UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI
DANIEL SILVA MORO
DIMENSIONAMENTO DE CANAIS DE
ATENDIMENTO EM UMA AGÊNCIA BANCÁRIA
SÃO PAULO
2010
ii
DANIEL SILVA MORO
DIMENSIONAMENTO DE CANAIS DE
ATENDIMENTO EM UMA AGÊNCIA BANCÁRIA
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado como exigência parcial
para a obtenção do título de Graduação
do Curso de Engenharia de Produção
da Universidade Anhembi Morumbi
Orientador: Professor Hélio Pekelman
SÃO PAULO
2010
iii
DANIEL SILVA MORO
DIMENSIONAMENTO DE CANAIS DE
ATENDIMENTO EM UMA AGÊNCIA BANCÁRIA
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado como exigência parcial
para a obtenção do título de Graduação
do Curso de Engenharia de Produção
da Universidade Anhembi Morumbi
Trabalho____________
em:
____
de_______________de 2010.
______________________________________________
Professor Hélio Pekelman
______________________________________________
Nome do professor da banca
Comentários:_________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
iv
AGRADECIMENTOS
À Biblioteca da Universidade Federal de Uberlândia, pela cessão de parte do
material para a pesquisa bibliográfica.
v
RESUMO
O presente estudo aplica os modelos da Teoria das Filas em uma agência
bancária para melhor se entender os mecanismos que envolvem a formação das
filas e assim fundamentar-se uma proposta de dimensionamento dos canais de
atendimento. Nosso principal interesse é modelar o tempo médio de espera na fila,
que é considerado um importante componente do nível de serviço ao usuário, em
função da capacidade do sistema (i.e., número de canais em um dado intervalo de
tempo). No caso estudado, existem duas filas e existem três canais de atendimento,
dois deles destinados aos usuários comuns e um para o atendimento preferencial
(idosos, gestantes e deficientes). As duas filas, comum e preferencial, obedecem a
ordem de chegada dos clientes separadamente. Foram coletados os tempos de
atendimento para cada caixa e os tempos entre chegadas sucessivas dos clientes
durante o expediente bancário, desprezando os cinco minutos após a abertura da
agência e verificadas algumas hipóteses previstas na Teoria das Filas. Na agência
estudada, fila comum aumentaria indefinidamente se houverem dois ou menos
caixas enquanto que na fila preferencial apenas um caixa é suficiente para o
atendimento da condição de estabilidade.
Palavras Chave: Filas. Teoria das Filas, Pesquisa Operacional.
vi
ABSTRACT
This study applies the models of the Queues Theory in a bank to better
understand the mechanisms that involve the formation of queues and so establish a
proposal for scaling of channels. Our main interest is model the average queue
waiting time, that we consider to be an important component of the user service level
against the system capacity (it means, number of channels in a given time). In our
case, there are two queues and three channels service, two destined ones to the
common attendance, and one for the preferential attendance (old peoples,
pregnant…). Were collected call times for each attendant and the times between
arrives during working hours banking, excluded the initial five minutes after
opening the agency and verified in some cases provided Theory of Queues. In the
studied agency two the common line would increase indefinitely will have or little
attendant whereas in the preferential line only one attendant is enough for the reach
of the stability condition.
Key Worlds: Queues, Queues Theory, bank, Operational Research
vii
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Sistema de 1 fila e canal único...................................................................10
Figura 2: Sistema de 1 fila e 3 canais........................................................................10
Figura 3: Sistema complexo de filas..........................................................................11
Figura 4: Intervalos quartílicos...................................................................................19
Gráfico 1: Balanço entre os custos de atender e de não atender............................... 6
Gráfico 2: histograma de frequência dos tempos entre chegadas sucessivas na
fila comum................................................................................................ 25
Gráfico 3: histograma de frequência dos tempos entre chegadas sucessivas na
fila preferencial ........................................................................................ 25
Gráfico 4: dispersão dos tempos entre chegadas sucessivas no 1o dia de coleta
na fila comum ......................................................................................... 27
Gráfico 5: histograma de frequência dos tempos de atendimento na fila
comum .................................................................................................... 28
Gráfico 6: histograma de frequência dos tempos de atendimento na fila
preferencial ............................................................................................. 28
Quadro 1: Notação Kendall........................................................................................13
Quadro 2: Distribuição de frequências e frequências acumuladas............................17
Quadro 3: Exemplo de cálculo dos valores limite para a identificação de Outliers
dos tempos de atendimento .................................................................... 22
Quadro 4: Exemplo de cálculo dos valores limite para a identificação de Outliers
dos tempos entre chegadas sucessivas .................................................. 23
Quadro 5: trecho do relatório de coleta dos dados referentes aos tempos do
processo de chegada .............................................................................. 24
viii
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
FIFO
First in, first out (o primeiro a entrar é o primeiro a sair)
FCFS
First-Come-First-Served (o primeiro a chegar é servido
primeiro)
ix
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .........................................................................................................1
1.1 OBJETIVOS .............................................................................................. 2
1.1.1 Objetivo Geral .............................................................................. 2
1.1.2 Objetivo Específico ...................................................................... 2
1.2 METODOLOGIA ....................................................................................... 3
1.3 JUSTIFICATIVA ........................................................................................ 4
2 REFERENCIAL TEÓRICO ..................................................................................... 5
2.1 A teoria das filas ....................................................................................... 5
2.1.1 Custos relacionados ao atendimento .......................................... 6
2.1.2 Características dos processos de filas ........................................ 7
2.1.2.1 Padrão de chegada dos clientes ......................................... 7
2.1.2.2 Padrões de serviço ............................................................. 8
2.1.2.3 Disciplina de filas ................................................................ 9
2.1.2.4 Capacidade do sistema ...................................................... 9
2.1.2.5 Número de canais de serviço .............................................10
2.1.2.6 Estágios de serviço ............................................................11
2.1.3 O sistema de fila única e múltiplos canais ..................................11
2.1.4 Notação .......................................................................................13
2.2 Estatística..................................................................................................14
2.2.1 O processo estatístico ................................................................14
2.2.1.1 Definição do problema a ser estudado .............................. 14
2.2.1.2 Planejamento ..................................................................... 14
2.2.1.3 Coleta ..................................................................................15
2.2.1.4 Apuração dos dados ...........................................................15
2.2.1.5 Apresentação dos dados ....................................................15
2.2.1.6 Análise e interpretação dos resultados ..............................15
2.2.2 Medidas de posição ....................................................................15
2.2.2.1 Medidas de tendência central .............................................15
2.2.2.2 Medidas de dispersão .........................................................18
2.2.2.3 Outras medidas de posição ................................................19
x
2.2.3 Histogramas de frequência ........................................................ 20
3 ESTUDO DE CASO ...............................................................................................21
3.1 Coleta de dados ........................................................................................21
3.2 Tratamento dos dados ..............................................................................21
3.2.1 Identificação de Outliers ..............................................................22
3.3 Processo de Chegada ..............................................................................24
3.3.1 Análise da dispersão no processo de chegada ..........................26
3.4 Processo de atendimento .........................................................................28
3.5 Disciplina da fila .......................................................................................29
3.6 Tamanho médio da fila .............................................................................30
3.7 Tempo médio de espera na fila ................................................................31
4 CONCLUSÕES ......................................................................................................32
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................................34
GLOSSÁRIO..............................................................................................................36
APÊNDICE A
Tempos do processo de chegada..............................................................................37
APÊNDICE B
Tempos do processo de atendimento .......................................................................48
APÊNDICE C
Dispersão do tempo entre chegadas sucessivas ......................................................53
1. INTRODUÇÃO
A maioria das pessoas já passou pelo aborrecimento perder muito tempo em
filas de banco e apesar de todos os esforços das instituições no sentido de oferecer
canais alternativos, como terminais de autoatendimento, internet banking e lotéricos,
ainda se faz necessária a figura do caixa para atender as demandas que exigem a
conferência de documentos e verificação de assinaturas.
Um campo de estudo que busca minimizar os efeitos da espera na fila é o
gerenciamento das percepções nas filas de espera (COGAN, 1998). Alguns estudos
procuram relacionar a capacidade de serviço (ou atendimento) com o aumento da
demanda (ITTIG, 2002). Desta forma, pode-se obter uma relação (compromisso,
compensação) entre capacidade de atendimento e volume de negócios, auxiliando
na tomada de decisões. Compreender os aspectos motivacionais e comportamentais
do consumidor frente às novas tecnologias de autoatendimento também tem sido
objeto de pesquisa (DABHOLKAR et al., 2003. p. 59-95 apud RINALDI, 2009).
Pesquisas que analisam o comportamento dos consumidores em diversas situações
que envolvem filas mostram que uma importante variável do nível de satisfação do
cliente em qualquer serviço é a espera (DABHOLKAR; BAGOZZI, 2002. p. 84-201
apud RINALDI, 2009).
É certo que filas podem ocorrer em qualquer parte mundo. Mas é nos países
emergentes e com maior contingente populacional é que o problema é crítico,
oferecendo maiores oportunidades de negócio e uma certa vantagem competitiva às
instituições que fazem um planejamento adequado das filas. No caso dos bancos, a
capacidade de atendimento não é ampliada até a eliminação total das filas por um
motivo principal: inviabilidade econômica. Desta forma, o que se busca não é
extinção das filas a qualquer preço, mas um ponto de equilíbrio entre viabilidade e a
satisfação do cliente.
A Teoria das Filas tem um papel fundamental na análise e
planejamento de serviços e do uso do espaço, utiliza conceitos
básicos de processos estocásticos e da matemática aplicada para
analisar o fenômeno de formação de filas e suas características. Foi
desenvolvida com a finalidade de prever o comportamento das filas
de modo a permitir o dimensionamento adequado de instalações,
equipamentos e sua infraestrutura (COGAN, 1998, p.37).
2
1.1 OBJETIVOS
1.1.1 Objetivo Geral
O presente trabalho estudou modelos matemáticos que melhor representam o
comportamento das filas em uma agência bancária, proporcionando um melhor
entendimento de um ponto de equilíbrio no dimensionamento dos canais, que
satisfaça o cliente e seja viável economicamente para o provedor do serviço.
1.1.2 Objetivo Específico
Identificar (por meio de um estudo de caso aplicando os modelos da Teoria
das Filas) o número de canais necessários em uma agência bancária em cada
momento do dia, para que o tempo de espera na fila não exceda 10(dez) minutos.
Verificar o número de canais de atendimento na fila de atendimento comum
e preferencial para que a condição de estabilidade seja satisfeita.
Estudar a dispersão dos tempos entre chegadas sucessivas e verificar a
existência de pontos “fora de curva“.
.
3
1.2 METODOLOGIA
Para definir o modelo de filas é necessário coletar e analisar os dados
referentes às chegadas dos clientes aos caixas, o número dos mesmos dispostos
em paralelo e os tempos despendidos para o serviço, assim como o tipo de fila que
se forma, que no caso estudado, a fila é única com atendimento seguindo a ordem
de chegada dos clientes.
A coleta dos dados referentes aos tempos de chegada, espera e atendimento
ocorreu de maneira informatizada por um sistema próprio da agência. A retirada de
senha (comum ou preferencial) dá início ao tempo de espera na fila e o anúncio da
senha no painel de chamada encerra o tempo de espera e dá inicio ao tempo de
atendimento. Ao final do atendimento, o caixa comanda no painel o anúncio da
senha do próximo cliente, o que encerra o atendimento anterior e inicia um novo.
Todos dados de atendimento do dia são armazenados e organizados para a
consulta de relatórios em qualquer tempo.
A coleta informatizada foi de grande importância neste estudo de caso, pois
reduziu-se o tempo para produção de planilhas e relatórios, além de eliminar-se os
erros do cronometrista.
Para os dados referentes à chegada, foram observados os tempos
consecutivos de chegada de clientes na fila, obtendo-se os respectivos histogramas
de frequência para as filas comum e preferencial. As coletas ocorreram durante todo
o expediente bancário nos dias 1o (segunda-feira), 02 (terça-feira), 04 (quinta-feira),
05 (sexta-feira) e 10 (quarta-feira) de fevereiro de 2010. Os três ou quatro primeiros
dias de cada mês são tradicionalmente mais movimentados, daí a razão de coletarse dados no dia 10 (quarta-feira) para representar os dias com menor movimento.
Em todos os dias foram desprezados os cinco minutos iniciais pelo fato de
formar-se uma fila do lado de fora da agência antes do expediente, o que
compromete a análise nos primeiros minutos de atendimento. Pela análise dos
dados referentes ao atendimento, calculou-se a média e os desvios padrão dos
tempos de atendimento para cada caixa.
4
1.3 JUSTIFICATIVA
Períodos de expansão econômica em países que possuem elevado
contingente populacional têm como reflexo natural o aumento desordenado de suas
filas. Mais pessoas abrem contas, fazem empréstimos, financiamentos, vão às
compras, pagam boletos etc.. “Países como Brasil, China, Índia, estão entre os que
mais oferecem oportunidades de negócios (e filas)(COSTA, 2005)”.
Percebe-se que a espera, de um modo geral, sensibiliza o cliente em seu
futuro comportamento. Um consumidor insatisfeito com seu tempo de espera talvez
possa não desistir de um negócio naquele momento, entretanto, pode não voltar
mais àquele estabelecimento devido à imagem negativa percebida. Esta é uma
perda difícil de ser quantificada e, se o problema permanecer durante um longo
prazo o estabelecimento terá queda de demanda possivelmente sem descobrir a
razão disto (RINALDI, 2009).
Atualmente, diversos estudos científicos têm sido publicados com o intuito de
minimizar as consequências negativas das filas, pois a falta de um planejamento
adequado gera grande transtorno aos usuários de um sistema, além de tornar o
estabelecimento passível de multas, em alguns casos. Por outro lado, um bom fluxo
de atendimento, com ambiente bem sinalizado e tempos de espera adequados
devem ser a meta de qualquer gerente de atendimento. Para tal é preciso conhecer
e medir o processo de atendimento.
5
2. REFERENCIAL TEÓRICO
Para uma melhor compreensão do caso a ser estudado, faz-se necessária
uma breve revisão da Teoria das Filas e da Estatística, agora apresentada:
2.1 A teoria das filas
“Um sistema de filas pode ser descrito como clientes chegando, esperando
pelo serviço, se não forem atendidos imediatamente, e saindo do sistema após
serem atendidos (Freitas, 2001). Vale ressaltar que o termo “cliente”, na Teoria das
Filas, não se aplica somente a pessoas, mas é uma designação genérica que pode
abranger, por exemplo, veículos a na fila do pedágio ou pacotes de dados que
chegam a um roteador para serem encaminhados (Moreira, 2007). A teoria das filas
foi desenvolvida para prover modelos que retratem previamente o comportamento
de um sistema que forneça serviços que possuam demandas que aumentem
aleatoriamente.
Existem muitas aplicações respeitáveis da teoria, a maioria das quais tem
sido documentadas na literatura de probabilidade, pesquisa operacional e
engenharia industrial. Alguns exemplos são fluxo de tráfego (veículos, aeronaves,
pessoas, comunicações), escalonamento (pacientes em hospitais, programas em
computadores) e projetos de atendimentos à serviços (bancos, correios, parques de
diversão, restaurantes fast-food).
6
2.1.1 Custos relacionados ao atendimento
Para descobrir quando investir na redução das filas, deve-se conhecer os
custos envolvidos na melhoria do nível de serviço:
O melhor atendimento implica quase sempre custos maiores, que
surgem por causa de um treinamento melhor das pessoas, pelo uso
maior da tecnologia da informação, pela multiplicação dos postos de
trabalho ou ainda pela compra de equipamentos mais sofisticados e,
eventualmente, de melhor qualidade. Vale a pena incorrer nesses
custos? Talvez sim, se estiver ocorrendo uma grande perda de
clientes por causa do não-atendimento e da presença das filas.
(MOREIRA, 2007, p.301)
Gráfico 1: Balanço entre os custos de atender e de não atender
fonte: MOREIRA, 2007
O gráfico 1 mostra, no eixo das abscissas, a medida do nível de serviço e no
eixo das ordenadas os custos envolvidos. A reta ascendente intitulada Custo do
atendimento indica que quanto melhor o atendimento, maior o custo. Já a curva
Custo da fila mostra os custos decorrentes da existência de filas, tais como: perda
direta de receita devido aos clientes que vão embora por causa das filas; perda
indireta de receita por causa do desgaste da imagem da instituição ou sua
associação com ineficiência ou mal atendimento. As perdas indiretas são mais
difíceis de mensurar. Porém, podem ser mais importantes que as perdas diretas de
receita em um banco.
7
A expressão “nível de serviço” deve ser entendida como maior ou menor
excelência no atendimento. Quanto maior o nível de serviço, menor o tempo de
atendimento (MOREIRA, 2007).
2.1.2 Características dos processos de filas
Na maioria dos casos, seis características básicas de processos de filas
fornecem uma descrição adequada de um sistema: (1) padrão de chegada dos
clientes, (2) padrão de serviço dos servidores, (3) disciplina de filas, (4) capacidade
do sistema, (5) número de canais de serviço e (6) número de estágio de serviços.
2.1.2.1 Padrão de chegada dos clientes
Nos processos de filas comuns, os processos de chegadas são estocásticos,
ou seja, desenvolvem-se no tempo e no espaço conforme leis de probabilidade.
Assim, é necessário conhecer a distribuição de probabilidade descrevendo os
tempos entre as sucessivas chegadas dos clientes (tempos de interchegada).
Também é necessário saber se os clientes podem chegar simultaneamente
(chegada batch), e se assim, qual a distribuição de probabilidade do tamanho do
batch. “Quando as chegadas são isoladas ou são uma mistura de chegadas isoladas
ou de pequenos grupos, faz-se a suposição que todas as chegadas são
isoladas”(MOREIRA, 2007, p.305). Essa é a suposição que faremos nesse estudo, o
que já restringe a classe de modelos com as quais iremos lidar.
A reação do cliente ao entrar no sistema também é importante, de maneira
que, um cliente pode decidir esperar sem problema, independente do tamanho da
fila, ou, por outro lado, o cliente pode decidir não entrar no sistema caso a fila esteja
muito grande. Assim, se o cliente decide não entrar na fila após a chegada, ele é
conhecido como ”decepcionado.” Um cliente pode, por sua vez, entrar na fila, mas
depois de um tempo perder a paciência e decidir partir. Nos eventos que existem
duas ou mais linhas paralelas, os clientes podem mudar de uma fila para outra.
Estas situações são exemplos de filas com clientes impacientes.
Outro importante fator que deve ser considerado em relação às chegadas é a
forma que o padrão varia com o tempo. Um padrão de chegada que não muda com
8
o tempo (ou seja, que a distribuição de probabilidade descrevendo o processo de
chegada é independente do tempo) é chamado padrão de chegada “estacionário”.
Isto significa que a distribuição probabilística que identifica a chegada é a mesma
em qualquer dia. Inversamente, quando a distribuição de probabilidades de um
evento varia com o tempo, o sistema é dito em estado “transitório” ou “nãoestacionário” (ANDRADE, 2000). Desta forma, a chegada de clientes em uma
agência bancária em um dia normal pode ser considerada um processo estacionário.
Entretanto, se houver uma iminência de greve ou um boato de falência, por exemplo,
a corrida de clientes ao banco levaria o sistema a um estado não-estacionário. Isto
significa que a distribuição de probabilidades que caracteriza o evento aleatório
normal das chegadas não explicaria as chegadas, em caso de corrida ás agências.
2.1.2.2 Padrões de serviço
A maior parte da discussão mencionada nos padrões de chegada é válida
para discussão dos padrões de serviço. A mais importante é que uma distribuição de
probabilidade é necessária para descrever a sequência de tempos de serviços dos
clientes. Os serviços também podem ser simples ou simultâneas. O processo de
serviço pode depender do número de clientes esperando pelo serviço. Um servidor
pode trabalhar mais rápido se a fila estiver aumentando, ou, caso contrário, pode ser
tornar confuso é ficar mais lento. A situação na qual o serviço depende do número
de clientes na fila é conhecida como serviço dependente do estado.
Embora este termo não seja usado na discussão de padrões de chegada, o
problema dos clientes impacientes podem ser considerados como chegadas
dependentes do estado, desde que o comportamento da chegada dependa da
quantidade de congestionamento no sistema.
Serviços, como chegadas, podem ser estacionários ou não estacionários com
respeito ao tempo. Por exemplo, o aprendizado pode ser considerado um fator de
produtividade, de forma que, o serviço pode se tornar mais eficiente quando
experiência é obtida, ou seja, não importa o número de clientes na fila (dependência
do estado) e sim o período de tempo em atividade (dependência do tempo). Claro,
9
que um sistema pode ser ao mesmo tempo não-estacionário e dependente do
estado.
2.1.2.3 Disciplina de filas
A disciplina de filas refere-se a maneira como os clientes são escolhidos para
entrar em serviço após uma fila ser formada. A maioria das disciplinas comuns que
podem ser observadas na vida diária é FCFS (First-Come-First-Served), ou seja, o
primeiro a chegar é o primeiro a ser servido.
Existem duas situações gerais em disciplinas de prioridade. No primeiro caso,
que é chamado de preemptivo, o cliente com a mais alta prioridade é permitido
entrar em serviço independentemente de outro cliente com menor prioridade estar
sendo servido, de forma que, o cliente com menor prioridade é interrompido e tem
seu trabalho reiniciado mais tarde. Quando reiniciado, ele pode iniciar do ponto onde
parou ou reiniciar todo o processo. Na segunda situação de prioridade, chamado
caso não preemptivo, os clientes com mais alta prioridade vão para o início da fila,
mas só entram em serviço quando o cliente sendo atendido deixa o sistema, mesmo
que ele tenha uma prioridade baixa, o que acontece no caixa de atendimento
preferencial (idosos, gestantes e deficientes).
2.1.2.4 Capacidade do sistema
Em alguns processos de filas existe uma limitação física da quantidade de
espaço na fila, de modo que, se as filas alcançarem um certo comprimento, nenhum
novo cliente poderá entrar no sistema até que espaço disponível seja obtido com o
atendimento de um cliente e a consequente diminuição do tamanho da fila. Estas
situações são referidas como sistemas de filas finitos, ou seja, existe um limite finito
do tamanho máximo do sistema.
10
2.1.2.5 Número de canais de serviço
Quando o número de canais de serviço são definidos, tipicamente estão
sendo determinados o número de estações de serviços paralelos que podem servir
os clientes simultaneamente. Denomina-se fila de canal único, um sistema onde
todo o atendimento é realizado em um único posto e em apenas um estágio
(MOREIRA, 2007), conforme a figura 1:
Figura 1: Sistema de 1 fila e canal único
Um sistema de filas pode ter mais de um canal de atendimento. Neste caso o
sistema é chamado de multicanal. Em uma agência bancária é, geralmente, utilizado
um sistema multicanal com fila única, como mostrado na figura 2:
Figura 2: Sistema de 1 fila e 3 canais.
11
2.1.2.6 Estágios de serviço
Um sistema de filas pode ter um único estágio de serviço, como no caso de
uma fila de caixa, ou pode ter vários estágios, como em um caso onde o cliente
precise passar por mais de um setor da agência. Este trabalho somente contempla o
setor de caixas da agência. Entretanto, a figura 3 apresenta um sistema multicanal
com 2 estágios de atendimento:
Figura 3: Sistema complexo de filas
2.1.3 O sistema de fila única e múltiplos canais
É de particular interesse para este estudo a apresentação das características
gerais e equações para o modelo de fila única e múltiplos canais de atendimento.
Um modelo de filas conforme apresentado na figura 2, possui as seguintes
características gerais:
•
As chegadas acontecem de acordo com a distribuição de Poisson,
com média de λ chegadas por unidade de tempo.
•
Os tempos de atendimento, por canal, obedecem a distribuição
exponencial negativa, com média 1/µ .
•
O atendimento é feito por ordem de chegada.
•
O número de canais de serviço no sistema é S.
•
O número de clientes é grande o suficiente para que a população seja
considerada infinita.
•
O ritmo de serviço é µ . S.
•
A condição de estabilidade é λ < µ . S.
12
Aqui serão apresentadas as principais equações do modelo, cujas deduções
se encontram em WAGNER (1972 apud ANDRADE, 2000, p.141):
- A equação 1 fornece a probabilidade de haver 0 cliente no sistema:
P0 =
com ρ =
!
S-­‐1 ρj
j=0 j! !
(equação 1)
!!
!!! !∙(!! !)
!
!
- O cálculo da probabilidade de haver n clientes no sistema obedece às
equações 2 ou 3, de acordo com as seguintes situações:
a) Quando o número de clientes for menor que o número de canais (n < S):
P! = ρ! ∙
!
!!
∙ P!
(equação 2)
b) Quando o número de clientes for maior ou igual à quantidade de canais
de atendimento (n ≥ S):
P! = ρ! ∙
!
!!∙!!!!
∙ P!
(equação 3)
- Na equação 4, temos a probabilidade de que todos os canais estejam
ocupados:
P!"#$. !"!#$ = P(n ≥ S) =
!!
!!! !∙(!!!)
∙ P!
(equação 4)
- O número médio de clientes na fila (NF) pode ser calculado pela equação 5:
!
NF = !!! ∙ P!"#$. !"!#$
(equação 5)
- O tempo médio de espera na fila (TF) é dado por:
!
TF = NF ∙ !
(equação 6)
- Para o cálculo do número médio de clientes no sistema (NS) utiliza-se a
equação 7:
NS = NF + ρ
(equação 7)
- Tempo médio gasto no sistema (TS):
!
TS = NS ∙ !
(equação 8)
13
2.1.4 Notação
A notação de processos de filas mais utilizada atualmente foi proposta por
Kendall, em 1953, e é descrita por uma série de símbolos, tais como, A/B/m/k/M,
onde A indica a distribuição de entre chegadas sucessivas dos clientes, B o padrão
de serviço de acordo com uma distribuição de probabilidade para o tempo de
serviço, m o número de canais de serviços paralelos (servidores), k a capacidade do
sistema e M a disciplina de filas (MOREIRA, 2007). Alguns símbolos padrões para
estas características são mostradas no Quadro 1. Por exemplo, a notação
M/D/2/∞/FCFS indica um processo de filas com tempos entre chegadas
exponenciais, tempos de serviço determinísticos, dois servidores paralelos,
capacidade ilimitada e disciplina de fila onde quem chega primeiro é atendido antes
(First-Come-First-Served ou FIFO).
Quadro 1: Notação Kendall
Características
Símbolo
Explicação
M
Exponencial
D
Determinístico
Ek
Distribuição de Tempo de Interchegada
((A) e distribuição de tempo de Serviço (B) H
k
Mistura de k exponenciais
PH
Tipo Fase
G
Geral
Número Paralelo de Servidores (m)
1,2,..., ∞
Restrição na capacidade do sistema (k)
1,2,..., ∞
Disciplina da fila (M)
Tipo k-Erlang (k = 1,2,...)
FCFS ou FIFO
First Come First Served
LCFS
Last Come First Served
RSS
Seleção Aleatória por Serviço
PR
Prioridade
GD
Disciplina Geral
Fonte: MOREIRA, 2007
14
2.2 Estatística
Em diversas etapas do trabalho utilizou-se as ferramentas da estatística para
a verificação de como os dados coletados se enquadram nos modelos da Teoria das
Filas e assim fundamentar-se o estudo. Apresenta-se então algumas definições e
conceitos:
Segundo Virgillito (2004 p. 29), a estatística pode ser considerada como a
ciência que se ocupa da organização, análise e interpretação de dados
experimentais. Sendo assim, podemos dividir a estatística em duas partes:
Estatística descritiva, que cuida da descrição dos dados coletados e a Estatística
indutiva, que se ocupa da análise e interpretação dos dados.
2.2.1 O processo estatístico
O processo estatístico é um processo lógico de análise que deve ter uma
abordagem, um cronograma e um resultado para tomada de decisão (VIRGILLITO,
2004).
Um processo estatístico pode ser dividido nas seguintes fases:
2.2.1.1 Definição do problema a ser estudado
Exemplo: um gerente de banco quer saber quantas unidades de um novo tipo
de consórcio sua agência conseguirá vender naquele mês. Para tanto deverá
examinar o número de clientes alvo em sua carteira, preferências, unidades
vendidas de um produto semelhante etc.
2.2.1.2 Planejamento
A etapa do planejamento consiste em determinar o procedimento estatístico
necessário para a obtenção dos dados, custo, credibilidade da fonte, tempo de
obtenção etc.
15
2.2.1.3 Coleta
Um dos cuidados se deve ter no estudo de um processo estatístico se refere
à coleta e organização dos dados. “Antes de análise e interpretação, devemos
organizar os dados da população e sendo esta muito grande, extrair através de
técnicas apropriadas uma amostra que a represente. Para isto utilizam-se as
técnicas de amostragem” (VIRGILLITO, 2004, p.30).
2.2.1.4 Apuração dos dados
A etapa da apuração dos dados consiste no tratamento, ordenação e estudo
das relações (média, desvio padrão, mediana) entre os dados obtidos, excluir dados
muito discrepantes ou não significativos utilizando métodos estatísticos apropriados.
2.2.1.5 Apresentação dos dados
Verificação estatística da pertinência, probabilidade de erros, grau de
significância dos resultados e outras informações relevantes.
2.2.1.6 Análise e interpretação dos resultados
Consiste na verificação dos resultados e tomada de decisão.
2.2.2 Medidas de posição
As medidas de posição são indicadores que tentam determinar valores que
representem conjuntos de dados (TRIOLA, 1997, p.18).
2.2.2.1 Medidas de tendência central
São valores estabelecidos num ponto central em torno do qual os dados se
distribuem. As medidas de tendência central que iremos apresentar são a média
aritmética, mediana e moda.
16
Média aritmética: é a soma de todos os elementos em nosso conjunto de dados
multiplicado pelas respetivas frequências absolutas (Fi) dividido pelo total de
elementos. Isto é,
!=
!! !!
(equação 9)
!
Onde n é o total de elementos no conjunto de dados.
Entretanto, quando os v
Mediana (Md): é o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados
ordenados. Ou seja, é o valor que tiver o mesmo número de elementos no seu lado
esquerdo e direito. A mediana não é influenciada por valores extremos. Para o
cálculo da mediana, no caso de variáveis contínuas, deve-se proceder como descrito
em MARTINS (2006, p.41):
1o passo: calcula-se a ordem n/2
2o passo: pela frequência acumulada (Fac), identifica-se a classe que contém
a mediana ( classe Md)
3o passo: Aplica-se a equação 10:
!" = !!" +
!
!
!
! ×!
!!"
(equação 10)
Onde:
!!"
é o limite inferior da classe da mediana
n é o tamanho da amostra ou números de elementos
! é a soma das frequências anteriores à classe da mediana
ℎ é a amplitude da classe da mediana
!!" é a frequência da classe da mediana
Exemplo: Dada a distribuição mostrada no quadro 2, determinar a
mediana.
17
Quadro 2: distribuição de frequências (2a coluna) e
frequências acumuladas (3a coluna)
Classes
Fi
Fac
7⏐⎯ 17
6
6
17⏐⎯ 27
15
21
27⏐⎯ 37
20
41
37⏐⎯ 47
10
51
47⏐⎯ 57
5
56
∑
56
Fonte: MOREIRA (2007)
Solução:
1o passo: cálculo da ordem n/2. Como n= 56, temos n/2= 28.
2o passo: Identificação da classe da mediana pela frequência acumulada
(Fac). Logo, a classe da mediana é a que contém o 28o elemento (27⏐⎯ 37).
3o passo: aplicação da equação 10.
Neste exemplo: !!" = 27;
!= 21; h= 10 e FMd= 20 logo:
56
− 21 ×10
!" = 27 + 2
= 30,5
20
Moda (MO): é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados.
Em um conjunto de dados podemos ter mais de uma moda ou nenhuma. Uma
distribuição que possui duas modas chamamos de bimodal.
18
2.2.2.2 Medidas de dispersão
Na definição de TRIOLA (1997, p.18) as medidas de dispersão são “números
que refletem o grau de variação entre os valores de um conjunto de dados”. Entre as
medidas de dispersão destaca-se a amplitude, o desvio padrão, desvio médio e a
variância. Dentre as medidas de dispersão, será apresentada apenas a formulação
que será relevante no estudo de caso:
Amplitude total (R): é a diferença entre o maior e o menor dado observado.
R = Xmáx – Xmín
n
Variância populacional:
σ2 =
∑ (x
Variância amostral:
S2 =
i =1
n
∑ (x
i
n −1
σ=
∑ (x
n
S=
∑ (x
i
(equação 13)
− x) 2
i =1
n
Desvio padrão amostral:
i
(equação 12)
− x) 2
i =1
n
Desvio padrão populacional:
− x) 2
i
n
(equação 11)
(equação 14)
− x) 2
i =1
n −1
(equação 15)
fonte: Triola,1998 p.40
19
2.2.2.3 Outras medidas de posição
Quartis (Q1 e Q3): são medidas de posição que dividem um conjunto de dados
ordenados em quatro partes iguais.
⏐
⏐
MÍN.
Q1
⏐
Q2=Md
⏐
⏐
Q3
MÁX.
Figura 4: intervalos quartílicos
Onde:
-
O 1o quartil (Q1) significa que 25% dos dados são inferiores a Q1, ou que 75%
dos dados são superiores a Q1.
O 2o quartil (Q2) coincide com o valor da mediana e significa que 50% dos
dados são maiores que Q2.
O 3o quartil (Q3) significa que 75% dos dados são inferiores a Q3, ou que 25%
dos dados são superiores a Q3.
O procedimento a determinação dos quartis Q1 e Q3 é semelhante ao de
determinação da mediana. Aqui estão os passos descritos por MARTINS (2006,
p.43):
Determinação do 1o quartil:
1o passo: calcula-se a ordem n/4;
2o passo: pela frequência acumulada (Fac), identifica-se a classe que contém
a classe do 1o quartil ( classe de Q1)
3o passo: Aplica-se a equação 16:
!! = !!! +
!
!
!
! ×!
!!!
(equação 16)
20
Determinação do 3o quartil:
1o passo: calcula-se a ordem 3n/4;
2o passo: pela frequência acumulada (Fac), identifica-se a classe que contém
a classe do 3o quartil ( classe de Q3)
3o passo: Aplica-se a equação 17:
!! = !!! +
!
!
! ! ! ×!
!!!
(equação 17)
2.2.3 Histogramas de frequência
Para uma melhor compreensão a respeito de um grande conjunto de dados, é
conveniente organizá-los e resumi-los, construindo um histograma de frequências.
Este recurso gráfico consiste de uma escala horizontal para os valores dos dados a
serem representados, uma escala vertical para as frequências e barras para
representar os valores das frequência de cada classe ou categoria de valores.
Geralmente, a construção de um histograma para representar um conjunto de dados
é precedida de uma tabela de frequência completa daqueles valores. Cada barra é
delimitada pela fronteira inferior de classe à esquerda e pela fronteira superior de
classe à direita. Os gráficos 2, 3, 5 e 6 apresentadas no estudo de caso (item 3) são
exemplos de histogramas.
21
3
ESTUDO DE CASO
A agência bancária, objeto do estudo, situa-se em um bairro do município de
Osasco-SP, possui 12 funcionários, entre eles 2 caixas (ambos dedicam-se também
ao atendimento preferencial, o que caracterizaria um regime prioritário não
preemptivo de atendimento) e um caixa flutuante (para cobrir os horários de almoço
dos demais caixas), que realizam juntos aproximadamente 350 autenticações por
dia. O horário de atendimento da agência é das 10h00min às 16h00min de segunda
à sexta-feira.
3.1 Coleta de dados
A coleta dos tempos de chegada e atendimento resultou em uma amostra
com 779 tempos de atendimento (778 tempos entre chegadas sucessivas) e estão
representados nos apêndices A e B.
As amostras foram obtidas no mês de fevereiro de 2010, nos dias 1o
(segunda-feira), 02 (terça-feira), 04 (quinta-feira), 05 (sexta-feira) e 10 (quarta-feira).
Alguns tempos de atendimento e de tempos entre chegadas não foram
considerados para o cálculo das médias totais por se tratarem de pontos "fora da
curva". Assunto que será abordado em Tratamento dos dados (3.2).
3.2 Tratamento dos dados
A etapa que sucede a coleta corresponde ao tratamento dos dados. Esta
etapa é necessária porque o aproveitamento total e indiscriminado dos dados pode
levar o pesquisador a interpretações equivocadas dos fenômenos em estudo. Para
realizarmos nosso estudo com maior prudência fizemos uma análise de correlação
entre variáveis e também identificamos os pontos “fora da curva”. Assuntos que será
discutido em Identificação de Outliers (3.2.1).
22
3.2.1 Identificação de Outliers
Em uma coleta de dados é comum surgirem valores extremos conhecidos
como outlier (fora da curva) que devem ser desconsiderados em alguns casos para
obtermos resultados mais coerentes ou menos distorcidos. Estes valores ocorrem,
geralmente em decorrência de situações atípicas ou erros de coleta (CHWIF, 2006).
De acordo com o critério estabelecido por Tukey (1960) identifica-se como outlier o
dado cujo valor seja maior que o referente ao terceiro quartil adicionado do valor do
intervalo interquartílico multiplicado por 3 (três) ou menor que o valor correspondente
ao primeiro quartil subtraído da multiplicação de 3 (três) vezes o intervalo
interquartílico. Exemplos de cálculo dos valores limites para identificação dos outliers
do tempo de atendimento e do tempo entre chegadas sucessivas estão
apresentados nos quadros 3 e 4, respectivamente. Os demais valores limites e a
identificação específica dos outliers para cada dia de coleta estão disponíveis nos
apêndices A e B.
Quadro 3 – Exemplo de cálculo dos valores limite para a identificação de Outliers dos
tempos de atendimento (valores em minutos).
1º dia (fila comum)
Caixa 1 (min)
Caixa 2 (min)
Caixa 3 (min)
1º Quartil (Q1)
2,20
3,22
2,30
3º Quartil (Q3)
6,36
7,71
7,25
A= Q3-Q1
4,16
4,49
4,94
Linf = Q1- 3A
-10,28
-10,25
-12,52
Lsup= Q3+ 3A
18,85
21,19
22,09
Fonte: elaborado pelo autor (2010).
O quadro 3 mostra, na coluna caixa 1, que o valor do 1o quartil foi de 2,20
minutos e que o valor do 3o quartil foi de 6,36 minutos. Desta forma pode-se calcular
o valor de A, que é o valor da diferença entre o terceiro e o primeiro quartis (4,16
minutos). O mesmo procedimento é aplicado às colunas caixa 2 e caixa 3. Com os
valores de Q1, Q3 e A calcula-se os valores dos limites superiores e inferiores para a
identificação de dados fora de curva (outliers).
O cálculo dos quartis pode ser feito no excel, em
“equações-estatística-
quartil”, abre-se uma janela. No primeiro campo seleciona-se a coluna com os
valores dos quais se quer encontrar o quartis e no segundo campo informa-se que
quartil se deseja encontrar e no terceiro campo o programa retorna o valor desejado.
23
Quadro 4 – Exemplo de cálculo dos valores limite para a
identificação de Outliers dos tempos entre chegadas
sucessivas (hh:mm:ss)
1º dia (fila comum)
1º Quartil (Q1)
00:00:46
3º Quartil (Q3)
00:04:08
A= Q3-Q1
00:03:22
Linf = Q1- 3A
valor negativo
Lsup= Q3+ 3A
00:14:15
Fonte: elaborado pelo autor (2010)
Como o limite inferior para detecção de outliers pelo método de Tukey
resultou em valores negativos (em nosso caso não tem significado algum), adotouse então um limite inferior para a filtragem de dados que foi de 30 (trinta) segundos.
O que é razoável, pois valores menores que este para os tempos de atendimento
indicam que ou senha foi anunciada no painel e o cliente já havia desistido do
atendimento ou algum cliente pressionou acidentalmente o botão do equipamento
que emite as senhas.
É válido ressaltar que exclusão dos outliers superiores possui caráter
simplificatório do estudo, pois na prática de uma agência bancária atendimentos com
30 (trinta) ou 40 (quarenta) minutos de duração causam grande transtorno ao
funcionamento do atendimento. Note também que os dados referentes aos tempos
de atendimento estão isentos de erros humanos de cronometria pois a coleta e
registro são feitos por meios informatizados.
24
3.3 Processo de Chegada
Os dados referentes aos tempos entre chegadas sucessivas em cada dia de
coleta estão apresentados no apêndice A. Para melhor entendimento, explica-se
este apêndice da seguinte maneira:
Quadro 5: trecho do relatório de coleta dos dados referentes aos tempos do processo de
chegada ( disponível no apêndice A)
fonte: elaborado pelo autor (2010)
O trecho do relatório de coleta mostra que no 2o dia de coleta (02 de
fevereiro) a primeira chegada (na coluna OC) ocorreu as 10 horas, 14 minutos e 45
segundos e a segunda chegada aconteceu as 10 horas, 14minutos e 56 seg. O que
indica um tempo entre chegadas de 11 segundos ( apresentado na coluna TEC). Os
tempos entre chegadas que estão em azul ocorreram entre 10 e 11 horas da manhã,
em verde entre 11 e 14 horas e em laranja entre 14 e 16 horas. Os tempos que
estão em marrom são outliers que foram excluídos dos cálculos da média e do
desvio padrão amostral.
Para a verificação dos modelos matemáticos que se aplicam ao estudo é
necessário o conhecimento da distribuição dos tempos relativos processo de
chegada. Para isto, constroem-se histogramas representativos das frequências
observadas dos tempos de chegada dos clientes comuns (gráfico 2) e preferenciais
(gráfico 3):
25
Gráfico 2: histograma de frequência dos tempos entre chegadas sucessivas na fila comum.
Fonte: elaborado pelo autor (2010)
O gráfico 2 mostra que, no atendimento comum, a maior frequência de
tempos entre chegadas sucessivas ocorre em intervalos menores que 30 segundos.
A amplitude de classe utilizada no histograma é de 30 segundos e a amplitude total
é de 8 minutos. As frequências acima de 8 minutos se aproximam de zero tornando
inviável sua representação gráfica.
Gráfico 3: histograma de frequência dos tempos entre chegadas sucessivas na fila
preferencial. Fonte: elaborado pelo autor (2010)
26
O Gráfico 3 mostra que, no atendimento preferencial, a maior frequência de
tempos entre chegadas acontece em intervalos menores que 1,5 minuto. A
amplitude de classe do histograma é de 1,5 minuto e a amplitude total é de 18
minutos. Amplitudes maiores que as do gráfico 2 porque os tempos entre chegadas
na fila preferencial são normalmente maiores devido ao menor movimento.
Os gráficos 2 e 3 se assemelham aos modelos de distribuição encontrados na
literatura. Logo, valida-se a formulação descrita em nosso referencial teórico.
Com as planilhas de frequência que deram origem aos gráficos 2 e 3, aplicase da equação 9 e obtém-se a média amostral dos tempos entre chegadas
sucessivas que são de 2,24 minutos (que representa 0,44 chegadas/minuto) para o
atendimento comum e 5,63 minutos (0,177 chegadas/minuto) para o atendimento
preferencial.
3.3.1 Análise da dispersão no processo de chegada
Para a verificação de como os valores dos tempos entre chegadas sucessivas
da amostra se distribuem ao longo expediente, faz-se necessária uma análise da
dispersão.
Os gráficos de dispersão do estudo mostram, no eixo das abcissas, a ordem
em que ocorrem os tempos entre chegadas e no eixo das ordenadas os tempos
entre chegadas.
Tomando-se como exemplo o gráfico 4, observa-se que o ponto
vermelho é um tempo entre chegadas que durou aproximadamente 22 minutos e
ocorreu por volta da 38a chegada.
27
Gráfico 4: dispersão dos tempos entre chegadas sucessivas no 1o dia de coleta na fila
comum. Fonte: elaborado pelo autor (2010)
No gráfico 4, que mostra a dispersão dos dados da fila comum no 1o dia,
verifica-se que os dados se distribuem de maneira aleatória com exceção dos
pontos em vermelho, que pelo critério de Tukey (1960) se caracterizam como
outliers dos tempos entre chegadas sucessivas. Comportamento semelhante é
observado em todos os dias tanto na fila comum quanto na fila preferencial.
Considera-se então, com as devidas ressalvas, a não existência de correlação entre
as variáveis em estudo, ou seja, as variáveis são independentes umas das outras.
Os gráficos de dispersão que estão no Apêndice C mostram as dispersões
dos dados relativos aos tempos entre chegadas sucessivas de usuários comuns e
preferenciais.
Observe também, no apêndice C, que os pontos fora da curva nos tempos
entre chegadas ocorreram por volta das 13h em quase todos os dias de coleta. Fato
interessante que pode ser objeto de estudos posteriores.
28
3.4 Processo de atendimento
A metodologia aplicada ao processo de chegada foi também aplicada ao
atendimento e os histogramas que representam os tempos de atendimento (gráficos
5 e 6) sugerem uma distribuição de Poisson.
Gráfico 5: histograma de frequência dos tempos de atendimento na fila comum.
Fonte: elaborado pelo autor (2010)
Gráfico 6: histograma de frequência dos tempos de atendimento na fila preferencial.
Fonte: elaborado pelo autor (2010)
Verifica-se que as médias totais dos tempos de atendimento (ta) são 5,03
minutos para o atendimento comum e 4,42 minutos para o atendimento preferencial.
O ritmo de atendimento (N·µ) foi calculado da seguinte maneira:
29
t! =
1
µ
Onde: ta é o tempo médio de atendimento da amostra
µ é o número de atendimentos por minuto
Se houvesse apenas um caixa na fila comum teríamos um ritmo de
atendimento de 0,19 clientes/minuto. Se houverem dois caixas na fila comum,
haveria um ritmo de atendimento de 0,38 clientes/minuto. Entretanto nestas
situações a fila tenderia a aumentar indefinidamente, pois não satisfaríamos a
condição de estabilidade λ < µ·S: Ritmo de atendimento= N∙µ =1 ∙
!
!,!"
= 0,19 clientes/minuto
Se houverem dois caixas no atendimento comum (N=2) teremos:
Ritmo de atendimento= N∙µ =2 ∙
!
!,!"
= 0,38 clientes/minuto
Para que a condição de estabilidade seja satisfeita é necessário que existam
ao menos três caixas destinados ao atendimento comum:
Ritmo de atendimento= N∙µ =3 ∙
!
!,!"
= 0,57 clientes/minuto
Na fila preferencial apenas um caixa é suficiente para atendermos a condição
de estabilidade. Assim temos:
Ritmo de atendimento= N∙µ =1 ∙
!
!,!"
= 0,23 clientes/minuto
3.5 Disciplina da fila
Nas datas da coleta de dados, a fila da agência objeto do estudo obedecia a
um regime prioritário não preemptivo de atendimento em decorrência do
atendimento preferencial. Entretanto, aqui considera-se o atendimento comum e
preferencial apenas duas filas separadas. Se não houvesse tal simplificação, o
estudo se tornaria muito mais complexo. Além disso, devido ao aumento de volume
e ao grande número de reclamações dos clientes, a agência atualmente realiza os
atendimentos separadamente, ou seja, um dos caixas é destinado somente ao
atendimento preferencial, caracterizando agora duas filas sob regime FCFS.
30
Nos caixas comuns temos uma fila que pode ser descrita da seguinte
maneira: M/M/2/∝/FCFS, quando apenas dois caixas estão atendendo esta fila ou
M/M/3/∝/FCFS, quando todos os guichês atendem a fila comum. (Observe o item
2.1.4 notação)
No atendimento preferencial a fila pode ser descrita de uma única maneira:
M/M/1/∝/FCFS. Enquanto houver clientes na fila preferencial, um dos três caixas, ao
encerrar o atendimento corrente, anuncia a senha do próximo cliente preferencial.
3.6 Tamanho médio da fila
Para o cálculo do número médio de clientes na fila é necessário primeiro o
conhecimento da probabilidade de que todos os canais estejam ocupados (equação
4) e a probabilidade de que haja nenhum cliente na fila (equação 1):
Inicia-se pelo cálculo de ρ:
ρ=
!
!
;
λ = 0,44 chegadas/min ;
µμ = 0,19 clientes/min
ρ=
!,!!
!,!"
= 2,31
Tendo-se o valor ρ calcula-se P0:
P0 =
!
S-­‐1 ρj
j=0 j! !
!!
!!! !∙(!! !)
(equação 1)
Como o atendimento na fila comum não atenderia a condição de estabilidade
com apenas um caixa, resta somente uma possibilidade com 3 caixas (S=3):
P0 =
1
S-­‐1
j=0
ρj
j!
+
ρ!
S − 1 ! ∙ (S − ρ)
P!"#$. !"!#$
= 1
= 0,066
2,31!
2,31!
1 + 2,31 +
+
2
2 ! ∙ (0,68)
ρ!
= P(n ≥ S) =
∙P
S − 1 ! ∙ (S − ρ) !
Considerando o atendimento comum com três canais de atendimento (S=3)
temos: P!"#$. !"!#$
2,31!
=P n≥3 =
∙ 0,066 = 0,59 2 ! ∙ 3 − 2,31
31
Finalmente consegue-se calcular o número médio de clientes na fila pela
equação 5:
NF =
!
!!!
∙ P!"#$. !"!#$ =
!,!"
!!!,!"
×0,59 = 1,97 clientes
No atendimento preferencial apenas um caixa (S=1) é suficiente para
satisfazer condição de estabilidade. Assim com na fila comum, os cálculo se iniciam
pelo cálculo de ρ:
ρ=
!
!
;
λ = 0,17 chegadas/min ; µμ = 0,23 clientes/min
ρ=
!,!"
!,!"
= 0,73
O passo seguinte é o cálculo do valor de P0 pela equação 1:
P0 =
1
j
S-­‐1 ρ
j=0 j!
+
ρ!
S − 1 ! ∙ (S − ρ)
= 1 − ρ (somente para filas de canal único)
P0 = 0,26
Agora calcula-se a probabilidade de o caixa estar ocupado pela equação 4:
P!"#$. !"!#$ = P n ≥ S =
!!
!!! !∙ !!!
∙ P! = !,!"!
!!! !∙ !!!,!"
∙ 0,73 = ρ (logo para o
caso de filas com canal único o próprio ρ é a probabilidade de ocupação total)
Calcula-se o número médio de clientes na fila preferencial pela equação 5:
!
NF = !!! ∙ P!"#$. !"!#$ =
!,!"!
!,!"
= ρ ( logo para o caso de fila com canal único
o valor de ρ representa tanto a probabilidade de ocupação quanto o número
médio de clientes fila).
3.7 Tempo médio de espera na fila
Pode-se calcular o tempo médio de espera na fila pela equação 6 descrita no
referencial teórico:
Para o atendimento comum tem-se:
TF = NF ∙
1
1
= 1,97.
= 4,48 !"#$%&'
λ
0,44
32
Para o atendimento preferencial tem-se:
TF = NF ∙
1
1
= 0,73.
= 4,29 !"#$%&'
λ
0,17
4 CONCLUSÕES
A coleta de dados foi realizada em uma agência bancária de Osasco/SP em
fevereiro de 2010 e, desta forma, os resultados baseiam-se em um estudo de caso,
tendo limitações inferenciais.
Na agência estudada, no período que houve a coleta de dados, são
necessários pelo menos três caixas destinados ao atendimento comum. Caso
contrário, a condição estabilidade não estaria satisfeita e a fila tenderia a aumentar
indefinidamente.
Apenas um caixa é suficiente ao atendimento na fila preferencial na agência
estudada.
Todos os pontos fora de curva (outliers) do tempos entre chegadas
sucessivas ocorreram por volta das 13 horas. Fato que pode ser objeto de estudos
posteriores.
A média tempos de atendimento dos clientes preferenciais são ligeiramente
menores que os tempos de atendimento dos clientes da fila comum, assim como os
respectivos desvios-padrão.
Os resultados obtidos neste estudo não esgotam as informações que podem
ser extraídas dos dados contidos nos apêndices A, B e C.
33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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e modelos para a análise de decisão. 2º Ed. Rio de Janeiro: Editora LTC- Livros
Técnicos e Científicos S.A, 2000.
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Aplicações. São Paulo: Editora dos Autores, 2006.
COGAN, Samuel.
Gerenciando as Percepções nas Filas de Espera - Para
aumentar o Nível de Satisfação dos Clientes. Rio de Janeiro: Editora Qualitymark,
1998.
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em <www.deinf.ufma.br/~mario/grad/filas/TeoriaFilas_Cajado.pdf>.
Acesso em 10
de maio de 2009.
Teoria de Filas, Apostila do Curso de Ciência da Computação
da UFMA. Maranhão, 2005.
FONTANELLA, G. C. Uma metodologia baseada em teoria de filas para auxiliar
no dimensionamento de canais de atendimento de provedores INTERNET.
Dissertação de Mestrado – Departamento de Engenharia de Produção, UFSCar,
São Carlos, 1997.
FREITAS, P. J. F. Introdução à Modelagem e Simulação de Sistemas. São Paulo:
Visual Books Ltda, 2001.
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. 3a ed. São Paulo:
Ed. Atlas, 2006.
MOREIRA, Daniel Augusto. Pesquisa Operacional: curso introdutório. São Paulo:
Thomson Learning, 2007.
34
RINALDI, José Gilberto Spasiani et al. A importância da rapidez de atendimento
em supermercados: um estudo de caso. Gestão & Produção. vol.16 no.1 São
Carlos, Jan./Mar 2009. Disponível em: <http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0104530X2009000100002&script=sci_arttext> Acesso em 10 de maio de 2009.
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 7a edição. Trad; Alfredo Alves de
Farias. Rio de Janeiro: LTC- Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 1998.
TUKEY, J. W. A survey of sampling from contaminated distribution.
Contributions to Probability and Statistics. California: University Press Stanford,
1960.
VIRGILLITO, Salvatore Benito. Estatística Aplicada Sao Paulo: Editora Alfa-Omega
ltda, 2004.
WAGNER, Harvey M. Principles of Operations Research with Applications to
Managerial Decisions. Londres: Prentice-Hall, Inc., 1972.
35
GLOSSÁRIO
Amostra: parte significativa da população que mantém as características do universo
que o originou. É portanto, um subconjunto da população.
Atendimento múltiplo: aquele no qual existem dois ou mais postos em sequência,
cada um responsável por parte do atendimento.
Atendimento único: aquele que é realizado por um só posto de serviço.
Cliente impacientes: são aqueles que se recusam a juntar-se à fila ou acabam
abandonando após algum tempo.
Custo da fila: é o conjunto de custos associados à própria existência da fila, seja por
causa da receita perdida devido à desistência do cliente ou pelo desgaste da
imagem da organização devido à ineficiência ou mal atendimento.
Custo do atendimento: é o custo de fornecer um determinado nível de serviço ou
atendimento.
Disciplina da fila: critério de escolha do próximo cliente a ser atendido em uma fila.
Estatística descritiva: ramo da estatística que se ocupa em ordenar as variáveis
colhidas em campo pelos pesquisadores e delas extrair os primeiros cálculos
que servirão para todo o processo estatístico.
Estatística indutiva: parte da estatística que procura tirar conclusões sobre
populações a partir do estudo dos resultados obtidos com testes estatísticos
aplicados sobre amostras delas retiradas.
Fila de canal múltiplo: existem duas ou mais instalações de atendimento em
paralelo, cada uma atendendo de maneira independente das demais.
Fila de canal único: há apenas uma instalação de atendimento.
Outliers: pontos fora da curva- valores extremos coletados que devem ser excluídos
na etapa de tratamento dos dados.
População: ou Universo, é um conjunto de elementos com pelo menos uma
característica em comum identificável claramente. Caracterizada a população
devemos proceder ao levantamento dos dados a respeito desta característica
para posterior estudo.
Teoria das filas: corpo de conhecimentos matemáticos, aplicáveis ao fenômeno das
filas de espera.
36
APÊNDICE A
Tempos do processo de chegada
37
Tempos do processo de chegada
Fila comum 1º dia (01/fev)
= 10-­‐11h =11-­‐14h chegadas
TEC- Tempo entre
OC- Ocorrência do evento (chegada)
OC
10:13:13
10:16:17
10:16:52
10:23:35
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39
Tempos do processo de chegada
Fila comum 3º dia (04/fev)
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TEC- Tempo entre
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40
Tempos do processo de chegada
Fila comum 4º dia (05/fev)
= 10-­‐11h =11-­‐14h chegadas
TEC- Tempo entre
OC- Ocorrência do evento (chegada)
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(-­‐)
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41
Tempos do processo de chegada
Fila comum 5º dia (10/fev)
= 10-­‐11h =11-­‐14h chegadas
TEC- Tempo entre
OC- Ocorrência do evento (chegada)
OC
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(-­‐)
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42
Tempos do processo de chegada
Fila preferencial 1º dia (01/fev)
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(-­‐)
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43
Tempos do processo de chegada
Fila preferencial 2º dia (02/fev)
= 10-­‐11h =11-­‐14h chegadas
TEC- Tempo entre
OC- Ocorrência do evento (chegada)
OC
TEC
OC
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(-­‐)
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00:08:37
00:08:44
44
Tempos do processo de chegada
Fila preferencial 3º dia (04/fev)
= 10-­‐11h =11-­‐14h chegadas
TEC- Tempo entre
OC- Ocorrência do evento (chegada)
OC
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10:22:54
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10:29:03
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DP
Q1
Q3
A=Q3-­‐Q1
Linferior
Lsuperior
Média nova
DP novo
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(-­‐)
00:34:16
00:06:19
00:05:25
45
Tempos do processo de chegada
Fila preferencial 4º dia (05/fev)
= 10-­‐11h =11-­‐14h chegadas
TEC- Tempo entre
OC- Ocorrência do evento (chegada)
OC
10:10:27
10:19:53
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11:04:56
11:13:09
11:15:22
11:15:37
11:21:09
11:31:55
11:33:58
TEC
00:09:26
00:02:22
00:02:00
00:02:23
00:11:03
00:07:32
00:04:26
00:15:17
00:08:13
00:02:13
00:00:15
00:05:32
00:10:46
00:02:03
OC
11:47:59
11:48:10
11:58:09
12:01:58
12:11:38
12:14:01
12:16:11
12:26:15
12:27:02
12:29:11
12:31:13
12:43:35
12:47:21
12:54:52
13:06:14
= 14-­‐16h TEC
00:14:01
00:00:11
00:09:59
00:03:49
00:09:40
00:02:23
00:02:10
00:10:04
00:00:47
00:02:09
00:02:02
00:12:22
00:03:46
00:07:31
00:11:22
=outlier OC
13:18:55
13:44:15
13:44:46
Média
DP
Q1
Q3
A=Q3-­‐Q1
Linferior
Lsuperior
Média nova
DP novo
TEC
00:12:41
00:25:20
00:00:31
00:06:42
00:05:42
00:02:10
00:10:14
00:08:05
(-­‐)
00:34:29
00:06:42
00:05:42
46
Tempos do processo de chegada
Fila preferencial 5º dia (10/fev)
= 10-­‐11h =11-­‐14h chegadas
TEC- Tempo entre
OC- Ocorrência do evento (chegada)
OC
10:10:38
10:13:24
10:20:40
10:33:05
10:36:44
10:40:54
10:47:36
10:49:19
10:59:38
11:02:32
11:03:37
11:04:07
11:11:58
11:12:49
11:14:42
TEC
00:02:46
00:07:16
00:12:25
00:03:39
00:04:10
00:06:42
00:01:43
00:10:19
00:02:54
00:01:05
00:00:30
00:07:51
00:00:51
00:01:53
OC
11:15:34
11:15:46
11:16:55
11:27:44
11:39:30
11:57:25
12:14:43
12:14:55
13:30:57
13:38:11
14:14:28
14:20:26
14:23:12
14:42:46
14:55:25
= 14-­‐16h TEC
00:00:52
00:00:12
00:01:09
00:10:49
00:11:46
00:17:55
00:17:18
00:00:12
01:16:02
00:07:14
00:36:17
00:05:58
00:02:46
00:19:34
00:12:39
=outlier OC
15:17:17
15:36:00
15:54:14
15:54:56
Média
DP
Q1
Q3
A=Q3-­‐Q1
Linferior
Lsuperior
Média nova
DP novo
TEC
00:21:52
00:18:43
00:18:14
00:00:42
00:10:26
00:14:25
00:01:43
00:12:39
00:10:56
(-­‐)
00:45:27
00:08:23
00:08:28
47
APÊNDICE B
Tempos do processo de atendimento
48
Tempos do processo de atendimento
49
Tempos do processo de atendimento
50
Tempos do processo de atendimento
51
Tempos do processo de atendimento
52
APÊNDICE C
Dispersão do tempo entre chegadas sucessivas
53
Dispersão do tempo entre chegadas sucessivas
Fila comum
54
Dispersão do tempo entre chegadas sucessivas
Fila preferencial