Universidade do Algarve
Departamento de Fı́sica
Problemas
de Mecânica
Orlando Camargo Rodrı́guez
Faro, 19 de Setembro de 2005
Capa:
Relativiteit
(Relatividade)
por:
M.C. Escher
2
1
Análise dimensional
Problema 1 Uma unidade de energia usada comummente pelas companhias de electricidade corresponde ao QuiloWatt-Hora (kWh). Determine o valor equivalente de 1 kWh
em unidades do SI.
Problema 2 A posição de um ponto material é dada por x = kv 2 m, onde v representa
a velocidade, e k é uma constante. Determine as unidades de k.
Problema 3 A posição de um ponto material é dada por x = ka2 m, onde a representa
a aceleração, e k é uma constante. Determine as unidades de k.
Problema 4 A aceleração de um ponto material é dada por a = kv 2 m/s2 , onde v
representa a velocidade, e k é uma constante. Determine as unidades de k.
Problema 5 Uma grandeza T depende de duas grandezas g e R através da expressão:
s
T = 2π
R
,
g
onde [g] = m/s2 e [R] = m. Determine as unidades de T .
Problema 6 Considere um ponto material que se desloca em linha recta ao longo do
eixo x de acordo com a lei:
x(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 m .
Determine as dimensões das constantes a0 , a1 , a2 e a3 .
Problema 7 Considere um ponto material que se desloca de acordo com a seguinte lei:
x(t) = a0 t sin(ωt) + a1 cos(ωt) m .
Determine as dimensões das constantes a0 , a1 e ω.
Problema 8 Um ponto material em movimento rectilı́neo tem uma aceleração dada pela
seguinte lei:
m
a(t) = a0 + a1 t2 2 .
s
Determine as dimensões das constantes a0 e a1 .
Problema 9 Um ponto material move-se em linha recta de acordo com aceleração
m
a(t) = a0 t + a1 eγt + a2 sin(ωt) 2 .
s
Determine as dimensões das constantes a0 , a1 , a2 , γ e ω.
Problema 10 De acordo com a Lei de Gravitação Universal de Newton a intensidade
da força atractiva entre dois corpos de massa m1 e m2 , separados por uma distância r, é
dada pela expressão
m1 m2
F =γ 2 .
r
Tendo em conta que no sistema SI de unidades [m1 ] = [m2 ] = kg, [F ] = N e [r] = m,
determine as unidades de γ.
1
2
Cálculo Vectorial
Problema 11 Desenhe numa folha de papel quadriculado os seguintes vectores: v =
(v, θ) = (30mm,0◦ ), (30mm,45◦ ), (30mm,90◦ ), (30mm,120◦ ), (30mm,180◦ ), (30mm,-90◦ ),
(45mm,30◦ ), (45mm,210◦ ) e (45mm,-150◦ ).
Problema 12 Desenhe numa folha de papel os vectores v1 = (40mm,30◦ ) e v2 = (65mm,60◦ ). Calcule v1 + v2 .
Problema 13 Desenhe numa folha de papel quadriculado os seguintes vectores: v =
(x, y) = (20mm,30mm), (30mm,20mm), (20mm,-30mm), (-20mm,30mm) e (-20mm,-30mm).
Problema 14 Transforme de notação polar para cartesiana, e viceversa, os seguintes
vectores:
a) v = (v, θ) = (15mm,30◦ ), (15mm,90◦ ), (15mm,120◦ ), (15mm,-120◦ );
b) v = (x, y) = (20mm,10mm), (20mm,-10mm), (-20mm,-10mm), (-20mm,10mm).
Problema 15 Na Fig.1 estão representados os vectores v1 e v2 , de módulos 7 e 8
unidades, respectivamente, α = 45◦ . Determine:
a) S = v1 + v2 ;
b) D = v1 − v2 ;
c) o ângulo que S e D formam com o eixo X(+).
Y
v1
α
v2
X
Figura 1
Problema 16 Determine a resultante das forças representadas na Fig.2 e o ângulo que
esta faz com a horizontal, sabendo que α = 20◦ , β = 60◦ , F1 = 300 N e F2 = 200 N.
Problema 17 Um navio de carga, avariado, é arrastado por três rebocadores, como
mostra a Fig.3. Sabendo que a tensão em cada cabo é 5000 N, e que α = 20◦ , β = 10◦ , γ
= 15◦ , determine a força resultante que actua na proa do navio, utilizando as componentes
das forças num sistema de coordenadas cartesianas.
2
F1
F2
β
α
X
Figura 2
Problema 18 Um corpo colocado num foguete é largado na horizontal do alto de uma
torre. Admitindo que a aceleração provocada pelo foguete é horizontal e de valor 20 m/s2 ,
calcule a aceleração a que fica sujeito o corpo (considere g = 10 m/s2 ).
Problema 19 Determine a resultante de três forças de intensidade iguais a F1 = 1 N,
F2 = 2 N e F3 = 3 N (ver Fig.4), cujas direcções e sentidos são as diagonais das três faces
contı́guas de um cubo, orientadas do vértice comum para o vértice oposto da respectiva
face.
Problema 20 Prove que:
a) se o módulo da soma e a diferença de dois vectores são iguais então os vectores são
perpendiculares;
b) se a soma e a diferença de dois vectores são perpendiculares, então os dois vectores
têm módulos iguais.
Problema 21 Utilizando a definição do produto interno deduza a lei do co-seno.
Problema 22 Determine o produto interno e o módulo do produto externo de dois vectores de módulos 6 e 7 unidades, se o ângulo entre os mesmos é de 60◦ .
Problema 23 Dados os vectores u = ex + 2ey + ez e v = ex + ey − ez determine:
a) os módulos dos dois vectores;
b) a soma e a diferença vectorial e os seus módulos;
c) o produto interno ;
d) o produto externo e o módulo do mesmo;
e) o ângulo entre u e v.
Problema 24 Demonstre, usando coordenadas esféricas, que v 2 = vx2 + vy2 + vz2 .
3
R1
α
β
γ
X
R2
R3
Figura 3
Problema 25 Determine o módulo de um vector que faz um ângulo de 45◦ com o eixo
X(+) e de 60◦ com o eixo Y (+), se sabemos que a sua componente vz = 3; escreva o
Z
F3
F1
F2
X
Figura 4
4
Y
vector em coordenadas ortogonais (cartesianas).
Problema 26 Dado o vector u = 5ex + 3ey − 2ez determine o módulo do mesmo e os
ângulos das correspondentes coordenadas esféricas.
Problema 27 Uma força é aplicada na origem de um referencial, e tem uma direcção
determinada pelos ângulos θx = 75◦ e θz = 112◦ . Sabendo que a componente em Y , da
força, é 1250 N, determine:
a) o valor de θy ;
b) as componentes e o módulo da força.
Problema 28 Determine o ângulo formado pelos vectores a, b e c, se
a + b + c = 5ey + 3ez ,
a − 3b + 2c = 3ex + 4ey ,
2a + b − c = 4ex + 2ez .
Problema 29 Uma antena com a altura de 27 m é sustentada pelos cabos AB, AC e
AD como mostra a Fig.5, a = 17 m, b = 12 m, c = 14 m, d = 9 m, e = 8 m. Usando
o produto interno entre vectores determine o ângulo entre os cabos AB e AC e entre os
cabos AC e AD.
Problema 30 Demonstre que u × (v × w) = v (u · w) − w (u · v).
Problema 31 Dado o vector a = 2ex + ey + 2ez determine:
a) o módulo do vector;
b) o vector unitário segundo a direcção de a;
c) o ângulo formado por a e b = 3ex − 4ey ;
d) os co-senos directores de a × b.
Problema 32 Determine o valor de m para que os vectores u = mex + 5ey + 3ez e
v = 2ex − mey − ez sejam perpendiculares entre si.
Problema 33 Determine o valor de a e b para que os vectores u = aex + 3ey + ez e
v = 2ex + bey + 2ez sejam colineares entre si.
Problema 34 Determine a resultante de dois vectores v1 e v2 , sabendo que a projecção
da resultante sobre um deles vale 4, que v1 · v2 = 0, e que |v1 × v2 | = 12.
Problema 35 Dados os vectores a + b = 11 (ex − ey ) + 5ez e a − b = −5ex + 11ey + 9ez
determine:
a) a e b;
5
Figura 5
b) o ângulo entre a e a + b.
Problema 36 Três vectores v1 , v2 e v3 , de módulos 1, 2 e 3, estão aplicados respectivamente nos vértices A, B e C de um triângulo equilátero. As direcções e sentidos dos
−→
−→
−→
vectores são segundo AB, BC e CA. Determine a resultante.
Problema 37 Dados os vectores u = ex + 3ey + 2ez e v = ex + ey − ez determine:
a) os módulos;
b) o vector soma;
c) o produto interno;
d) o produto externo;
e) o ângulo entre os vectores.
Problema 38 Determine o módulo da resultante de dois vectores v1 e v2 , que fazem um
ângulo de 120◦ e têm módulos 1 e 2.
Problema 39 Determine o módulo da resultante de três forças perpendiculares entre si,
de módulos 2, 3 e 4 N.
6
Problema 40 Dados os vectores u = 2ex − 4ey + 2ez e v = 4ex + 3ey − 5ez determine:
a) a soma dos mesmos;
b) o produto interno;
c) os módulos dos vectores e os co-senos directores;
d) o ângulo formado pelos dois vectores.
Problema 41 Dados os vectores u = 3ex + 4ey e v = 3ey − 4ez determine:
a) os módulos dos vectores;
b) os co-senos directores;
c) o produto interno;
d) o produto externo;
e) o ângulo entre os mesmos.
Problema 42 Calcule a distância mı́nima entre os pontos B(2, 3, 1) e a recta que passa
pelos pontos B1(1, 2, 4) e B2(5, 1, 2).
Problema 43 Um tetraedro é um corpo sólido, limitado por quatro superfı́cies triangulares (triângulos regulares). Considere um tetraedro com os vértices nos pontos (0,0,0),
(2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2). Determine:
a) o vector que representa cada uma das faces;
b) o vector que representa todo o tetraedro;
c) o valor da superfı́cie do tetraedro.
7
3
3.1
Cinemática
Movimento Geral
Problema 44 O vector posição de um ponto material é dado por:
1
r(t) = tex + t2 ey + tez m .
2
Determine:
a) o vector velocidade e o seu módulo;
b) o vector aceleração e o seu módulo.
Problema 45 O vector posição de um ponto material é dado por:
r(t) = 3t2 ex + tey m .
a) Determine a velocidade e a aceleração no instante t = 3 s;
b) classifique o movimento;
c) escreva a equação cartesiana da trajectória.
Problema 46 A equação vectorial do movimento de um ponto material é:
r(t) = t2 + 1 ex + (3t − 2) ey + 2t3 − 4t2 ez m .
Determine a velocidade e aceleração da partı́cula no instante t = 2 s.
Problema 47 Considere novamente o vector posição
1
r(t) = tex + t2 ey + tez m .
2
Determine:
a) a aceleração tangencial e o seu módulo;
b) a aceleração normal e o seu módulo;
c) o raio de curvatura da trajectória.
Problema 48 As coordenadas da posição de um ponto material são dadas por x(t) =
2t3 − 4t m e y = 2t m. Determine:
a) o instante em que a aceleração se reduz à sua componente normal;
b) determine para esse instante o raio de curvatura.
8
3.2
Movimento Rectilı́neo
Problema 49 Um ponto material desloca-se numa dada direcção, sendo a sua posição
em cada instante dada por x(t) = 5t2 + 1 m. Calcule a velocidade média nos seguintes
intervalos de tempo: [2 , 3] s, [2 , 2,1] s, [2 , 2,001] s, [2 , 2,0001] s e [2 , 2,00001] s.
Compare os resultados com o valor da velocidade instantánea no instante t = 2 s.
Problema 50 Determine a velocidade e a aceleração médias de um ponto material no
intervalo de [0 , 5] e [0 , 10] segundos, sendo o seu movimento dado pelo gráfico de
velocidade ilustrado na Fig.6.
Problema 51 Considere um ponto material que se desloca em linha recta ao longo do
eixo x de acordo com a lei:
x(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 m .
Determine: a) a velocidade do ponto material para t = 1 s com a0 = 4 m, a1 = 3 m/s, a2
= 2 m/s2 e a3 = 1 m/s3 ; b) a aceleração como função do tempo.
Problema 52 Considere um ponto material que se desloca de acordo com a seguinte lei:
x(t) = a0 t sin(ωt) + a1 cos(ωt) m .
Determine: a) v(t) e a(t); b) os gráficos de x(t), v(t) e a(t) com a0 = 1 e a1 = 0.
Problema 53 Um ponto material em movimento rectilı́neo tem uma aceleração dada
pela seguinte lei:
m
a(t) = a0 + a1 t2 2 .
s
Determine: a) a velocidade do ponto material para t = 1 s sabendo que a velocidade
inicial é nula; b) a posição do ponto material para t = 1 s, sabendo que no instante inicial
t = 0 s a sua posição inicial era x(0) = 0 m.
5
4
v (m/s)
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
t (s)
Figura 6
9
6
7
8
9
10
Problema 54 Um ponto material move-se em linha recta de acordo com aceleração
a(t) = a0 t + a1 eγt + a2 sin(ωt)
m
.
s2
Determine: a) a velocidade do ponto material para t = π s sabendo que v(0) = 1 m/s; b)
a posição como função do tempo considerando que a posição inicial é dada por x(0) = 2
m.
Problema 55 Determine v(t) e a(t) para a partı́cula cuja posição obedece à seguinte lei:
x(t) = 12 − 8t + t2 m .
Comente o tipo de movimento.
Problema 56 Uma partı́cula move-se ao longo do eixo x segundo a lei:
x(t) = t3 − 3t2 − 9t + 5 m .
Comente o tipo de movimento.
Problema 57 A posição de um ponto material em movimento rectilı́neo é dada por:
x(t) = t3 − 6t2 − 15t + 40 m .
Determine: a) o instante t1 em que v(t1 ) = 0 m/s; b) x(t1 ) ; c) o espaço percorrido até
esse instante; d) a(t1 ); e) a distância percorrida entre 4 e 5 s.
Problema 58 Um ponto material em movimento rectilı́neo parte do repouso com uma
aceleração de 10 m/s2 que decresce linearmente até se reduzir à metade ao fim de 2 s.
A partir desse instante o ponto move-se com aceleração constante durante 60 s, findos
os quais actua sobre ele uma retardação constante que o faz parar ao fim de 10 s. a)
Represente graficamente a aceleração e a velocidade como funções do tempo; b) calcule a
velocidade máxima atingida e o valor da retardação.
Problema 59 Um comboio tem uma velocidade máxima de 144 km/h, um máximo de
aceleração de 0,25 m/s2 e um máximo de desaceleração de 0,5 m/s2 . O comboio pára
em duas estações distanciadas de 30 km. Calcule o tempo mı́nimo que leva a ir de uma
estação a outra.
Problema 60 O gráfico da Fig.7 representa o valor da velocidade de um ponto material
em função do tempo. A trajectória é uma linha recta e, inicialmente, o ponto material
desloca-se para norte. a) Indique em qual dos três intervalos de tempo ([2,3] s, [4,5] s, e
[6,7] s) i) é máxima a velocidade média para norte; ii) é mı́nima a distância percorrida; b)
para além do instante da partida, em que instantes esteve o ponto material em repouso?;
c) determine a(t = 3 s); d) durante o intervalo de tempo [2,5] s qual foi: i) a distância
percorrida pelo ponto material? ii) o deslocamento do ponto material; e) em que instante
esteve o ponto material a sua maior distância, para norte do ponto de partida? f) se as
áreas situadas dos dois lados do eixo do tempo fossem iguais, qual a posição do ponto
material no instante t = 7 s; g) construa o o gráfico a(t) para o movimento deste ponto
material no intervalo de tempo [0,7] s. Admita que no intervalo de tempo [6,7] s a
aceleração varia linearmente com o tempo segundo a lei a = −5t + 70 m/s2 .
10
10
v (m/s)
5
0
−5
0
1
2
3
4
5
6
7
t (s)
Figura 7
Problema 61 A aceleração de um ponto material em movimento rectilı́neo é directamente proporcional ao tempo, para além de que v(0) = 9 m/s. Sabendo que no instante
t = 3 s a velocidade e coordenadas da posição do ponto material são nulas, escreva a
equação do movimento da partı́cula.
Problema 62 Um ponto material desloca-se em linha recta com velocidade inicial v0 6= 0
e aceleração constante a. Quando atinge a velocidade de 5v0 , a aceleração muda de sentido
ficando a sua grandeza inalteravel. Qual a velocidade do ponto material no instante em
que volta a passar no ponto de partida?
Problema 63 Duas partı́culas materiais separadas por uma distância S, partem, com
velocidades iniciais nulas, ao seu mútuo encontro, animadas de acelerações do mesmo
módulo e sentidos opostos, encontrando-se ao fim de 10 s. Qual o incremento a dar à
aceleração de uma delas para que se encontrem ao fim de 5 s? .
Problema 64 Um corpo tem aceleração constante de 9,8 m/s2 e parte do repouso.
Sabendo que durante o último segundo percorre 3/4 do percurso, determine o espaço
total percorrido e o tempo gasto no mesmo.
Problema 65 A posição de um ponto material dada é por x(t) = A sin(ωt+φ).
Sendo v0
q
2
e x0 a velocidade e posição iniciais mostre que: a) tan φ = x0 ω/v0 ; b) A = x0 + (v0 /ω)2 .
Problema 66 Uma pedra é lançada com velocidade inicial v0y = 2 m/s, ficando sujeita
à aceleração da gravidade g. Calcule a altura máxima atingida pela pedra, a velocidade
com que chega ao chão e o tempo que leva a ir e a vir.
Problema 67 Uma pedra é lançada para dentro de um poço. Ao fim de 2 s ouve-se o
bater da pedra na água. A que profundidade é que está a superfı́cie da água do poço?
(considere que vsom = 340 m/s).
11
Problema 68 Um automóvel de massa 1000 kg acelera partindo do repouso. Durante os
primeiros 10 s a força resultante que actua sobre ele é dada por F (t) = F0 − Kt onde F0
= 10000 N e K = 200 N/s, sendo t o tempo gasto desde o arranque. Calcule a velocidade
ao fim de 10 s de movimento e também a distância percorrida (comentário: pela segunda
lei de Newton F = ma).
Problema 69 A aceleração de um ponto material é dada por a(t) = kt2 m/s2 . Determine: a) a constante k sabendo que v(0) = -24 m/s e que v(t = 4 s) = 40 m/s; b) escreva
as equações do movimento, sabendo que x(t = 2 s) = 6 m.
Problema 70 A aceleração de um ponto material é dada por a = −kv 2 m/s2 onde v
representa a sua velocidade. O ponto material parte do repouso com velocidade inicial de
20 m/s e quando atinge o ponto x = 100 m a sua velocidade é de 15 m/s. Determine: a) a
distância percorrida até a velocidade atingir o valor v = 10 m/s; b) a distância percorrida
até que a velocidade se anule.
12
3.3
Cinemática de Projécteis
Problema 71 Um projéctil é disparado com velocidade inicial de 60 m/s, segundo um
ângulo de 60◦ com a horizontal. Calcule: a) o alcance horizontal; b) a altura máxima; c)
a velocidade após 3 s do disparo; d) a velocidade e o tempo decorrido quando o projéctil
está a 100 m de altura.
Problema 72 Uma bola é lançada do cimo de uma torre (ver Fig.8(a), h = 35 m, θ =
25◦ ) com uma velocidade inicial v0 = 80 m/s. Determine:
a) o tempo que a bola demora a atingir o chão e a distância horizontal correspondente
R;
b) a intensidade (i.e. o módulo) e direcção da velocidade no momento do impacto.
Problema 73 Um projéctil é disparado com velocidade inicial de 240 m/s contra um
alvo situado a 600 m acima do nı́vel da arma e a uma distância de 3600 m da mesma.
Determine o valor do ângulo de disparo.
Problema 74 Um jogador atira uma bola com velocidade inicial de 15 m/s, de uma
altura h = 1,5 m em relação ao solo (ver Fig.8(b), R = 18 m). Sabendo que a H = 6 m,
determine a altura do ponto B.
Y
θ
B
h
H
h
X
R
R
(a)
(b)
Figura 8
Problema 75 Uma avioneta em voo descendente com uma velocidade de módulo V =
360 km/h (ver Fig.9) deve largar uma boia a fim de salvar um náufrago, na origem do
sistema de coordenadas. Diga, desprezando o atrito do ar e considerando todos os objectos
pontos materiais, qual a altura da avioneta para a qual a tripulação deve largar a bóia,
sabendo que o naúfrago já não está em condições de nadar (θ = 30◦ , a = 50 m).
13
y
v
θ
x
a
Figura 9
14
3.4
Movimento Circular
Problema 76 Um ponto material descreve uma trajectória circular em torno da origem
dos eixos. A sua posição é dada, em cada instante, por
r(t) = 3 sin(2t)ex + 3 cos(2t)ey m ,
e o argumento do seno e do coseno é dado em radianos. Determine: a) v(t) e a(t) e
os módulos dos mesmos; b) escreva as componentes tangencial e normal da aceleração;
c) escreva a expressão de S(t) que dá o deslocamento sobre a circunferência; d) calcule
r(t), v(t) e a(t) para t = 0 s e t = π/4 s; qual foi o espaço percorrido entre estes dois
instantes?; e) desenhe uma circunferência centrada nos eixos cartesianos e represente sobre
ela as quantidades acima calculadas; f) calcule o ângulo descrito pelo vector de posição
entre os dois instantes referidos e a partir daı́ calcule a velocidade angular ω. Que relação
existe entre ω e S?; e entre ω e v?; g) comente o movimento.
Problema 77 Um ponto material descreve uma circunferência de acordo com a lei θ(t) =
3t2 + 2t rad. Calcule: a) a velocidade angular para o instante t1 = 4 s; b) a aceleração
angular no mesmo instante.
Problema 78 Um ponto material inicialmente em repouso é acelerado numa trajectória
circular de raio 1 m segundo a lei S(t) = t2 − 3t + 2 m. a) Escreva a expressão de θ e ω;
b) calcule o valor da aceleração normal e da aceleração tangencial para o instante t1 = 1
s.
Problema 79 Um carro desloca-se com velocidade constante numa curva de raio 1000
m. Sabendo que a componente normal da aceleração não pode exceder 0,7 m/s2 determine
a velocidade máxima com que a curva pode ser feita.
Problema 80 Um ponto material percorre um arco de cı́rculo de 0,4 m de raio com
velocidade que varia segundo a lei v(t) = (4 − 30t) m/s. Determine para t = 0 s a
aceleração do ponto material e o ângulo que a aceleração faz com a velocidade.
Problema 81 Calcule a velocidade angular da terra, a velocidade e a aceleração normal
de um ponto situado no equador (consulte a tabela de constantes fı́sicas para encontrar o
raio da terra).
Problema 82 Um carro, movendo-se com a velocidade de 97 km/h, tem rodas de diâmetro 76 cm. a) Calcule a velocidade angular das rodas; b) se o carro parar após 30 rotações,
calcule a aceleração angular das rodas; c) que distância percorre o carro durante esse
tempo? (considere a retardação constante).
Problema 83 Dois pontos materiais podem descrever uma trajectória circular de raio 1
m. Partem no mesmo instante e no mesmo ponto em sentidos contrários; um deles tem
velocidade inicial de 5 m/s e aceleração tangencial de 2 m/s2 ; o outro move-se segundo a
lei S(t) = −t2 + 5t m. Determine o instante em que os corpos se encontram.
15
3.5
Movimento Curvilı́neo
Problema 84 O braço OA gira em redor de O e o seu movimento é definido pela relação
θ(t) = 1, 55 − t2 rad. O cursor desliza ao longo do braço, sendo o seu deslocamento em
relação a O dado por r(t) = 1 − 0, 13t2 m. Determine a velocidade e aceleração do cursor
após o braço ter girado 30◦ (ver Fig.10).
Y
r
θ
X
Figura 10
16
3.6
Movimento Dependente
Problema 85 Determine as relações entre as posições, velocidades e acelerações dos blocos nos casos das Figuras 11(a) e 11(b).
A
A
C
B
B
(a)
(b)
Figura 11
Problema 86 Sabendo que ∆xA = 4 m, vA (t1 ) = 6 m/s, v = 1,5 m/s (constante) e que
vA (0) = 0 m/s, determine ∆xB , vA (t), vB (t), a1 , a2 e t1 na Fig.12.
A
B
v
Figura 12
3.7
Movimento Relativo
Problema 87 Um avião deve voar rumo norte de A para B, e então voltar para A. A
distância entre A e B é L. A velocidade do avião em relação ao ar é Va , e a velocidade
17
de ar é Vv . Prove que:
a) o tempo para uma viagem de ida e volta quando não há vento (Vv = 0) é:
Ta =
2L
;
Va
b) o tempo para uma viagem de ida e volta quando o vento sopra para leste (oeste) é:
Ta
Tb = q
1 − (Vv /Va )2
;
c) quando o vento sopra para norte (sul), o tempo para uma viagem de ida e volta é:
Ta =
Ta
;
1 − (Vv /Va )2
d) qual a possibilidade das viagens b) ou c) quando Vv = Va ? explique; e) para um dado
valor de Vv , que tempo será maior, Tb ou Tc ?.
Problema 88 Seja Va = 250 km/h a velocidade de um avião relativamente ao ar, e Vv
= 35 km/h a velocidade do vento na direcção norleste. O objectivo é ir de A para B na
direcção 25◦ noroeste. Determine a direcção de vôo que deverá ter o avião para chegar ao
seu destino e a velocidade resultante.
Problema 89 Um comboio desloca-se com velocidade -20ex m/s. O passageiro A move-se em relação ao comboio com velocidade ex + 2ey m/s. O passageiro B desloca-se em
relação a um objecto fixo no exterior com velocidade -21ex − 2ey m/s. Calcule:
a) a velocidade do passageiro A em relação ao exterior;
b) a velocidade do passageiro B em relação ao passageiro A.
Problema 90 Um estudante dirigindo a 80 km/h sob uma uma tempestade, observa que
a chuva deixa nas paredes laterais marcas inclinadas de 80◦ com a vertical. Ao parar o
carro ele nota que a chuva cai verticalmente. Calcule a velocidade da chuva relativamente
ao carro, quando: a) este está parado; b) este se move a 80 km/h.
Problema 91 Qual devia ser a duração do dia na terra para que um corpo, situado no
equador, se encontrasse no estado de imponderabilidade (ausência de peso)?
Problema 92 Suponha que um corpo cai de uma altura de 1000 m e que a sua trajectória
é coplanar ao plano equatorial. Calcule o desvio que sofre o corpo devido a aceleração de
Coriolis. Despreze o efeito da aceleração centrı́fuga na aceleração da gravidade resultante
(g = g0 = 9,8 m/s2 ).
Problema 93 Imagine que você está a voar ao longo do equador para leste num jacto a
450 m/s. Qual é a sua aceleração de Coriolis?
18
4
Dinâmica
Problema 94 Duas forças constantes F1 e F2 actuam sobre um ponto material de massa
m, como indica a Fig.13. Considere que m = 8 kg, α = 30◦ , F1 = 4 N e F2 = 6 N.
a)Determine a aceleração do ponto material. b)Determine a velocidade V para t = 1 s,
sabendo que V (0) = 1 m/s e que tem a mesma direcção e sentido que F2 .
F
2
α
F
1
Figura 13
Problema 95 Dois blocos estão em contacto sobre uma mesa plana sem atrito. Uma
força horizontal é aplicada a um dos blocos, conforme mostra a Fig.14. a) Se m1 = 2 kg,
m2 = 1 kg e F = 3 N, achar a força de contacto entre os dois blocos. b) Mostrar que se
a mesma força F for aplicada não em m1 , mas em m2 , a força de contacto entre os dois
blocos será 2 N, de valor diferente ao encontrado em (a).
F
m
1
m
2
Figura 14
Problema 96 Um bloco com 3 kg de massa é colocado sobre outro com 5 kg. Admitir
que não há atrito entre o bloco de 5 kg e a superfı́cie sobre a qual ele repousa. O
coeficiente de atrito estático é 0,2. a) Qual é a força máxima que, aplicada no corpo
inferior, movimenta o sistema sem que os blocos se desloquem um relativamente ao outro?
b) Qual é a aceleração quando essa força é aplicada?.
Problema 97 Três blocos estão ligados como mostra a Fig.15 sobre uma mesa horizontal
lisa e são puxados para a direita com uma força T3 = 60 N. Se m1 = 10 kg, m2 = 20 kg
e m3 = 30 kg, achar as tensões T1 e T2 .
Problema 98 Um bloco de 90,7 kg está em repouso num plano horizontal. Determine
o módulo da força R necessária para produzir no bloco uma aceleração de 3 m/s2 para a
direita (ver Fig.16). O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é de 0,25, α = 30◦ .
19
m
T1
T1
1
T
2
m
T
2
2
T
m3
3
Figura 15
a
R
α
m
Fat
Figura 16
Problema 99 Um pêndulo de comprimento 2 m descreve um arco de circunferência num
plano vertical. Se a tensão na corda é 2,5 vezes o peso do pêndulo para a posição mostrada,
determine a velocidade e a aceleração do pêndulo nesta posição (θ = 30◦ ).
l
θ
Figura 17
Problema 100 Dado o sistema representado na figura, determine a tensão na corda, a
aceleração do sistema e a velocidade dos blocos no instante em que m1 se encontra a 1,5
m abaixo da posição inicial (m1 = 6 kg, m2 = 12 kg, V (0) = 0 m/s).
Problema 101 Considere o sistema representado na figura:
20
m
2
m
1
Figura 18
m
m
2
1
α
β
a) Determine a aceleração dos blocos (α = 60◦ , β = 30◦ ). b) Determine o espaço
percorrido pelos corpos ao fim de um segundo sabendo que: V (0) = 1 m/s, m1 = 1 kg,
m2 = 1 kg.
Problema 102 Suponha um comboio que se move sobre uma mesa horizontal com movimento circular e uniforme de velocidade angular ω1 = constante. Suponha que o comboio
tem uma massa m1 = 100 g e que o raio da trajectória tem 2 m. O comboio está ligado
por um fio (sem massa) a uma massa m2 = 2 g, como indica a figura. Determine que
velocidade angular deve ter o comboio para equilibrar a massa.
m
1
m
2
Problema 103 Calcule as acelerações dos corpos na figura e a tensão no fio.
(a)
m
(b)
2
m
m
1
2
F
m
F
1
21
Problema 104 Considere o sistema indicado na figura. Supondo que a roldana está
animada de um movimento vertical com aceleração constante a0 , determine a aceleração
de cada uma das massas m1 e m2 e a tensão da corda (despreze a força de atrito).
a
0
g
m
1
m
2
Problema 105 Mostre que as acelerações dos corpos nos casos (a) e (b) da figura abaixo
ilustrada correspondem a
a) a1 = 4m2 m3 P , a2 = (m1 m3 − m1 m2 − 4m2 m3 )P , a3 = (m1 m3 − m1 m2 + 4m2 m3 )P , e
b) a1 = (4m2 m3 − m1 m2 − m1 m3 )P , a2 = (3m1 m3 − m1 m2 − 4m2 m3 )P , a3 = (m1 m3 −
3m1 m2 + 4m2 m3 )P , onde
P =
g
.
m1 m2 + m1 m3 + 4m2 m3
m
1
(a)
m
(b)
1
m
3
m
2
m
2
m
3
Problema 106 Um objecto é lançado com velocidade inicial V0x , estando sujeito a uma
força de atrito proporcional à velocidade: Fat = kηV , em que η é a viscosidade e k o
factor forma.
a) Escreva a equação do movimento.
22
b) Determine a velocidade em função do tempo. Esboce o gráfico.
c) Determine a posição em função do tempo, partindo da posição inicial x0 . Que espaço
percorre o objecto até parar?
Problema 107 Um paraquedista salta da altura de 2000 m e mantém o paraquedas
fechado até a altura de 600 m. Nesse instante abre-o e desce até o solo. A massa do
homem é de 80 kg, e a do paraquedas de 20 kg. A superfı́cie do paraquedas aberto é da
ordem de 50 m2 e a superfı́cie do homem exposta ao ar é estimada em 0,25 m2 . Considere
que a resistência do ar é dada por uma força oposta ao movimento Fat = 2ρSV 2 , em que
ρ é a massa especı́fica do ar (1,2 kg/m3 ) e S é a superfı́cie de atrito.
a) Determine as velocidade limites do homem com o paraquedas fechado e aberto. Escreva
a equação de movimento do paraquedista considerando que quando o paraquedas se abre
a sua velocidade passa instantaneamente a ser igual à velocidade limite.
b) Determine a velocidade em função da posição V (x).
c) Determine a velocidade em função do tempo.
23
5
Estática
Problema 108 Determine o centro de massas de um sistema constituı́do por quatro
partı́culas, distribuı́das pelas posições r1 = (0, 0) m, r2 = (3, 4) m, r3 = (6, 0) m e r4 =
(−3, 2) m, respectivamente (notação cartesiana). As massas das partı́culas correspondem
a m1 = 5 kg, m2 = 30 kg, m3 = 15 kg e m4 = 25 kg.
Problema 109 Determine o momento total que o sistema de forças F1 = ex + 2ey + 3ez
N, F2 = −ex + 3ey + ez N e F3 = 2ex + ey + 2ez N produz quando as forças são aplicadas
num ponto A de coordenadas ( 2 , 3 , 1 ) m.
Problema 110 Demonstre que o sistema de forças definido pelos vectores F1 = 3ex +
4ey + 4ez N e F2 = −2ex + 5ey + ez N, aplicados nos pontos A = ( 4 , 5 , 0 ) m e B = (
4 , -1 , 8 ) m, respectivamente, não pode ser reduzido a um sistema com uma única força
resultante.
Problema 111 A força P é aplicada a uma pequena roda de massa desprezável que se
desloca sobre um cabo inextensı́vel ABC (ver figura). Determine P sabendo que a tensão
nas duas partes do cabo é de 600 N, e que α = 45◦ e β = 65◦ .
A
α
C
β
B
P
Problema 112 Determine o intervalo de valores que a massa m0 pode ter, de maneira
que o bloco de 100 kg da figura não deslize nem para cima nem para abaixo ao longo do
plano. O coeficiente de atrito estático para as superfı́cies em contacto é de 0,3 (α = 20◦ ).
m
1
m
α
0
Problema 113 Uma barra uniforme AB tem um comprimento L = 4 m e tem uma
massa m1 = 100 kg. Entre A e B existe um ponto C em torno do qual a barra pode rodar
(ver figura, AC = 2,5 m). Um homem de massa m2 = 75 kg parte de A em direcção a B.
24
Determine a distância máxima percorrida pelo homem antes da barra começar a rodar
em torno do ponto C.
A
C
B
Problema 114 a) Prove que a barra AB está em equilı́brio se for satisfeita a condição:
m1 (m2 + m3 )l1 = 4m2 m3 l2 ;
b) calcule a força que o ponto de apoio exerce na barra.
l
l
1
2
A
B
m
1
m
2
m
3
Problema 115 Uma escada AB, de massa m = 30 kg e comprimento L = 8 m, está em
equilı́brio apoiada numa parede vertical sem atrito. Calcule a acção sobre a escada nos
pontos A e B, bem como a direcção no ponto A (α = 60◦ ).
25
Y
A
F3
F2
C
W
α
B
X
F1
Problema 116 Uma barra leve AD está suspensa por um cabo BE e suporta um bloco
de massa m = 20 kg, preso no ponto C. As extremidades A e D da barra estão em
contacto sem atrito com as paredes verticais. Determine a força de tracção no cabo BE
e as reacções nos pontos A e D. Indique o diagrama de forças; considere a = 1,25 m, b =
0,75 m, c = 1,75 m e d = 2 m.
E
a
b
c
D
C
d
A
B
m
Problema 117 Determine o momento duma força de intensidade F = 6 N (ver figura)
para abrir uma porta de comprimento L = 0,8 m (α = 45◦ ).
26
Parede
Porta
α
L
F
Problema 118 Determine a resultante das quatro forças tangentes a um cı́rculo de raio
r = 3 m (ver figura), e o momento resultante em relação ao centro do cı́rculo. Considere
F1 = 150 N, F2 = 50 N, F3 = 100 N e F4 = 80 N (α = 30◦ ).
Y
F1
F2
X
α
F4
F3
Problema 119 Determine as coordenadas do centro de massas, ou centroide, da figura
abaixo ilustrada.
Y
h
-r
r
X
Problema 120 Determine o centro de massas das figuras limitadas pelas seguintes curvas: a) y = kx para x ∈ [0, a]; b) y = kx3 para x ∈ [0, a]; c) y = 4x para x ∈ [0, 1] e y = 4
para x ∈ [1, 2]; e d) y = 3 sin x para x ∈ [0, π].
27
6
Trabalho, Potência e Energia
Problema 121 Um corpo é atraı́do, para a origem, por uma força dada por: F = −6x3 .
Determine o trabalho necessário para transportar o corpo da posição x = 1 m para a
posição x = 2 m.
Problema 122 Determine o trabalho realizado por um homem, ao exercer uma força de
245 N para arrastar um saco de farinha de 65 kg, ao longo de uma distância de 10 m, e
para levantar o mesmo saco até uma altura de 75 cm. Qual a potência média desenvolvida,
se todo o processo foi realizado em 2 minutos?
Problema 123 Um corpo de massa 4 kg move-se para cima num plano inclinado (α =
20◦ ). As seguintes forças actuam sobre o corpo: uma força horizontal de 80 N, uma força
de 100 N, paralela ao plano inclinado no sentido do movimento, e uma força constante de
atrito de 10 N. O corpo desliza ao longo de 20 m sobre o plano. Determine o trabalho de
cada uma das forças e o trabalho total, realizado pelo sistema de forças.
Problema 124 Um corpo de 0,1 kg de massa cai de uma altura de 3 m, sobre um monte
de areia. Se o corpo afunda 3 cm antes de parar, qual o módulo da força que a areia
exerceu sobre o corpo?
Problema 125 Um homem com 80 kg de massa caminha, para acima, num plano inclinado (α = 10◦ ) com uma velocidade de 6 km/h. Determine o valor da potência desenvolvida.
Problema 126 Um automóvel sobe uma rampa inclinada (α = 3◦ ), com velocidade de
45 km/h. A massa do mesmo é 1600 kg. Qual é a potência desenvolvida pelo motor?
qual é o trabalho realizado em 10 s? despreze as forças de atrito.
Problema 127 Sob a acção da força F = 3ex + 4ey uma partı́cula desloca-se segundo
uma certa trajectória no plano xy, do ponto 1 ao ponto 2 (definidos pelos vectores-posição
r1 = ex + 2ey e r2 = 2ex − 3ey respectivamente). Calcule o trabalho realizado pela força.
Problema 128 Uma locomotiva, de√massa m, parte de uma estação com uma velocidade
tal que varia segundo a lei V = α x, onde x é a posição da locomotiva e α é uma
constante. Determine o trabalho realizado pelas forças externas, aplicadas à locomotiva,
nos primeiros t segundos de movimento.
Problema 129 Um corpo, que escorrega por uma superfı́cie irregular com velocidade
inicial de 50 m/s e massa de 8 kg, pára devido ao atrito. Determine o trabalho da força
de atrito e a distância percorrida pelo corpo, considerando que a força de atrito é constante
e igual a 60 N.
Problema 130 Considere um copo hemisférico, como mostra a figura. Supondo que se
deixe cair, de θ = 90◦ , um corpo de massa 0,1 kg e sabendo que a tensão máxima que o
copo suporta é de 2 N, determine o ângulo para o qual o copo se parte. Sugestão: aplique
primeiro a 2a. Lei de Newton ao movimento do corpo e em seguida aplique a Lei de
Conservação da Energia.
28
θ
Problema 131 Uma pequena bola de aço com 1 kg de massa está ligada à extremidade
de um fio de 1 m de comprimento, girando num cı́rculo vertical com uma velocidade
angular constante de 120 rad/s. Calcule a sua energia cinética. Se em lugar da velocidade
angular for a energia total que permanece constante, qual será a variação da energia
cinética e da velocidade angular entre o topo e a parte mais baixa do cı́rculo? (considere
a velocidade angular no topo do cı́rculo igual a 120 rad/s).
Problema 132 Exprima, em eV, a energia de: a) um electrão; b) um protão (considere
v = 1×106 m/s, 1 eV = 1,6×10−19 J).
Problema 133 Determine a velocidade de um protão que tem uma energia cinética de
3×105 eV.
Problema 134 Um menino de massa m está sentado sobre um monte de gelo de forma
semiesférica (ver figura). Se ele começar a deslizar a partir do repouso (considere o gelo
sem atrito) em que ponto P perderá contacto com o monte?
P
R
θ
Problema 135 Um corpo com 0,5 kg de massa é largado de uma altura de 1 m sobre
uma pequena mola vertical que tem uma extremidade presa ao solo. A constante da mola
é k = 2000 N/m. Determine a deformação máxima da mola.
Problema 136 Um trenó com 20 kg de massa desliza de uma colina partindo de uma
altitude de 20 m. O trenó parte do repouso e tem uma velocidade de 16 m/s quando
atinge o fim da encosta. Determine a perda de energia devida ao atrito.
Problema 137 Uma massa de 2 kg ligada a um fio de um metro de comprimento, com
o outro extremo fixo, é deslocada de um ângulo de 30◦ com a vertical e abandonada.
Determine a velocidade da massa quando o fio forma um ângulo de 10◦ com a vertical.
29
Problema 138 Um corpo de massa 2 kg desliza por um plano inclinado. Determine a
altura que deverá ter o plano inclinado para o corpo atingir a velocidade de 4 m/s na base
do plano.
Problema 139 Abandona-se um bloco de 400 g do ponto A (ver figura), quando a mola
que esta debaixo do bloco está comprimida de 8 cm. O bloco move-se pelo arco ABCD.
Determine o valor mı́nimo da constante k da mola, para que o bloco não perca o contacto
com o arco durante todo o movimento (considere g = 10 m/s2 , h = 0,5 m, R = 0,2 m).
C
R
B
D
h
A
Problema 140 Dados a massa m de uma esfera e o raio R do cı́rculo, determine a altura
mı́nima h, da qual deve partir a esfera, para completar com sucesso a curva em laço
mostrada na figura. Suponha que a bola desliza sem rodar e sem atrito e que a sua
velocidade inicial é nula.
h
Problema 141 Determine o valor ∆X em que a mola, representada na figura, deve ser
comprimida para que um ovo, de massa 10 g, colocado na sua extremidade, atinja o alvo
indicado na figura. A constante elástica da mola é k = 1 N/m, h = 10 m, R = 0,5 m
e g = 10 m/s2 . Considere o ovo e o alvo como pontos materiais. Despreze o atrito da
superfı́cie em que está colocada a mola.
R
h
30
7
Conservação da Quantidade de Movimento
Problema 142 Duas vagonetas A e B movem-se sobre carris rectilı́neos; inicialmente B
está parada e A move-se para a direita com uma velocidade de 5 m/s. A certa altura A
choca com B; depois da colisão A começa a deslocar-se em sentido oposto àquele em que
se movia até aı́, com velocidade de 1 m/s, enquanto B passa a mover-se para a direita
à velocidade de 3 m/s. Posteriormente A, carregada com 1 kg de areia, é empurrada de
encontro a B à velocidade de 5 m/s. Depois da colisão A fica em repouso e B desloca-se
para a direita com velocidade de 5 m/s. Determine a massa de cada uma das vagonetas.
Problema 143 Um homem de massa 72 kg que se encontra de pé sobre o gelo, lança
uma bola de 1 kg horizontalmente com uma velocidade de 24 m/s. Determine:
a) a velocidade e a direcção com que o homem se desloca;
b) qual seria a força média aplicada ao homem se este lançasse quatro bolas por cada 3
segundos?
Problema 144 Uma carrinha de 1,8 T percorre a estrada rumo a leste, com velocidade
de 72 km/h. Em dado instante choca com um camião de 4 T, que se deslocava para o
sul, com velocidade de 27 km/h. Se permaneceram unidos depois do choque, qual seria o
vector velocidade depois da colisão?
Problema 145 Na reacção quı́mica H + Cl → HCl as velocidades dos átomos de Cl e
H são perpendiculares entre si. Determine a velocidade da molécula de ácido clorı́drico
sabendo que VH = 1,57×105 m/s, mH = 1,66×10−27 kg, VCl = 3,4 ×104 m/s, mCl =
5,88×10−26 kg. (nota: use valores numéricos tão exactos como possı́vel).
Problema 146 Dois objectos A e B, movendo-se sem atrito sobre uma recta horizontal,
estão em interacção. A quantidade de movimento de A é pA (t) = p0 − bt, onde p0 e b são
constantes e t é o tempo. Determine a quantidade de movimento de B como função do
tempo quando:
a) B inicialmente está em repouso;
b) a quantidade inicial de movimento de B é −p0 .
Problema 147 Dois corpos, com velocidades perpendiculares entre si, e iguais a 5 e 10
m/s respectivamente, chocam um com outro, permanecendo ligados depois disto. Determine a massa do segundo dos corpos sabendo que a massa do primeiro era de 4 kg e a
velocidade depois do choque formava um ângulo de 45◦ com a velocidade do primeiro.
Problema 148 Sobre um corpo actua uma força F = 10 + 2t (t em segundos, F em N).
Determine:
a) a quantidade de movimento do corpo;
b) a variação da quantidade de movimento entre 0 e 4 segundos;
c) o tempo t1 para o qual p(t1 ) = 200 Ns.
31
8
Gravitação e Momento Angular
Os dados dos problemas desta secção deverão ser procurados
na Tabela de Constantes Fı́sicas.
Problema 149 Determine a massa do sol com base na lei de gravitação universal de
Newton.
Problema 150 Determine a aceleração da gravidade que deve sentir um astronáuta na
superfı́cie da Lua.
Problema 151 Uma pedra de 750 g de massa está ligada a um fio de comprimento l
= 80 cm e descreve um cı́rculo horizontal. O momento angular da pedra em relação ao
centro do cı́rculo tem um módulo de 2,5 kg·m2 /s. Determine a velocidade angular da
pedra e descreva qual será o movimento da mesma se o fio se partisse repentinamente.
Problema 152 A Terra descreve uma órbita elı́ptica à volta do Sol. No afélio (ponto de
maior separação entre a Terra e o Sol) a distância entre os dois corpos celestes corresponde
a 1,521×108 km, e no perihélio (ponto de maior aproximação) a 1,471×108 km. Determine
a relação entre as velocidades da Terra nos dois pontos.
Problema 153 No perigeo (ponto de menor separação entre um satélite e a Terra) a
altura de um satélite em relação ao nı́vel do mar é de 420 km e a sua velocidade orbital
de 8,39 km/s. Determine a velocidade orbital do satélite no seu apogeo (ponto de maior
separação), quando a sua altura em relação ao nı́vel do mar é de 3820 km.
Problema 154 Determine a velocidade de escape dos foguetões que descolam do nosso
planeta.
Problema 155 Um satélite de comunicações deverá orbitara Terra a uma altura de 100
km em relação à sua superfı́cie. Determine a velocidade orbital, a aceleração e o perı́odo
de movimento do satélite.
Problema 156 A que distância da superfı́cie da Terra se deverá posicionar um satélite
geo-estacionário que orbite ao longo do equador?
Problema 157 Os vaivens espaciais costumam orbitar a Terra a uma distância de 400
quilometros em relação à superfı́cie desta. Determine a velocidade e o perı́odo orbital
correspondentes.
Problema 158 As anãs brancas são estrelas com um diâmetro bastante pequeno, aproximadamente igual ao diâmetro da terra, mas com uma massa semelhante à massa do Sol.
Determine a aceleração da gravidade na superfı́cie de uma anã branca.
Problema 159 O perı́odo de rotação da Lua à volta da Terra é de aproximadamente
27,2 dias. Determine o raio da órbita lunar e a velocidade orbital da Lua.
Problema 160 O raio da órbita de Mimas, um dos satélites de Saturno, é de 1,87×108
m, e o seu perı́odo orbital é de aproximadamente 23 horas. Determine a massa de Saturno.
32
9
Dinâmica do Corpo Rı́gido
(Em todos os problemas, para simplificar os cálculos, considere g = 10 m/s2 )
Problema 161 Um bloco de massa m1 = 3 kg encontra-se sobre um plano inclinado e
ligado por meio de um fio, que passa por uma roldana de massa mR = 1 kg e raio R =
10 cm, a outro bloco de massa m2 = 9 kg. Sendo µ = 0,1 o coeficiente de atrito dinâmico
entre o primeiro bloco e o plano, determine a aceleração dos blocos e as tensões no fio
(β = 30◦ ).
m
R
m
1
m
2
β
Figura 19
Problema 162 A roldana da figura tem um raio R = 10 cm e massa mR = 1 kg. Determine as tensões nos fios e a aceleração dos blocos (m1 = 4 kg e m2 = 7 kg).
m
R
m
1
m
2
Figura 20
33
Problema 163 Mostre que o perı́odo de um pêndulo fı́sico é dado por:
T = 2π
I
,
mgd
onde d é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massas do pêndulo, I é o
seu momento de inércia e m é a sua massa.
Problema 164 Uma esfera de massa m = 5 kg e raio R = 20 cm, está presa ao extremo
de um fio inextensı́vel de comprimento l = 1 m e massa desprezável, estando o outro
extremo do fio fixo no tecto. Se a esfera for deslocada num ângulo de α = 10◦ como
mostra a figura e largada, o seu movimento será harmónico simples. Determine:
a) O perı́odo de oscilações deste pêndulo fı́sico.
b) A equação do movimento.
c) A velocidade do centro de massa da esfera, quando α= 5◦ .
(Nota: Para a esfera ilustrada na figura I = ml2 + (2/5)mr2 ; para o cálculo da velocidade
é necessário exprimir os ângulos em radianos).
α
l
R
Figura 21
34
10
O sistema SI de unidades
Unidades básicas
Quantidade
Comprimento
Massa
Tempo
Temperatura
Corrente eléctrica
Intensidade luminosa
Quantidade de substância
Unidade
metro
quilograma
segundo
kelvin
ampere
candela
mol
Sı́mbolo
m
kg
s
K
A
cd
mol
radiano
esteradiano
rad
sr
Unidades adicionais
Ângulo plano
Ângulo sólido
Unidades derivadas com nome próprio
Quantidade
Frequência
Força
Pressão
Energia
Potência
Carga
Potencial eléctrico
Capacidade eléctrica
Resistência
Conductância eléctrica
Fluxo magnético
Densidade do fluxo magnético
Inductância
Fluxo luminoso
Iluminância
Actividade
Dose absorbida
Dose equivalente
11
Unidade
hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
becquerel
gray
sievert
Sı́mbolo
Hz
N
Pa
J
W
C
V
F
Ω
S
Wb
T
H
lm
lx
Bq
Gy
Sv
Derivação
s−1
kg×m×s−2
N×m−2
N×m
J×s−1
A×s
W×A−1
C×V−1
V×A−1
A×V−1
V×s
Wb×m−2
Wb×A−1
cd×sr
lm×m−2
s−1
J×kg−1
J×kg−1
Prefixos
yotta
zetta
exa
peta
tera
Y
Z
E
P
T
1024
1021
1018
1015
1012
giga
G
mega M
quilo k
hecto h
deca da
109
106
103
102
10
deci
centi
milli
micro
nano
35
d 10−1
c 10−2
m 10−3
µ 10−6
n 10−9
pico
p
femto f
ato
a
zepto z
yocto y
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
12
Constantes fı́sicas
Aceleração da gravidade
Const. gravı́tica
Velocidade da luz no vácuo
Carga elementar
Constante de Coulomb
Constante eléctrica
Constante magnética
m/s2
m3 kg−1 s−2
m/s (def)
C
Nm2 /C2
F/m
α = e2 /2hcε0
h
h̄ = h/2π
µB = eh̄/2me
a0
Ry
µN
µe
µp
λCe = h/ (me c)
λCp = h/ (mp c)
9,80665
6, 67259 × 10−11
2, 99792458 × 108
1, 6021892 × 10−19
9 × 109
8, 85418782 × 10−12
4π × 10−7 =
= 12, 5663706144 × 10−7
8, 9876 × 109
≈ 1/137
6, 6260755 × 10−34
1, 0545727 × 10−34
9, 2741 × 10−24
0, 52918
13,595
5, 0508 × 10−27
9, 2847701 × 10−24
1, 41060761 × 10−26
2, 2463 × 10−12
1, 3214 × 10−15
λCn = h/ (mn c)
1, 3195909 × 10−15
m
σ
5, 67032 × 10−8
Wm2 K−4
kW
R
2, 8978 × 10−3
8,314472
mK
J/mol
NA
k = R/NA
Vm
6, 02214199 × 1023
1, 3806503 × 10−23
22, 41383 × 10−3
mol−1
J/K
m3 /mol
re
me
mp
mn
mu =
2, 817938 × 10−15
9, 109534 × 10−31
1, 6726485 × 10−27
1, 674954 × 10−27
1, 6605656 × 10−27
m
kg
kg
kg
kg
g
G, γ
c
e
K
ε0
µ0
µ0
−1
(4πε0 )
Const. da estructura fina
Const. de Planck
Const. de Dirac
Magnetão de Bohr
Ráio de Bohr
Const. de Rydberg
Magnetão nuclear
Momento magn. do electrão
Momento magn. do protão
c.d.o de Compton
c.d.o de Compton
para o protão
c.d.o de Compton
para o neutrão
Const. de
Stefan-Boltzmann
Const. de Wien
Const. universal
dos gases
Const. de Avogadro
Const. de Boltzmann
Volume dum gás em
condições normais
Raio do electrão
Massa do electrão
Massa do protão
Massa do neutrão
Unid. elementar de massa
(ou unid. de massa
atómica, u.m.a.)
1
m(126 C)
12
36
H/m
Nm2 C−2
Js
Js
Am2
Å
eV
J/T
A·m2
A·m2
m
m
Diâmetro do Sol
Massa do Sol
Perı́odo rot. do Sol
Raio da Terra
Massa da Terra
Perı́odo rot. da Terra
Perı́odo orb. da Terra
D
M
T
RT
MT
TT
Ano tropical
Unidade astronómica
Ano-luz
Parsec
Unidade Astronómica
Const. de Hubble
AU
ly
pc
AU
H
1392 × 106
1, 989 × 1030
25,38
6, 378 × 106
5, 976 × 1024
23,96
365,24219879
31556926
1, 4959787066 × 1011
9, 4605 × 1015
3, 0857 × 1016
149597870000
≈ (75 ± 25)
c.d.o = comprimento de onda
13
Escalas de temperaturas
K =
◦
C =
◦
C =
◦
F =
◦
C + 273,15,
K - 273,15,
◦
5/9( F 32),
◦
9/5 C +
32.
37
m
kg
dias
m
kg
horas
dias
s
m
m
m
m
km×s−1 ×Mpc−1
14
Relações úteis
Unidades angulares
57,29577951308232◦ =
1 rad
◦
1
=
0,01745329251 rad
10
= 2,90888208666×10−4 rad
100
= 4,8481368111×10−6 rad
1 gradiano
=
0,01570796326795 rad
(ângulo recto/100)
Unidades de comprimento
1 angstrom
=
1×10−10 m
1 polegada
=
0,0254 m
1 pé
=
0,3048 m
1 pé (USA)
=
1200/3937 m
1 jarda
=
0,9144 m
1 jarda (USA)
=
3600/3937 m
1 milha naútica
=
1852 m
1 milha terrestre
=
1609,344 m
1 milha terrestre
=
6336000/3937 m
(USA)
Unidades de área
1 acre
=
4046,8564224 m2
1 are
=
1×102 m2
1 hectare
=
1×104 m2
Unidades de volume
1 litro
=
1×10−3 m3
1 barril de petróleo =
0,15898729492 m3
1 galão (USA)
=
3,785411784×10−3 m3
1 galão (UK)
= 4,54609929488×10−3 m3
38
Unidades de massa
1 libra
=
0,45359237 kg
1 onça
= 0,02834952312 kg
1 slug
= 14,5939029372 kg
Unidades de velocidade
1 nó
=
1852/3600 m/s
1 milha por hora
=
0,44704 m/s
Unidades de pressão
1 atm
=
101325 Pa
1 atmosfera técnica
=
98066,5 Pa
1 metro de água
=
9806,65 Pa
1 milimetro de mercúrio
=
101325/760 Pa
1 torr
=
101325/760 Pa
1 pé de água
=
2989,06692 Pa
1 polegada de água
=
249,08891 Pa
1 polegada de mercúrio
= 3386,38815789 Pa
1 libra por polegada quadrada = 6894,75729317 Pa
Unidades de força
1 dine
=
1×10−5 N
1 quilograma-força
=
9,80665 N
1 libra-força
= 4,44822161526 N
Unidades de potência
1 cavalo-força métrico
=
735,49875 W
1 BTU por hora
= 0,29307107017 W
Unidades de energia
1 cal
=
4,186 J
1 eV
=
1,602×10−19 J
1 pé libra-força
=
1,35581794833 J
1 cavalo-força
=
745,699871582 J
1 BTU
=
1055,05585262 J
(British thermal unit)
39
15
15.1
Noções relevantes de Matemática
Alfabeto grego
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
I
K
Λ
M
15.2
α
β
γ
δ
, ε
ζ
η
θ, ϑ
ι
κ
λ
µ
alfa
beta
gama
delta
epsilon
zeta
eta
teta
iota
kapa
lambda
miu
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
ν
ξ
o
π, $
ρ, %
σ, ς
τ
υ
φ, ϕ
χ
ψ, ϕ
ω
niu
csi
omicron
pi
ró
sigma
tau
upsilon
fi
qui
psi
omega
Constantes matemáticas
Nome
Constante de Arquimedes
Constante de Napier
Sı́mbolo
π
e
Constante de Euler
γ = n→∞
lim
Constante de Catalan
Valor
3,14159265358979323846...
2,718281828459...
!
n
X
k=1
1/k − ln(n) = 0,5772156649...
(−1)n
G=
2 = 0,915965594...
n=0 (2n + 1)
∞
X
40
15.3
Figuras no plano
Figura
Perı́metro
Área
a+b+c
b × h/2
4a
a2
2a + 2b
a×b
2πr
πr2
Triângulo
c
a
h
b
Quadrado
a
a
Rectângulo
a
b
Cı́rculo
r
41
Perı́metro dum polı́gono regular de n lados
inscrito no cı́rculo
Triângulo
(n = 3)
Quadrado
(n = 4)
r
r
2π/3
π/2
P3 = 6r sin (π/3)
P4 = 8r sin (π/4)
Polı́gono de n lados:
Pn = 2nr sin (π/n)
42
(1)
15.4
Sólidos no espaço
Sólido
Área
Volume
6a2
a3
2πr × h + 2πr2
h × πr2
πr × g onde
g = h/ cos α e
tan α = r/h
h × πr2 /3
4πr2
(4/3) πr3
Cubo de lado a
a
a
a
Cilindro de altura h
e raio da base r
r
r
h
r
r
Cone de altura h
e raio da base r
h
r
r
Esfera de raio r
r
r
r
43
15.5
Trigonometria
h
a
α
b
Para o triângulo rectângulo da figura ter-se-ia que
15.5.1
sin α = a/h ,
(2)
cos α = b/h ,
(3)
tan α = a/b .
(4)
sin (−α) = − sin α , cos (−α) = cos α , sin2 α + cos2 α = 1 ,
(5)
sin (π − α) = sin α , cos π − α = − cos α ,
(6)
sin (π/2 − α) = cos α , cos (π/2 − α) = sin α ,
(7)
Relações fundamentais
sin α
, tan (−α) = − tan α ,
cos α
cos α
1
1
, sec α =
, csc α =
,
cot α =
sin α
cos α
sin α
tan2 α = sec2 α − 1 , cot2 α = csc2 α − 1 ,
tan α =
sin x = sin α ⇒ x = α ± 2kπ ou x = (π − α) ± 2kπ, k ∈ N ,
cos x = cos α ⇒ x = α ± 2kπ ou x = −α ± 2kπ ,
π
tan x = tan α ⇒ x = α ± kπ e x 6= ± kπ .
2
15.5.2
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
Relações entre senos
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α ,
(14)
sin (α − β) = sin α cos β − sin β cos α ,
(15)
sin (2α) = 2 sin α cos α ,
(16)
!
sin α − sin β = 2 sin
sin2 α =
α−β
α+β
cos
2
2
1 − cos (2α)
,
2
,
(17)
(18)
s
α
1 − cos α
sin
=±
,
2
2
!
44
(19)
!
!
α+β
α−β
sin α + sin β = 2 sin
cos
,
2
2
!
!
α+β
α−β
sin α − sin β = 2 cos
sin
.
2
2
(20)
(21)
(22)
15.5.3
Relações entre co-senos
cos (α + β) = cos α cos β − sin β sin α ,
(23)
cos (α − β) = cos α cos β + sin β sin α ,
(24)
cos (2α) = cos2 α − sin2 α ,
!
(25)
α+β
α−β
cos
2
2
cos α + cos β = 2 cos
!
!
α+β
α−β
sin
cos α − cos β = −2 sin
2
2
cos2 α =
,
(26)
!
,
(27)
1 + cos (2α)
,
2
(28)
s
α
1 + cos α
cos
=±
.
2
2
15.5.4
(29)
Relações entre tangentes
tan (α + β) =
tan α + tan β
,
1 − tan α tan β
(30)
tan α − tan β
,
1 + tan α tan β
2 tan α
tan (2α) =
,
1 − tan2 α
tan (α − β) =
(31)
(32)
s
α
1 − cos α
tan
=±
.
2
1 + cos α
15.5.5
(33)
Relações entre funções inversas
α
arctan α = arcsin √ 2
α +1
!
sin (arccos α) =
45
= arccos √
√
1 − α2 .
1
α2 + 1
!
,
(34)
(35)
15.6
Números complexos
i=
q
n
√
−1 ,
(36)
ρcisθ = ρ cos θ + iρ sin θ ,
(37)
(ρ1 cisθ1 ) . (ρ2 cisθ2 ) = ρ1 ρ2 cis (θ1 + θ2 ) ,
(38)
ρ1 cisθ1
ρ1
= cis (θ1 − θ2 ) ,
ρ2 cisθ2
ρ2
(39)
(ρcisθ)n = ρn cis (nθ) ,
(40)
ρcisθ =
√
n
ρcis
θ + 2kπ
n
!
46
, k ∈ {0, . . . , n − 1} .
(41)
15.7
Logaritmos
• ln x corresponde ao logaritmo de x em base e.
• log x corresponde ao logaritmo de x em base 10.
• loga x corresponde ao logaritmo de x em base a (a > 1).
15.8
Propriedades
ln (x1 x2 ) = ln x1 + ln x2 ;
(42)
ln (xn ) = n ln x;
√ ln n x = ln x/n;
(43)
(44)
ln (x1 /x2 ) = ln x1 − ln x2 ;
(45)
ln (1) = 0 ;
(46)
ln (e) = 1 ;
(47)
loga (1) = 0 ;
(48)
loga (a) = 1 ;
(49)
loga (x) = logb (x) / logb (a) ;
(50)
loga (ax ) = x ;
(51)
aloga (x) = x .
(52)
47
15.9
Limites Notáveis:
sin x
=1,
x→0 x
tan x
lim
=1,
x→0
x
ex − 1
lim
=1,
x→0
x
ax − 1
lim
= ln a ,
x→0
x
lim
lim (x + 1)1/x = e ,
x→0
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
ln (x + 1)
=1,
(58)
x
(x + 1)m − 1
lim
=m,
(59)
x→0
x
ex
lim
= ∞ (p ∈ IR) ,
(60)
x→∞ xp
xp
lim
= ∞ (p > 0 e a > 1) .
x→∞ log x
a
(61)
lim
x→0
48
15.10
Propriedades das derivadas
(C)0
=
0
0
0
(f ± g) = f ± g 0
!0
f
f 0g − g0f
=
g
g2
15.11
(Cf )0
(f g)0
=
Cf 0
0
= f g + g0f
(f (g))0 =
fg g 0
Tabela de derivadas
x0
(ex )0
= 1
= ex
(ln x)0
=
(sin x)0
= cos x
(tan x)0
=
(xm )0
(ax )0
= mxm−1
= ax ln a
(cos x)0
= − sin x
(cot x)0
=
1
x
1
cos2 x
(arcsin x)0 = √
1
1 − x2
−1
sin2 x
(arccos x)0 = √
49
−1
1 − x2
15.12
Propriedades dos integrais indefinidos
0
Z
f (x)dx
Z
Z
15.13
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
dP (f )
Z
= f (x)
d
Z
= P (f ) + C
(f ± g)dx
=
Z
f dx ±
Z
gdx
Z
f (x)dx
Cf (x)dx
= f (x)dx
= C
Z
f (x)dx
= fg −
f dg
Z
gdf
Tabela de integrais indefinidos
dx
dx
x
sin xdx
dx
sin2 x
dx
√
1 − x2
dx
√
x2 + λ
xdx
(x2 + λ)3/2
= x
= ln |x|
= − cos x
= tan x
+C
+C
+C
+C
= arcsin x
+C
√
= ln x + x2 + λ +C
1
= −√ 2
x +λ
+C
50
Z
xm dx
Z
ex dx
xm+1
m+1
= ex
=
Z
cos xdx
dx
2
Z cos x
dx
1 + x2
Z
dx
Z
(x2
3/2
+ λ)
+C
+C
= sin x
+C
= − cot x
+C
= arctan x
+C
=
x
+C
λ x2 + λ
√
15.14
Mudanças de Sistemas de Coordenadas
1. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z):
r=
q
x2 + y 2 , tan φ = y/x .
2. De coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z) para coordenadas cartesianas (x, y, z):
x = r cos φ , y = r sin φ .
3. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas (φ, θ, r):
q
tan φ = y/x , tan θ = z/ x2 + y 2 , r =
q
x2 + y 2 + z 2 .
4. De coordenadas esféricas (φ, θ, r) para coordenadas cartesianas (x, y, z):
x = r cos φ sin θ , y = r sin φ sin θ , z = r cos θ .
51
16
Sistemas de coordenadas
Z
(x, y, z)
◦
ez
ey
ex
z
Y
x
y
X
Coordenadas cartesianas
(x, y, z)
Z
Z
θ
(r, φ, z)
◦
ez
(r, θ, φ)
◦
r
z
er
Y
r
φ
er
Y
eθ
φ
eφ
eφ
X
X
Coordenadas cilı́ndricas
(r, φ, z)
Coordenadas esféricas
(φ, θ, r)
52