Faculdades Pitágoras
de Uberlândia
Sistemas de Informação
Disciplina:
Matemática Básica 1
Prof. Walteno Martins Parreira Júnior
www.waltenomartins.com.br
[email protected]
2010
Professor Walteno Martins Parreira Júnior
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Matemática Básica 1
Sumário
1
APRESENTAÇÃO.............................................................................................................. 2
1.1
Metodologia da Disciplina ......................................................................................... 2
1.2
Visão geral da Disciplina ........................................................................................... 2
1.3
Objetivos da Disciplina .............................................................................................. 2
1.4
Encontro das equipes de aprendizagem:................................................................... 2
1.5
O que se avalia? ......................................................................................................... 2
1.6
Avaliação dos Alunos ................................................................................................. 3
2
CONJUNTOS NUMÉRICOS .............................................................................................. 4
2.1
Representação e Linguagem dos Conjuntos Naturais, Inteiros, Racionais e Reais. 4
2.1.1 - Noções de Conjunto................................................................................................. 4
2.1.2 - Representação de conjuntos. ..................................................................................... 4
Diagramas de Venn ............................................................................................................. 5
2.2
Operações e Propriedades ......................................................................................... 5
2.2.1 - Igualdade de Conjuntos............................................................................................. 5
2.2.2 - Conjunto Unitário ..................................................................................................... 5
2.2.3 - Conjunto Vazio......................................................................................................... 6
2.2.4 - Relação de inclusão – Subconjunto ........................................................................... 6
2.2.5 - Operações com Conjuntos: Interseção....................................................................... 6
2.2.6 - Operações com Conjuntos: União ............................................................................. 7
2.2.6 - Operações com Conjuntos: Diferença entre dois conjuntos ....................................... 7
2.2.7 - Operações com Conjuntos: Complementar de um conjunto....................................... 7
2.3
Conjuntos Numéricos................................................................................................. 8
2.3.1 - Conjunto dos Números Naturais ............................................................................... 8
2.3.2 - Conjunto dos Números Inteiros................................................................................. 8
2.3.3 - Conjunto dos Números Racionais ............................................................................. 8
2.3.4 - Conjunto dos Números Irracionais ............................................................................ 8
2.3.5 - Conjunto dos Números Reais .................................................................................... 9
2.4
Intervalos.................................................................................................................... 9
2.5
Exercícios ................................................................................................................... 9
3
GRANDEZAS E MEDIDAS ............................................................................................. 11
3.1
Unidades de medidas: comprimento, área e volume .............................................. 11
3.1.1 - Unidades de medida de comprimento...................................................................... 11
3.1.2 - Unidades de medida de área.................................................................................... 12
3.1.3 - Unidades de medida de volume............................................................................... 12
3.2
Ordem de grandeza e notação científica ................................................................. 13
3.2.1 - Notação científica ................................................................................................... 13
3.3
Grandezas direta e inversamente proporcionais: regra de três simples e regra de
três composta ....................................................................................................................... 14
3.3.1 - Razão e proporção .................................................................................................. 14
3.3.2 - Relação direta de proporcionalidade ....................................................................... 14
3.3.3 - Relação inversa de proporcionalidade ..................................................................... 15
3.4
Cálculo de porcentagens: aumento e desconto percentual, porcentagens
sucessivas ............................................................................................................................. 15
3.4.1 - Relação entre proporção e porcentagem. ................................................................. 16
3.4.2 - Cálculo de porcentagens e regra de três simples ...................................................... 16
3.4.3 - Aumento e desconto percentual............................................................................... 16
3.4.4 - Quantidades usualmente expressas em taxas percentuais......................................... 16
3.5
Exercícios ................................................................................................................. 16
4
Bibliografia ....................................................................................................................... 17
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Matemática Básica 1
1
APRESENTAÇÃO
1.1
Metodologia da Disciplina
•
•
•
1.2
Visão geral da Disciplina
•
•
1.3
Estudar a Matemática implica conhecer tanto seu sistema quanto sua linguagem. A
Matemática adota o método dedutivo para desenvolver suas teorias, portanto os sistemas
matemáticos são também chamados sistemas lógico-dedutivos. Um sistema lógico é um
conjunto de axiomas e regras de inferência que visam representar formalmente o
raciocínio válido. Diferentes sistemas de lógica formal foram construídos ao longo do
tempo quer no âmbito estrito da Lógica Teórica, quer em aplicações práticas na
Engenharia, na Ciência da Computação nos Sistemas de Informação e em Inteligência
artificial, etc.
A linguagem matemática é útil às Ciências principalmente porque analisa e descreve
como as grandezas variam em fenômenos que obedecem a critérios determinados.
Objetivos da Disciplina
•
•
•
•
•
•
1.4
Matemática Básica I procura ensinar os alunos a serem críticos em relação aos
resultados matematicamente encontrados, não de uma forma intuitiva ou gratuita, mas
de forma racional e logicamente argumentada.
Aprender a criticar um resultado matematicamente encontrado é aprender a distinguir e
aplicar adequadamente argumentos matemáticos, e é também aprender a avaliar a
invalidade de argumentos matematicamente apresentados.
Desenvolver a capacidade de raciocínio lógico e dedutivo.
Estabelecer adequadamente métodos, conceitos e modelos matemáticos ligados à
solução de problemas.
Usar adequadamente linguagem e conceitos matemáticos ligados à solução de
problemas específicos.
Desenvolver a habilidade algébrica e a capacidade de relacionar conceitos abstratos da
álgebra e da geometria à solução de problemas; analisar e criticar os resultados obtidos.
Encontro das equipes de aprendizagem:
•
•
•
•
1.5
Aula expositiva: informação, conhecimento, aprendizagem de conceitos e princípios.
Encontros das equipes de aprendizagem: desenvolvimento de habilidades e
competências, não só da disciplina em questão, mas também habilidade de trabalhar em
grupos e equipes. Ênfase em projetos e pesquisas dos alunos, fazendo a relação entre a
teoria e o mundo real.
Atividades Avaliativas (individuais e coletivas)
Nenhum aluno pode participar dos encontros das equipes de aprendizagem sem fazer
parte de uma equipe.
O aluno deve ler o material indicado no Guia do Aluno anteriormente. Não é possível
desenvolver satisfatoriamente uma atividade sem um mínimo de conhecimento do
conteúdo ministrado nas aulas expositivas.
O aluno deve trazer o material indicado para a sala de aula.
A participação será avaliada a cada encontro das equipes. A nota de participação não é
nota de presença.
O que se avalia?
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•
•
•
1.6
Avaliação de conteúdos.
Produtos: estruturas internas que revelam o grau de proficiência do aluno para elaborar
os conteúdos, relacioná-los com conhecimentos anteriores e aplicá-los a situações
concretas, conhecidas ou novas.
Estratégias cognitivas e metacognitivas: capacidade do aluno em monitorar e regular o
próprio processo de aprender a aprender.
Avaliação dos Alunos
•
•
•
•
•
Conhecimentos adquiridos.
Habilidades e competências específicas da disciplina, principalmente, a competência
argumentativa.
Atitudes: abertura às idéias e aos argumentos dos outros, mostrando disponibilidade
para rever suas
próprias opiniões; cooperação com os outros, mostrando que a crítica só é eficaz através
do diálogo justo e honesto, no seio de uma comunidade.
Participação efetiva nas aulas e atividades coletivas (não é apenas presença).
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
O tratamento matemático de fenômenos científicos associa grandezas que expressam na
maioria das vezes quantidades; tais grandezas são frequentemente representadas por números e,
portanto, a Teoria dos Conjuntos auxilia na solução dos problemas dessa natureza.
2.1
Representação e Linguagem dos Conjuntos Naturais, Inteiros, Racionais e Reais
2.1.1 - Noções de Conjunto
A noção de conjunto é a mais simples e fundamental da matemática, pois a partir dela
podem se expressar todos os conceitos matemáticos.
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo:
Conjunto dos países do mercosul: Argentina,, Brasil, Paraguai e Uruguai;
Conjunto de regiões brasileiras: Centro-oeste, Norte, Nordeste, Sudeste e Sul;
Conjunto de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
Conjunto de números quadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Um conjunto é formado por elementos. Um objeto o qualquer pode ou não ser elemento
de um determinado conjunto A. Quando for, diz-se que o pertence a A e escreve-se o ∈ A e em
caso contrário, dize-se que o não pertence a A e escreve-se o ∉ A.
Assim, considerando que:
M : Conjunto dos países do mercosul;
P: Conjunto de regiões brasileiras;
Q: Conjunto de números primos.
R: Conjunto de números quadrados.
Tem-se que:
O Brasil ∈ M e Chile ∉ M. (lê-se: Brasil pertence a M e Chile não pertence a M)
O Nordeste ∈ P e Bolívia ∉ P.
2 ∈ Q e 9 ∉ Q.
16 ∈ R e 8 ∉ R.
Portanto, um conjunto é qualquer coleção de objetos. Os objetos que compõem a coleção
são chamados elementos. Os elementos pertencem à sua respectiva coleção. Convenciona-se
representar conjuntos por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas.
2.1.2 - Representação de conjuntos.
Tomando como exemplo o conjunto B dos números ímpares menores que 10 e maiores
que 0. Colocando os números entre chaves: B = { 1, 3, 5, 7, 9} essa é uma representação pela
designação de seus elementos.
Existe outro tipo de representação, que é pela propriedade de seus elementos. O elemento
do conjunto é chamado de x que possui uma propriedade P, o conjunto será indicado por x tal que
x possua a propriedade P { x | x possui a propriedade P}, essa barra vertical significa “tal que”.
Pegando o mesmo conjunto B = { 1, 3, 5, 7, 9}, o conjunto dos números ímpares menores
que 10 e maiores que 0. Usando esse tipo de representação fica:
B = { x | x é ímpar e 0 < x < 10 }
Que é representado por:
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Os elementos que pertencem ao conjunto B (na área verde) estão dentro do diagrama, os
de fora são ímpares, mas não pertencem ao conjunto B. Essa é uma representação em forma de
Diagrama.
Diagramas de Venn
É usual representar os conjuntos por curvas fechadas, sem auto-interseção, contendo no
seu interior pontos que representam os seus elementos. Elementos que não pertencem ao conjunto
são representados por pontos no exterior da curva. Por exemplo, na figura abaixo representa-se
um conjunto A = {x, y, z,u,w}. A figura indica que a ∉ A, b ∉ A e c ∉ A .
2.2
Operações e Propriedades
Considerando a propriedade p, logo, p: x é um número natural ímpar. Assim, essa
propriedade pode ser representada pelo conjunto I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}. Logo, não faz
diferença dizer que x possui a propriedade p ou que x ∈ I.
Considerando agora a condição c, logo, c: x é um número inteiro que satisfaz a condição
x2 – 4 = 0. Esta condição pode ser expressa pelo conjunto A = {-2, 2}. Neste caso, também não
faz diferença dizer que x satisfaz a condição c ou que x ∈ A.
Concluindo, é mais simples trabalhar com conjuntos, definindo operações entre eles do
que com propriedades e condições.
2.2.1 - Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando tiverem os mesmos elementos. Equivalentemente, dois
conjuntos A e B serão considerados iguais quando todo elemento de A for elemento de B e todo
elemento de B também for elemento de A. Para simplificar que um conjunto A é igual a um
conjunto B, usa-se a notação A = B. Não importa se há repetição de elementos e nem a ordem em
que os elementos são listados.
2.2.2 - Conjunto Unitário
Um conjunto que contenha um único elemento é chamado unitário. Por exemplo:
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A = { x | x é par e 4 < x < 8 } ou A = {6}
2.2.3 - Conjunto Vazio
Um conjunto sem elementos é chamado conjunto vazio, que é representado por ∅ ou por
{ }. Por exemplo:
Dado o conjunto C = { y | y é natural e 2 < y < 3 } é um conjunto que não possui nenhum
elemento.
2.2.4 - Relação de inclusão – Subconjunto
Dados dois conjuntos A e B, diz que A está contido em B ou que A é subconjunto de B,
somente se, todo elemento do conjunto A também for elemento de B. Isso será representado da
seguinte forma: A ⊂ B. Por Exemplo:
Observe que todo elemento pertencente ao conjunto A pertence também ao conjunto B.
Por isso, A está contido em B.Simbolicamente:
A ⊂ B “A está contido em B”.E também B ⊃ A “B contém A”.
2.2.5 - Operações com Conjuntos: Interseção
Exemplo de interseção de conjuntos:
Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos
conjuntos relacionados.
Exemplo 1:
Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedir a
interseção deles tem-se que: A ∩ B = {5}, diz-se que A “inter” B é
igual a 5.
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Exemplo 2:
Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se
pedir a interseção deles tem-se: B ∩ C = { } ou B ∩ C = ∅,
então B e C são conjuntos distintos.
Exemplo 3:
Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A
interseção dos conjuntos ficaria assim:
E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído
também que E ⊂ D.
2.2.6 - Operações com Conjuntos: União
Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados.
Exemplo 1:
Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois
conjuntos é :A U B = {0,1,2,3,4}
Exemplo 2:
Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é: A U B =
{1,2,3,4,5}, nesse caso pode-se dizer que A U B = B.
2.2.6 - Operações com Conjuntos: Diferença entre dois conjuntos
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B, o
conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. O conjunto diferença é
representado por A – B.
Exemplo 1:
Dado: A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7}, a diferença dos
conjuntos é: A – B = {1,2}
Exemplo 2:
Dado: A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10}, a diferença dos
conjuntos é: A – B = {1,2,3,4,5}
2.2.7 - Operações com Conjuntos: Complementar de um conjunto
Dado um conjunto A de um certo universo U, chama-se complementar de A em relação a
A
U o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Indica-se C U .
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Exemplo 1:
Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2,3,4}.
Como B ⊂ A podemos escrever em forma de complementar: A – B = CAB= {1,2,3,4}.
Exemplo 2:
Dados os conjuntos U = {1,2,3,4,5,6,7} e B = {4,5,6}, a diferença dos conjuntos é: A – B =
{1,2,3,4}. Como B ⊂ U podemos escrever em forma de complementar: U – A = CAU= {1,2,3,7}.
2.3
Conjuntos Numéricos
2.3.1 - Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra
maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o
zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}
2.3.2 - Conjunto dos Números Inteiros
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos
opostos (negativos). São representados pela letra Z:
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
•
Inteiros não negativos - São todos os números inteiros que não são negativos. Logo
percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado
por Z+:
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
•
Inteiros não positivos - São todos os números inteiros que não são positivos. É
representado por Z-:
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
•
Inteiros não negativos e não-nulos - É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse
subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Z*+ = N*
•
Inteiros não positivos e não nulos - São todos os números do conjunto Z- excluindo o
zero. Representa-se por Z*-.
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}
2.3.3 - Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números
decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete
uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também
conhecidas como dízimas periódicas. Os racionais são representados pela letra Q.
2.3.4 - Conjunto dos Números Irracionais
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É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número
irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu
diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular
bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a
raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)
2.3.5 - Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais
com os irracionais). Representado pela letra R.
2.4
Intervalos
Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos:
•
Intervalo aberto de extremidades a e b como sendo o conjunto ]a,b[= {x ∈ R| a < x < b}
•
Intervalo fechado de extremidades a e b como sendo o conjunto [a,b] = {x ∈ R| a <= x <=
b}
•
Intervalo fechado à esquerda de extremidades a e b como sendo o conjunto: [a,b[= {x ∈
R| a <= x < b}
•
Intervalo fechado à direita de extremidades a e b como sendo o conjunto ]a,b] = {x ∈ R| a
< x <= b}
•
Também definimos intervalos infinitos:
] − ∝,b[= {x ∈ R| x < b}, também representado por (−∝,b)
] − ∝,b] = {x ∈ R| x <= b}, também representado por (−∝,b]
]a,+ ∝ [= {x ∈ R| x > a}, também representado por (a,+ ∝)
[a,+ ∝ [= {x ∈ R| x >= a}, também representado por[a,+ ∝)
] − ∝,+∝ [= R, também representado por (−∝,+∝)
2.5
Exercícios
2.5.1 - Numa universidade são lidos apenas dois jornais, X e Y. 80% dos alunos da mesma lêem o
jornal X e 60%, o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais,
assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos:
a)80%
c)40%
b)14%
d)60%
e)48%
2.5.3 - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas
presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas
não comeram nenhuma das sobremesas?
a) 1
c) 3
b) 2
d) 4
e) 0
2.5.4 - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
quando chove de manhã não chove à tarde;
houve 5 tardes sem chuva;
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houve 6 manhãs sem chuva.
Pode-se afirmar então que n é igual a:
a)7
c)9
b)8
d)10
e)11
2.5.5 - 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o
número de pessoas que gostavam de B era:
O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:
a)48
c)36
b)35
d)47
e)37
2.5.6 - Sendo o conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {1, 2, 3, 4, 5} , determine:
a) A ∪ C =
d) A ∩ B =
b) A – C =
e) C – A =
c) A ∪ (B ∩ C) =
f) (A ∩ B) ∪ C =
g) A ∩ C =
2.5.7 - Numa pesquisa realizada, verificou-se que das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal A,
150 o jornal B e 20 liam os dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas?
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Lógica Matemática e Computacional
3
GRANDEZAS E MEDIDAS
3.1
Unidades de medidas: comprimento, área e volume
As grandezas são valores ou medidas associados a um objeto matemático e representam a
dimensão ou o tamanho de objetos reais. A unidade de medida deve adequar-se ao tamanho dos
objetos que medimos. Pontos Principais:
•
Unidades de medida de comprimento: objetos de uma dimensão.
•
Unidades de medida de área: objetos de duas dimensões.
•
Unidades de medida de volume: objetos de três dimensões.
Os povos foram criando unidades de medida para atenderem as suas necessidades. Cada
um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio entre os
povos, ficaram cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com medidas
diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi
assim que, em 1791, um grupo de representantes de vários países reuniram-se para discutir a
adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.
3.1.1 - Unidades de medida de comprimento
A palavra metro vem do grego métron e significa "o que mede". Foi estabelecido
inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte
ao Equador, no meridiano que passa por Paris.
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos
e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi
e mili.
Multiplos
Unidade
Submúltiplos
quilometro
hectômetro
decâmetro
metro
decímetro
centímetro
milimetro
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1000 m
100 m
10 m
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
Para fazer as transformações entre os diferentes múltiplos e submúltiplos, usa-se a
multiplicação ou a divisão, dependendo do sentido da transformação, conforme a figura abaixo.
Exemplo:
Transforme 160,456 metros em decametro e depois em centímetros. Resolução:
a) Para transformar metro (m) em decametro (dam), ver na figura, tem que dividir por 10, logo
160,456 / 10 = 16,0456 dam
b) Para transformar metro (m) em centímetro (cm), ver figura acima, tem que multiplicar por 100
(10 x 10), logo 160,456 x 100 = 16045,6 cm.
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Lógica Matemática e Computacional
3.1.2 - Unidades de medida de área
As medidas de área fazem parte de nosso dia a dia. Também são denominadas de medidas
de superfície. Estão em perguntas corriqueiras do cotidiano tais como:
•
Qual a área desta casa?
•
Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir esta sala?
•
Qual a área pintada dessa parede?
A unidade fundamental usada para medir superfície é o metro quadrado (m2), que
corresponde a área de um quadrado em que o lado mede 1 m. Medida de superfície é uma
grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.
Multiplos
Unidade
Submúltiplos
quilometro
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro
quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milimetro
quadrado
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
1.000.000
m2
10.000 m2
100 m2
1 m2
0,01 m2
0,0001 m2
0,000001
m2
Para fazer as transformações entre os diferentes múltiplos e submúltiplos, usa-se a
multiplicação ou a divisão, dependendo do sentido da transformação, conforme a figura abaixo.
Exemplo:
Transforme 160,456 metros quadrados em decâmetro quadrado e depois em centímetros
quadrado. Resolução:
a) Para transformar metro quadrado (m2) em decâmetro quadrado(dam2), ver na figura, tem que
dividir por 100, logo 160,456 / 100 = 1,60456 dam2
b) Para transformar metro quadrado (m2) em centímetro quadrado (cm2), ver figura acima, tem
que multiplicar por 10.000 (100 x 100), logo 160,456 x 10000 = 1604560 cm2.
3.1.3 - Unidades de medida de volume
São os problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura.
Com as medidas tridimensionais, pode-se calcular medidas de volume.
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida
correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.
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Lógica Matemática e Computacional
Multiplos
Unidade
Submúltiplos
quilometro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro
cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milimetro
cúbico
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
1.000.000.000
m3
1.000.000
m3
1.000 m3
1 m3
0,001 m3
0,000001
m3
0,000000001
m3
Para fazer as transformações entre os diferentes múltiplos e submúltiplos, usa-se a
multiplicação ou a divisão, dependendo do sentido da transformação, conforme a figura abaixo.
Assim, cada unidade de volume é 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
3.2
Ordem de grandeza e notação científica
A expressão das medidas pode ser mais precisa ou apenas estimada dependendo da
natureza do problema e do rigor que pretendemos dar à sua solução. A ordem de grandeza de uma
medida é a potência de dez que mais se aproxima do número que representa essa medida e a
notação científica é o padrão utilizado para expressar as medidas realizadas no tratamento
científico de problemas. Pontos Principais:
•
Medida de comprimentos muito grandes e muito pequenos.
•
Medida de áreas muito grandes e muito pequenas.
•
Medida de volumes muito grandes e muito pequenos.
3.2.1 - Notação científica
A notação científica é uma forma de reduzir um número a uma grandeza que seja mais
facilmente compreensível para escrever ou visualizar. Sua forma é a x 10n.
Exemplos:
a) 8200 = 8,2 x 103
b) 0,00014 = 1,4 x 10-4
Todas as potências de 10 têm a função de facilitar o cálculo de expressões. Tem-se que
observar se n é positivo ou negativo.
•
Para N>0, escrever a quantidade de zeros da potência a direita do número 1. Por
exemplo: 104 = 10.000.
•
Para N<0, escrever a quantidade de zeros da potência a esquerda do número 1,
colocando a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu. Por exemplo: 10-3 =
0,001.
Professor Walteno Martins Parreira Júnior
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Lógica Matemática e Computacional
3.3
Grandezas direta e inversamente proporcionais: regra de três simples e regra de três
composta
Quando os problemas estabelecem uma relação de proporcionalidade entre as grandezas
que expressam, sua solução pode ser encontrada pelo cálculo do termo desconhecido numa
proporção. Pontos Principais:
•
Razão e proporção.
•
Relação direta de proporcionalidade.
•
Relação inversa de proporcionalidade.
3.3.1 - Razão e proporção
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b > 0, ao quociente entre eles.
Indica-se a razão de a para b por a / b ou a : b.
Os termos de uma razão são denominados de Antecedente ( a parte superior da fração) e
Conseqüente (a parte inferior da fração). Para ler uma razão, por exemplo: 2/5 como Dois está
para cinco.
Exemplo:
Em uma sala há 20 moças e 25 moços. A razão entre o número de moças e de moços é de:
logo, indica que para cada 4 moças existem 5 moços.
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dados os números racionais a, b, c e d,
diferentes de zero, diz-se que eles formam, nessa ordem uma proporção quando a razão de a para
b for igual a razão de c para d.
Na proporção 3/5 = 6/10, lê-se que 3 está para 5 assim como 6 está para 10. Logo, os
extremos são 3 e 10 e os meios são 5 e 6.
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. No exemplo
acima, 3 x 10 = 5 x 6 = 30.
Exemplo:
•
Determine o valor de y na seguinte proporção: 15/3 = 10/y.
Assim, 15 y = 30, logo y = 2.
3.3.2 - Relação direta de proporcionalidade
No cotidiano encontra-se varias situações em que são relacionadas duas ou mais
grandezas. Como exemplo, tem-se:
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Lógica Matemática e Computacional
•
Em uma corrida quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova.
As grandezas são a velocidade e o tempo.
•
Numa construção , quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo
gasto para que esta fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de
funcionário e o tempo.
Exemplo:
Em um determinado mês do ano o litro de leite custa R$ 1,00. Tomando como base esse dado
pode-se formar a tabela.
Quantidade (em litros)
1
2
3
4
Valor a pagar (R$)
1,00
2,00
3,00
4,00
Pode-se observar que:
a) se a quantidade de leite dobra, o preço a ser pago também dobra;
b) se a quantidade de leite triplica, o preço a ser pago também triplica.
Neste caso, as duas grandezas envolvidas são denominadas de grandezas diretamente
proporcionais. E pode ser observada que suas razões são iguais:
1/2 = 1,00 / 2,00
3.3.3 - Relação inversa de proporcionalidade
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas
grandezas variam um na razão inversa do outro.
Exemplo:
Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele
escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um
deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. Observe a
tabela:
Quantidade de alunos escolhidos
Quantidade de livros para cada aluno
2
12
4
6
6
4
Pode-se observar que:
a) Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade.
b) Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz
para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante.
3.4
Cálculo de porcentagens: aumento e desconto percentual, porcentagens sucessivas
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