e a altura máxima será dada por:
hmáxima  
Δ
642

 64.
4.a
4.(16)
Resposta da questão 13:
a) Sabendo que D  (3, 0), vem x A  xD  3. Além disso, como A pertence à parábola,
temos
y A  f(x A )
32 11
 3  3
6
6
 1.

b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que yB  y A  1. Assim,
2
xC
11
2
 xC  3  1  xC
 11xC  24  0
6
6
 xC  8
e, portanto, C  (8, 0).
c) A área do retângulo ABCD é dada por
(xC  xD )  | f(x A ) |  (8  3)  | 1|  5 u.a.
Resposta da questão 14:
[E]
1
Os zeros da função f são x1  1 e x2   .
4
9 
 5
O vértice do gráfico de f é o ponto V   , 
.
 8 16 
Portanto, a área do triângulo AVB é dada por
1  1 
9
27
   1  

.
2  4
16
128

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Resposta da questão 15:
[B]
Temos
f(x)   f(x)  2  f(x)  0
 2  (x  3)2  0
 x  3.
Portanto, x  3 é o único valor de x para o qual se tem f(x)  f(x).
Resposta da questão 16:
[D]
20  0,05  t1 
2
 t1 2  400
t1   20  como t1  0 
t1  20 meses.
Resposta da questão 17:
[E]
t 2   b 2a   4 2  0,05   40
Nos últimos 10 meses as vendas totais serão dadas por:
y  40  – y  30  
 0,05  402  4  40 – 40 –  0,05  302  4  30 – 40  
 5 milhares de unidades.
Resposta da questão 18:
[B]
[A] Verdadeira – A parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos.
[B] Falsa – O vértice tem ordenada negativa.
[C] Verdadeira – A parábola tem concavidade para cima.
[D] Verdadeira – A parábola intersecta o eixo x nos pontos (0,0) e (3/2,0).
Resposta da questão 19:
[C]
Se x é o número de aumentos de R$ 0,10, então serão vendidos (200  20x) sanduíches ao
preço de (3  0,1x) reais.
Desse modo, o lucro obtido pelo proprietário é dado por:
L(x)  (3  0,1x)(200  20x)  1,5(200  20x)
 2(x  10)(x  15).
Então, o número de aumentos de R$ 0,10 que produz o maior lucro para o proprietário é:
x
10  15
 2,5 e, portanto, o resultado pedido é 3  0,1 2,5  R$ 2,75.
2
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Resposta da questão 20:
[D]
Estudando o sinal da função acima, temos:
Lucro positivo para
1
 x  2.
10
Resposta da questão 21:
[E]
A quantidade do medicamento na corrente sanguínea, no momento em que é iniciada a
administração da dose, é q(0)  60mg.
O tempo que durou a administração da dose é dado por 
7
 3,5 h.
2  (1)
Resposta da questão 22:
[A]
De acordo com o gráfico, podemos observar que: a função f não admite raízes reais, pois seu
gráfico não intercepta o eixo x, possui um valor mínimo igual a 1 e seu gráfico é uma parábola.
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Resposta da questão 23:
[B]
De acordo com as informações do problema, podemos escrever:
61=0,5 p + 1  p = 120 mil habitantes.
Fazendo p(t) = 120 na segunda função, temos:
120 = 2t2 – t + 110  2t2 – t – 10 = 0  t = 2,5 ou t = - 2 (não convém).
Logo, t é, no mínimo, 2 anos e 6 meses.
Resposta da questão 24:
a) h = y(0) = 2,5m
y(5) = 0
- 0,5 . 52 + 5.b + 2,5 = 0
5b = 12,5 – 2,5
5b = 10
b= 2
b) A altura máxima será calculada através do y v (y do vértice)
yv  

22  4  (0,5)  2,5

 4,5m
4a
4  ( 0,5)
Resposta da questão 25:
[A]

y  x2  x  1
Resolvendo o sistema 
, temos:

 y  x4
A(-1, 3) e B(3, 7).
Calculando a distância entre A e B, temos a medida da corda AB:
AB 
 3  (1)2  (7  3)2
AB  32
AB  4 2.
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Resposta da questão 26:
a.02 + b.0 + c = 42  c = 42
a.702 + b.70 + 42 = 56  4900.a + 70.b = 14
a.1402 + b.140 + 42 = 61  19600.a + 140.b = 19
 4900.a  70.b  14
Resolvendo o sistema 
, temos:
19600.a  140.b  19
a
9
9800
e b=
37
.
140
Portanto, a função será
9
37
y
 x2 
 x  42
9800
140
Calculando o x do vértice, temos:
37

b
140  37  9800  37.35  143,88kg
xv  

2.a
9
 9  140 18
2. 

 9800 
Resposta da questão 27:
[C]
Observando as figuras, concluímos que a área pedida será dada por:
A = 3  9 – 18 = 9.
Resposta da questão 28:
[C]
A  x   x   50  x 
A  x   x 2  50x
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Nota-se que A(x) é uma função do segundo grau.
Portanto, o valor de x para que a área seja máxima será dado pelo x do vértice.
b 2500

 625
2.a
4
Resposta da questão 29:
[B]
O número de unidades a serem produzidas para se obter o custo mínimo é 
250
 125.
2 1
Resposta da questão 30:
[A]
Utilizando semelhança de triângulos temos:
4x y
9x  36
 y
.
4
9
4
Calculando a função da área, temos:
A x  x  y
A  x   x.
A x 
9x  36
4
9x 2  36x
4
Determinando o x do vértice, temos:
36

4 2
xv 
 9
2.   
 4
Portanto, x = 2 e y 
36  9.2
 4,5
4
Logo, as dimensões do jardim são 2m e 4,5m.
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