Emerson Marcos Furtado
Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado
em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino
Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992. Professor do Curso Positivo de
Curitiba desde 1996. Professor da Universidade
Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos
destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico
e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a
2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teorema – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde
2005. Autor de material didático para sistemas de
ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC)
desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática
financeira. Consultor da Empresa Result – Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.
Consultor em Estatística Aplicada com projetos de
pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições
desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de
Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde
2008. Autor de questões para concursos públicos
no estado do Paraná desde 2003.
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atrizes, determinantes e
M
sistemas lineares
Matrizes
Shutterstock.
Durante muitos anos acreditou-se que o maior problema enfrentado pela
população brasileira e relacionado à alimentação era a falta de alimentos. As
últimas pesquisas indicam, entretanto, que a obesidade tem sido uma preocupação maior para os profissionais de saúde pública.
Para iniciar o estudo das matrizes, observe uma tabela contendo informações sobre a composição nutritiva de alguns alimentos disponíveis em uma
lanchonete:
Valor energético
(kcal)
Carboidratos
(g)
Proteínas (g)
Gorduras
Batata frita
287
36
3
3,4
Refrigerante
120
30
0
0
Sorvete de
chocolate
302
43
6,8
3,8
As informações numéricas podem ser organizadas em uma tabela em
que os valores ficam dispostos em linhas (horizontais) e colunas (verticais).
Uma tabela como essa é chamada de matriz.
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
A matriz apresentada é formada por três linhas e quatro colunas. Por esse
motivo, dizemos que a matriz é do tipo 3 x 4, ou de ordem 3 x 4.
287
36
3
3,4
287
36
3
3,4
120
30
0
0
120
30
0
0
302
43
6,8
3,8
302
43
6,8
3,8
Utilizando parênteses.
Utilizando colchetes.
De acordo com as matrizes, podemos conhecer, por exemplo, a quantidade de quilocalorias presente em um refrigerante, por exemplo. Para tanto,
basta observar o elemento (número) que se encontra na 2.ª linha e na 1.ª
coluna da matriz: 120 quilocalorias.
Por ter três linhas e quatro colunas, a matriz é formada por 3 . 4 = 12
elementos.
Representação de matrizes
Na representação de matrizes utilizamos dois índices. A convenção é de
que o primeiro deve indicar a quantidade de linhas e o segundo o número
de colunas. As matrizes quadradas são aquelas em que o número de linhas
é igual ao de colunas.
Exemplos:
A matriz A = [1
quadrada.
–4
0
3] é de ordem 1 por 4 e não é uma matriz
9
4
0
Porém, a matriz B = –2
7
8
3
–1
5
é de ordem 3 por 3, portanto é uma
matriz quadrada.
Os elementos 9, 7 e 5 constituem a chamada diagonal principal, enquanto os elementos 0, 7 e 3 constituem a diagonal secundária.
Uma matriz quadrada de ordem 4 por 4, por exemplo, pode também ser
simplesmente dita “matriz de ordem 4”, não sendo necessário se destacar o
segundo dos números 4. Isso vale somente no caso de matrizes quadradas,
ou seja, matrizes em que o número de linhas é igual ao de colunas.
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Uma matriz A de ordem m por n pode ser representada, genericamente,
da seguinte maneira:
Am x n = (aij­) , em que 1 < i < m e 1 < j < n
Os índices i e j identificam a linha e a coluna de um elemento da matriz
A, respectivamente.
A matriz pode ser representada por:
Am x n =
a11
a12
a1n
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
Assim, para a matriz quadrada A =
exemplo, que:
3
7
8
0
–1
6
5
4
2
pode-se dizer, por
a11 = 3 é o elemento da 1.ª linha e da 1.ª coluna da matriz A;
a21 = 0 é o elemento da 2.ª linha e da 1.ª coluna da matriz A;
a32 = 4 é o elemento da 3.ª linha e da 2.ª coluna da matriz A.
É comum uma matriz ser apresentada em função de uma lei de formação
que determina cada um dos seus termos.
Como exemplo, vamos representar explicitamente a matriz A = (aij)2x2, tal
que a­ij = i – j.
Sabendo que 1 < i < 2; 1 < j < 2 e i, j ∈ IN, podemos encontrar os elementos por meio da lei de formação aij = i – j:
i = 1 e j = 1 → a11 = 1 – 1 = 0
i = 1 e j = 2 → a12 = 1 – 2 = –1
i = 2 e j = 1 → a21 = 2 – 1 = 1
i = 2 e j = 2 → a22 = 2 – 2 = 0
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Logo, a matriz A é dada por:
A2x2 =
0
–1
1
0
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A e B são iguais quando têm a mesma ordem e, além disso,
possuem todos os elementos correspondentes iguais.
Elementos correspondentes são aqueles que ocupam as mesmas posições nas duas matrizes.
Por exemplo, se são iguais as matrizes A e B dadas por:
A=
8
7
2
–3
1
4
eB=
x
7
2
–3
y
4
Qual seria o valor de x + y?
Se os elementos correspondentes devem ser iguais, então x = 8 e y = 1.
Logo, x + y = 8 + 1 = 9
Operações com matrizes
Adição e subtração de matrizes
A adição e a subtração de matrizes podem ser efetuadas somente quando
as matrizes têm a mesma ordem. Se as matrizes tiverem a mesma ordem,
devem operar os elementos correspondentes.
Exemplo:
Obtenha a matriz resultante da soma das matrizes A e B, sendo
A=
1
2
3
4
eB=
A+B=
3
–5
0
1
1
2
3
4
+
3
–5
0
1
A+B=
80
=
4
–3
3
5
1+3
2 + (–5)
3+0
4+1
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Na subtração, A – B, efetuamos a adição da matriz A com a oposta de B:
A matriz oposta da matriz B, representada por –B, tem a mesma ordem de
B, mas os elementos correspondentes são opostos, observe:
B=
3
–5
0
1
→–B=
–3
5
0
–1
Exemplo:
Efetue a subtração A – B, sendo A =
A – B = A + (–B) =
A – B = A + (–B) =
A – B = A + (–B) =
1
2
3
4
+
–3
5
0
–1
1 + (–3)
2+5
3+0
4–1
–2
7
3
3
1
2
3
4
eB=
3
–5
0
1
Multiplicação por um número real
Para multiplicar uma matriz por um número real, basta multiplicarmos o
número real pelos elementos da matriz, mantendo-se a ordem da matriz.
Exemplo:
Se A =
1
2
3
4
, então 3 . A =
3.1
3.2
3.3
3.4
=
3
6
9
12
Multiplicação de matrizes
O produto entre duas matrizes A e B gera uma matriz C cujos elementos são resultantes da soma dos produtos entre os elementos das linhas da
matriz A pelos correspondentes elementos das colunas da matriz B.
Assim, para que seja possível calcular o produto entre as matrizes A e
B, o número de colunas da matriz A deve ser, impreterivelmente, igual ao
número de linhas da matriz B.
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Observação:
Salvo alguns casos particulares, a operação de multiplicação entre matrizes não é comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A.
Para multiplicar duas matrizes é necessário que o número de colunas da
primeira seja igual ao número de linhas da segunda matriz.
Exemplo:
Efetue o produto de uma matriz A por outra B, nessa ordem, sendo:
A=
3
5
1
2
eB=
2
–5
–1
3
Assim, temos:
C=A.B=
C=
C=
3
5
1
2
.
2
–5
–1
3
3 . 2 + 5 . (–1) 3 . (–5) + 5 . 3
1 . 2 + 2 . (–1) 1 . (–5) + 2 . 3
1
0
0
1
Esse resultado pode ser aproveitado para estudarmos alguns tipos especiais de matrizes.
Matriz identidade
Matriz identidade é uma matriz quadrada cujos elementos são todos
nulos, com exceção dos elementos da diagonal principal, que são unitários.
Na operação anterior, obteve-se:
A.B=
82
1
0
0
1
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Assim, temos A . B = I2, em que I é a matriz identidade de ordem 2.
Uma matriz identidade de ordem 3, por exemplo, é dada por:
1
0
0
I3 = 0
1
0
0
0
1
É importante destacar que, na multiplicação matricial, o produto de uma
matriz A por uma matriz identidade resulta na própria matriz A. Isso, evidentemente, se o produto matricial for possível.
A.I=I.A=A
Matriz inversa
A matriz inversa de uma matriz quadrada A, representada por A-1, é a
matriz tal que:
A . A-1 = A-1 . A = I
Assim, o produto de duas matrizes quadradas, respectivamente inversas,
resulta sempre na matriz identidade.
Em um exemplo anterior, observamos que se:
A=
3
5
1
2
eB=
2
–5
–1
3
então:
A.B=
1
0
0
1
Logo, B = A-1, ou seja, B é a matriz inversa da matriz A.
Matriz nula
Quando adicionamos duas matrizes opostas, o resultado é uma matriz
nula, ou seja, uma matriz formada somente por elementos nulos.
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Por exemplo, se B =
B + (–B) =
B + (–B) =
0
1
–1
2
0
0
0
0
0
1
–1
2
+
, então:
0
–1
1
–2
=0
Uma matriz nula pode ter qualquer ordem, mas deve ter todos os elementos nulos.
Matriz transposta
Qualquer matriz admite uma matriz transposta correspondente, obtida
trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.
Por exemplo, se uma matriz A é dada por A2x3 =
8
7
5
0
–1
3
, então a
matriz transposta de A, representada por At, é dada por:
8
0
At3x2 = 7
–1
5
3
Determinantes
Conceito:
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.
Assim, somente matrizes quadradas possuem um determinante correspondente.
Para calcularmos o valor do determinante de uma matriz, utilizamos regras
que variam de acordo com a ordem da matriz quadrada correspondente.
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Determinante de matrizes de primeira ordem
O determinante de uma matriz de primeira ordem é igual ao próprio elemento da matriz:
Assim, se A = [ 7 ], então o determinante de A é igual a 7:
det (A) = | 7 | = 7
Determinante de matrizes de segunda ordem
Para matrizes de ordem 2, o correspondente determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos
da diagonal secundária.
Exemplo:
Se A =
6
4
2
5
det (A) =
, então:
6
4
2
5
= 6. 5 – 4 . 2 = 30 – 8 = 22
É importante destacar que uma matriz e o correspondente determinante
podem ter notações parecidas, mas são essencialmente diferentes. Assim:
6
4
2
5
6
4
2
5
ou
6
4
2
5
são matrizes (tabelas de números).
é o determinante da matriz
6
4
2
5
(número associado à
matriz).
Determinante de matrizes de terceira ordem
Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3, pode-se utilizar
a regra de Sarrus.
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Exemplo:
Calcular o determinante da matriz A:
A=
2
1
3
1
5
4
6
2
1
Vamos reescrever ao lado da 3.ª coluna, a 1.ª e 2.ª colunas da matriz
correspondente:
2
1
3
2
1
1
5
4
1
5
6
2
1
6
2
Agora, efetuar os produtos em “diagonal”, mantendo o sinal dos resultados à direita e trocando o sinal dos resultados à esquerda:
2
1
3
2
1
1
5
4
1
5
6
2
1
6
2
-90 -16 -1
+10 +24 +6
Em seguida, vamos efetuar a soma algébrica.
O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada, ou
seja:
det (A) = – 90 – 16 – 1 + 10 + 24 + 6 = –67
Determinante de matrizes de ordem superior (n > 3)
Para determinantes de ordem superior a 3, pode-se utilizar o Teorema de
Laplace.
Antes de apresentar o teorema de Laplace, vamos compreender o conceito de cofator.
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Em uma matriz quadrada, cada elemento possui um cofator correspondente. O cofator de um elemento aij é igual ao determinante que se obtém
eliminando-se a linha i e a coluna j de aij e multiplicando o resultado por
(-1)i + j.
Por exemplo, para a matriz A =
= 2 é dado por:
A11 = (–1)1+1 .
5
4
2
1
2
1
3
1
5
4
6
2
1
, o cofator do elemento a11
A11 = (–1)2 . (5 . 1 – 4 . 2)
A11 = (+1) . (–3)
A11 = –3
Logo, o cofator do elemento a11 é igual a –3.
Os cofatores dos elementos da terceira coluna seriam dados por:
1
5
= (–1)4 . (1 . 2 – 5 . 6) = +1 . (2 – 30) = +1 . (–28) = –28
A13 = (–1)1+3 .
6
2
A23 = (–1)2+3 .
A33 = (–1)3+3 .
2
1
6
2
2
1
1
5
= (–1)5 . (2 . 2 – 1 . 6) = –1 . (4 – 6) = -1 . (–2) = +2
= (–1)6 . (2 . 5 – 1 . 1) = +1 . (10 – 1) = +1 . (+9) = +9
A partir da definição de cofator, podemos enunciar o Teorema de
Laplace:
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n, sendo n > 2, é igual
ao número obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer
(linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
O enunciado diz que podemos calcular o determinante de uma matriz
utilizando qualquer linha ou coluna da matriz.
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Aplicando-se o teorema de Laplace à terceira coluna da matriz
A=
2
1
3
1
5
4
6
2
1
, temos:
det (A) = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33
det (A) = 3 . (–28) + 4 . 2 + 1 . 9
det (A) = –67
Observe que o resultado é o mesmo obtido com a regra de Sarrus. É claro
que só vale a pena utilizar o teorema de Laplace se a matriz quadrada tiver
ordem maior do que 3. Outra coisa importante a destacar é que o resultado
sempre será o mesmo caso se use outra fila da matriz para utilizar Laplace.
Sistemas lineares
Quando são reunidas duas ou mais equações lineares interligadas por
uma chave, formamos um sistema linear.
Em geral, um sistema linear do tipo m x n é um conjunto formado por m
equações lineares em n incógnitas, que pode ser representado da seguinte
maneira:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x2 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
A solução de um sistema linear é formada pelos valores que verificam
cada uma das equações do sistema.
Exemplos de sistemas lineares:
x + y – 3z = 1
2x – 3y + 4z = 5
88
é um sistema linear 2 x 3, pois tem 2 equações e 3
incógnitas.
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
a + 2b = 8
–2a + 5b = 6
3a – b = –1
é um sistema linear 4 x 2, pois tem 4 equações e 2
incógnitas.
4a + 3b = 2
Classificação de um sistema linear
Muitos problemas reais podem ser representados por meio de sistemas
lineares. Em função disso, é importante reconhecer o tipo de sistema linear
para que a resposta do sistema encontrada seja coerente com o problema
real a ser resolvido. Um sistema linear nem sempre admite solução. Além
disso, quando admite, essa solução pode não ser única.
Para esclarecer, vamos analisar alguns sistemas lineares 2x2 e classificá-los
de acordo com a interpretação geométrica das equações que os formam.
Exemplo:
x+y=5
em que x e y podem assumir quaisConsidere o sistema linear
x–y=3
quer valores reais.
As equações do 1.º grau com duas variáveis podem ser representadas
graficamente por retas. Assim, atribuindo dois valores a x, encontramos os
correspondentes valores de y e, com as coordenadas obtidas, localizamos os
pontos de cada reta no plano cartesiano.
x+y=5
x = 0 → y = 5 ∴ (0; 5)
y
x = 2 → y = 3 ∴ (2; 3)
5
x = 1 → y = –2 ∴ (1 ; –2)
x–y=3
3
x = 3 → y = 0 ∴ (3; 0)
1
(4,1)
1
–2
x–y=3
2
x
3 4
x+y=5
As retas são concorrentes. Isso indica
que existe um único par que é solução
do sistema.
Nesse caso, a solução é (4; 1). Portanto,
o sistema é classificado em Sistema
Possível e Determinado (SPD).
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89
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Entretanto, nem todos os sistemas 2x2 podem ser representados por
retas concorrentes.
Exemplo:
x+y=5
, em que
Observe a interpretação geométrica do sistema linear
x+y=2
x e y assumem valores reais quaisquer.
x+y=5
x = 0 → y = 5 ∴ (0; 5)
y
x = 2 → y = 3 ∴ (2; 3)
5
x+y=2
x = 0 → y = 2 ∴ (0; 2)
3
2
x = 2 → y = 0 ∴ (2; 0)
2
x+y=2
x
x+y=5
As retas são paralelas distintas. Logo,
não existe qualquer par que seja solução
do sistema. O sistema é classificado em
Sistema Impossível (SI).
Há, ainda, uma última classificação para um sistema linear.
Exemplo:
x+y=5
, em que x e y assumem valores reais
Considere o sistema
2x + 2y = 10
quaisquer.
x+y=5
x = 0 → y = 5 ∴ (0; 5)
y
x = 2 → y = 3 ∴ (2; 3)
5
2x + 2y = 10
x = 3 → y = 2 ∴ (3; 2)
3
2
1
x = 4 → y = 1 ∴ (4; 1)
2
90
3
4
x+y=5
ou
2x + 2y = 10
x
As retas são coincidentes. Assim, existem
infinitos pares comuns que são soluções
do sistema.
Logo, o sistema é classificado em Sistema
Possível e Indeterminado (SPI).
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Observação:
A classificação estabelecida para sistemas lineares 2 x 2 é a mesma para
sistemas 3 x 3, 4 x 4, ou m x n, em que m e n são naturais e m > 2, n > 2. Assim,
por mais que não seja possível interpretar geometricamente cada equação
do sistema, devido ao grande número de variáveis, a análise é similar.
Observe a seguir como podem ser classificados os sistemas lineares:
Determinado
(a solução é única)
SPD: Sistema Possível e
Determinado
Possível
(tem solução)
Indeterminado
(tem infinitas soluções)
Sistema
SPI: Sistema Possível e
Indeterminado
Impossível
(não tem solução)
SI: Sistema Impossível
Métodos de resolução
Existem muitos métodos de resolução de um sistema linear. Para sistemas
2 x 2, estudaremos o método da adição e o método da substituição. Para sistemas 3 x 3, 4 x 4 etc., estudaremos o método do escalonamento.
Método da adição
O método da adição é utilizado quando uma mesma incógnita apresenta
coeficientes opostos em duas equações. Adicionando estas duas equações,
a equação resultante apresenta coeficiente nulo para a incógnita que apresentava coeficientes opostos.
Exemplo:
x+y=3
x–y=1
Adicionando ambas as equações, temos:
2x = 4
x=2
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91
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Substituindo x por 2 na primeira equação, por exemplo, temos:
2+y=3
y=3–2
y=1
Logo, o conjunto solução é dado por S = {(2; 1)}.
Método da substituição
O método da substituição é utilizado quando isolamos uma das incógnitas em uma das equações e a substituímos na outra equação. Com isso,
a segunda equação passa a ter apenas uma incógnita e pode ser resolvida
com facilidade.
Exemplo:
2x + y = 6
2x + 3y = 2
Isolando a variável y, por exemplo, na primeira equação, temos:
2x + y = 6 → y = 6 – 2x
Substituindo na segunda equação, temos:
2x + 3y = 2
2x + 3 . (6 – 2x) = 2
2x + 18 – 6x = 2
–4x = 2 –18
–4x = –16
–16
x=
–4
x=4
Substituindo x por 4 em y = 6 – 2x, temos:
y = 6 – 2x
y=6–2.4
y=6–8
y = –2
O conjunto solução é dado por S = {(4; -2)}.
92
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Método do escalonamento
Observe dois sistemas lineares distintos, mas que apresentam o mesmo
conjunto solução:
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 10
y + 2z = 4
x + 2y + 6z = 13
3z = 3
x+y+z=6
Qual deles é mais fácil de ser resolvido, o primeiro ou o segundo?
Não é difícil perceber que o segundo sistema tem solução mais simples,
pois está escalonado. Em um sistema escalonado, o número de coeficientes
nulos das incógnitas aumenta de equação para equação. O sistema escalonado tem a forma de uma escada, observe:
x+y+z=6
y + 2z = 4
3z = 3
A solução de um sistema escalonado pode ser obtida da seguinte
maneira:
x+ y + z =6
y + 2z = 4
3z = 3
Na última equação, pode-se isolar z encontrando z = 1. Substituindo o
valor encontrado de z na 2.ª equação, obteremos o valor de y:
y + 2z = 4
y+2.1=4
y=4–2
y=2
Substituindo y = 2 e z = 1 na 1.ª equação, teremos:
x+y+z=6
x+2+1=6
x+3=6
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93
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
x=6–3
x=3
O conjunto solução é dado por S = {(3; 2; 1)}.
A questão que se coloca é, se o segundo sistema tem solução mais fácil
do que o primeiro, como podemos transformar o primeiro sistema em um
sistema escalonado?
Para transformarmos um sistema qualquer em um sistema escalonado,
são permitidas as seguintes operações:
trocar de lugar duas equações do sistema;
multiplicar ou dividir os dois membros de uma equação por número
diferente de zero;
adicionar a uma equação uma outra, multiplicada por um número
qualquer.
Observe como poderíamos fazer com o primeiro sistema:
x+y+z=6
x + 2y + 3z = 10
x + 2y + 6z = 13
Vamos multiplicar a primeira equação por (–1) e adicionar os resultados
aos termos da segunda e da terceira equações:
x+ y+ z =6
y + 2z = 4
y + 5z = 7
Os termos em x da segunda e da terceira equações tornaram-se nulos.
Vamos agora multiplicar a segunda equação por (–1) e adicionar aos termos
da terceira equação:
x+ y+ z =6
y + 2z = 4
3z = 3
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
A partir daí, basta resolver a terceira equação e encontrar o valor de z.
Substituindo o valor de z na 2.ª equação, encontra-se o valor de y. Substituindo-se o valor de y e z na 1.ª equação, encontra-se o valor de x e resolve-se o
sistema.
A solução é a mesma encontrada anteriormente: S = {(3; 2; 1)}.
Dica de estudo
O estudo de matrizes, determinantes e sistemas lineares é um dos assuntos mais técnicos que existem quando consideramos a matemática do
Ensino Médio. A contextualização, em geral, não está presente em questões
envolvendo esses assuntos. Dos três temas aqui estudados, sistemas lineares
é o que apresenta maior margem para questões mais próximas ao cotidiano
em que, muitas vezes, é necessário algum tipo de interpretação e correspondente equacionamento de relações que resolverão o problema apresentado.
Para que você possa se desenvolver adequadamente nesses assuntos, é necessário o domínio dos conceitos e das propriedades, além, evidentemente,
de uma boa quantidade de exercícios resolvidos.
Resolução de questões
1. (Esaf ) A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e
diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A.Z.B, onde
Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a:
a) A–1BC
b) AC–1B–1
c) A–1C B–1
d) ABC–1
e) C–1B–1A–1
2. (Esaf ) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse
elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que aij = i2 + j2
e que bij = (i + j)2 , então a razão entre os elementos s31 e s13 é igual a:
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 1
3. (Esaf ) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse
elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que aij = i2 e
que bij = (i – j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
4. (Esaf ) O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em
que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que
aij = (i + 2)2 e que bij = i2, então o menor complementar do elemento y23 é
igual a:
a) 0
b) – 8
c) – 80
d) 8
e) 80
5. (Esaf ) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo
B = 21/4A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2–1/2, então o determinante da matriz B é igual a:
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
a) 21/2
b) 2
c) 2–1/4
d) 2–1/2
e) 1
6. (Esaf ) Sabendo-se que a matriz A é dada por A =
1
1
0
1
e que n ∈ IN e
n > 1, então o determinante da matriz An – An – 1 é igual a:
a) 1
b) –1
c) 0
d) n
e) n – 1
7. (Esaf ) O determinante da matriz
X=
2
2
b
0
0
–a
a
–a
0
0
5
b
0
0
0
6
onde a e b são números inteiros positivos tais que a > 1 e b > 1, é igual a:
a) –60a
b) 0
c) 60a
d) 20ba2
e) a . (b – 60)
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
8. (Esaf ) Considere as matrizes:
X=
1
2
3
2
4
6
5
3
7
Y=
a
2
3
2
b
6
5
3
c
Onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a:
a) 0
b) a
c) a + b + c
d) a + b
e) a + c
9. (Esaf ) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se
que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a:
a) –x–6
b) –x6
c) x3
d) –1
e) 1
10.(Esaf ) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M
pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em
que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja,
S = A + B. Sabendo-se que aij = i2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos
elementos da primeira linha da matriz S é igual a:
a) 17
b) 29
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
c) 34
d) 46
e) 58
11.(Esaf ) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado”
quando houver infinitas soluções. Assim, sobre o sistema formado pelas
equações:
ma + 3mb = 0
2a + mb = 4
em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que
a) se m ≠ 0 e a = 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
b) se m = 0, o sistema é impossível.
c) se m = 6, o sistema é indeterminado.
d) se m ≠ 0 e a ≠ 2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
e) se m ≠ 0 e m ≠ 6, o sistema é possível e determinado.
Referências
BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda.,
1996.
GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blumenau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)
LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)
LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2001. v. 2.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Gabarito
1. Sabemos que:
C=A.Z.B
Se as matrizes A, B e C são não singulares, então são inversíveis.
Logo, multiplicando, à esquerda, ambos os membros por A–1, temos:
A–1 . C = A–1 . A . Z . B
Observando que A–1 . A = I, temos:
A–1 . C = I . Z . B
Mas, I . Z = Z, então:
A–1 . C = Z . B
Multiplicando, à direita, ambos os membros por B-1, temos:
A–1 . C . B–1 = Z . B . B–1
Se B . B–1 = I, então:
A–1 . C . B–1 = Z . I
Como Z . I = Z, temos:
A–1 . C . B–1 = Z
Resposta: C
2.
100
s31 = a31 + b31
s31 = (32 + 12) + (3 + 1)2
s31 = (9 + 1) + 42
s31 = 10 + 16
s31 = 26
s13 = a13 + b13
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
s13 = (12 + 32) + (1 + 3)2
s13 = (1 + 9) + 42
s13 = 10 + 16
s13 = 26
Logo:
s31
s13
=
26
26
=1
Resposta: E
3.
x31 = a31 + b31
x31 = 32 + (3 – 1)2
x31 = 9 + 22
x31 = 13
x13 = a13 + b13
x13 = 12 + (1 – 3)2
x13 = 1 + (–2)2
x13 = 5
Logo:
x31 . x13 = 13 . 5 = 65
Resposta: D
4. As matrizes A, B e Y, todas de terceira ordem, são dadas, respectivamente,
por:
a11 a12 a13
(1 + 2)2
(1 + 2)2
(1 + 2)2
A = a21 a22 a23 = (2 + 2)2
(2 + 2)2
(2 + 2)2 = 16 16 16
(3 + 2)2
(3 + 2)2
a31 a32 a33
(3 + 2)2
9
9
9
25 25 25
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101
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
b11 b12 b13
12
12
12
1
1
1
B = b21 b22 b23 = 22
22
22 =
4
4
4
b31 b32 b33
3
3
9
9
9
9
3
2
9
9
Y = A + B = 16 16 16 +
25 25 25
2
2
1
1
1
10 10 10
4
4
4
= 20 20 20
9
9
9
34 34 34
O menor complementar do elemento y23, representado por M23, é dado
por:
10 10
= 10 . 34 – 10 . 34 = 0
M23 =
34 34
Resposta: A
5. Sabe-se que:
102
B = 21/4A
Tomando o determinante a ambos os membros da igualdade anterior,
temos:
det(B) = det(21/4A)
Nesse momento, vale a pena recordar de uma propriedade importante
relacionada ao cálculo de um determinante, quando se multiplica a matriz correspondente por um número real qualquer.
Quando multiplicamos uma matriz quadrada A de ordem n por um número real α, todos os elementos da matriz são multiplicados por α. Por
outro lado, como as n linhas foram multiplicadas por α, o determinante
da matriz (αA) fica multiplicado por α para cada linha da matriz A, ou seja,
fica multiplicado por αn:
det(α . An x n) = αn . det(An x n)
Retornando ao nosso problema, observe que na equação a matriz A está
multiplicada por:
α = 21/4 e, como a matriz A possui ordem 2, temos:
det(B) = (21/4)2 . det(A)
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
det(B) = 21/2 . 2–1/2
det(B) = 21/2–1/2
det(B) = 20
det(B) = 1
Resposta: E
6.
A matriz A2 é dada por A2 = A . A =
A matriz A3 é dada por A3 = A2 . A =
A matriz A4 é dada por A4 = A3 . A =
Observa-se que An =
n
0
1
An – An–1 =
1
1
1
0
1
1
2
0
1
1
3
0
1
e An–1 =
1
n
0
1
–
.
.
.
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
n–1
0
1
1
n–1
0
1
=
=
=
=
1
2
0
1
1
3
0
1
1
4
0
1
, logo:
0
1
0
0
Dessa forma, temos:
0
1
=0
det(An – An–1) =
0
0
Resposta: C
7. Expandindo a primeira coluna por Laplace, temos:
Det(X) = a11 . A11 + a21 . A21 + a31 . A31 + a41 . A41
Det(X) = 2 . A11 + 0 . A21 + 0 . A31 + 0 . A41
Det(X) = 2 . A11
O cofator a11, representado por A11, é o determinante eliminando-se a linha e a coluna do elemento a11 e multiplicando-se o resultado por (–1)1+1
-a
a
-a
A11 = (–1)1 + 1 . 0
5
b
0
0
6
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103
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Como a matriz associada a esse último determinante é triangular superior, o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja:
A11 = (–1)2 . (–a) . 5 . 6
A11 = –30a
Portanto:
Det(X) = 2 . A11
Det(X) = 2 . (–30a)
Det(X) = –60a
Resposta: A
8. O Teorema de Binet afirma que, dadas duas matrizes, X e Y, ambas de mesma ordem, o determinante do produto dessas matrizes é igual ao produto dos respectivos determinantes:
det(X . Y) = det(X) . det(Y)
Assim, utilizando o Teorema de Binet, temos:
1
2
3
det (x) = 2
4
6
5
3
7
det(X) = 28 + 18 + 60 – 60 – 18 – 28 = 0
Logo, não é necessário calcular o determinante de Y, pois:
det(X . Y) = det(X) . det(Y)
det(X . Y) = 0 . det(Y)
det(X . Y) = 0
Resposta: A
9. Se são trocadas as posições de duas filas paralelas de uma matriz, o determinante correspondente troca de sinal. Logo, se a matriz B é igual à
matriz A, trocando-se as posições da primeira e terceira colunas, então
det(B) = –det(A) = –x3.
104
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Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Utilizando o teorema de Binet, temos:
det(A . B) = det(A) . det(B)
det(A . B) = x3 . (–x3)
det(A . B) = –x6
Resposta: B
10.Os elementos da primeira linha de S são dados por:
s11 = a11 + b11 = (12 + 12) + (1 + 1)2 = 2 + 4 = 6
s12 = a12 + b12 = (12 + 22) + (1 + 2)2 = 5 + 9 = 14
s13 = a13 + b13 = (12 + 32) + (1 + 3)2 = 10 + 16 = 26
Assim, a soma dos elementos da primeira linha de S é dada por:
6 + 14 + 26 = 46
Resposta: D
11.Multiplicando a segunda equação por (–3) e adicionando os resultados
aos termos da primeira equação, temos:
(m – 6) . a = –12
Se m ≠ 6, o coeficiente de a não é igual a zero, de modo que existirá um
único valor de a que tornará a igualdade verdadeira. Ou seja, se m ≠ 6,
então o sistema é possível e determinado. Se m = 6 a equação se torna
0 . a = – 12 e, nesse caso, não existe valor de a que satisfaça a equação.
Assim, se m = 6, então o sistema é impossível. Não existe valor de m para
o qual o sistema seja possível e indeterminado.
Portanto, basta que m seja diferente de 6 para que o sistema seja possível
e determinado. Se além de diferente de 6, m também for diferente de
zero, o sistema será igualmente possível e determinado.
Resposta: E
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