Unidade 3 – Função
Afim
Definição
Gráfico da Função Afim
Tipos Especiais de Função Afim
Valor e zero da Função Afim
Gráfico definidos por uma ou mais sentenças
Definição
Custo fixo
↓
C ( x ) = 10.x + 200
↓
Custo varíavel
Esse é um exemplo de função definida por
um polinômio do 1º grau que denominada
de função afim.
Existem diversas situações do cotidiano
que podem ser modeladas por uma
função afim.
Todas aquelas em que acréscimos iguais
na variável independente (x)
correspondem a acréscimos iguais na
variável dependente (y) podem ser
modeladas por meio de uma função afim.
Conceito: Denomina-se função afim
qualquer função f : R→R definida por uma
lei de forma y = f(x) = ax + b, em que a e b
são números reais.
Na função afim f(x) = ax + b, o número a é
o coeficiente da variável x e o número b é
o termo independente.
f(x) = 2x + 3 → a = 2 e b = 3
f(x) = -x + 5 → a = -1 e b = 5
f(x) = x → a = 1 e b = 0
(chamado de função identidade)
f(x) = 4x → a = 4 e b = 0
(também chamado de função linear)
f(x) = 2 → a = 0 e b = 2
(também chamado de função constante)
Gráfico da Função Afim
Como construir o gráfico de uma função
afim?
Vejamos algumas situações sobre a
construção do gráfico desse tipo de
função.
Situação 1:
Acompanhe os procedimentos necessários para construir
o gráfico da função f: R→R, definida por y = f(x) = x – 2.
Para construir o gráfico dessa função, inicialmente
atribuímos valores à variável independente x e obtemos os
correspondentes valores da variável dependente y.
Assim, encontramos as coordenadas (x; y).
Com as coordenadas, localizamos os
pontos no plano cartesiano e, como
domínio é o conjunto dos números reais,
os pontos serão ligados
convenientemente, formando uma reta.
Situação 2:
Vamos construir o gráfico da função afim
g: R → R, definida por y = g(x) = - x + 3
Em seguida. Localizamos os pontos no
plano cartesiano e construímos o gráfico.
Situação 3:
Observe o gráfico a seguir.
Como obter a expressão matemática da
função deste gráfico?
Como o gráfico da função é uma reta, o modelo
matemática que permite expressá-la tem forma de uma
função afim definida por
y = f(x) = ax + b.
Pelo gráfico, observamos que a reta passa pelos pontos
de coordenadas (0, 3) e (2, -1), ou seja f(0) = 3 e f(2) = 1, assim:
x = 0 → y = f(0) = a . 0 + b = 3 → b = 3
x = 2 → y = f(2) = a . 2 + 3 = -1 → 2a + 3 = -1 → 2a = 4 → a = -2
Portanto, a expressão matemática da função é:
y = f(x) = ax + b → y = f(x) = -2x + 3
Note que o domínio é R e o conjunto-imagem é R.
Tipos de Função Afim
Na função afim f: R→R, definida por f(x) = ax +
b, os coeficientes a e b podem assumir valores
de reais quaisquer.
Para determinados valores de a e b, teremos
tipos especiais da função afim:
Função constante;
Função linear;
Função identidade.
Função constante
Se a = 0, a função afim é chamada de
função constante.
Conceito: Uma função constante é uma
função f: R→R cuja lei de formação é:
y = f(x) = b → constante
Resolver “Para você fazer” p. 30
Todas as funções em que, independente do
valor de x o valor de y é sempre o mesmo, são
funções constantes.
O gráfico dessas funções será sempre uma reta
paralela ao eixo x, quando x ∈ R, coincidindo
com o eixo x apenas quando y = 0.
Qual é o conjunto-imagem da função f: R→R
dada por y = f(x) = k?
Na função f(x) = k, qualquer que seja o valor de
x, tem-se y = k.
Logo, o conjunto-imagem da função é unitário e
tem apenas o elemento k: Im(f) = {k}
Função Linear
Considere um carro viajando a uma
velocidade de 90km/h.
A tabela a seguir indica deslocamento
desse carro a cada hora.
Quando dobramos o tempo decorrido (de 1 para 2), por
exemplo, o deslocamento também dobra (de 90 para
180).
Logo, as variáveis envolvidas são diretamente
proporcionais e, portanto, a razão entre elas é constante.
deslocamento 90 180 270 360
=
=
=
=
= ... = 90 → constante de proporcionalidade
tempo
1
2
3
4
A função que permite relacionar o deslocamento d em
função do tempo t é definida por:
d
= 90 → d = 90t
t
A função d = f(t) = 90t é chamada de função linear e o
número 90 é a constante de proporcionalidade entre t e
d.
Conceito
Denomina-se função linear qualquer função afim
f: R→ R definida por uma lei da forma y = f(x) =
ax em que a ≠ 0.
As funções lineares nada mais são do que
funções afins da forma y= f(x) = ax + b em que a
≠ 0 e b = 0.
O gráfico de uma função linear y = ax, cujo
domínio é R, sempre passa pela origem, pois
para x = 0 temos y = a . 0 = 0.
Logo, o ponto (0; 0) pertence ao gráfico.
Função Identidade
A função identidade é um caso particular de função
linear y =ax, considerando a = 1.
Dessa forma, o gráfico de uma função identidade será
formado por pontos cuja abscissa é igual à ordenada, ou
seja, o gráfico é a reta que divide ao meio 1º e 3º
quadrantes (bissetriz dos quadrantes ímpares).
Observe a figura ao lado.
Na função identidade, a razão de proporcionalidade
entre as variáveis x e y é 1, pois os valores de x e y são
sempre iguais.
Conceito: Uma f: R → R é chamada
função identidade quando sua lei de
formação é dada por y = f(x) = x.
Valor e zero da função afim
A função L(v) = 5v – 3000 relaciona o lucro L em reais que um
posto de combustível tem com a venda de v litros de gasolina.
Vamos observar o valor do lucro (função) para alguns valores de
litros vendidos.
v = 0 → L(0 ) = 5.0 − 3000 = −3000
v = 100 → L(100 ) = 5.100 − 3000 = −2500
v = 300 → L(300 ) = 5.300 − 3000 = −1500
v = 500 → L(500 ) = 5.500 − 3000 = −500
v = 700 → L(700 ) = 5.700 − 3000 = +500
⇓
litros vendidos
⇓
lucro em reais
Com exceção apenas de v = 700, o posto
teve prejuízo nos demais valores de
venda de gasolina (lucro negativo).
Quantos litros da gasolina o posto deveria
vender para não ter lucro nem prejuízo?
Para não ter lucro nem prejuízo, o dono
do posto deveria vender uma quantidade
de gasolina tal que L(v) = 0, ou seja,
3000
L(v ) = 0 → 5v − 3000 = 0 → 5v = 3000 → v =
→ v = 600
5
Vendendo exatamente 600 litros de
gasolina, o posto não tem lucro nem
prejuízo, ou seja, L(600) = 0
Observe, no gráfico a seguir, que o valor v
= 600 representa a abscissa do ponto em
que o gráfico da função corta o eixo v.
O valor v = 600 é chamado de zero da
função L = 5v – 3000 e é o valor de v para
o qual L = 0
Pelo gráfico,
observamos que o lucro
varia de acordo com o
valor de v da seguintes
maneira:
Para 0 ≤ v < 600, temos
L(v) = 0; (vendendo
entre 0 e 600 L, a
prejuízo)
Para v = 600, temos
L(0); (vendendo 600L,
há equilíbrio)
Para v > 600, temos
L(v) >0. (vendendo mais
de 600 L, há lucros
positivos)
Conceito: Em geral, para funções afins escritas na
forma y = f(x) = ax +b, a ≠ 0, o zero da função é x =
-b/a.
Observe:
y = f(x) = 0 → ax = - b →
b
x=a
Gráficos definidos por uma ou mais
sentenças
No dia a dia, é possível encontrar diversas
situações que necessitam de modelos
matemáticos para sua interpretação.
Nas situações de modelagem de um
determinado fenômeno, utiliza-se
frequentemente o conceito de função.
Imagine que uma loja vende seus produtos com
descontos que variam de acordo com o valor da
compra feita pelo cliente.
As regras são as seguintes:
Para compras abaixo de R$100,00, o
desconto é de 5%.
Para compras de R$ 100,00 até R$
200,00, o desconto é de 8%.
Para compras acima de R$ 200,00, o
desconto é de 10%.
Sendo c o valor da compra (em reais) e d
o desconto concedido (em %) pela loja,
como seria o gráfico dessa função?
Essa função, definida por várias sentenças, pode
ser representada da seguinte maneira:
5, se 0 < c < 100

d = f (c ) = 8, se 100 ≤ c ≤ 200
10, se c > 200

Nesse caso, a função foi definida por três
funções constante, cada uma para certo
intervalo de c.
O domínio dessa função é o conjunto
formado pelos números reais positivos e a
correspondente imagem apenas pelos
valores d = 5%, d = 8% e d = 10%.
Pode ocorrer também que seja definida
por sentenças que caracterizem outro tipo
de função afim.
Por exemplo, suponha que certo fenômeno possa
ser modelado pela função h, representada a
seguir:
− x − 4, se x < -1


y = h( x ) = 2 x, se - 1 ≤ x ≤ 3
5, se x > 3

Vamos construir o gráfico da função dessa
função h.
À medida que os valores da variável x
aumentam, os respectivos valores y podem
diminuir, aumentar ou ser constantes.
Observe esse fato nas seguintes
representações:
Para x < -1, os valores de y diminuem.
Para -1 ≤ x ≤ 3, os valores de y aumentam
Para x > 3, os valores de y são iguais
(constantes).
De que maneira podemos representar o domínio
e a imagem da função h(x)?