UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
CRISTIANE DE OLIVEIRA SANTOS
A IMPORTÂNCIA DA VISUALIZAÇÃO NO ENSINO DA GEOMETRIA PLANA E
ESPACIAL
JUSSARA-GO
2009
2
Cristiane de Oliveira Santos
A IMPORTÂNCIA DA VISUALIZAÇÃO NO ENSINO DA GEOMETRIA PLANA E
ESPACIAL
Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura em
Matemática, da Universidade Estadual de Goiás,
Unidade Universitária de Jussara, como requisito parcial
para a obtenção do título de Licenciado em Matemática,
sob orientação da professora Ms. Stela Mares Corrêa.
JUSSARA-GO
2009
3
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, por ter dado força e coragem para superar as
dificuldades encontradas no caminho.
A minha família, pelo apoio incondicional em todos os momentos de realização deste
trabalho.
A todos que me acolheram em suas casas e se esforçaram comigo para conquistar mais
uma vitória.
5
A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e
esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade e
ajudar-nos na vida.
Jacques Bernoulli
6
RESUMO
O referido trabalho constitui uma breve investigação destinada a mostrar a importância da
visualização no processo de ensino-aprendizagem da Geometria Plana e Espacial,
compreendendo sua importância como conteúdos essenciais da Matemática por suas inúmeras
possibilidades de aplicação nas diversas áreas do conhecimento e no cotidiano. Busca-se por
meio deste refletir o papel da visualização no desenvolvimento do pensamento geométrico.
Embasado nas pesquisas, propõe-se demonstrar que a visualização torna-se uma ferramenta
importantíssima para ampliar as capacidades intuitivas de percepção e representação, e
contribui para a solução de problemas matemáticos e de outras naturezas. Relata-se no
presente trabalho como se dá o desenvolvimento da geometria como ciência do espaço e
estrutura lógica. Para discutir seu ensino, necessita-se conhecer como se estrutura no currículo
escolar e quais seus objetivos quanto à formação dos alunos. Enfatiza-se as etapas de
construção do conhecimento matemático e os processos de formação das capacidades
espaciais com enfoques teóricos de Gardner e Piaget, além de retratar a visualização como
habilidade a ser desenvolvida e como recurso a ser utilizado. Finalmente, a pesquisa permite
conceber a Geometria Plana e Espacial como instrumento de leitura do mundo e a
visualização como meio fundamental para a construção do saber geométrico, visando produzir
conhecimento real e significativo que colabore para o avanço científico, tecnológico e social
da Matemática.
7
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
8
CAPÍTULO 1 A GEOMETRIA COMO CIÊNCIA DAS FORMAS E DO ESPAÇO E
COMO ESTRUTURA LÓGICA
10
1.1 Um pouco de História
10
1.2 Considerações sobre o ensino da Geometria Plana e Espacial
13
1.3 A construção do espaço e das relações espaciais segundo Piaget
15
1.4 Do concreto ao abstrato
16
CAPÍTULO 2 A VISUALIZAÇÃO COMO FERRAMENTA PARA O
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO
19
2.1 A construção do pensamento geométrico
19
2.2 Da visualização à representação
21
2.3 O desenvolvimento da inteligência espacial
27
2.4 Educação visual
31
CAPÍTULO 3 O ENSINO DA GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL PELA
VISUALIZAÇÃO, ATRAVÉS
DA EXPLORAÇÃO
DO
ESPAÇO
FÍSICO
E
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
33
3.1 Visualizando a Geometria Plana e Espacial nas Criações Humanas e da Natureza
33
3.2 Os recursos visuais no ensino da Geometria Plana e Espacial
35
3.3 A importância da visualização na resolução de problemas
39
CONSIDERAÇÕES FINAIS
42
BIBLIOGRAFIAS
43
ANEXO
45
8
INTRODUÇÃO
O presente trabalho se origina da preocupação com o ensino da Geometria Plana e
Espacial. Experiências pessoais e vivências escolares revelam uma desmotivação na
aprendizagem da Geometria associada às dificuldades na compreensão de conceitos,
demonstrações e aplicações do referido conteúdo. Analisando opiniões de alunos, demonstram
que o ensino da Geometria tem se apresentado rigorosamente abstrato, com transmissão de
regras e memorização de fórmulas através de intensivos exercícios técnicos.
Diante desse cenário, o objetivo deste trabalho é proporcionar uma reflexão sobre a
importância de se promover um ensino dinâmico que leve em consideração as necessidades
de aprendizagem dos alunos, ajudando-os a compreender o espaço que os cercam e utilizar o
conhecimento geométrico e matemático em benefício das demandas cotidianas.
Tem-se como propósito e diretriz básica deste, compreender a importância exercida
pela visualização na construção do pensamento geométrico e refletir seu papel na formação de
sujeitos ativos e críticos, capazes de atuar de forma participativa no processo de ensinoaprendizagem.
Há muito tempo se reconhece que a matemática é de imensa importância na vida,
porém, pouco se explica sobre quando usá-la e como, em quais situações serão úteis e de que
forma essa tem contribuído para o desenvolvimento da humanidade. Por isso faz-se
importante conhecer sua história e evolução, os caminhos tomados por ela ao longo dos
tempos, de quais necessidades emergiu e quais seus objetivos de ensino.
O desenvolvimento do tema “A importância da visualização no ensino da Geometria
Plana e Espacial” é apresentado em três capítulos. Utilizamos a pesquisa bibliográfica tendo
como referenciais maiores, Fainguelernt (1999), Gardner (1994), PCNs (1997) e Polya
(1995).
O primeiro capítulo, recorre a história da Geometria para verificar que todo
conhecimento parte de uma necessidade e vai se transformando de acordo com as exigências
da mesma. Relata-se neste, como a Geometria se organizou com o sistema lógico, partindo da
exploração de formas no espaço e direcionando para o domínio de operações mentais,
formalização de ideias, fase de rigor matemático na validação de proposições, conhecido
como processo de abstração. O referido capítulo aborda questões relacionadas às propostas
9
curriculares do ensino da Geometria Plana e Espacial para os dias atuais. Trata-se ainda de
analisar de que maneira a visualização auxilia no desenvolvimento mental dos indivíduos.
No capítulo dois, lançamos o olhar para as relações entre visualização e
desenvolvimento do pensamento geométrico. Comenta-se sobre o processo em que o aluno,
pelo domínio de imagens visuais, torna-se capaz de representar mental e materialmente o
espaço que o cerca. Ainda no mesmo, discute-se como se desenvolve a inteligência espacial e
reflete-se sobre as informações visuais, acreditando ser necessário educar nossos sentidos
perceptivos para se construir as capacidades espaciais.
Reconhecendo que uma das grandes dificuldades dos alunos em relação à Geometria
está na falta de conexão do seu ensino com a realidade, o terceiro capítulo aborda meios de
visualizar a presença da Geometria Plana e espacial no cotidiano. Tem-se como proposta
deste, compreender a importância dos recursos visuais no processo de ensino-aprendizagem e
nas aplicações geométricas, bem como entender a visualização como instrumento valioso para
resolver problemas.
Este trabalho permite um mergulho no mundo geométrico e nos processos de
visualização que levam o aluno ao conhecimento e representação do espaço. A importância de
se discutir a visualização está no fato do grande número de habilidades que esta desenvolve
nos indivíduos e os processos cognitivos que ela envolve. Compreender sua utilização na
Geometria Plana e Espacial e sua relevância para a aprendizagem e construção de
competências espaciais individuais é o que fomenta nossa pesquisa.
10
CAPÍTULO 1 A GEOMETRIA COMO CIÊNCIA DAS FORMAS E DO ESPAÇO E
COMO ESTRUTURA LÓGICA
Na maior parte das ciências, uma geração põe abaixo o que a outra
construiu, e o que a outra estabeleceu a outra desfaz. Somente na
Matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a
antiga estrutura.
Hermann Hankel
Ao longo deste trabalho estaremos analisando as questões matemáticas que envolvem
a Geometria, que no início de sua história revelava-se como uma ciência puramente
experimental, e que a partir da utilização do método dedutivo começa a ser considerada um
sistema lógico. Buscaremos perceber como o seu ensino está estruturado em nossos dias
atuais e como se constrói as relações espaciais nos alunos. Além disso, retrataremos como
acontece a passagem do espaço concreto para o abstrato. São em torno de problemáticas como
estas que desenvolveremos nossa discussão em cima do assunto proposto que é o da
Geometria em duas temáticas, a Plana e a Espacial.
1.1 Um pouco de História
Há dúvidas quanto a origem da geometria, mas sabe-se que esta tem raízes muito
antigas. Indícios históricos apontam para o nascimento da Geometria como forma de
satisfazer as necessidades humanas e solucionar problemas práticos. De acordo com o
Dicionário Enciclopédico (2008), desde 2000 anos a. C os babilônios já utilizavam a
Geometria como forma de demarcar territórios. Aproximadamente 1300 anos a. C os egípcios
também empregavam a Geometria para medir terrenos e em suas edificações. Na Grécia
estava ligada a medir terra, o que explica a origem da palavra criada pelos gregos; Geo
significa terra e metria significa medida.
Com base no Dicionário Enciclopédico (do site somatematica), observamos que a
Geometria utilizada era rudimentar e prática. Ela consistia em utilizar-se de conhecimentos
sobre o espaço para solucionar problemas práticos, tais como construir moradias, tecer,
confeccionar vasos e potes, além de tecidos e cestas. Segundo Boyer (1996), estas formas de
construir objetos demonstrava que já se utilizava a congruência e a simetria.
Segundo Boyer (1996), os documentos históricos revelam que os egípcios antigos já
calculavam áreas geométricas. Para a comprovação disso ele afirma que há exemplos de
triângulos, trapézios retângulos e quadriláteros gerais. De acordo com o mesmo autor, as
11
pessoas calculavam a área de quadriláteros fazendo o produto das medidas aritméticas de seus
lados opostos. Baseando em situações geométricas particulares, os indivíduos buscavam
soluções gerais que pudessem resolver todos os problemas de origens semelhantes. O
procedimento utilizado era o que hoje chamamos de método indutivo.
Para alguns historiadores, essa Geometria era considerada um reflexo das observações
e experiências feitas pelo homem, consistindo na observação do espaço e de formas e
realização de medidas. Embora de grande importância e valor, os conhecimentos geométricos
não apresentavam consistência científica. Os fundamentos eram de natureza experimental,
sem base em princípios matemáticos. Dessa forma a Geometria se apresentava com noções
geométricas construídas intuitivamente e desconexas, sem organização lógica.
Pela necessidade de calcular áreas, havia uma busca por uma construção de modelos
que expressem a necessidade de validar determinadas propriedades. As propriedades
geométricas aceitas com base na experiência, de maneira intuitiva, já não eram suficientes
para solucionar seus problemas, o que levou o homem a buscar um método que provasse e
demonstrasse as propriedades por meio de raciocínios matemáticos lógicos e coerentes.
Para Boyer (1996), os primeiros a utilizarem o método dedutivo, foram os gregos
Tales de Mileto e Pitágoras de Samos que deram uma nova forma ou maneira de interpretar a
Geometria. De acordo com o mesmo autor, se atribui a Tales os teoremas de que, o diâmetro é
a bissetriz de um círculo, em um triângulo isósceles os ângulos da base são iguais, na
interceptação de duas retas os ângulos opostos formados são iguais e por fim, dois triângulos
são congruentes se dois ângulos e o lado comum aos ângulos de ambos são iguais.
Á Pitágoras é atribuído o teorema do triângulo retângulo, hoje enunciado, no triângulo
retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. De acordo com
escrituras antigas, os pitagóricos (discípulos de Pitágoras) conheciam alguns dos poliedros
regulares; o tetraedro, o cubo e o dodecaedro.
Como símbolo da escola pitagórica, o pentagrama ou pentágono estrelado é
considerado de grande especialidade. Partindo de um polígono retangular de cinco lados e
traçando as cinco diagonais, a interceptação das diagonais formam um outro pentágono
proporcional ao primeiro (ver anexo 1).
Outro personagem importante na Geometria é Platão. Atribui-se a ele a descoberta dos
poliedros regulares, que por tal motivo, também são conhecidos como poliedros de Platão.
Embora Tales e Pitágoras sejam considerados os pioneiros do raciocínio dedutivo, a maioria
dos historiadores afirmam que foi com o matemático grego Euclides, por volta de 300 anos a.
C que se deu a sistematização e ordenação lógica dos conhecimentos geométricos da época,
12
contribuindo para o desenvolvimento da Geometria. Por meio de sua obra “Os elementos” que
reunia treze livros dos quais nove são tratados da Geometria Plana e Espacial, conhecemos os
postulados e axiomas de Euclides, que faz parte do ensino até os dias atuais.
A seguir, apontaremos os cinco postulados e os cinco axiomas de Euclides segundo
Boyer (1996). Mas antes, vale lembrar que postulados e axiomas são afirmações aceitas como
verdade que não necessitam de prova ou demonstração.
Postulados são:
1. Traçar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto;
1. Prolongar uma reta finita continuamente em uma linha reta;
2. Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio;
3. Que todos os ângulos retos são iguais;
4. Que se uma reta cortando duas retas faz os ângulos interiores de um
mesmo lado menores que dois ângulos retos, as retas, se prolongadas
indefinidamente, se encontram desse lado em que os ângulos são menores
que dois ângulos retos.
Axiomas são:
1. Coisas que são iguais a uma mesma coisa, também são iguais entre si;
2. Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais;
3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais;
4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais uma a outra;
5. O todo é maior que a parte (Boyer, 1996, p. 73).
De acordo com os matemáticos se atribui a Euclides os teoremas de congruência de
retângulos, construções simples com régua e compasso, desigualdades relativas a ângulos e
lados de triângulos, propriedades das retas paralelas e teoremas sobre paralelogramos.
Segundo Boyer (1996), “Os elementos” de Euclides apresentam proposições da Geometria
Espacial. Há definições de sólidos regulares, medidas de figuras, provas do volume de
pirâmides, cones, cilindros e esferas. Euclides prova que não pode haver outros poliedros
regulares além do tetraedro, octaedro, hexaedro, icosaedro e dodecaedro.
A obra referida é considerada como o livro da organização lógica geométrica e seu
autor um dos grandes precursores da sistematização dos conhecimentos geométricos e
matemáticos tornando seus teoremas válidos até hoje. Portanto, a Geometria parte de estudos
da observação de formas e do espaço e se completa como estrutura lógica, com princípios
matemáticos norteadores.
13
1.2 Considerações sobre o ensino da Geometria Plana e Espacial
A Geometria é conceituada como Ciência que investiga o espaço, as formas que pode
conter e as propriedades dessas formas. Como parte da matemática, estuda as propriedades,
medidas e relações de pontos, linhas, ângulos, superfícies e sólidos. A Geometria Plana é a
área que estuda as representações em superfícies planas, sem espessuras, geralmente formas
em duas dimensões, enquanto a Geometria Espacial se encarrega dos sólidos e formas
tridimensionais.
Caracterizando-se como alguns dos conteúdos essenciais da Matemática, a Geometria
Plana e Espacial é vista como naturalmente interessante para os alunos, por ser de fácil
visualização sua aplicabilidade nas diversas áreas do conhecimento e no cotidiano.
Compreendendo sua importância, faz-se necessário refletir como se estrutura seu ensino e
quais os objetivos da matemática nesta área. Sintetizaremos alguns dos conteúdos que são
trabalhados pela Geometria Plana e Espacial e em seguida seus respectivos objetivos, segundo
os Parâmetros Curriculares Nacionais.
1. Geometria Plana:

Semelhanças e diferenças em Polígonos;

Representações no Plano;

Congruência e representações de figuras;

Simetria;

Ângulos;

Áreas de polígonos.
2.
Geometria Espacial:

Poliedros;

Sólidos redondos;

Interseção, paralelismo e perpendicularismo;

Inscrição e circunscrição de sólidos.
Espera-se que o ensino destes conteúdos leve o aluno a dimensionar espaços,
percebendo relações de tamanho e forma; observar e reconhecer formas geométricas em
elementos naturais e criações humanas; identificar formas bi e tridimensionais em situações
descritivas orais, construções e representações; identificar, representar e utilizar o
conhecimento geométrico para leitura, compreensão e ação sobre a realidade.
14
Os objetivos descritos revelam que o ensino da Geometria Plana e Espacial tem como
um de seus focos auxiliar o aluno a reconhecer, compreender e representar o espaço que o
cerca e suas formas. Assim, parte do conhecimento se dá pela percepção do espaço que para
Fainguelernt (1999) está na capacidade de reconhecimento, discriminação e interpretação de
estímulos no espaço partindo do mesmo.
De acordo com os PCNs (1997), o ensino da geometria pode levar o aluno a
estabelecer relações entre a Matemática e outras áreas, se partir da exploração de objetos do
mundo físico, como obras de artes, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato. Desse modo
sugere dinamizar e utilizar a criatividade no seu processo de ensino, propondo atividades com
dobraduras, modelagem de formas em argila ou massa, construção de maquetes entre outras.
Os PCNs ainda destacam a importância de atividades de visualização de formas geométricas
na natureza e nas criações humanas.
Uma das possibilidades mais fascinantes do ensino da Geometria consiste
em levar o aluno a perceber e valorizar sua presença em elementos da
natureza e em criações do homem. Isso pode ocorrer por meio de atividades
em que ele possa explorar formas como as de flores, elementos marinhos,
casa de abelha, teias de aranha, ou formas em obras de arte, esculturas,
pinturas, arquitetura, ou ainda em desenhos feitos em tecidos, vasos, papeis
decorativos, mosaicos, pisos, etc. (PCNs, 1997, p. 128).
O desenvolvimento de tais atividades possibilita ao aluno compreender o significado e
a utilidade da Geometria Plana e Espacial, assim como estimula a curiosidade, o domínio da
imaginação e favorece a potencialização da criatividade. Para Luckesi (1994), o conhecimento
adquirido na escola, só é significativo e real para os alunos, se for assimilado pela
compreensão, exercitação e utilização criativa. É provável, que parte das frustrações no
aprendizado da Geometria, esteja no fato de que muitas vezes o ensino desta se reduz a meros
formalismos com excessivas regras e fórmulas, sem compreensão de conceitos e
demonstrações e às vezes sem sintonia com a realidade.
Sabendo que um dos objetivos do ensino da Geometria é oferecer condições para que
o aluno leia e interprete o mundo, faz-se útil refletir se o ensino da Geometria Plana e
Espacial tem possibilitado concretizar tal objetivo. Que condições de leitura e interpretação
estão sendo propiciadas e que tipo de leitura tem sido feita? Que tipo de leitores estão sendo
formados?
Vale ressaltar que uma das metas maiores da educação é formar cidadãos conscientes,
críticos e ativos que sejam capazes de atuar sobre a realidade e se preciso, modificá-la. Sendo
assim, o que se espera do ensino da Geometria Plana e Espacial é que contribua para essa
15
meta, de modo que, no processo de ensino aprendizagem, o aluno se sinta responsável pelo
seu conhecimento, participando ativamente do saber matemático.
Cabe ao professor, buscar metodologias que colabore para a potencialização das
capacidades criativas de seus alunos, explorando conceitos e propriedades da Geometria Plana
e Espacial, bem como exercícios de visualização e percepção do espaço, visando dar
significância ao estudo da mesma, promovendo-lhes a oportunidade de compreender sua
utilidade no cotidiano, na matemática e em outras ciências.
1.3 A construção do espaço e das relações espaciais segundo Piaget
Para compreender como se dá a percepção do espaço e como é organizada as relações
espaciais na mente do indivíduo, partimos da teoria de Piaget, visando entender de que forma
é construído o conhecimento geométrico. De acordo com sua teoria, a criança descobre e
compreende o mundo por meio do contato visual e físico com os objetos. A priori, sua
orientação espacial tem apenas seu próprio corpo como referencial. Mais tarde, adquire
consciência do espaço e dos movimentos de seu corpo e desenvolve a capacidade de deslocarse mentalmente, tendo as primeiras noções de coordenação espacial.
Durante algum tempo, os objetos são percebidos pela criança apenas pelo contato
direto com estes, isto significa que, ao serem retirados do campo visual e real da criança, é
como se os objetos deixassem de existir. Assim, a percepção do espaço está estritamente
ligado ao que a criança pode ver e tocar. Gardner (1994) considera crucial para o
desenvolvimento mental, a fase em que, segundo Piaget a criança é capaz de reconhecer a
permanência da existência dos objetos, mesmo quando fora do alcance de suas vistas.
Uma vez que a criança reconheça a permanência dos objetos ela pode pensar
neles e referir-se a eles mesmo em sua ausência. Ela também torna-se capaz
de reconhecer as similaridades entre determinados objetos – por exemplo o
fato de que todas as xícaras (apesar de diferenças em tamanho e cor)
pertencem a mesma classe (GARDNER, 1994, p.101).
Partindo da manipulação de objetos do espaço físico, a criança atribui-lhes
características que posteriormente lhe possibilitará visualizá-los mentalmente. Após construir
imagens mentais, a criança, através de um processo de interiorização de suas ações, pode
representar seu espaço, dando significado aos objetos por meio de palavras, gestos e
16
desenhos.
Fainguelernt (1999) constata que na teoria de Piaget sobre a concepção do espaço e da
Geometria, o desenvolvimento da representação é descrito como a imagem mental do espaço
real em que a criança atua. E de acordo com Gardner (1994), Piaget considera como estágio
final do desenvolvimento, a fase em que a criança, agora adolescente, consegue raciocinar
logicamente sobre suas ações e representações e realizar operações formais, como calcular a
veracidade de proposições e resolver problemas, considerando assim que o pensamento
lógico-racional produz o conhecimento científico. Nesta fase, é possível substituir os objetos
concretos por símbolos e operar através destes.
Afirma-se, assim, que a construção do espaço e das relações espaciais ocorre de modo
gradual. Num primeiro instante, por meio dos sentidos e movimentos, seguidos da exploração
e manipulação de objetos, a descoberta de conceitos e propriedades que permitem classificar
as imagens reais e, em sequência, visualizar estas mentalmente, oferecendo condições de
representar o espaço e, por fim, pelo raciocínio lógico formal e reflexão das imagens visuais e
representações mentais. Há assim, a passagem de um espaço para outro, do espaço perceptivo
para o de representação.
1.4 Do concreto ao abstrato
Já é possível perceber até aqui, que a Geometria se constitui a partir do mundo físico,
de ações sobre objetos e caminha para o domínio de operações mentais. Fora admitida a
existência de dois espaços, concreto e abstrato. Por conveniência do estudo usar-se-á as
seguintes definições; o concreto refere-se ao que existe materialmente, algo palpável,
claramente definido, perceptível pelos sentidos. E o abstrato designa o que se baseia em ideias
ou princípios gerais, e não em exemplos ou fatos reais, que existe como uma ideia ou difícil
de entender.
No ensino da Matemática há uma estreita relação em observar o mundo real e sua
representação e fazer ligação destas com os princípios e conceitos matemáticos. Segundo os
PCNs (1997), os conceitos e resultados da matemática tem origem no mundo real e permitem
aplicações em diversas situações práticas do cotidiano. A abstração aparece ao tratar relações
quantitativas e de formas espaciais, e o matemático utiliza apenas raciocínios e cálculos para
17
demonstrar suas afirmações.
Pode-se então perguntar, se o ensino da Geometria Plana e Espacial deve iniciar com a
exploração de formas e materiais concretos, como aprender a raciocinar abstratamente?
Ressaltamos que pensar de forma abstrata faz parte de um processo.
Inicialmente, o ambiente geométrico possibilita ao aprendiz desenvolver
suas impressões sobre a estrutura matemática, necessitando basear-se em um
ambiente real para interagir. Já em um estágio mais avançado, esse ambiente
geométrico adquire um significado mais amplo, não precisando de um
ambiente real (concreto) que o fundamente. O aprendiz já compreendeu e
produziu um significado que, partindo de um número reduzido de axiomas,
postulados e definições, pode constituir, por via dedutiva, um conjunto de
apropriações geométricas (Fainguelernt, 1999, p. 51).
Embora pareça uma capacidade inata do ser humano o desenvolvimento do raciocínio
lógico e a passagem de um espaço ao outro, tais competências devem ser potencializadas,
permitindo melhor aprendizagem. De acordo com Teixeira (2009), há um abismo entre a
matemática intuitiva e a simbólica, resultado do caráter abstrato do ensino. Segundo a mesma,
na maioria das vezes a matemática parte do abstrato, e não de situações concretas, o que causa
um descompasso, pois esta habilidade (abstração) não será de fácil visualização para aplicá-la
na vida diária, que normalmente exigem soluções práticas e imediatas para problemas.
É comum, encontrar alunos que não gostem da matemática, porque não entendem suas
fórmulas, não sabem quando usá-las e o porquê de seu uso. A abstração utilizada
precocemente pode, de certa forma, “assustar” os alunos, dificultando o processo de
aprendizagem e interferindo no crescimento intelectual dos mesmos. Polya (1995) sugere que
o professor, para o desenvolvimento do pensamento abstrato, faça seus alunos aprenderem a
demonstrar, testando, provando, formulando e interpretando. Torna-se necessário incentivar os
alunos a fazer suposições e, posteriormente, construir a prova. Na resolução de problemas,
aconselha-se a dar ênfase nos aspectos instrutivos da solução, levando o aprendiz a encontrar
soluções gerais, a elaborar regras, o que de algum modo requer o domínio de conceitos
básicos da Geometria.
De acordo com Mori e Onaga (2002) a resolução de problemas auxilia as construções
geométricas e exigem no ensino da Geometria o uso de instrumentos como régua, esquadro e
compasso, além da habilidade de lidar com operações. Para estas o ensino da Geometria deve
se iniciar empiricamente por medidas, experimentos e análises intuitivas até chegar ao
trabalho de abstração, fase que pede um maior rigor na formalização de conceitos e o uso do
raciocínio lógico dedutivo.
18
Considerando a abstração como a parte da matemática que soluciona problemas
baseando-se em princípios gerais e operações mentais sem o auxílio de meios concretos,
pode-se dizer que a mesma torna-se um dos mais altos níveis do saber matemático a ser
alcançado. Gradativamente, o saber geométrico vai sendo construído. O raciocínio lógico é a
principal ferramenta para que o aluno realize a passagem do concreto para o abstrato.
Apossemo-nos então das palavras de Kant: “Todo conhecimento humano começa com
intuições, passa a conceitos e termina com ideias” (apud. Boyer, 1996, p.).
Ressalta-se assim, em concorde com Fainguelernt (1999), que o ensino da Geometria
deve partir da percepção e intuição de dados concretos e experimentais, explorando os
conceitos, representações e aplicações, desenvolvendo o raciocínio lógico, para chegar ao
processo de abstração.
19
CAPÍTULO
2
A
VISUALIZAÇÃO
COMO
FERRAMENTA
PARA
O
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO
Não a ramo da Matemática por mais abstrato que seja, que não possa
um dia vir a ser aplicada aos fenômenos do mundo real.
(Lobachevsky)
Buscamos neste capítulo compreender como acontece o desenvolvimento do pensar e
raciocinar geometricamente, tendo por objetivo demonstrar a importância da visualização
nesse processo percebendo seu papel na construção da inteligência espacial. Além de analisar
de que forma as atividades de percepção e representação do espaço auxiliam a aprendizagem
em Geometria, e a importância de ter a visualização como um escudo para o ensino da
mesma. Seria a imagem visual um auxílio ou um empecilho para a construção da geometria
no meio educacional?
2.1 A construção do pensamento geométrico
Capacidades de pensar e raciocinar geometricamente refere-se a habilidades como
orientação espacial, coordenação de diferentes ângulos de observação, comunicação,
descrição e representação do espaço e a habilidade de reconhecer a utilização da Geometria na
solução de problemas matemáticos e da vida diária. Pode-se compreendê-la como sendo a
competência de elaborar ideias e raciocínios ligados à relações espaciais. O desenvolvimento
do pensamento geométrico está diretamente relacionado ao modo pelo qual se percebe e se
interpreta o mundo, a priori pelo seu aspecto físico e não pelos seus atributos.
O pensamento geométrico desenvolve-se inicialmente pela visualização: as
crianças conhecem o espaço como algo que existe ao redor delas. As figuras
geométricas são reconhecidas por suas formas, por sua aparência física, em
sua totalidade, e não por suas partes ou propriedades (PCN: Matemática,
1997, p. 127).
A base da construção do pensamento geométrico é a visualização do espaço e de suas
formas. Após visualizar o espaço é possível atribuir-lhe características que permitam a criação
20
da imagem mental do mesmo. Por meio dos conceitos, propriedades, intuição, dedução e
solução de problemas, faz-se uma reflexão sobre as imagens visuais e mentais que dão
condições de analisar, compreender, aceitar ou negar as proposições veiculadas. O
pensamento geométrico, segundo os PCNs (1997) vai do pensar no que pode ser percebido
para o que se pode ser concebido.
O pensamento geométrico tem ligação com o domínio do pensamento lógico
matemático e este segundo Gardner (1994) é traço de um confronto com o mundo dos objetos.
Considera-se que um dos principais meios para se construir o pensamento geométrico são as
atividades geométricas, pois estas estimulam o raciocínio lógico, o desenvolvimento de
estratégias para solucionar problemas e proporcionam contextos que desenvolvem as
habilidades citadas inicialmente.
Pensar geometricamente exige “saber fazer”. Isto significa que o aluno deve colocar
em prática os seus conhecimentos geométricos para enfrentar diversas situações. Para tanto,
este precisa exercitar a atenção, a visualização, a memória e o pensamento. Faz-se necessário
propor atividades que valorizem o raciocínio lógico, a interpretação, a criatividade e a
imaginação.
Para os PCNs (1997) os conceitos geométricos favorecem o pensamento geométrico
pois exigem dos alunos que estabeleçam relações entre definições, características e
proposições matemáticas. A respeito dos conceitos, há uma ressalva:
Em Matemática, os diferentes tipos de definição que se utilizam descrevem
com precisão as características dos objetos aos quais estão referidas; um
conceito matemático é caracterizado por seus atributos relevantes e pelas
relações existentes entre eles. Porém, se estamos preocupados com a
construção dos conceitos pelos aprendizes, a psicologia e a didática
garantem que no processo ensino-aprendizagem um conceito ano pode
simplesmente ser reduzido à sua definição, e é através da contextualização
por meio de diferentes atividades e situações-problemas que ele adquire um
significado para o aprendiz (FAINGUELERNT, 1999, p.75).
Desse modo, julga-se que é preciso ligar conceitos geométricos a definições
matemáticas, partindo de exemplos e contra-exemplos, levando em consideração o contexto
nos quais os conceitos estão inseridos. Fainguelernt (1999) cita como exemplo o conceito de
triângulo. Sua definição é que um triângulo é uma figura de três lados. Porém, dependendo do
contexto, o conceito seria equivocadamente construído, pois três segmentos quaisquer nem
sempre constroem um triângulo. Necessita-se assim de dados contextuais que proporcionem a
real construção do conceito. Um conceito de triângulo com melhor contextualização poderia
partir da definição de que o triângulo é uma figura composta por três lados, três vértices e três
21
ângulos.
A intenção aqui, não é aprofundar no estudo de conceitos, mas demonstrar que a
formação e compreensão destes contribuem para a construção do pensamento geométrico.
Logo, percebe-se que a construção do pensamento geométrico tem suas raízes na
visualização, e se desenvolve pela apreensão de conceitos e atividades de exploração do
espaço e resoluções de problemas que envolvem neste caso o uso da Geometria Plana e
Espacial. A utilização do pensamento geométrico implica na utilização dos conhecimentos
matemáticos que por sua vez visam encontrar soluções para problemas de todas as áreas do
conhecimento, bem como cooperar para o avanço científico, tecnológico e social da
humanidade.
2.2 Da visualização à representação
Como considerado anteriormente, a visualização é a base para a construção do
pensamento geométrico. Fainguelernt (1999) define visualização como sendo a habilidade de
perceber, representar, transformar, descobrir, gerar, comunicar, documentar e refletir sobre as
informações visuais. Partindo dessa definição, visualização não é apenas o ato de ver, no
sentido de utilizar um órgão sensorial. Está relacionada à capacidade de analisar o que se
percebe como parte do mundo real e memorizar aspectos que caracterizem os objetos vistos.
Refere-se então a contato visual físico, mas também a contato mental (imaginário) com o
espaço.
É comum encontrar professores que ao ensinar Geometria, utilizem a expressão
popular “comer com os olhos”, designando ações como, observar atentamente, não desviar o
olhar, perceber detalhes, investigar, descobrir algo. Considerando tal expressão, de fato, o que
se pretende com a visualização é levar o aluno a “comer” o mundo com os olhos.
Atentemo-nos para o fato de que, pessoas com deficiência visual percebem o mundo
por outros meios, utilizando outros sentidos como o tato e a audição. Assim, referimos aos
“olhos” como sendo o meio de exploração do espaço, considerando tanto o sistema visual
como o tátil.
O indivíduo cego tende a converter as experiências espaciais no número de
etapas (ou movimentos de dedos) dados numa determinada direção e no tipo
de movimento necessário. O tamanho descoberto através de métodos
indiretos, tais com passar a mão ao longo de um objeto: quanto mais
22
movimento no tempo, maior o objeto parece ser. O indivíduo cego pode
explorar indícios como retidão, curvatura e saliência de feições para
reconhecer figuras mais complexas (sombras de medidas de imagens visuais)
(GARDNER, 1994, p. 144).
Contudo, esse trabalho limita-se ao estudo da visualização pelo meio visual “comum”,
ficando os outros meios como sugestão para pesquisas posteriores. A visualização torna-se
uma atividade indispensável na matemática, especialmente na Geometria, área que envolve
criatividade e dinamismo no ensino.
Fainguelernt (1999) argumenta que a visualização ativa o pensamento espacial e o
raciocínio e que o estudo da Geometria necessita recorrer a intuição, a percepção e a
representação para interpretar o mundo e compreender a matemática. Segundo a mesma, a
visualização é importante porque envolve processos mentais e cognitivos essenciais para a
construção do conhecimento matemático.
Nas conclusões antecedentes, os objetos são primeiramente percebidos no espaço,
observados e analisados, identificadas e descritas suas propriedades, classificados e
conceituados e por fim representados visualmente e mentalmente. Em uma análise da teoria
de Fischbein (1994), Fainguelernt (1999) constata que o espaço é percebido e construído por
meio de elementos visuais.
A experiência visual permite construir imagens mentais do espaço percebido e faz-se
possível recriar aspectos dessa experiência. Assim, por exemplo, observando uma casa por
diversas vezes, é possível mentalizá-la ou memorizá-la tendo em seguida a capacidade de
desenhá-la no papel, mantendo suas características essenciais e originais. Gardner (1994) diz
que a visualização contribui para o pensamento científico e artístico. Para este, o
conhecimento geométrico está no domínio das relações espaciais, das imagens visuais e
mentais.
Para Fainguelernt (1999) a aprendizagem resulta da interpretação que é dada as
sensações dos estímulos do meio ambiente, de experiências passadas, ideias, imagens,
expectativas e atitudes. Afirma-se que as imagens visuais claramente definidas, organizam os
dados disponíveis em estruturas significativas, estabelecendo possibilidades para solucionar
problemas intuitivamente.
A visualização contida numa atividade cognitiva adequada é um fator
essencial para a compreensão intuitiva. As representações visuais, por um
lado contribuem para a organização das informações em representações
sinópticas, constituindo um fator importante de globalização. Por outro lado,
o aspecto concreto das imagens visuais é um fator essencial para a criação de
um sentimento de auto evidência e imediação (FAINGUELERNT, 1999,
23
p.42).
Nesse sentido, pode-se dizer que a resolução de problemas com o auxilio de imagens
visuais, facilita a compreensão do problema e seduzido pela visualização o aluno se sentirá
motivado a resolvê-lo. Vejamos um exemplo de problema proposto por Polya (1995) e sua
proposta de solução:
Deseja-se calcular a diagonal de um paralelepípedo retângulo do qual são conhecidos
o comprimento, a largura e a altura. Para solucioná-lo é sugerido ao professor que concretize
o problema para torná-lo interessante. Considerando que a sala de aula seja um paralelepípedo
retângulo, podendo medir suas dimensões, propõe-se ao aluno que calcule a diagonal da sala
medindo-a. O professor indicará o comprimento, a largura e a altura da sala e com um gesto,
mostrará a diagonal da sala. Transpõe-se a figura da sala para o quadro e os alunos realizam
diálogos de interpretação do problema.
Os alunos compreenderão que, dos dados do problema, tendo o comprimento, a
largura e a altura, tem-se o paralelepípedo e determinando-o, encontrar-se-á sua diagonal. Tal
exemplo nos permite analisar a importância de visualizar o problema, transformá-lo em uma
situação real, concreta, que faça o aluno considerar relevante solucioná-lo.
No ensino da Geometria, nota-se maior dificuldade quando se fala de três dimensões.
O aluno está acostumado a trabalhar figuras planas, estáticas e sem dinamismo. Assim,
quando o professor se refere ao cubo, ao paralelepípedo, o aprendiz só visualiza uma de suas
faces, o que significa dizer que este vê uma figura plana e não uma figura tridimensional. A
ocorrência desse equívoco pode estar no fato de o professor, ao exemplificar figuras espaciais,
por exemplo, comparar o paralelepípedo com o quadro negro. Com esta comparação o aluno
criará a imagem mental do paralelepípedo como sendo um retângulo, ou seja, uma figura
bidimensional.
Desse modo, torna-se essencial trabalhar com as representações de figuras no espaço,
para que o aluno perceba que as figuras espaciais podem ser formadas por figuras planas, mas
possuem três dimensões: comprimento, largura, profundidade ou volume, o que as diferem
das planas, constituídas de comprimento e largura. Visualizar o espaço, portanto, não é tão
fácil quanto parece, afinal estamos definindo esse ato não como um simples “olhar para o
mundo,” mas numa dinâmica e sentido maior.
Cabe esclarecer que a visualização e os processos visuais devem se interagir com o
mundo da Geometria, dos conceitos, propriedades, definições matemáticas, pois Fainguelernt
(1999) explica que é impossível formar a imagem de conceito ou identificar suas
24
características sem a visualização dos elementos que o compõe.
Constata-se que a visualização amplia a visão intuitiva e global e facilita a
compreensão em outras áreas da Matemática. As pesquisas feitas relacionando visualização e
Geometria apontam para a visualização como um nível da construção do pensamento
geométrico e alegam estar interligadas visualização e habilidades espaciais.
Admitindo uma hierarquia na aprendizagem da Geometria, ou seja, seu ensino se
inicia pela visualização passa a percepção e caminha para a representação, torna-se
conveniente refletir a etapa de representação, sendo esta uma importante habilidade
matemática. A representação consiste em formar modelos simbólicos do espaço ou ilustrar as
imagens mentais.
Segundo Pallascio (1992), “o papel principal da representação é a
conceituação do real a fim de agir eficientemente.” Para ele , a representação
visual, por um lado, tem o significado da organização material de natureza
simbólica (por exemplo, desenhos, diagramas, etc.), que se refere a certas
realidades ou modela etapas do processo e, por outro lado, se refere à
imagem mental (FAINGUELERNT, 1999, p. 57).
As imagens visuais se armazenam mentalmente, gerando a imaginação interna do
espaço. A representação permite imitar essa imaginação, de forma externa. Tal afirmação nos
leva de volta a teoria de Piaget. Na teoria Piagetiana, a Geometria está relacionada com a
tomada de consciência do espaço, sua representação e construção de idéias matemáticas. A
representação revela-se de certa forma, com a reconstrução das imagens visuais e mentais.
Para se chegar a este estágio, as capacidades visuais deverão estar desenvolvidas.
Como exemplos de capacidades visuais aguçadas e habilidades em representação,
podemos citar os pintores, escultores, artesãos, engenheiros e pedreiros.
Conta-se que Leonardo da Vinci ao ver uma cabeça ou uma barba estranhos ou um
cabelo de aparência incomum, seguia a pessoa o dia inteiro e assim o decorava, de modo que
ao chegar em casa, desenhava-a como se esta estivesse presente. Algumas de suas obras
retratam fielmente cenas e objetos, vistos apenas uma vez. Os trabalhos nas áreas de Artes
plásticas têm início na observação do mundo cotidiano. Alguns artistas costumam utilizar a
expressão de que a ideia tem que surgir de uma imagem. Ainda na área das Artes,
considerando alta capacidade de visualizar e representar formas e o espaço, destaca-se Pablo
Picasso, especialmente seus trabalhos com a Geometria.
Picasso foi um dos principais representantes do Cubismo, movimento artístico surgido
no início do século XX, cuja pintura submete objetos à superfície bidimensional da tela,
simplificando as formas até reduzi-las ao cone, ao cilindro e a esfera, girando-as no plano,
25
provocando a ilusão tridimensional. Seus quadros apresentam figuras, cuja composição dá a
impressão de serem pequenos cubos.
A habilidade de Picasso, com a visualização e representação se faz notável. Este
retratava formas geométricas presentes nos objetos cotidianos, construções e até em seres
humanos. Suas figuras (anexo 2, 3 e 4) falam por si e revelam todo seu talento visual e
espacial.
Outro artista de notáveis habilidades foi o holandês Maurits Corneles Escher,
considerando como o gênio criador de gravuras. Suas obras são marcadas pelos efeitos visuais
que levam o observador a olhar diversas vezes para perceber suas composições. Escher
utilizava a isometria no plano, figuras de poliedros, linhas, círculos. Suas representações dão a
imagem de movimento às figuras. Suas composições revelam sua preocupação em criar
padrões geométricos e o preenchimento de superfícies.
As figuras (anexo 5, 6 e 7) mostram um pouco do trabalho de Escher.
Na figura 5 por exemplo, as linhas circulares brancas se interceptam dividindo-se em
fragmentos, que por sua vez tem sempre o comprimento de um peixe e as linhas indicam os
trajetos em que se movem fileiras de peixes. A figura 6 retrata pássaros que se deslocam de
forma simétrica. Na construção da figura 7, o círculo se divide em seis setores que apresentam
anjos sobre um fundo preto e demônios sobre um fundo branco.
Segundo Fainguelernt (1999), Escher utilizava-se da Matemática para ampliar sua
percepção e exploração, isto enriquecia seu trabalho gráfico, que se baseava em visualizações
e representações.
Nesta forma de trabalho, ou melhor, verdadeiras obras artísticas não poderíamos
deixar de mencionar o trabalho dos pedreiros e engenheiros ou arquitetos. Isso porque eles
possuem a habilidade de projetar construções, mesmo sem tê-las visto. Forma-se uma imagem
mental, ou seja, idealiza-se a construção, de maneiras que podem ser materializadas. A
importância de reconhecer a presença da visualização e representação nas diversas áreas,
algumas profissionais, mostram que o conhecimento geométrico e matemático tem
aplicabilidade na vida e em diversas ciências.
O que se deseja e se propõe é que a escola e o professor de Matemática desenvolvam
atividades que permitam os alunos explorarem o espaço físico, visualizando-o e o
representando. A proposta não é um “curso intensivo” em visualização e representação e não
se espera formar necessariamente um Picasso ou um Escher. O objetivo aqui, é que o aluno
seja capaz de construir conhecimento significativo para que possa satisfazer suas necessidades
e solucionar problemas, além de compreender a Geometria Plana e Espacial como parte da
26
realidade.
Assim, sugere-se que sejam realizadas sempre que possível, atividades de visualização
e representação em trabalhos com construções de figuras geométricas bi e tridimensionais,
com a utilização de mosaicos e Tangram, quadros artísticos, criações de escultura com argila e
o uso do computador e softwares matemáticas com foco em Geometria.
Porém, a utilização dos recursos visuais, bem como as atividades de visualização e
representação com seus respectivos objetivos, serão abordados com mais esclarecimentos e
detalhes no decorrer do trabalho.
Ressalta-se por fim, que a visualização e representação, favorece o desenvolvimento
das capacidades espaciais e contribuem para a construção do pensamento geométrico,
conferindo a Geometria Plana e Espacial dinamismo, criatividade e significado real
permitindo uma melhoria na aprendizagem dos referidos conteúdos.
2.3 O desenvolvimento da inteligência espacial
Em virtude da reflexão proposta sobre a visualização e a representação, nota-se que o
pensamento geométrico tem estrita relação com habilidades espaciais, envolvendo o domínio
de uma inteligência particular que desperta novos questionamentos, tais como, o que se
entende por inteligência espacial? Como a inteligência espacial se desenvolve? Todos nós
somos capazes de possuí-la ou esta é uma inteligência somente para pessoas super dotadas?
Em busca de respostas para estas indagações, torna-se indispensável discutir a teoria
de Howard Gardner (1994), um dos principais estudiosos dos potenciais humanos. Ele
pressupõe a existência de sete tipos de inteligências, entre elas a inteligência espacial, parte do
nosso objeto de estudo. De acordo com Gardner (1994, p. 135), “centrais à inteligência
espacial estão as capacidades de perceber precisamente o mundo visual, transformar e
modificar sua percepção inicial e ser capaz de reproduzir aspectos da experiência visual,
mesmo sem a presença de estímulos físicos significativos.” Trata-se portanto, da habilidade de
perceber o espaço e representá-lo ainda que em situações não concretas, ou seja, inicia-se
manipulando formas em várias dimensões e termina-se representando imagens mentais.
Considera-se a inteligência espacial relacionada à capacidades como a de identificar
exemplos de um elemento e reconhecer sua transformação em outro elemento, a evocação de
formas mentais e a produção de representações gráficas do espaço. De acordo com Gardner
27
(1994), as capacidades espaciais têm diversas importâncias e aplicações.
Elas são importantes para a nossa orientação em várias localidades, desde
aposentos até oceanos. Elas são invocadas para o reconhecimento de objetos
e cenas, tanto quanto estes são encontrados em seus ambientes originais
como quando algumas circunstâncias da apresentação original foram
alteradas. E eles também são utilizados quando trabalhamos com
representações gráficas utilizados quando trabalhamos com representações
gráficas – versões bidimensionais ou tridimensionais de cenas do mundo real
– bem como outros símbolos como mapas, diagramas ou formas geométricas
(GARDNER, 1994, p.137).
A teoria da inteligência espacial admite sua origem na ação sobre os objetos. O
domínio de operações concretas possibilita a manipulação ativa das imagens e dos objetos no
conhecimento do espaço. Através de operações mentais, é possível reconhecer como seria um
objeto girado no espaço ou como se apresentaria visto por outro ângulo, como as pessoas em
espaços diferentes analisam uma mesma cena. Assim como um filme assistido por diversas
pessoas provocam sensações e interpretações distintas do mesmo, uma cena ou um objeto do
espaço, observados em vários ângulos despertam visões e percepções diferentes em cada
indivíduo, no observador.
Pelas diversas interpretações que os objetos e cenas no espaço real e mental
proporcionam, sugere-se que o desenvolvimento espacial tenha ligação com o domínio da
imaginação, que nessa abordagem não está relacionada à fantasia ou ilusão, mas à capacidade
de criar imagens e memórias visuais. Não consiste necessariamente em decorar objetos e
imagens, mas em estabelecer vínculos entre relações espaciais e proposições.
A inteligência espacial é para Gardner (1994) o entendimento do meio espacial. De
acordo com ele, os primeiros indícios de inteligência espacial se encontram na infância.
Crianças, por volta de três anos são capazes de refazer rotas, mas não ainda de descrevê-la.
Aos poucos ela desenvolve sua capacidade de orientação e estabelece relações de vizinhança.
Considera-se fase importante para o desenvolvimento da inteligência espacial, quando
a criança é capaz de determinar mentalmente marcos de um trajeto que o permita reconhecelo. Essa capacidade permite a formação da imagem mental do trajeto, o que leva a criança a
visualizá-lo mesmo sem tê-lo percorrido.
Um exemplo da capacidade descrita acima é a habilidade de chegar a um determinado
local sem a utilização de um mapa ou desenho do trajeto. Apenas com informações a respeito
do caminho é possível visualizar este e encontrar o lugar que se procura. De certa forma, se
conhece o caminho pela sua descrição. Em contrapartida, não conhecer o espaço e não ter sua
descrição torna-se um problema. Se alguém entra em uma floresta desconhecida por um
28
determinado local, suas chances de retornar ao ponto de origem são poucas, a menos que
marque de alguma forma o percurso feito.
Vale esclarecer que a inteligência espacial envolve a abstração, pois requer operações
mentais para visualizar o espaço físico, não envolvendo meios concretos. Dessa forma,
utilizar mapas ou marcas para encontrar o caminho de volta da floresta não caracteriza uma
capacidade de inteligência espacial, mas apenas astúcia. Caso de inteligência espacial seria
entrar em uma floresta desconhecida tendo o mapa desta “na cabeça” e não nas mãos e
encontrar o caminho de volta.
Fundamental para o desenvolvimento da inteligência espacial é o conhecimento do
espaço, primeiro materializado e depois idealizado. Gardner sugere algumas atividades para
testar se o indivíduo possui inteligência espacial desenvolvida (ver anexo 8) e alguns
problemas que exigem a necessidade da criação de imagens mentais.
Primeiramente, imagine um cavalo. Que ponto é mais elevado, o zênite da
cauda do cavalo ou a parte mais inferior da cabeça do cavalo? Imagine um
elefante e um rato. Agora imagine os cílios de cada criatura. Qual leva mais
tempo para focalizar com maior nitidez? Imagine a pia e a sua cozinha. Que
torneira controla a água quente? Ou, para concluir esta série, imagine um
campus ou uma praça com a qual você esteja familiarizado. Marque seu
tempo enquanto você examina cuidadosamente, em série, cada edifício e
agora compare o tempo que passou quando você examinou de um lado do
campus (ou praça) até o outro (GARDNER, 1994, p.134).
As propostas de exercícios citadas permitem que o aluno possa evocar figuras em sua
ausência e ter noções do espaço tridimensional, desenvolvendo seu raciocínio mental e
abstrato. Exemplos da inteligência espacial aguçada se encontram na pintura e escultura, artes
que exigem a sensibilidade para o mundo visual e espacial.
Os artistas demonstram preocupações com suas percepções espaciais e em como
reproduzi-las em suas obras. Gardner (1994) expõe algumas dessas preocupações, como as de
Van Gogh em conhecer leis de proporção, de luz, sombra e perspectivas para desenhar bem,
sem as quais ele nada podia produzir. O trabalho com escultura revela a capacidade do
homem de recriar o mundo visual e espacial através da modelagem.
Nas mais diferentes culturas é possível perceber a utilização da inteligência espacial,
seja em jogos ou atividades cotidianas.
O povo do Shongo no Congo possui um jogo no qual alinhamentos
complexos são desenhados na areia e o jogador deve copiar um alinhamento
num caminho único sem levantar um dedo da terra ou retraçar qualquer
segmento de linha. (…), os esquimós desenvolveram um elevado grau de
29
capacidade espacial, possivelmente devido à dificuldade de orientar-se em
seu meio. Eles devem ser capazes de detectar pequenas rachaduras no gelo
(…). também para encontrar o caminho de volta a algumas poucas casas na
Tundra, o caçador deve prestar atenção no ângulo e à forma de pequenos
montículos de neve (Gardner, 1994, p. 156).
Outros povos utilizam-se as estrelas como pontos referenciais para navegar.
Memorizam-se os pontos ou direções onde nascem e se põem determinadas estrelas, dessa
forma, o caminho é visualizado e assim conhece-se o seu destino.
Com base na teoria de Gardner, pode-se afirmar que a inteligência espacial tem quase
o mesmo significado que a inteligência visual, pois tem como exigência o domínio da
visualização e percepção do espaço físico e sua idealização.
Considera-se que todos os indivíduos podem desenvolver inteligência espacial,
embora haverá sempre aqueles que se sobressaiam em determinadas habilidades, pois
quaisquer que seja as inteligências, estas se desenvolvem de modos diferentes em cada
indivíduo. O que não se deve acontecer é a escola garantir oportunidades de desenvolvimento
dessa inteligência somente para alguns, os quais consideram aptos ou bem dotados para
possuí-la.
É preciso então, reconhecer a importância da democratização do ensino, oferecendo
condições iguais de aprendizagem para todos, visando a formação plena dos aprendizes
permitindo seu crescimento pessoal e intelectual.
O ensino da Matemática, especialmente da Geometria Plana e Espacial, assume-se
como um dos principais responsáveis pelo desenvolvimento da inteligência espacial nos
alunos, cabendo a ele a tarefa de ensino eficaz, criativo e prazeroso. Admitindo que o
desenvolvimento da inteligência espacial depende da visualização e representação, torna-se de
suma importância, ensinar a Geometria Plana e Espacial partindo de atividades que explorem
tais habilidades.
Propõem-se atividades que estimulem o aluno a pensar em termos de relações
espaciais, perceber espaços, movimentos, transformações e representações do espaço. Como
exemplos, estão os trabalhos que envolvem rotação e translação de figuras no plano. Tais
como, os mosaicos que de acordo com Madsen Barbosa (apud Fainguelernt, 1999, p. 76), “a
construção de mosaicos ainda que não seja difícil do ponto de vista artesanal, em certos casos
reflete em seus padrões uma interseção curiosa e atraente com a imaginação geométrica.”
Outro exemplo de trabalho ou para o trabalho é a utilização do computador que
permite realizar simulações e construir procedimentos, dando dinamismo ao ensino da
Geometria. Entre os recursos computacionais, encontra-se o LOGO que oferece condições de
30
visualização e representação do espaço.
Os PCNs (1997), sugerem atividades de construção de itinerários, relatos orais do
trajeto de casa até a escola, desenhos do trajeto, além de trabalhos com malhas, diagramas,
tabelas e mapas. Uma outra atividade proposta é a construção de plantas e maquetes e a
descrição de suas representações. Os PCNs afirmam que esta pode “dar ao professor uma
visão do domínio geométrico de seus alunos” (1997, p. 128).
Assim sendo, o espaço e sua exploração é o principal meio para o desenvolvimento da
inteligência espacial.
O aluno deve ser incentivado, por exemplo, a identificar posições relativas
dos objetos, a reconhecer no seu entorno e nos objetos que nele se encontram
formas distintas, tridimensionais e bidimensionais, planas e não planas, a
fazer construções, modelos ou desenhos do espaço de diferentes pontos de
vista) e descrevê-los (PCNs: matemática, 1997, p.128).
Ainda como exemplo de exercícios que desenvolvem as capacidades espaciais, tem-se
o jogo de xadrez. Segundo Gardner (1994, p.149), “a capacidade de antecipar jogadas e suas
consequências parece intimamente ligada à forte imaginação.” Cabe aqui explicitar a
importância dos jogos no ensino para o desenvolvimento do aluno e da aprendizagem. De
acordo com os PCN's, os jogos desenvolvem o raciocínio, estimula o pensamento, leva o
aluno a criar estratégias, além de proporcionar o prazer em aprender.
No jogo do xadrez, são exigidas do aluno capacidades como concentração,
criatividade e imaginação. É preciso visualizar antecipadamente as jogadas e imaginar as
jogadas do adversário. Para Gardner (1994), o jogo do xadrez desenvolve as capacidades
espaciais porque não se trata de memorizar peças nem o tabuleiro, mas consiste na
codificação de planos e ideias. A habilidade espacial está no fato de relacionar padrões,
codificá-lo e reconstruí-lo. A inteligência espacial pode dessa forma estar ligada aos planos
mentalmente traçados para a vitória no jogo.
O jogo do xadrez pode assim, favorecer o domínio da imaginação e estimular a
criatividade, competências importantíssimas para a aprendizagem na área da Geometria.
No desenvolvimento das capacidades espaciais que para Tartre (apud Fainguelernt,
1999, p.55), “são as capacidades mentais relacionadas com a compreensão, manipulação,
reconhecimento ou interpretação de relações visualmente,” compreende-se a realização de
atividades que explorem o espaço geométrico, por meio de imagens visuais. Dentre essas
capacidades espaciais, considerá-se a competência de visualizar formas geométricas no dia-adia, nas construções, na natureza nos objetos, nas embalagens, etc.
31
Os PCN's (1997), sugerem atividades de composição e decomposição de figuras
geométricas. Este trabalho segundo Ribeiro e Soares (2006), desenvolve no aluno a
capacidade de identificar e representar as figuras e objetos por todos os seus lados sejam elas
bidimensionais ou tridimensionais. Temos como uma habilidade espacial, o fato de o aluno,
por exemplo, conseguir planificar cubos, paralelepípedos, pirâmides, cones e cilindros. Para
efeito de visualização, ver as planificações de algumas figuras (anexo 9).
Atividades do tipo, a realizada com os olhos vendados podem desenvolver no aluno
suas noções de espaço e orientação, que de acordo com Gardner (1994), são fundamentais
para a inteligência espacial. Entretanto, existe inúmeras outras atividades que podem auxiliar
no desenvolvimento de tal inteligência. Assim, fica a critério do professor, de e se utilizar de
tais didáticas ou metodologias para levar o aluno a desenvolver sua inteligência espacial. Vale
lembrar que a criatividade por parte do professor é o principal “tempero” que dão às aulas de
matemática um “sabor” especial, chamado e visto como a aprendizagem e satisfação dos
discentes.
2.4 Educação visual
O centro do raciocínio geométrico, até o presente momento é a visualização.
Compreende-se que a imaginação é o processo de construção de imagens mentais a partir de
imagens visuais. Como as imagens visuais representam, ou melhor, refletem nossas
observações feitas do mundo, surge à dúvida de que se a imagem visual estiver distorcida, as
imagens mentais também estarão? A percepção e representação do espaço estarão
comprometidas?
Da mesma forma que em nossa sociedade atual se aconselha refletir sobre as imagens
que a televisão transmite, o mesmo acontece com as imagens as quais estão sendo referidas
neste estudo. Ocorre que, às vezes, “os olhos podem se enganar.” De acordo com Kaufman
(1999), a visualização pode ser afetada pela percepção. Esta última sofre influências dos
diversos pensamentos, atitudes e desejos pessoais em um determinado momento. Desse modo,
pode haver a distorção da imagem visual, pois o que se vê nem sempre é a imagem real,
podendo se tratar de uma ilusão de ótica, ou até fantasia.
Por vias óbvias, faz-se necessário uma educação visual para que as sensações
provenientes do estímulo do meio ambiente não prejudiquem a formação de imagens visuais
32
reais e não comprometa todo um processo. A imagem está presente nos mais variados
ambientes do mundo visual e encontra grande espaço e aceitação pelo forte poder de sedução
que exerce. Por esse motivo, torna-se relevante discutir de que maneira as imagens visuais
tem influenciado as mentais e como educar-se visualmente.
As imagens mentais segundo Garcez (2005) são resultantes do repertório de
experiências visuais que por sua vez apresenta-se diferenciadamente em cada indivíduo. Cada
um pode recriar no imaginário aquilo que é observado. Para a mesma, é essencial fazer leitura
das imagens, desenvolvendo habilidades quanto à observação, à atenção, à memória, à
associação, à análise, à orientação espacial, ao sentido de dimensão, ao pensamento lógico e
ao pensamento criativo. É de suma importância fazer uma análise crítica das informações
visuais, considerando seus conceitos e definições.
Além disso, precisamos também associar tudo o que observamos com outras
informações e conceito provenientes dos conhecimentos acumulados por nós
e pela cultura humana através dos tempos. É um jogo em que, às vezes,
mergulhamos na emoção e, as vezes, tentamos fazer uma análise crítica por
meio do raciocínio, da razão. Enfim, nunca nos podemos entregar
passivamente sem uma participação ativa. Uma atitude de atenção e crítica é
essencial (S.E.D., 2005, p.107).
A construção das imagens visuais e mentais, devem passar, portanto, por um processo
de análise e crítica, revendo conceitos, propriedades e raciocínio lógico. Não dissociando a
formação de imagens visuais dos conceitos e definições que a caracterizam. Assim, a
educação visual é também uma questão de aprendizagem de conceitos e principalmente o
domínio das relações espaciais.
33
CAPÍTULO 3 O ENSINO DA GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL PELA
VISUALIZAÇÃO, ATRAVÉS
DA EXPLORAÇÃO
DO
ESPAÇO
FÍSICO
E
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
É das hipóteses mais simples que mais devemos desconfiar, porque são
aquelas que têm mais possibilidade de passar despercebidas.
Poincaré
Neste capítulo, analisamos a presença da geometria nas construções do homem e da
natureza e a importância dos recursos visuais para a dinamização do ensino da geometria
Plana e espacial além, de buscar compreender como a visualização auxilia na resolução de
problemas matemáticos.
3.1 Visualizando a Geometria Plana e Espacial nas Criações Humanas e da Natureza.
Não se pode discutir o fato de que vivemos num mundo cercado por formas. Elas estão
presentes em toda parte, basta que se perceba. Há formas para todos os gostos e é raro quem
não possa admirá-las. Elas não existem somente para fins estéticos, para dar beleza ao mundo,
mas também para a utilização em problemas do cotidiano e para satisfazer as necessidades
humanas.
A melhor maneira de compreender a Geometria Plana e Espacial como parte da vida, é
partindo da observação e exploração do espaço em que vivemos. Assim, é possível associar
elementos geométricos a objetos e situações concretas presentes no dia-a-dia. Comecemos por
elementos básicos que estão em nosso meio e acessível para todos, para termos a ideia de um
ponto é só olharmos para uma estrela no céu. De uma reta, é um raio de luz, e de um plano é o
espelho d’água de um lago. Se observarmos de forma atenta, a Geometria presente em nosso
meio perceberemos que ela aborda os aspectos do tipo, formas na natureza, no cotidiano, na
arquitetura, na arte e na decoração.
Contudo, é possível admirar as formas das flores e das borboletas. As disposições da
estrutura da flor e das asas da borboleta apresentam simetria. De acordo com Zampirollo
(2004) o homem se aproveitou de formas da natureza para construir formas que lhe fossem
34
úteis. Como exemplos podemos citar o coco, que através da observação o ser humano pode
criar às vasilhas, pedaços retilíneos de galhos de árvores inspiraram ferramentas e utensílios
como cabos de vassoura ou panela, observando os pássaros e as formas o homem conseguiu
voar, criaram-se o remo e os “pés-de-pato” pela analise da funcionalidade das patas de
algumas aves, enfim, para ela o que a natureza inspira, o homem cria, combina, aperfeiçoa o
que observa.
Uma curiosa aplicação geométrica está na colmeia das abelhas. Seus alvéolos têm
forma hexagonal para armazenar um maior volume de mel. Outro fascinante exemplo são as
teias de aranha. Ambos os casos revelam a sabedoria da natureza ao lidar com formas.
Observa-se a presença da Geometria nos objetos cotidianos, tais como caixas de
sapatos ou fósforo representam paralelepípedos, latas são cilindros, casquinhas de sorvetes
representam forma de cone. No relógio as horas exatas formam ângulos retos e barras de
chocolate podem representar prismas. Os prismas ainda podem ajudar na publicidade.
Segundo Imenes (1992) os outdoors que valem por três, ou seja, veiculam três
propagandas no mesmo espaço, em tempos diferentes, tem a forma geométrica de um prisma
triangular. Os prismas encontram-se enfileirados e a propaganda é colada nas faces
retangulares destes. Em intervalos de tempos adequados todos os prismas são girados ao
mesmo tempo em torno de um eixo que passa pelo centro de suas bases, ou melhor, dos
triângulos até a face seguinte ficar de frente para o público. Desse modo a publicidade
economiza, afinal, coloca três anúncios em um único espaço.
As formas na arquitetura, arte e decoração revelam a presença da Geometria nas belas
construções humanas. Na arquitetura percebe-se facilmente a Geometria em construções
como a Pirâmide de Quéops construída por volta de 2.500 anos a.C no Egito e considerada
uma das grandes maravilhas do mundo. De simetria impressionante é o palácio Taj-Mahal na
Índia, símbolo do amor do príncipe persa Sha Jahan por Arjumand Begum.
A forma dos Prédios que compõem o congresso nacional lembra paralelepípedos e
podem-se contemplar arcos em algumas construções. Um dos arcos mais famosos é o Arco do
Triunfo localizado em Paris. Entre um dos maiores arquitetos dos últimos tempos, está Oscar
Niemeyer. Seus projetos estão cheios de formas e o mesmo tem uma forte atração pelas
curvas. Um exemplo de seu trabalho com curvas é a Igreja de São Francisco de Assis em Belo
Horizonte.
Podemos ainda observar a Geometria mais de perto. No formato de casa, paredes,
telhados, prédios, ginásios esportivos e entre diversas outras construções, desse modo curvas,
retas, ângulos e figuras geométricas se unem para beneficiar o homem. Nas artes e
35
decorações, a visualização da Geometria Plana e Espacial é de fácil percepção, os pisos e os
trabalhos com mosaicos são bons exemplos de obras de artes que possuem um belo
revestimento com figuras poligonais. Além desses, a Geometria se encontra também na arte
milenar de decorar vasos. Portanto, onde quer que se esteja a Geometria se faz presente. O
ensino então deve ir além do espaço escolar.
Na natureza, nas diversas artes, das mais simples as mais luxuosas construções, dos
tempos mais remotos até os dias de hoje, a Geometria, acompanha o homem e com suas
formas bidimensionais ou tridimensionais conferem ao mundo beleza e grandiosidade.
3.2 Os recursos visuais no ensino da Geometria Plana e Espacial.
Neta parte de nosso trabalho citamos alguns recursos visuais que podem ser utilizados
no ensino da Geometria Plana e Espacial, mas antes de discorrer sobre alguns deles, faz-se
necessário compreender o papel destes na educação. Considera-se que a utilização de recursos
visuais consista em tomar materiais com apelo visual para fins didáticos.
Acredita-se que é possível alcançar uma aprendizagem satisfatória, se o aluno é
estimulado sensorialmente, ou seja, por seus sentidos. Desse modo estudam-se os recursos
visuais como ferramentas de auxilio á aprendizagem. Portanto, faz-se preciso desenvolver nos
alunos habilidades como visualização, percepção e representação, consideradas essenciais
para fazer leitura do mundo e solucionar problemas. Os recursos visuais se apresentam como
candidatos a alcançar esses objetivos.
Entre os materiais didáticos visuais que servem de apoio para o ensino da Geometria
Plana e Espacial destacam-se, o Tangram, o mosaico, as dobraduras e o computador. Vejamos
então, como os PCN’s (1997) trata deste assunto em relação às possibilidades didáticas e os
objetivos de tais materiais didáticos no ensino da Geometria. De acordo com os mesmos, o
computador tem sido indispensável como recurso didático devido estar carregado de um
conhecimento por simulação. O uso de tal recurso permite várias possibilidades em sala de
aula.
O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino (banco
de dados, elementos visuais), mas também como fonte de aprendizagem e
como ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho com o
computador pode ensinar o aluno a aprender com seus erros e a aprender
36
junto com seus colegas, trocando suas produções e comparando-as (PCNs:
Matemática, 1997, p.48).
Partimos da análise feita pelos PCNs para argumentar que hoje, em nosso início de
século XXI, a inclusão do computador em sala de aula é uma forma de estarmos inserindo no
meio escolar, os recursos do meio social. Isso trará para a escola mais fontes de aprendizagens
que podem proporcionar uma melhor compreensão do aluno em relação ao conteúdo
ensinado. Porém, para que ocorra essa aprendizagem (relacionado com o computador e suas
fontes de ensino) é preciso que os professores estejam aptos ao domínio do mesmo e
reconheçam sua proposta pedagógica, caso contrário, este recurso acaba por atrapalhar no
ensino.
No que tange á Geometria, o computador lhe atribui um ensino dinâmico, o aluno
pode com o auxílio do computador, visualizar os movimentos no plano com os softwares e
com os programas, construir figuras que normalmente são difíceis de construir manualmente
só com instrumento simples como régua e compasso, como são, por exemplo, as figuras
tridimensionais.
O computador é um recurso visual importante porque permite ao aluno contato com
imagens visuais. Por meio deste o aluno desenvolve atitudes como elaborar estratégias para
construção de figuras planas e espaciais. Um programa bastante conhecido e pouco utilizado,
mas que tem grande potencialidade é o LOGO. Este é uma linguagem de programação que
permite desenhar figuras na tela do computador.
No LOGO, uma tartaruga virtual executa ordens, comandos dados, fazendo os
desenhos na tela. Os comandos exigem noções de orientação espacial e ângulos. Como
exemplos de comando têm-se:

PF→ A tartaruga anda para frente

PD → A tartaruga vira para a direita

PT →A tartaruga anda para trás

PE →A tartaruga vira para a esquerda
Com a elaboração de comandos, o aluno pode construir diversas figuras como casas,
automóveis, objetos e figuras geométricas convencionais. Cabe ressaltar que para o desenho
de figuras, o aluno deve ensinar a tartaruga criando procedimentos, instruindo a máquina. O
aluno sente-se então capaz de comandar o computador, desenvolvendo suas capacidades
intelectuais e assumindo-se como responsável pela sua aprendizagem.
O objetivo desse trabalho não é aprofundar neste assunto, mas demonstrar que o
computador pode contribuir para o processo de ensino-aprendizagem e como recurso visual
37
favorece o desenvolvimento de habilidades como visualização, percepção, construção e
representação do espaço.
A respeito do Tangram, é relevante conhecer um pouco sobre história para perceber
qual o objetivo de seu ensino. Segundo uma lenda, um mensageiro devia levar uma pedra de
jade de formato quadrado ao imperador. Distraído, o mensageiro deixou a pedra cair e esta
partiu-se em sete pedaços. Com o objetivo de reconstruir o quadrado o homem reuniu suas
sete peças e nas diversas tentativas de remontar o quadrado, acabou por formar centenas de
formas até conseguir montá-lo.
Não se conhece muito bem sua origem. E há especulações que tenha sido criado na
china. Sabe-se que ele é um jogo muito antigo formado por sete peças. É uma espécie de
quebra-cabeça (ver anexo 10).
Sendo recurso, apresenta inúmeras possibilidades de trabalho em sala em diversas
aplicações da Geometria Plana, tais como áreas, identificação e descrição de figuras,
resoluções de problemas. Manuseando suas peças, é possível formar e visualizar diversas
figuras como animais, objetos e pessoas (ver anexo 11).
Outros recursos visuais que podem contribuir no ensino da geometria Plana e Espacial,
são os mosaicos e as dobraduras, suas construções exigem o domínio de conhecimentos
geométricos e habilidades como raciocínio, destreza, paciência, criatividade e imaginação. O
mosaico é uma composição de figuras geométricas que formam determinado desenho,
obedecendo a um padrão de harmonia.
Na matemática utiliza-se o mosaico para estudar preenchimentos de um plano com
figuras geométricas, trabalhando conceitos de ângulos, áreas entre outros. Vejamos uma
aplicação interessante adaptada de uma historinha sobre mosaicos de Lellis (1992), onde o
professor, de uma menina chamada Maíra, propôs um trabalho com composições geométricas,
sem inspiração, Maíra desistiu do trabalho e foi com seus pais visitar alguns amigos. A
menina se divertiu bastante, conversou muito e até brincou com o cachorro. O que ela não
sabia era que desta brincadeira encontraria a solução para seu problema de Matemática.
Quando brincava de “cachorrinho”, Maíra observou o piso da casa, primeiro ela viu figuras
que pareciam cubos e depois, viu estrelas. Então, Maíra teve a ideia para seu trabalho. De
volta em casa, ela recortou seis losangos idênticos para encaixá-los e formar uma estrela.
Porém, algo de errado aconteceu, a estrela não se formava. Maíra então se pôs a raciocinar: A
formação da estrela de seis pontas deveria completar 360°. Logo cada losango deveria possuir
um ângulo de 60°. Maíra recortou novos losangos e dessa vez conseguiu realizar o encaixe.
Seu trabalho foi concluído com sucesso.
38
Nota-se que para solucionar o problema Maíra teve de usar seus conhecimentos sobre
ângulos. Atividades de modelos semelhantes podem ser propostas aos alunos visando explorar
conceitos como ângulos e áreas de figuras geométricas. Poderia ser proposto que os alunos
por exemplo, calculassem quantos cubos caberia numa determinada área retangular dada ou
que os mesmos completassem mosaicos já iniciados.
Quanto às dobraduras, estas oferecem atividades riquíssimas, além de construir figuras
bidimensionais, como quadrados, triângulos, círculos, estas também podem construir figuras
tridimensionais. Talvez esta última capacidade, seja o que causa mais admiração: A partir de
um papel plano, obtém-se um objeto de três dimensões.
Partindo de um retângulo, ou seja, de um papel retangular, é possível obter um
quadrado de forma que a linha de dobra seja a diagonal do quadrado e a bissetriz do ângulo
reto. O trabalho com dobraduras permitem aos alunos construírem diversas figuras como
aviões, barcos, pequenas caixas, e outras figuras como poliedros e polígonos. Com o ensino
da Geometria por meio de dobraduras o aluno aprende e se diverte ao mesmo tempo.
Por fim, aprender geometria exige o domínio de técnicas geométricas como fazer
desenhos, preencher espaços, mas é mais do que isso, julga-se importante reconhecer a
Geometria Plana e Espacial como ferramenta para atribuir significado ao mundo e aos
problemas, compreendendo seu papel na construção do conhecimento matemático e suas
possibilidades para o desenvolvimento intelectual dos alunos.
Pelas diversas importâncias da visualização no ensino da Geometria Plana e Espacial
já citada, pode-se compreender o imenso valor dos recursos visuais no processo de ensinoaprendizagem bem como a necessidade de o professor saber explorar estes recursos,
oferecendo dinamização a um sistema que até então parece estático, onde não se ensina e nem
se aprende. A transformação desse ensino é responsabilidade de todos e todas que pensam na
educação como meio de crescer como pessoa, cidadão e profissional competente.
39
3.3 A importância da visualização na resolução de problemas
“Se a matemática não serve pra vida então não serve pra nada”, diz um apaixonado
pela Matemática cujo nome não se encontra nos livros nem em outras formas de registro.
Provavelmente alguém que vê a Matemática como uma “fonte inesgotável” de aplicações.
Não cabe a nós a tarefa de julgar tal afirmação. Deixemos essa responsabilidade a
encargo dos especialistas na área da Matemática. O que se sabe, e os PCNs (1997)
confirmam, é que qualquer conhecimento adquirido deve levar o aluno a compreender o meio
em que vive e a solucionar problemas que os diferentes contextos impõem.
É certo que a Matemática, especialmente a Geometria, tem inúmeras aplicações no
dia-a-dia e garantem ao aluno a oportunidade de utilizar-se do conhecimento geométrico em
diversas situações práticas. A pergunta é se todos os conteúdos permitem essa aplicabilidade.
Espera-se que o aluno desenvolva estratégias que o proporcione a capacidade de raciocinar
matematicamente, analisando e interpretando situações diversas, refletindo sobre o problema
e buscando método de solução que garantam a eficiência das respostas.
Muito se tem visto que resolver problemas seja uma atividade mecânica, que exige o
domínio de técnicas operatórias sem análise das soluções. Erros são atualmente prova de que
o aluno não domina tais técnicas e não está apto a aprender matemática. Com base nesta
situação, faz-se necessário refletir qual a importância da resolução de problemas no ensino da
Geometria Plana e Espacial, quais os tipos de problemas se propõem solucionar e como a
visualização contribui para a solução destes.
De acordo com Polya (1995), quando o professor apresenta algum problema para os
alunos, deve ter como objetivo auxiliá-los para que possam desenvolver a capacidade de
sozinhos solucioná-los no futuro. No caso da Geometria Plana e Espacial, estamos
considerando os problemas práticos e os problemas matemáticos.
Polya (1995) difere esses dois tipos de problemas pela natureza do conhecimento que
se é exigido. Os problemas práticos requerem, segundo ele, mais experiência. Estes, para o
mesmo, às vezes nos obriga a partir de ideias e suposições que nem sempre se caracterizam
como verdade e as soluções na maioria das vezes, são de forma imprecisa, por aproximações.
Os problemas práticos exigem simplicidade e não precisão, afinal constitui-se em dar
respostas imediatas ao problema.
Já os problemas matemáticos, para Polya (1995), partem de conceitos claros. Uma
gama destes permitem, solucionar o problema com precisão. Verificam-se todos os passos
40
seguidos, analisam-se os resultados obtidos, para só assim, confirmar a solução. Faz-se
preciso reconhecer quando o problema é prático ou matemático, para conhecer que método é
melhor para solucioná-lo.
Um exemplo de problema prático é a construção de uma casa. O arquiteto ou pedreiro
deve levar em consideração, às condições do terreno, suas dimensões, a forma da construção,
os materiais necessários, entre outros fatores. Pouco se utiliza os cálculos, a matemática é
aplicada intuitivamente e às vezes inconscientemente. A experiência profissional é que
garante a qualidade da obra.
Se o mesmo problema fosse proposto em sala de aula, provavelmente se levaria em
conta saber calcular área de figuras geométricas, aplicar o teorema de Pitágoras. Nos dois
tipos de problemas, a visualização é de grande importância para a solução dos mesmos. Polya
(1995), afirma que a visualização do problema permite compreendê-lo e é um dos primeiros
passos que instiga o aluno a resolvê-lo. Um dos principais recursos de visualização de
problemas da Geometria Plana e Espacial consiste em recorrer a figuras que o representem.
Polya (1995) define figuras como sendo objeto dos problemas geométricos e como
auxilio importante para problemas de todos os tipos. A utilização desse recurso permite
visualizar a proposta do problema e facilitar sua resolução, necessitando reconhecer quando
invocar uma figura mentalmente ou quando construí-la materialmente.
Se o nosso for um problema geométrico, teremos de considerar uma figura,
que pode estar em nossa imaginação ou ser desenhado no papel. Em certas
ocasiões, será melhor imaginar a figura sem desenhá-la. Mas se tivermos de
examinar vários detalhes, um após o outro, será desejável traçar uma figura.
Se os detalhes forem numerosos, não poderemos imaginá-los todos
simultaneamente, mas eles estarão todos juntos sobre o papel. Um detalhe
visualizado em nossa imaginação pode ser esquecido, mas o mesmo detalhe
desenhado no papel aí permanece, de tal maneira que quando a ele voltamos,
relembramos as observações anteriores, com isto nos poupando tempo e
trabalho (POLYA, 1995, p.82).
Percebe-se assim, que dificilmente solucionaremos um problema da Geometria Plana e
Espacial, sem que seja necessário o esboço de uma figura no papel. Compreende-se desse
modo a real importância dos desenhos geométricos, fazendo-se útil destacar aspectos
relevantes em suas construções.
Embora Polya (1995) constate a importância de se construir figuras com exatidão a
partir de instrumentos como régua e compasso pela possibilidade destas de sugerirem
teoremas geométricos, deixa-se subtendido que para as situações problemas em sala de aula a
construção de figuras à mão livre sejam mais apropriadas por pouparem tempo e raciocínio. O
41
fato de serem construídas à mão livre não dispensam o cuidado e a relação lógica com o
enunciado do problema.
No trabalho com a Geometria Espacial, Polya (1995) retrata a dificuldade em construir
figuras tridimensionais expressivas, mas não descarta sua possibilidade de elaboração. O
trabalho com manipulação de figuras, segundo ele, exige paciência e permite reduzir qualquer
tipo de problema a um problema geométrico, pois percebe-se que todas as ciências se utilizam
de representações geométricas na resolução de problemas, tais como gráficos e diagramas de
todas as espécies.
Finalmente, podemos constatar que a visualização tem grande aplicabilidade na
resolução de problemas geométricos. Visualizar o problema torna-se, o início de sua solução.
As figuras desenhadas mentalmente ou no papel constituem-se numa rica atividade para a
construção de habilidades e técnicas que levam o aluno a compreender e buscar respostas para
diversos problemas práticos e matemáticos. “Só se aprende resolver problemas, resolvendoos” (Polya, 1995, p. 83). Cabe ao professor estimular seus alunos a se interessarem por
problemas, oferecendo-lhes oportunidades de resolvê-los pela imitação e pela prática.
42
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Entre seus aspectos mais notáveis, a Geometria Plana e Espacial se apresentam como
conteúdos essenciais na Matemática. Desde os tempos mais remotos, o homem se utiliza
desse conhecimento para compreender o espaço que o cerca e suas formas, com o intuito de
solucionar problemas das mais diversas origens.
Ensinar Geometria é uma tarefa que exige competência, criatividade e dinamismo. Seu
ensino deve levar o aluno a desenvolver hábitos de leitura do mundo, que o permita perceber,
descrever e representar o espaço. Não se deve, portanto, minimizar o ensino da Geometria
Plana e Espacial à memorização de definições e fórmulas, é necessário promover
aprendizagem real e significativa que desenvolva no aluno suas capacidades criativas.
Inúmeras são as possibilidades do professor em sala de aula, quando se tem como
auxílio à visualização, que é um passo no desenvolvimento da inteligência espacial e esta por
sua vez, só é alcançada pela exploração das capacidades visuais e espaciais dos alunos,
colaborando com seu crescimento intelectual.
Espera-se que este trabalho, possa ter contribuído para esclarecimentos acerca da
visualização e também para a compreensão da importância desta no ensino da Geometria
Plana e Espacial. Para que assim, desperte o interesse de muitos para que novas contribuições
surjam nesta área e o ensino da Geometria não pare no tempo, mas acompanhe o avanço das
ciências e da humanidade reproduzindo e produzindo verdadeiro conhecimento.
43
BIBLIOGRAFIAS
AULETE, Caldas. Dicionário contemporâneo da Língua Portuguesa. 3.ed. Rio de Janeiro:
Delta, 1980. 5v.
BOYER, Carl. B. Historia da Matemática. 2.ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.
BRASIL. Secretaria de Educação à Distância. Integração das tecnologias na educação.
Brasília: Ministério da Educação, 2005.
________. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.
FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação Matemática: representação e construção em
geometria. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1999.
GARCEZ, Lucília Helena do Carmo. A leitura da imagem. Brasília: Seed, 2005.
GARDNER, Howard. Estruturas da mente: a teoria das inteligências múltiplas. Porto
Alegre: Artes Médicas Sul, 1994.
IMENES, Luis Marcio Pereira (org). Geometria. 7.ed.São Paulo: Atual, 1992.
IMENES, Luis Márcio Pereira. Geometria das dobraduras. 7.ed. São Paulo: Scipione, 2001.
LELLIS, Marcelo Cestari (org). Ângulos. 7.ed. São Paulo: Atual, 1992.
LUCKESI, Cipriano Carlos. Filosofia da Educação. São Paulo: Cortez, 1994.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce. Matemática: Idéias e Desafios. 11. ed. São Paulo: Saraiva,
2002.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. 2.ed. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
RIBEIRO, Jacson; SOARES, Elizabeth. Matemática: Construindo consciências. 1.ed.São
Paulo: Scipione, 2006.
ZAMPIROLLO, Maria José Couto de V. Matemática: Projeto Escola e Cidadania para todos.
São Paulo: Editora do Brasil, 2004.
44
DOCUMENTOS ELETRÔNICOS
Dicionário
enciclopédico
conhecer,
História
da
Geometria.
www.somatematica.com.br/Geometria.php. Primeira página. Acessado em: 24-10-09 às
13:30hs.
POLYA,
George.
Dez
mandamentos
para
professores.
http://www.sbm.org.br/nova/web//up/editor/File/10%20Manda. pdf-acesso em 10-10-2009.
TEIXEIRA, Jerônimo. A matemática que você não sabia que sabia. In: Revista Veja,
Acessível em www.veja.com.br, São Paulo, 2100, p. 128-130, fevereiro de 2009.
images.google.com.br/images?hl=pt-BR&client=firefox-a&rls=com.ubuntu=20. Acessado em
09-12-09 às 14: 30 minutos.
45
Todas as imagens dos anexos foram retirados da seguinte fonte:
images.google.com.br/images?hl=pt-BR&client=firefox-a&rls=com.ubuntu:em. Acessado em
09-12-09 às 14: 30 minutos.
Anexo 1; Pentagrama
Anexo 2; "A fábrica" de Pablo Picasso
46
anexo 3; "O violino" de Pablo Picasso
Anexo 4; "A mulher" de Pablo Picasso
47
Anexo 5; "Limite Circular I" de
Escher
Anexo 6; "Limite Circular III" de
Escher
Anexo 7; "Limite Circular IV" de Escher
48
Anexo 8; "Teste de Inteligência Espacial" de Gardner
Anexo 8; "Teste de Inteligência Espacial" de Gardner
49
Anexo 9
Planificações de sólidos
geométricos
Anexo 10; Tangram
Anexo 11; Figuras do Tangram