Capitulo 10: Teoria das Filas
10.1 Conceitos – Teoria das Filas
Elementos de uma fila: A partir de uma certa população, os clientes se colocam em fila para receber
um determinado serviço
Um canal ou
Diversos canais
População
Clientes
Servidor(es)
Algumas características:
1) Cliente: Vem de uma população, que pode ser infinita, como por exemplo no caso de um banco, ou
finita, como por exemplo, o carregamento de caminhões por uma escavadeira em uma mineradora
2) Chegada: Imaginando um grande banco onde chegam em média 5 pessoas por minuto. Sabemos
que esse ritmo de chegada não será perfeitamente regular (ou seja, não entrarão exatamente 5
pessoas a cada minuto por todo o dia), por isso, utilizaremos distribuições de freqüências e diremos,
por enquanto, que a “taxa média de chegada” é de 5 pessoas por minuto. A partir desse dado, também
poderemos definir o “intervalo médio entre chegadas” (=60s÷5 pessoas) que será de 12s
Esses dois parâmetros são identificados da seguinte maneira:
λ= 5 clientes por minuto
IC= 12 segundos
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3) Atendimento: Observando um dos atendentes, vamos supor que o mesmo faça o atendimento de 2
clientes a cada minuto. Assim como dissemos anteriormente, isso é uma média e devido às variações,
deveremos utilizar distribuições de probabilidade para melhor caracterizar o processo. O “Ritmo médio
de atendimento” é portanto de 2 clientes por minuto, de onde também poderemos concluir que o
“tempo médio de atendimento” é de 30s (=60s÷2 pessoas), e os representamos da seguinte maneira:
μ= 2 clientes por minuto
TA=30 segundos
4) Tamanho Médio da Fila: Uma característica simples que mostra a eficiência do atendimento. Filas
muito grande trazem insatisfação dos clientes, mas por outro lado, filas muito pequenas podem
requerer custos excessivos de atendimento.
5) Tamanho Máximo da Fila: Essa característica está estritamente ligada à área de espera que deve
ser definida pois é a mesma que irá comportar os clientes.
6) Tempo Médio de Espera: Uma característica bastante parecida com o tamanho médio da fila, onde
seu valor vai depender do processo de chegada e do processo de atendimento
7) Quantidade de Servidores: Para interferir no atendimento, o sistema pode possuir um servidor (1
canal) ou vários (Diversos canais). Via de regra, um canal traz um custo menor nos servidores porem
um custo maior na fila. De forma oposta, diversos canais trazem um custo maior nos servidores porem
um custo menor na fila.
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Como vimos anteriormente, o processo de chegada e o de atendimento em uma fila não devem ser
considerados “estáveis” ou “regulares” durante o período, e portanto deverão seguir uma distribuição
de probabilidades.
Nossos estudos irão considerar as seguintes características:
 O processo de chegada segue uma distribuição de Poisson com média λ
 O numero de atendimentos segue uma distribuição de Poisson com média μ
 O atendimento é feito por ordem de chegada
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10.2 – Sistema de uma fila com população infinita e um canal
Esse sistema considera que os clientes são provenientes de uma população infinita ( um banco, por
exemplo) e que há apenas um atendente (um único caixa)
Equações Básicas:
Nome
Descrição
Fórmula
P (n)
Probabilidade de haver n clientes no sistema
P(n)= (λ / μ)n * ((μ - λ) / μ)
NF
Número médio de clientes na fila
NF= λ² / (μ*(μ - λ))
NS
Número médio de clientes no sistema
NS= λ / (μ - λ)
TF
Tempo médio de espera na fila por cliente
TF= λ / (μ*(μ - λ))
TS
Tempo médio gasto no sistema por cliente
TS= 1 / (μ - λ)
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Outras fórmulas importantes:
Relações entre os principais parâmetros: comparando as fórmulas obtemos as seguintes relações
que poderão ser úteis
NF = λ * TF
NS = λ * TS
TF = TS – (1 / μ)
NF = NS – (λ / μ)
Atendimento e Chegada:
Taxa Média de Chegada & Intervalo Médio de Chegada:
λ = 1 / IC
Ritmo Médio de Atendimento & Tempo Médio de Atendimento:
μ = 1 / TA
Nota: Atenção às unidades
A taxa de utilização demonstra a relação entre o ritmo médio de chegada e o de atendimento:
ρ=λ/μ
Nota: Se ρ ≥ 1, então a fila será infinita
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Exercício 10.1
Em um caixa eletrônico colocado em um Shopping Center, o ritmo de chegada é de 4 clientes por hora
e o tempo médio que o cliente utiliza o caixa é de 2 minutos. Assumindo que o processo obedece as
leis de Poisson, pergunta-se:
a) Qual a taxa de utilização do caixa eletrônico?
b) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar ao caixa eletrônico e não ter que esperar para utilizálo?
c) Qual o número médio de pessoas na fila?
d) Qual o número médio de pessoas no sistema?
e) Qual o número médio de pessoas no caixa eletrônico?
f) Por quanto tempo em média, as pessoas ficam na fila?
g) Para que o tempo médio de espera na fila fosse de 6 minutos, qual deveria ser o ritmo de chegada?
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Solução 10.1
λ = 4 chegadas por hora
TA = 2 minutos
Assim,
IC = 1 / λ = 1 / (4/60) => IC = 15 minutos
μ = 1 / TA = 1 / (2/60) => μ = 30 atendimentos por hora
a) Taxa de utilização do caixa eletrônico:
ρ = λ / μ = 4 / 30
ρ = 13,3 %
b) Probabilidade de uma pessoa chegar ao caixa eletrônico e não ter que esperar para utilizá-lo:
P(n)= (λ / μ)n * ((μ - λ) / μ)
P(0)= (λ / μ)0 * ((μ - λ) / μ) = ((30-4)/30)
P(0)= 0,867 ou 86,7%
c) Número médio de pessoas na fila:
NF= λ² / (μ*(μ - λ)) = 4² / (30*(30-4))
NF= 0,0205
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d) Número médio de pessoas no sistema:
NS= λ / (μ - λ) = 4 / (30-4)
NS= 0,1538
e) Número médio de pessoas usando o caixa eletrônico:
NA= NS – NF= 0,1538 – 0,0205
NA= 0,1333
f) Tempo em média que as pessoas ficam na fila:
TF= λ / (μ*(μ - λ)) = 4 / (30*(30-4))
TF= 0,005h ou 0,3minutos
g) Ritmo de chegada para que o tempo médio de espera na fila seja de 6 minutos:
TF= 6 minutos = 0,1hora
TF= λ / (μ*(μ - λ))
λ= (TF*²μ) / (1+μ *TF) = (0,1*30²) / (1+30*0,1)
λ=22,5 chegadas por hora
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Exercício 10.2
O departamento de manutenção de uma industria consegue atender seus clientes internos a um ritmo
de 1,5 atendimento por hora. Verificou-se através de apontamentos existentes na produção que a
manutenção era acionada a cada 1 hora (taxa = 1 chegada por hora). Sabe-se que o funcionário da
manutenção recebe $ 10,00 a hora e que o custo de máquina parada é de $200,00 a hora. Assumindo
que o processo obedece as leis de Poisson, pede-se:
a) O custo horário do sistema
b) A porcentagem do dia em que o operador de manutenção fica ocioso.
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Solução 10.2
Temos:
Taxa média de chegada
λ = 1 chegada por hora
Ritmo médio de atendimento
μ = 1,5 atendimento por hora
a) O custo horário do sistema
O custo do sistema é a soma do custo do funcionário da manutenção (que é parte permanente do
sistema) com o custo das máquinas que estão paradas (aguardando reparo), que nada mais é do que
o NS
NS= λ / (μ - λ) = 1 / (1,5 – 1)
NS= 2
Custo hora do sistema = 10,00 + (2*200,00) = $410,00
b) A porcentagem do dia em que o operador de manutenção fica ocioso:
A porcentagem do dia em que o operador de manutenção fica ocioso corresponde aquela onde não há
nenhum cliente (máquina necessitando manutenção) no sistema.
P(n)= (λ / μ)n * ((μ - λ) / μ)
P(0)= (λ / μ)0 * ((μ - λ) / μ) = ((1,5-1) / 1,5)
P(0)= 33,3%