SÉRie Rumo ao ITA – Nº 05
ENSiNO PRÉ-UNIVERSITÁRIO
PROFeSSOR(a) MARCELO MENDES
SeDe
ALUNO(a)
TC
Nº
TURMa
TURNO
Determinantes I
DaTa ____/____/____
MATEMÁTICA
Observação:
Entende-seporfilaqualquerlinhaoucolunadeuma
matriz.
Regras práticas
IV. Propriedades complementares
•Determinantedeordem2
a11
a12
a21
a22
= a11 a22
a12 a21
+
•Determinantedeordem3(RegradeSarrus)
a11
a12
a13
a11
a21
a22
a23
a21
a12
a22 =
a31
a32
a33
a31
+
a32
+
+
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32–a13a22a31–a11a23a32–a12a21a33
Cofator
SeA=(n11)entãoA11=1(cofatordeelementoa11)
SeAématrizquadradadeordemn≥2então
Aij=(–1)i+j×Dij,ondeDijéodeterminantequeseobtém
deMsuprimindoalinhaieacolunaj.
a) TeoremadeBinet
SendoAeBmatrizesquadradasdemesmaordem,então:
det(A×B)=detA×detB
b) Quandotodososelementosacimae/ouabaixodadiagonal
principalforemzeros,odeterminanteseráoprodutodos
elementosdadiagonalprincipal.
a 0 0 0
x b 0 0
= abcd
y z c 0
m n p d
V. Adição de determinantes
SeMeM’sãomatrizes,deordemn,idênticasexcetona
i-ésimalinha,então
detM’’=detM+detM’,ondeM’’éumamatrizdeordem
nidênticaàsmatrizesMeM’,excetonasuai-ésimalinha,queé
obtidasomando-seasi-ésimaslinhasdeMeM’.
Teorema de Laplace
Odeterminantedeumamatrizquadradaéigualàsoma
dosprodutosdoselementosdeumafilaqualquerpelosrespectivos
cofatores.
Propriedades
I. Determinante igual a zero
Odeterminantedeumamatrizquadradaéigualazerose
amatrizpossui:
a) umafilanula.
b) duasfilasparalelasiguais.
c) duasfilasparalelasproporcionais.
d) umafilaqueécombinaçãolineardasoutrasfilasparalelas.
II. Determinante não se altera
Odeterminantedeumamatrizquadradanãosealterase:
a) trocarmosordenadamentelinhasporcolunas(detM=detMt).
b) somarmosaumafilaumacombinaçãolineardeoutrasfilas
paralelas(TeoremadeJacobi).
III. Alteração no determinante
Odeterminantedeumamatrizquadradadeordemnaltera-se:
a) trocando de sinal, quando duas filas paralelas trocam de
lugarentresi.
b) ficandomultiplicadopor α,quandooselementosdeuma
filasãomultiplicadosporα.
c) ficandomultiplicadoporαnquandoamatrizémultiplicada
pora,ouseja:det(αA)=αndetA,ondenéaordemda
matriz.
OSG.: 60672/12
Exercícios
01. (UFSE)OdeterminantedamatrizA=(aij)3×3,ondeay=2i–j,
éiguala:
A)–12
B) –8
C)0
D)4
E) 6
a
02. Mostreque a
a
a
a
b
b
b
a
b
c
c
a b c
2
2
2
03. Proveque a b c
bc ca ab
a
b
c
d
= a(b − a)(c − b)(d − c ).
=
1 a2 a3
1 b2 b3 .
1 c2 c3
1 1
1
1
1
1
04. Verifiqueque 1 1+ x
1 1 1+ y
1
1 1
1 1+ z
= xyz.
05. Seja a matriz A = [a ij] n × n. A matriz B é obtida de A,
multiplicando-se,nesta,cadaelementoaijporki–j,k∈R*.
DemonstrequedetB=detA.
Gabarito – Determinantes I
01
02
03
04
05
C
–
–
–
–
– Demonstração
TC – MaTeMáTiCa
Sistemas Lineares
 1

1
 4

4
3


02. (EN)Dadasasmatrizes: A =  2 1 e B =  1
 , entãoa
2
−
 4

somadamatrizinversadeAcomodobrodamatriztransposta
deBé:
7

1
3
0
−




2
4
6
A) 
B) 


1
5
2

5 

2


2
Matriz Inversa I
Definição
M–1éainversadeMse,esomentese,M⋅M–1=M–1⋅M=In.
Propriedades
1
C)  2
 2
I.
II.
III.
IV.
A–1éúnica
(A–1)–1=A
(A⋅B)–1=B–1⋅A–1
(At)–1=(A–1)t
1
V. det A −1 =
det A
A)Mostre que se uma matriz é inversível, então o seu
determinanteédiferentedezero.
B) C a l c u l e o d e t e r m i n a n t e d a i n v e r s a d a m a t r i z
 2 −1 1 
P =  2 1 −1 .
 0
2
2
Asomadosprodutosdoselementosdeumafilaqualquer
deumamatrizM,ordenadamente,peloscofatoresdoselementos
deumafilaparalela,éigualazero.
04. (Mack)SedetA=5e A
8
5
Matriz Adjunta (A)
A) −
É definida como sendo a transposta da matriz N dos
cofatores,ouseja,A=Nt.
PropriedadeA·A=A·A(detA)·In.
C)
1
5
E)
2
5
Teorema
Observação:
1
⋅ A ji , ∀i, j
det A
D) −
3
5
 1 2 3
−1
damatrizinversa
07. Sendo A =  4 1 1 , obteroelementoa 23
 2 0 3
deA.
08. (IME)Umamatrizquadradaédenominadaortogonalquandoa
suatranspostaéigualasuainversa.Considereessadefinição,
determine se a matriz [R], abaixo, é uma matriz ortogonal,
sabendo-se que n é um inteiro eα é um ângulo qualquer.
Justifiquesuaresposta.
 1 2 −1
01. (ITA)Sendo A =  0 −3 2  , entãooelementodaterceira
 3 −1 −2
linhaeprimeiracoluna,desuainversa,seráiguala:
9
5
A) B)
11
8
1
13
B) 0
06. (IME)DetermineumamatriznãosingularPquesatisfaçaà
equaçãomatricial.
6 0 
, onde A = 1 2
P −1A = 
5 4 
0 −1
Exercícios
E)

 4
a

 5
=
entãoaéiguala:
1 2

−
 5 5
A)matriznuladeordem2.
B) matrizidentidadedeordem2.
1
C) A
2
D)27A
E) 8A
Corolário:∃A–1⇔detA≠0.
6
11
−1
1 0 
. Então(A+A–1)3éiguala:
05. (Mack)Seja A = 
 0 −1
1
A −1 =
⋅ A.
det A
C)
D)  0 1
 3 2
03.
Teorema de Cauchy
aij−1 =
1
4 0 
 cos(nα ) − sen(nα ) 0
[R] = sen(nα ) cos(nα ) 0
 0
0
1

2
D) −
13
09. (UFC)SejamA,BeA+Bmatrizesn×n(n≥1)invertíveis.
Encontreumaexpressãopara(A–1+B–1)–1emtermosdeA,
(A+B)–1eB.
2
OSG.: 60672/12
TC – Matemática
10. (ITA) Julgue: Sejam A, B e C matrizes quadradas
n × n tais que A e B são inversíveis e ABCA = At, então
detC = det(AB)–1.
11. (ITA) Julgue: Sejam m e n números reais com m ≠ n e as
 2 1
 −1 1
, B=
. Sabendo que a matriz mA
matrizes: A = 
 3 5
 0 1
+ nB não é inversível, então m e n possuem sinais contrários.
Gabarito – Matriz Inversa I
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
–
–
0
–
V
*
F
*
*
*
V
–Demonstração
*06:  1 / 6 −2
 5 / 6 −4
Anotações
AN – 18/08/12 – Rev.: Tony
3
OSG.: 60672/12
TC – Matemática
4
OSG.: 60672/12