RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE TOPOLOGIA PARA 11/5
Munkres 51.3: (a) Seja X = [0, 1] ou R. Em qualquer dos casos, a aplicação H : X ×[0, 1] →
X definida por H(x, t) = tx é uma homotopia entre a aplicação constante
igual a zero e iX .
(b) Seja H : X × [0, 1] → X uma homotopia entre a identidade iX e uma
aplicação constante c, e seja x0 = c(x). Dado x ∈ X, a aplicação
f : [0, 1] → X definida por f (t) = H(x, t) é um caminho que une H(x, 0) =
iX (x) = x e H(x, 1) = c(x) = x0 . Portanto x0 e x pertencem à mesma
componente conexa por arcos. Conclui-se que X é conexo por arcos.
(c) Seja H : Y × [0, 1] → Y uma homotopia entre a identidade iY e uma
aplicação constante c : Y → Y com c(y) = y0 . Dada uma função contı́nua
f : X → Y , a aplicação
K : X × [0, 1] → Y
definida por K(x, t) = H(f (x), t) é uma homotopia entre x 7→ H(f (x), 0) =
iY (f (x)) = f (x) e a aplicação constante c ◦ f logo [X, Y ] contém apenas
a classe de homotopia da aplicacão c ◦ f : X → Y constante igual a y0 .
(d) Seja H : X×[0, 1] → X uma homotopia entre a identidade iX e a aplicação
constante c : X → X definida por c(x) = x0 . Dada uma aplicação
contı́nua f : X → Y , a aplicação K : X × [0, 1] → Y definida por
K(x, t) = f (H(x, t))
é uma homotopia entre a aplicação f ◦ iX = f e f ◦ c que é a aplicação
constante igual a f (x0 ).
Seja y0 ∈ Y e d : Y → Y a aplicação constante igual a y0 . Como Y é
conexo por arcos, existe um caminho g : [0, 1] → Y com g(0) = f (x0 ) e
g(1) = y0 . Então a aplicação L : X × [0, 1] → Y definida por L = g ◦ π1 ,
isto é, por
L(x, t) = g(t)
define uma homotopia entre as aplicações constantes iguais a f (x0 ) e y0 .
Como a relação de homotopia é transitiva, conclui-se que a aplicação f
é homotópica à aplicação d e portanto [X, Y ] é um conjunto singular
formado pela classe de homotopia de d.
Munkres 52.3: Suponhamos que π1 (X, x0 ) é abeliano, e sejam α, β : [0, 1] → X caminhos de
x0 a x1 . Então β ∗ α é um laço em x0 . Sendo γ um laço qualquer baseado
em x0 temos
α̂([γ])
=
[α] ∗ [γ] ∗ [α]
=
[β] ∗ [β] ∗ [α] ∗ [γ] ∗ [α]
=
[β] ∗ [β ∗ α] ∗ [γ] ∗ [α]
=
[β] ∗ [γ] ∗ [β ∗ α] ∗ [α]
=
[β] ∗ [γ] ∗ [β] ∗ [α] ∗ [α]
=
[β] ∗ [γ] ∗ [β]
=
β̂([γ]).
( porque π1 (X, x0 ) é abeliano ),
Reciprocamente, suponhamos que, para todos os caminhos α, β : [0, 1] → X
entre x0 e x1 temos α̂ = β̂. Seja λ : [0, 1] → X um caminho fixado unindo x0
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e x1 , e sejam γ e δ laços quaisquer em x0 . Então γ ∗ λ é outro caminho de x0
a x1 e temos a seguinte sequência de implicações:
γ[
∗ λ([δ]) = λ̂([δ])
[γ ∗ λ] ∗ [δ] ∗ [γ ∗ λ] = [λ] ∗ [δ] ∗ [λ]
[λ] ∗ [γ] ∗ [δ] ∗ [γ] ∗ [λ] = [λ] ∗ [δ] ∗ [λ]
(porque α ∗ β = β ∗ α)
(multiplicando dos dois lados à esquerda por [λ] e à direita por [λ]) )
[δ] ∗ [γ] = [γ] ∗ [δ] (multiplicando por [γ]) à esquerda).
[γ] ∗ [δ] ∗ [γ] = [δ]
Conclui-se que π1 (X, x0 ) é abeliano.
Munkres 52.4: Seja i : A → X a inclusão, de maneira que r ◦ i = idA . Temos então (pelo
Teorema 52.4) o seguinte diagrama comutativo
/ π1 (X, a0 )
π1 (A, a0 )
MMM
MMM
r∗
M
idA∗ =id MMM
& π1 (A, a0 ).
i∗
Sendo [γ] ∈ π1 (A, a0 ), tem-se então
r∗ (i∗ ([γ])) = [γ]
o que mostra que r∗ é sobrejectivo.
Munkres 52.6: Seja γ um laço em x0 . Temos então
β̂((hx0 )∗ ([γ])) = [β] ∗ ((hx0 )∗ ([γ])) ∗ [β]
= [β] ∗ [h ◦ γ] ∗ [β]
= [h ◦ α] ∗ [h ◦ γ] ∗ [h ◦ α]
= [(h ◦ α) ∗ (h ◦ γ) ∗ (h ◦ α)]
= [h ◦ (α ∗ γ ∗ α)]
= (hx1 )∗ [α ∗ γ ∗ α]
= (hx1 )∗ (α̂([γ])).
portanto β̂ ◦ (hx0 )∗ = (hx1 )∗ ◦ α̂.
Munkres 53.3: Vamos ver que o conjunto K = {b ∈ B : #p−1 ({b}) = k} é aberto, fechado e
não vazio. Uma vez que B é conexo isto implica que K = B que é a afirmação
que pretendemos demonstrar.
O conjunto K é não vazio porque b0 ∈ K. Seja b ∈ K e U uma vizinhança
trivializante de b para o revestimento p. Então
p−1 (U ) = ∪α Vα
com Vα abertos disjuntos de E tais que p|Vα é um homeomorfismo. Em particular p|Vα é uma bijecção e portanto cada Vα contém exactamente um elemento
de p−1 ({b0 }) para cada b0 ∈ U . Portanto todos os conjuntos p−1 ({b0 }) com
b0 ∈ U têm exactamente o mesmo número de elementos e, como #p−1 ({b}) =
k, este número é k. Conclui-se que U ⊂ K e portanto K é aberto.
O argumento do parágrafo anterior mostra que se b e b0 pertencem à mesma
vizinhança trivializante para p, então há uma bijecção entre p−1 ({b}) e p−1 (b0 ).
Logo se #p−1 ({b}) 6= k, há uma vizinhança de b formada por pontos em que o
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mesmo acontece. Isto significa que B \ K é aberto, ou seja, que K é fechado.
Isto conclui a demonstração.