COLÉGIO MILITAR DE JUIZ DE FORA
DISCIPLINA: Física
Professor: Dr. Carlos Alessandro A. da Silva
Notas de Aula: Gravitação
AS LEIS DE KEPLER
1a. Lei de Kepler (Lei das Órbitas)
“Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, o Sol localizado em um dos focos”
2a. Lei de Kepler (Lei das Áreas)
“A linha traçada do Sol a qualquer planeta descreve áreas iguais em tempos iguais”
3a. Lei de Kepler (Lei dos Períodos)
“O quadrado do período de revolução de qualquer planeta em torno do Sol é diretamente
proporcional ao cubo do raio médio de sua órbita”
T 2 = Kr 3
(1)
onde K depende da massa situada no foco da órbita.
Observações:
Eclíptica é o nome dado ao plano que contém a órbita da Terra.
A unidade astronômica (UA) é uma unidade de comprimento baseada na distância média da
Terra ao Sol: 1 UA = 149,6 . 109 m.
A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL DE NEWTON
“A força entre duas massas m1 e m2, separadas pela distância r é atrativa e age ao longo da
linha que une as massas”
F12 =
Gm1m2
r2
^
r 12
(2)
Com F 12 = − F 21 e a constante da gravitação universal é dada por G = 6,67 × 10 −11
Nm 2
Kg 2
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
Como P=mg=F => mg =
GMm
r2
. Logo, g =
GM
=> g =
r2
GM
( R + h) 2
(3)
Se h é desprezível em comparação com o raio da Terra, isto é, h<<R, podemos escrever:
gT =
GM
RT 2
Com M T = 5,98 × 10 24 Kg e RT = 6,37 × 10 6 m obtém-se g T = 9,81
m
s2
MOVIMENTO DE PLANETAS E SATÉLITES
Considerando o movimento de um satélite em uma órbita circular em torno da Terra
Da
2 a.
GMm
ma c = 2
r
Lei
de
Newton
=>
F=ma.
Mas,
F=
GMm
r2
e
ac =
v2
, logo
d
v 2 GM
GM
4π 2 GM
2π
2
⇒
= 2 . Com v = ωr onde ω =
⇒ 2 = 3 .
=> (ωr ) =
r
T
r
r
T
r
Resulta na Lei dos Períodos de Kepler (3a. Lei de Kepler):
T2 =
4π 2 3
r
GM
(4)
Podemos notar, portanto, que a velocidade de translação do satélite e o seu período não dependem
de sua massa, mas apenas do raio de sua órbita e da massa do planeta em torno do qual órbita.
Exercício 1: Para determinar a densidade de um planeta esférico de raio R, deixa-se uma nave
espacial viajar em órbita circular de raio r, desprezível na presença de R (R+r~R), em torno
do planeta, e mede-se o período de rotação (T) da nave. Mostre que a densidade do planeta
(µ) pode ser determinada pela expressão µ =
3π
GT 2
.
Satélite geo-estacionário
O satélite geo-estacionário, ou simplesmente satélite estacionário, é aquele que
permanece em repouso em relação a um observador fixo na superfície do planeta. Sua órbita
deve ser circular e contida no plano equatorial da Terra.
O período de translação de um satélite geo-estacionário deve coincidir com o período
de rotação da Terra ao redor de seu eixo, isto é, 24 h. Podemos determinar o raio da órbita
utilizando a Eq. (4). O seu raio orbital (Exercício 2) é 42240 km; como o raio da Terra é de
aproximadamente 6400 km, concluímos que o satélite deve ficar em uma órbita a 35840 km
acima da superfície terrestre.
Exercício 2: Mostre que um satélite geo-estacionário deve estar em uma órbita a aproximadamente
35840 km acima da superfície terrestre.