PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Cálculo B (Inf) – Turmas: 128 e 138
Tópico 02 - Integrais Impróprias
Consulta: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Volume 1 páginas 564 a 576
Lembrando que a definição usual de integral de f(x) no intervalo [a;b], denotada por
b
∫ f ( x)dx
a
supõe que [a;b] é um intervalo finito e que f é uma função integrável em [a;b] (isto é, f é contínua ou pelo
menos é limitada tendo um número finito de descontinuidades no intervalo considerado).
Uma integral definida é dita imprópria quando o intervalo de integração é infinito (exemplo 1) ou quando a
função tem uma descontinuidade infinita em [a;b] (exemplo 2).
Exemplo 1: O intervalo de integração é infinito
É possível calcular a área A da região entre y = 0 e y =
1
, para x ≥ 1?
x2
Situação 1: Calcule a área A da região entre y = 0 e a curva y =
1
, para 1 ≤ x ≤ 2.
x2
Situação 2: Calcule a área A da região entre y = 0 e a curva y =
1
, para 1 ≤ x ≤ 4.
x2
Situação 3: Calcule a área A da região entre y = 0 e a curva y =
1
, para 1 ≤ x ≤ L.
x2
Questão: Como usar os conhecimentos acima para responder à pergunta inicial?
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Definição: Integral Imprópria com Intervalo Infinito
A integral imprópria de f sobre o intervalo [a;+∞) é definida por
+∞
∫
t
f ( x )dx = lim
t → +∞
a
∫ f ( x)dx
a
se o limite existe.
•
•
Se o resultado é um número real diz-se que a integral imprópria converge.
Se o limite não existe ou é infinito, diz-se que a integral imprópria diverge.
Exercício: Determine os resultados das seguintes integrais impróprias:
∞
1.
dx
∫x
3
1
∞
2.
∫
1
dx
x
0
3.
dx
∫ (2 x − 1)
3
−∞
0
4.
∫ cos( x)dx
−∞
∞
5.
∫ (x
−∞
2
x
dx
+ 3) 2
2. ∞
Respostas: 1. ½
3.-1/4
4. NE
5. 0
Exemplo 2: A função tem uma descontinuidade infinita em [a;b]
1
Situação 1:
dx
∫ (x − 1)
2
A integral é imprópria pois tem uma descontinuidade quando x tende para o limite
0
superior 1 pela esquerda, logo:
1
dx
∫0 (x − 1) 2 = lim
t →1−
t
dx
∫ ( x − 1)
2
= ...
0
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4
Situação 2:
dx
∫ ( x − 2)
2/3
A integral é imprópria pois tem uma descontinuidade dentro do intervalo de
1
integração. O integrando tende a
4
dx
∫1 ( x − 2) 2 / 3 =
2
+ ∞ no ponto x = 2. Assim,
4
dx
dx
∫1 ( x − 2) 2 / 3 + ∫2 ( x − 2) 2 / 3 = ...
Um Resultado Importante: Comparação de Integrais Impróprias
Se f e g são funções contínuas e 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x em [a, + ∞ ), então valem os seguintes testes de
comparação para integrais impróprias:
∞
(i)
Se
∫
∞
∫ f ( x)dx
g( x )dx converge então
a
∞
(ii)
Se
∫
também converge.
a
∞
f ( x )dx diverge então
a
∫ g( x )dx
também diverge.
a
Exercícios:
1. Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor.
∞
(a)
∫
dx
x3
∞
x2
5
(b)
∫e
x3
1
(f) ∫ dx
x
e
∞
dx
(g)
0
∞
(c)
∞
(d)
∫
2
(i)
1
0
(e)
−∞
x 2 dx
x3 + 1
∞
(l)
∫
dx
∫ ( x − 1)
2
x
dx
x +4
−∞
∫
2
xdx
∫ (1 + x
π
(m)
2 2
)
2
∫ sen( x ).dx
−∞
0
(n)
dx
∫ (1 − x)
3
−∞
2
(j)
x +1
1
0
∫ e 2 dx
3
0
dx
1
+
x2
−∞
2
xe − x dx
dx
∫
(k)
+∞
(h)
x
1
∫
0
dx
∫
∞
∞
0
(o)
∫e
3x
dx
−∞
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2. Atribua um valor à área A da região sob o gráfico de y =
1
, acima do eixo x e à direita de x = 4.
x x
3. O sólido de revolução conhecido como trombeta de Gabriel é gerado fazendo-se a rotação em torno do
1
eixo x da região sob o gráfico de y = , com x ≥ 1. Represente graficamente este sólido e mostre que
x
tem um volume finito de π unidades cúbicas.
∞
4. Para que valores de p a integral
dx
∫x
p
converge ?
1
5. Determine se a primeira integral converge ou diverge, comparando com a segunda:
∞
(a)
dx
1
+
x4
1
∫
∞
(b)
∫
2
dx
3
x −1
2
∞
∫
e
1
∞
e
∫
∞
dx
x4
(c)
2
x
∫
∞
(d)
2
∫e
1
1
∫ xdx
e
2
∞
dx
3
1
dx
ln
x
2
∞
− x2
dx
e
∫e
−x
dx
1
Respostas dos Exercícios:
1.
(a) 1/50
(b) 1/3
(c) ∞
(d) 1/2e
(e) 2
(f) ∞
(g) ∞
(h) π
(i) ∞
(j) 3.π/8
(k) ∞
(l) ¼
(m) Não há!
(n) ½
(o) 1/3
2. A = 1 u.a.
3. V = π u.v.
+∞
4.
dx
∫x
1
p
⎧converge p > 1
⎨
p ≤1
⎩diverge
5.
(a) Converge
(b) Diverge
(c) Diverge
(d) Converge
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