Prof. Ms. Aldo Vieira
Determinante
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Aluno:
Determinante
Chamamos de determinante de uma matriz quadrada A, um valor numérico a ela associado. Tal valor é
representado por det(A) ou através de barras simples | |. Por exemplo, para a matriz
4 1 
A=

 3 2
temos,
4 1
det(A) = 5 ou
3 2
= 5.
A forma de encontrar o determinante de uma matriz depende da ordem da mesma. Vejamos como calcular
tal valor para as matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3.
(I)
Matriz de ordem 1.
Se A = [ aij ] , então det(A) = aij , ou seja, o determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento da
matriz. Por exemplo, A = [2] tem determinante det(A) = 2.
(II)
Seja
Matriz de ordem 2.
a11
A=
a 21
a12 
uma matriz de ordem 2. Logo, det(A) = a11 . a 22 − a 21 . a12 , isto é, seu determinante é
a 22 
a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Como exemplo, vamos considerar a matriz
(III)
5 2 
A=
 . Seu determinante é igual a det(A) = 5.3 – 4.2 = 7.
4 3
Matriz de ordem 3.
Neste caso, vamos utilizar uma regra chamada “regra de Sarrus”. Para um melhor entendimento desta regra
1 2 1 


vamos calcular o determinante da matriz A =  − 1 4
3 .
 2 1 − 2 
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o
1 passo :
Repetimos as duas primeiras colunas da matriz
1 2 1
−1 4 3
2 1 −2
1 2
−1 4
2 1
1a coluna
a
2 coluna
o
2 passo :
Multiplicamos os elementos como indicados a seguir :
1 2 1
1 2
−1 4 3 −1 4
2 1 −2 2 1
P4
o
P5 P6
P1 P2 P3
3 passo :
Calculamos o determinante da matriz através da expressão det(A) = P1 + P2 + P3 – P4 – P5 – P6 , onde
o
P1, P2, P3, P4, P5 e P6 são os produtos encontrados no 2 passo. Desta forma, para esta matriz temos
det(A) = 1.4.(-2) + 2.3.2 + 1.(-1).1 – 2.4.1 – 1.3.1 – (-2).(-1).2
det(A) = – 8 + 12 – 1 – 8 – 3 – 4
det(A) = – 12
Exercícios
1) Calcule os determinantes a seguir :
3 6
a)
Resp. 3
2 5
4 6
b)
Resp. 0
2 3
3 2 −5
c) 7 8
6
0 2 3
1
d)
2
Resp. -76
5
3 −2 1
4 7 3
Resp. 122
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2) Determine x nas equações a seguir :
x 2
a)
2 4
=
x 0
1
Resp. 2
x
x 1 2
x 2x
b)
= 3 2 3
1 3
0 1 0
2
c)
x 3
Resp.
3
2
1 −1 0
−1 2 1 = x
0 5 4 4
2
1
5
5
Resp. 6
3) Calcule o determinante da matriz
1 se i = j
A = (aij ) 3 x 3 onde aij = 
. Resp. 5
2 se i ≠ j
Vejamos algumas propriedades dos determinantes :
Propriedades gerais dos determinantes :
1) Um determinante é nulo quando :
(i)
Tem duas linhas ou duas colunas iguais.
(ii)
Tem duas linhas ou duas colunas proporcionais (múltiplas).
(iii)
Tem uma linha ou uma coluna formada apenas por zeros.
Exemplos destes casos :
caso (i)
1 2 3
caso (ii)
1
3
caso (iii)
0
1
0 5
8 5 9 = 0, − 2 − 6 5 = 0, 4 0 7 = 0
1 2 3
3
9 7
−9 0 6
linhas iguais
a
a 2 coluna é toda nula
a
colunas proporcionais (neste caso, a 2 é 3 vezes a 1 )
a
2) Quando multiplicamos uma linha ou uma coluna de uma matriz por um número, seu determinante fica
multiplicado por este número.
1 2 −1
2 4 −2
2 1
0 = –12multiplicando a 1 linha por dois, o valor do determinante será o dobro 2 1
0 = –24
3 6
1
1
a
3 6
3) Ao permutarmos duas linhas ou duas colunas, o determinante troca de sinal.
1 2 −1
2 1
3 6
2 1 −1
0 = −12 trocando as duas primeiras colunas, temos 1 2
1
6 3
0 = 12 .
1
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4) O determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais.
1 2 −1
1 2 3
2 1 0 = −12 achando a transposta 2 1 6 = −12 .
3 6 1
−1 0 1
5) Quando os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto
dos elementos da diagonal.
3 2 −1
0 2
0 0
5 = 6 desta forma, o determinante da matriz identidade é sempre igual a 1.
1
A condição necessária e suficiente para que uma matriz A tenha inversa é que seu determinante seja
diferente de zero. Portanto,
∃ A −1 ⇔ det( A) ≠ 0
Exercícios
1) Determine a matriz inversa da matriz :
a)
2 2 
4 − 2 
b) E = 
A=

 c) C =
 3 4
6 − 4 
2 4 
5 2
3 6 d) D = 2 1 e) B =




4 0
x


2) Calcule x ≠ 0 ,tal que A =  0
2 3x  seja uma matriz singular.
 x − 1 0 
 1
5

3) Encontre K tal que A =  − 2 − 4
 0
6
3

3  seja invertível.
K 
1
 5
− 10 − 2


Resp. : x = 6
Resp. : K
≠ 9
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