INSTITUTO SUPERIOR
DEPARTAMENTO
DE
DE
ENGENHARIA
FÍSICA
E
DE
COIMBRA
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA APLICADA
13-01-05
Duração: 2.30h
Teste A+B
Nota: A resolução completa dos exercícios inclui a justificação do raciocínio utilizado.
1. Considere as funções reais f e g definidas por:
⎧⎪e f ( x ,y ) , x 2 ≤ y ≤ 2x 2 + 2 ∧ y < 4
⎪
g ( x, y ) = ⎨
, 1 ≤ x 2 + (y − 4)2 ≤ 4 ∧ y ≥ 4
⎪⎪⎩⎪ 0
f ( x , y ) = ln ( −y + 4 )
(a) Determine o domínio das funções e represente-os geometricamente.
(b) As figuras 1 e 2 são estruturas metálicas quinadas com rebordos circulares e parabólicos. Qual delas coincide
com o gráfico da superfície de equação z = g ( x , y ) ? Justifique a sua escolha.
Figura 1
Figura 2
(c) Resolva apenas uma das alíneas seguintes
i) Determine a equação da recta tangente à curva de intersecção da superfície z = g(x , y ) com o plano x = 0
no ponto P (0, 2, 2) . Represente graficamente os dados do problema e o resultado obtido.
ii) Supondo que o potencial eléctrico em qualquer ponto do plano x0y é dado por V = f (x , y ) , determine a
G
sua taxa de variação, no ponto P (0, 0) , na direcção e sentido do vector u = 1,1 . Em que direcção e
sentidos a taxa de variação é máxima e mínima?
2. A figura 3 representa uma Maça Bravo de Esmolfe da Beira Alta,
com contornos definidos por:
• Arcos de circunferência de raio 2;
• Parábolas de eixo vertical com vértice (−1, −1) e (1, −1) ;
• Segmentos de recta.
(a) Prove, usando o integral linha, que a área de um triângulo de base
b ×h
.
2
(b) Determine o volume de uma fatia de maça laminada de espessura 3.
b e altura h é igual a A =
(c) Calcule o trabalho realizado pela força
G
F(x , y ) = (cos x + 2yx − y )i + (arcosy + x 2 ) j quando aplicada a uma
partícula que se move ao longo dos contornos exteriores da figura.
G
F é um campo conservativo? Justifique.
Exame
Curso: ENG. MECÂNICA – 4ºA / 1ºS
Figura 3
®
, 0 ≤ t < π2
⎧⎪ 0
⎪
3. Considere as funções f (t ) = sin ( t − 2 ) e g(t ) = ⎨
⎪⎪ f (t ) , t ≥ π 2
⎩
(a) Calcule, se possível, a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
π
π
s +1
1
;
ii) F (s ) = e − 2 s 4
.
2
s +s
s −1
(b) Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema de valores iniciais:
i) G (s ) =
y ′′ − y = g(t ),
y ( 0 ) = 1, y ′ ( 0 ) = 0 .
4. Seja f (t ) = −t, −π < t < π em que f (t + 2π) = f (t )
Determine a série de Fourier associada a f (t ) . Qual das figuras seguintes está associada ao desenvolvimento da
função em série de Fourier? Justifique.
∞
i) f (t ) = 2 ∑ (−1)n
n =1
sin(nt )
n
ii) f (t ) = 2 sin t − sin 2t +
Figura 4
2 sin 3t sin 4t
−
+"
3
2
Figura 5
5. Considere o problema de condição inicial y ′ − ty = 0, y(0) = 1,
t ∈ [ 0,1 ]
(a) Obtenha uma aproximação para y(1) usando o método de Euler com um passo h = 0.5 .
(b) Complete as funções e acrescente comentários para explicar o algoritmo/regras que lhes estão associadas.
Nota: a sintaxe usada é a da programação em MatLab.
function y = N_euler(f,a,b,n,y0)
function y = N_rk2(f,a,b,n,y0)
h=(b-a)/ ? ;
h= ? ;
t(1)=a;
t(1)= ? ;
y(1)=y0;
y(1)= ? ;
for i=1:n,
for i=1:n,
y(i+1)= ? +h*feval(f,t(i),y(i));
k1= ? ;
t( ? )=t(i)+ ? ;
k2=h*feval(f,t(i)+h, ? );
end
y(i+1)=y(i)+ ? ;
t( ? )= ? ;
end
Exame
Curso: ENG. MECÂNICA – 4ºA / 1ºS
Ép.Normal