Matemática
Atividades Adicionais
Módulo 4
1.(UFGO) A tabela a seguir foi extraída da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílio/2001, do IBGE. Ela
mostra as classes de rendimento mensal no Estado
de Goiás e o número de pessoas de 10 anos de idade
ou mais, em cada classe.
210 438
62 010
148 428
50
mínimo
Mais de 1 a 2 salários
mínimos
816 385
498 301
318 084
Mais de 2 a 3 salários
mínimos
354 673
251 875
102 798
Mais de 3 a 5 salários
mínimos
257 695
172 865
84 830
Mais de 5 a 10 salários
mínimos
186 355
125 954
60 401
Mais de 10 a 20 salários
mínimos
75 830
55 911
19 919
Mais de 20 salários
mínimos
41 446
33 409
8 037
Sem rendimento
1 501 999
505 691
996 308
Total
4 141 696 2 005 447 2 136 249
Verifique se cada sentença a seguir é verdadeira ou
falsa.
I. O número de pessoas que ganham mais de 5 salários mínimos é inferior a 8% do total de pessoas.
II. A razão entre o número de mulheres e de homens
que ganham até 1 salário mínimo é maior que a
razão entre o número de mulheres e de homens
com rendimentos superiores a 1 salário mínimo.
40
30
20
10
0
outros
397 444
hidrelétrica
299 431
nuclear
696 875
gás
1
Mais de
a 1 salário
2
Mulheres
carvão
1
salário mínimo
2
Homens
2.(ENEM) Segundo um especialista em petróleo (O Estado
de S. Paulo, 05.03.2000), o consumo total de energia
mundial foi estimado em 8,3 bilhões de toneladas
equivalentes de petróleo (TEP) para 2001. A porcentagem das diversas fontes da energia consumida no
globo é representada no gráfico.
petróleo
Até
Total
IV.Mais da metade das pessoas não possuem rendimento ou ganham até 1 salário mínimo.
% da energia mundial
Classes de
rendimento mensal
Pessoas de 10 anos de
idade ou mais
III.Mais de 60% das pessoas sem rendimento são
mulheres.
fontes de energia
Segundo as informações apresentadas, para substituir
a energia nuclear é necessário, por exemplo, aumentar a energia proveniente do gás natural em cerca de
a)10%.
b)18%.
c)25%.
d)33%.
e)50%.
3.(PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a
posição de três candidatos a prefeito de uma cidade,
1500 pessoas foram consultadas. Se o resultado da
pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares
de um mesmo disco e certo candidato recebeu 350
intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a esse candidato?
a)42°
b)168°
c)90°
d)242°
e)84°
201
1
4.(UNICAMP) O gráfico a seguir, em forma de pizza,
representa as notas obtidas em uma questão pelos
32 000 candidatos presentes à primeira fase de uma
prova de vestibular.
Observando o gráfico, conclui-se que a moda e a mediana das notas obtidas pelos 25 alunos correspondem, respectivamente, a:
a)2,0 e 3,0.
b)2,0 e 4,0.
c)2,0 e 5,0.
d)3,0 e 4,0.
e)3,0 e 5,0.
7.(UFU) O Departamento de Comércio Exterior do Banco
Central possui 30 funcionários com a distribuição salarial em reais mostrada na tabela a seguir.
No de funcionários
Salário (em R$)
Ele mostra, por exemplo, que 32% desses candidatos
tiveram nota 2 nessa questão. Pergunta-se:
10
2 000,00
a)Quantos candidatos tiveram nota 3?
b)É possível afirmar que a nota média, nessa questão,
foi menor ou igual a 2? Justifique sua resposta.
12
3 600,00
5
4 000,00
3
6 000,00
5.(UFPI) O histograma a seguir apresenta as alturas de
30 atletas de uma equipe de futebol.
no de
atletas
10
8
6
3
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
altura
(em metros)
Com esses dados, podemos concluir que a média das
alturas dos atletas é aproximadamente:
a)1,58
b)1,65
c)1,74
d)1,81
e)1,92
6.(UEPA) O professor Joelson aplicou uma prova de
Matemática a 25 alunos, contendo 5 questões, valendo 1 ponto cada uma. Após fazer a correção, o
professor construiu o gráfico a seguir, que relaciona
o número de alunos, às notas obtidas por eles.
Quantos funcionários que recebem R$ 3 600,00 devem ser demitidos para que a mediana desta distribuição de salários seja de R$ 2 800,00?
a)8
b)11
c)9
d)10
e)7
8.(UFSE) Suponha que a Prefeitura de Aracaju deseje
estudar o número de extintores de incêndio com defeito nos principais prédios de porte médio na Capital. Para isso, foi escolhida uma amostra de 85 prédios, encontrando-se os dados da tabela seguinte:
Números de extintores com defeito
por prédio
0
1
2
5
6
Frequência
14
8
10 15 15 16
7
3
4
Entre as sentenças a seguir aponte a falsa:
a)O número médio de extintores com defeito por
prédio é igual a 3,2.
b)Se a cidade tem 860 prédios desse tipo, então a
estimativa do número total de extintores com defeito é 2 580.
c)O desvio padrão em torno do número médio é
menor que 1,8.
201
2
frequência
9. (FGV) (No gráfico a seguir está representado, no
eixo das abscissas, o número de fitas de vídeo alugadas por semana numa videolocadora e, no eixo
das ordenadas, a correspondente freqüência (isto é,
a quantidade de pessoas que alugaram o correspondente número de fitas).
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
6
5
número de fitas
a)Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 4
ou mais fitas?
b)Se cada fita é alugada por R$ 4,00, qual a receita
semanal da videolocadora?
10. (UFPE) O consumo anual de café em estabelecimentos comerciais no Brasil, de 1999 a 2002, está
ilustrado no gráfico a seguir.
Consumo de café
(em milhões de sacas)
Verifique se cada sentença a seguir é verdadeira ou
falsa.
I.O consumo cresceu linearmente de 2000 a 2002.
II.Entre 2000 e 2002 o crescimento percentual foi
superior a 6%.
III.O crescimento percentual em 2001 foi igual ao
crescimento percentual em 2002 (crescimento
relativo ao ano anterior).
IV.Em 2001 o crescimento percentual (em relação a
2000) foi inferior a 4%.
V.A média anual de consumo foi superior a 13 milhões de sacas.
11. (UnB) A tabela a seguir apresenta o levantamento
das quantidades de peças defeituosas para cada
lote de 100 unidades fabricadas em uma linha de
produção de autopeças durante um período de 30
dias úteis.
Dia
No de peças
defeituosas
Dia
No de peças
defeituosas
1
6
16
7
2
4
17
5
3
3
18
6
4
4
19
4
5
2
20
3
6
4
21
2
7
3
22
6
8
5
23
3
9
1
24
5
10
2
25
2
11
1
26
1
12
5
27
3
13
4
28
2
14
1
29
5
15
3
30
7
Considerando S a série numérica de distribuição de
freqüências de peças defeituosas por lote de 100
unidades, verifique se as sentenças a seguir são verdadeiras ou falsas.
I.A moda da série S é 5.
II.Durante o período de levantamento desses dados, o percentual de peças defeituosas ficou, em
média, abaixo de 3,7%.
III.Os dados obtidos nos 10 primeiros dias do levantamento geram uma série numérica de distribuição de freqüências com a mesma mediana da
série S.
12. (UFPE) Uma pesquisa sobre o consumo de bebida
alcoólica de um grupo de 20 estudantes, em um período de 30 dias, produziu o seguinte resultado:
Unidades de bebida
alcoólica
Número de estudantes
que consumiram
De 0 a 10
12
De 11 a 20
8
Acima de 20
0
201
3
Qual o valor máximo que a média do número de
unidades alcoólicas consumidas pelos estudantes
no período pode atingir?
13. A tabela de frequência a seguir representa as distâncias, em quilômetros, percorridas por um maratonista em cada um de um total de 50 dias de treinamento.
Distância
7
14
21
28
7
4
14
19
21
12
28
11
35
4
    
0
Frequência
a)Calcular a média x– e o desvio-padrão s das distâncias percorridas.
b)Construa o histograma e calcule a mediana.
c)Qual a percentagem de observações maiores
que x– + s?
14. Quer-se estudar o número de erros de impressão de
um livro. Para isso escolheu-se uma amostra de 50
páginas, encontrando-se os números de erros por
página dados na tabela seguinte:
Erros
Frequência
0
25
1
20
2
3
3
1
4
1
a)Qual o número médio de erros por página?
b)E o número mediano?
c)Qual é o desvio-padrão?
d)Se o livro tem 500 páginas, qual o número total
de erros esperado no livro?
15. Foi realizada uma pesquisa apurando a renda anual
dos 20 500 moradores do bairro A. Infelizmente,
os resultados da pesquisa foram perdidos. Sabemos somente que, sendo xi a renda média do morador i, em salários mínimos, temos ∑ xi = 1 503 000
e ∑ xi2 = 490 650 000.
a)Calcule a média e o desvio-padrão das rendas.
b)O bairro B tem média de 7,2 salários mínimos e
desvio-padrão de 15,1 salários mínimos. Em qual
dos bairros a população é mais homogênea
quanto à renda?
16. (UnB) Dados do Departamento Nacional de Trânsito
(Denatran) revelam que, por dia, os acidentes de
trânsito no Brasil matam cerca de 100 pessoas e ferem outras 1 000, muitas vezes deixando sequelas
irreversíveis. Os gastos decorrentes da violência no
trânsito chegam a mais de R$ 10 bilhões por ano.
Índice de mortos por 10 mil veículos/ano
Distrito Federal, 1995-2003
Segundo o diretor do Denatran, entre os principais
fatores que colaboram para o aumento de acidentes
nas vias urbanas e rodoviárias estão dois velhos conhecidos: o uso de álcool e o excesso de velocidade.
Verifique se cada sentença a seguir é verdadeira ou
falsa:
I.As informações contidas no gráfico são suficientes para que se possa concluir que o número de
vítimas fatais de acidentes de trânsito no DF foi
maior em 1999 que em 2002.
II.No DF, se a frota de veículos em 1996 fosse 10%
menor que a frota de veículos em 2000, então o
número de mortos em acidentes de trânsito em
2000 teria sido inferior a 60% do número de mortos em acidentes de trânsito em 1996.
III.A média aritmética da sequência numérica formada pelos índices correspondentes aos anos de
1995, 1996, 1997, 1998 e 1999 é superior a 10,7.
IV.Considere a seguinte situação: x representa o número de veículos no DF em 2001 e y o número de
mortos em acidentes de trânsito no DF nesse
mesmo ano. Nessa situação, de acordo com os dados do gráfico, a seguinte sentença é verdadeira:
x . 500 000 ⇒ y  320
V.O desvio-padrão da sequência numérica formada
pelos índices correspondentes aos anos de 1996,
1997 e 1998 é superior a 2,2.
201
4
123 123
123
π kπ
+
|k∈Z
8
2
d)S = x =
π
3π
+ kπ | k ∈ Z ∪ x =
+ kπ | k ∈ Z
2
4
e)S = x =
kπ
|k∈Z
2
123
123
π
+ kπ | k ∈ Z
3
123
c)S = x =
18. (PUC) Seja a função f, de R em R, definida por
π
π
f(x) = cos ⋅ cos 2x – sen ⋅ sen 2x.
6
6
Determine:
a)o período de f.
b)as soluções da equação f(x) = 0, no intervalo [0; 2π].
S
19. (UFC) Determine o valor de , sabendo que S é soma,
π
em radianos, de todas as soluções da equação
cos x + cos5 x + cos (7x) = 3, contidas no intervalo
[0; 14π].
21. (SANTA CASA) Se x ∈ [0; 2π], a soma dos valores de
x que satisfazem a equação
| sen π + x | + | cos (π – x) | = 1 é:
2
a)0.
7π
b) .
3
c)2π.
d)4π.
e)impossível de ser determinada.
1
22. (MACK) A equação sen3 x ⋅ cos x – sen x ⋅ cos3 x = ,
4
no intervalo [0; 2π], tem p soluções. Então p vale:
a)1.
d)4.
b)2.
e)5.
c)3
(
)
24. (FAAP) Achar os possíveis valores de α real, com
0 < α < 2π, para os quais a equação
x2 – x ⋅ 
2 – cos α = 0 admite uma raiz dupla.
25. (FCC) No universo ]–π; π[ o conjunto solução da inequação sen x ⋅ tg x > 0 é:
π
a) 0;
2
[ [
b)[0; π]
π
c) ; π
2
] ]
d)[–π; π]
π π
e) – ;
2 2
]
[
26. (MACK) Em 0 < x < 2π, o conjunto solução do sistema
cos2 x  12 é:
tg 2x < 0
a)∅
123 123 123
a)tem uma infinidade de soluções.
b)não tem solução.
c) tem somente uma solução.
d)tem exatamente quatro soluções.
e)tem um número finito, maior do que quatro, de
soluções.
b)x = kπ, k inteiro qualquer.
c)x = (k + 1)π, k inteiro qualquer.
d)x = (2k + 2)π, k inteiro qualquer.
e)x = (4k + 2)π, k inteiro qualquer.
123
π
1
20. (CESGRANRIO) Se 0  x  , a equação sen = 0:
2
x
23. (ITA) Quais os valores de x que satisfazem a equação
x
cos x – cos = 2?
2
π
π
a)– < x < .
2
2
123 123 123
123
123
b)S = x = –
123
123 123 123 123 123
17. (FGV) Resolva a equação sen 3x ⋅ cos 3x = sen x ⋅ cos x:
kπ
π kπ
|k∈Z
a)S = x = | k ∈ Z ∪ x = +
2
8
4
b) x ∈ R |
π
π
x<
3
2
c) x ∈ R |
π
3π
<x,
2
4
d) x ∈ R |
3π
,x,π
4
e)n.d.a.
27. Assinale a alternativa falsa:
1 π
a)arc cos = .
2 3
5π

3
b)arc cos –
= .
6
2


3
3
c)tg arc cos
=
.
2
3


2
2
d)sen arc cos –
=
.
2
2
e)A inversa de f(x) = cos x é g(x) = sec x.
(
(
(
)
(
)
))
201
5
(
28. (MACK) O valor de tg arc sen
33. (UFRGS) A matriz C fornece, em reais, o custo
das porções de arroz, carne e salada usadas num
restaurante:
⎛ 1 arroz
C = ⎜⎜ 3 carne
⎝ 2 salada
)
2
2
é:
3
a) 
2

2
b)
3
c)3
2
d)2
2
3
2
e)
2
⎛
⎜
⎜
⎝
1
1
temos arc tg + arc tg igual a:
2
3
π
a)
2
π
b)
3
π
c)
4
π
d)
6
5π
e)
6
⎛
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎝
)

5–8
16

5+8
b)
17

5–8
c)
14

5+8
d)
12
3
5+8
e)
15
a)
⎛
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎝
3
2
+ arc sen
é igual a:
5
3
⎛
⎜
⎜
⎝
(
30. (PUC) O valor de sen arc sen
⎛ 2 1 1 prato P1
⎜
P = ⎜ 1 2 1 prato P2
⎝ 2 2 0 prato P3
A matriz que fornece o custo de produção, em reais,
dos pratos P1, P2 e P3 está indicada na alternativa:
⎛7
a) ⎜⎜ 9
⎝8
⎛4
b)⎜⎜ 4
⎝4
⎛9
c) ⎜⎜ 11
⎝4
⎛2
d)⎜⎜ 6
⎝8
⎛2
e) ⎜⎜ 2
⎝4
⎛
⎜
⎜
⎝
= 1tg– tgα +α tg⋅ tgbb ,
29. (MACK) Lembrando que tg(α + b)
arroz
carne
salada
A matriz P fornece o número de porções de arroz,
carne e salada usadas na composição dos pratos
tipo P1, P2 e P3 desse restaurante:
34. (UFMS) Calcule a soma dos elementos da diagonal
principal da matriz A = (aij)4 × 4, em que aij = 2i + j2.
⎛0 1
⎛ –3 1
⎛ 1 0
35. (FCC) Se A = ⎜
,B=⎜
eC=⎜
,
⎝1 0
⎝ 2 1
⎝ –1 2
⎛
⎜
⎝
)
[ ]
a b
32. (ESEG) Dada uma matriz
, o produto
c d
1
[1 1] ⋅ A ⋅
representa:
1
[]
a)o determinante de A.
b)a soma dos elementos de A.
c)a soma dos elementos da diagonal principal de A.
d)a soma dos elementos da diagonal secundária de A.
e)a soma dos elementos da primeira linha de A.
então a matriz A2 + B – C é igual a:
⎛ –2 2
a) ⎜
⎝ 2 3
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
3
5
⎛
⎜
⎝
(
cos 2 arc sen
⎛
⎜
⎝
31. (UFCE) Calcule:
⎛ –4
b)⎜
⎝ 3
⎛ –1
c) ⎜
⎝ 1
1
–1
⎛ –3
d)⎜
⎝ 3
⎛ 3
e) ⎜
⎝ –3
1
0
1
4
–1
0
201
6
1
2
3
A = 3a – b + 2c
1
6
b + c – 3a
1
2
c – 2a + b
2
mx + y = 1
41. (MACK) Considere o sistema x + y = 2,
x–y=m
123
36. (FUVEST) Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1
se uma de suas linhas é não nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c
para os quais a matriz 3 × 3
m ∈ R,
e as afirmações:
I.Existe um único m para que o sistema seja possível e determinado.
II.Existe um único m para que o sistema seja impossível.
III.Não existe m para que o sistema apresente mais
de uma solução.
Então:
tem posto 1.
37. (ITA) Sejam A e B matrizes reais 3 × 3. Se tr(A) denota
a soma dos elementos da diagonal principal de A,
considere as afirmações:
I.tr(At) = tr(A)
II.Se A é inversível, então tr(A) ≠ 0.
III.tr(A + λB) = tr(A) + λtr(B), para todo λ ∈ R.
a)somente I é verdadeira.
b)somente II é verdadeira.
c)somente III é verdadeira.
d)somente I e II são verdadeiras.
e)somente II e III são verdadeiras.
42. Discutir e resolver o sistema (U = R3):
ax + 2y + z = b
Temos que:
x + ay + 2z = b (a, b ∈ R)
a)Todas as afirmações são verdadeiras;
b)Todas as afirmações são falsas;
c) Apenas a afirmação I é verdadeira;
d)Apenas a afirmação II é falsa;
e)Apenas a afirmação III é falsa.
2x + y + az = b
A = (aij)4 × 3 e B = (bij)3 × 4
tais que:
aij = i + j e bij = 2i + j
Considere a matriz C = (cij), tal que C = A ⋅ B. Calcule
o valor de c32.
39. (FUVEST) Consideremos as matrizes
2)B = (bij), 7 × 9, definida por bij = i.
3)C = (cij), C = AB.
O elementos c63:
40. (FEI) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e At é
sua transposta, determine A tal que A = 2At.
d)k ≠ 0 e k ≠ –1
e)n.d.a.
a)k ≠ 0
b)k ≠ 1
c)k ≠ –1
44. (UFSC) Determine o valor de a de modo que o sistema a seguir seja impossível.
x + 3y + 4z = 1
x + y + az = 2
x + y + 2z = 3
45. (FUVEST) O valor real de α para que o sistema
αx + y = 0
αy + z = 0
8x + αz = 0
123
a)é –112.
b)é –18
c)é –9.
d)é 112.
e)não existe.
Podemos afirmar que (P) é possível e determinado
quando:
123
1)A = (aij), 4 × 7, definida por aij = i – j.
x+z+w=0
x + ky + k2w = 1
(P) ≠
x + (k + 1)z + w = 1
x + z + kw = 2
14243
38. (UFSC) Consideremos as matrizes
43. (ITA) Considere o sistema:
admita solução diferente de (0; 0; 0) é:
a)8
d)–2
b)2
e)–4
c)1
201
7
123
46. (ITA) Examinando o sistema a seguir
5x + 4y – 2z = 0
x + 8y + 2z = 0
2x + y – z = 0
podemos concluir que:
a)o sistema é determinado.
b)o sistema é indeterminado com duas incógnitas
arbitrárias.
c)o sistema é indeterminado com uma incógnita
arbitrária.
d)o sistema é impossível.
e)n.d.a.
47. (FUVEST) Considere o sistema linear nas incógnitas
x, y, z, w:
14243
2x + my = –2
x + y = –1
y + (m – 1)z + 2w = 2
z–w=1
a)Para que valores de m o sistema tem uma única
solução?
b)Para que valores de m o sistema não tem solução?
c)Para m = 2, calcule o valor de 2x + y – z –2w.
48. (FATEC) Um raio luminoso parte do ponto A(0; 3) e,
ao incidir sobre o ponto B(x; 0), situado na superfície de um espelho plano, é refletido, passando pelo
ponto C(20; x + 8), conforme a figura a seguir.
50. (MACK) As retas de equação da forma ax + y + 8 = 0
têm um ponto comum A e as retas de equação da
forma bx – 4y + 4 = 0 têm um ponto comum B. A
equação da reta determinada pelos pontos A e B é:
a)y = 0
b)x = 8
c)x = 4
d)x = 0
e)y = 2
51. (UNICAMP) Calcule a e b positivos na equação da
reta ax + by = 6 de modo que ela passe pelo ponto
(3; 1) e forme com os eixos coordenados um triângulo de área igual a 6.
52. (MACK) A diagonal maior de um losango, cuja medida é o triplo da menor, está na reta x – y = 0. Se um
vértice do losango é o ponto M(1; 0), então sua área
vale:
a)2
5
b)
2
c)3
7
d)
2
e)4
53. (UNICAMP) As retas de equações y = ax + b e y = cx
são ilustradas na figura a seguir.
Se α = θ, então x é igual a:
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7
49. (FUVEST) Os pontos M = (2; 2), N = (–4; 0) e P = (–2; 4)
são, respectivamente, os pontos médios dos lados
AB, BC e CA do triângulo ABC. A reta mediatriz do
segmento AB tem a equação:
a)x + 2y – 6 = 0
b)x – 2y + 2 = 0
c)2x – 2y – 2 = 0
d)2x + y – 6 = 0
e)–x + 2y + 6 = 0
Sabendo que o coeficiente b é igual à média aritmética dos coeficientes a e c:
a)expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em
termos dos coeficientes a e b;
b)determine a, b e c sabendo que a área do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que
o triângulo OPQ tem área 1.
54. (ESEG) Considere o quadrado OABC, de vértices
O = (0; 0), A = (2; 0), B = (2; 2) e C = (0; 2). Sejam ainda
201
8
D o ponto médio de AB, E o ponto que divide o seg⎛
OE 1
mento OA na razão 1 : 2 ⎜ ou seja,
=
e F a in⎝
EA 2
tersecção dos segmentos OD e CE.
59. (MACK) As coordenadas do ponto P da figura a
seguir são tais que a2 + b2 – 6b = 0.
⎛
⎜
⎝
Então a área do círculo de centro C vale:
a)π
b)4π
c)9π
a)Determine as coordenadas de D e E.
b)Escreva uma equação da reta CE.
OF
c)Calcule a razão
.
FD
d)16π
e)36π
60. (FUVEST) A circunferência dada pela equação
x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura.
55. (FUVEST) Em um plano é dada uma circunferência e
um ponto A pertencente a ela. O lugar geométrico
dos pontos do plano equidistantes da circunferência e do ponto A é uma:
d)semireta
e)parábola
56. (VUNESP) Num sistema de coordenadas cartesianas retangulares de origem O, considere os pontos
A = (3; 0), B = (3; 5) e C = (0; 5). Seja r a reta pelo ponto
M = (1; 2) e que corta OC e AB em Q e P, respectivamente, de modo que a área do trapézio OQPA seja
metade da do retângulo OCBA. Determine a equação de r.
57. (FEI) Determinar as coordenadas do ponto médio
do segmento cujas extremidades são os dois pontos da reta y = k que distam k unidades da reta
x
y = (k . 0).
k
58. São dadas, num plano, as duas retas r1, de equação y = 1, e r2 com equações paramétricas
123
x = –2 + λ
y = 1 + 2λ
e o ponto A = (1; 2).
a)Entre as retas que passam por A, determinar as
retas r para as quais as distâncias de A às suas intersecções com r1 e r2 são iguais.
b)Satisfeita a condição do item anterior, determinar a
área do triângulo formado pelas três retas r, r1 e r2.
—
—
O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contêm o centro C da circunferência. É correto afirmar
que a área da região hachurada vale:
a)π – 2
b)π + 2
c)π + 4
d)π + 6
e)π + 8
61. (EN) O circuncentro do triângulo de vértices A(2; 6),
B(4; 8) e C(8; 14) é o ponto:
a)(–15; 25)
⎛ 14 28
b)⎜
;
⎝ 3
3
c)(44; –22)
d)(–10; 20)
e)(5; 9)
⎛
⎜
⎝
a)reta
b)circunferência
c)elipse
62. (FUVEST) São dados, no plano cartesiano de origem
O, a circunferência de equação x2 + y2 = 5, o ponto
P = (1; 
3 ) e a reta s que passa por P e é paralela ao
eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que
a reta s intercepta a circunferência.
201
9
a)a reta tangente à circunferência no ponto E.
b)o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.
63. (ITA) Uma circunferência, tangente às retas de equações 2x – 3y + 9 = 0 e 3x – 2y + 1 = 0, tem o seu centro sobre a reta x + 2y – 10 = 0. Encontre a equação
dessa circunferência.
64. (PUC) A área do trapézio OABC é 11 vezes a área do
triângulo OAC (veja a figura).
68. (UNICAMP) Uma elipse que passa pelo ponto (0; 3)
tem seus focos nos pontos (–4; 0) e (4; 0). O ponto
(0; –3) é interior, exterior ou pertence à elipse? Mesma
⎛ 5 13
pergunta para o ponto ⎜
;
. Justifique suas
⎝ 2
5
respostas.
⎛
⎜
⎝
Assim sendo, determine:
69. (FUVEST)
a)Defina elipse de focos F1 e F2. Considere no plano
xy a elipse de focos F1 = (–1; 1) e F2 = (1; –1) e
semieixo maior igual a 2.
b)Calcule o outro semieixo da elipse.
c)Determine a intersecção da elipse com a reta de
equação x = 1.
70. (FATEC) A figura a seguir representa uma elipse e
uma reta de equação x + y = 1.
A abscissa de A é:
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
65. (FUVEST) Para cada número real α, considere a parábola y = x2 – 2x cos α + sen α + cos2 α. Determine,
em coordenadas cartesianas, a equação da curva
que é o lugar geométrico dos vértices dessas parábolas.
66. (UFMG)
Se A ≡ (xA, yA) e B = (xB, yB) são os pontos de intersecção da reta com a elipse, então xA ⋅ xB vale:
120
a)–
17
100
b)–
17
80
c)–
17
60
d)–
17
40
e)–
17
Na figura, A = (–1; 1), B = (1; 1) e C = (λ; 0), em que
λ ∈ R. Mostre que o ortocentro do triângulo ABC
está sobre a parábola de equação y = x2 quando λ
varia em R.
71. (UFCE) A reta de equação y = ax + 1 intercepta a
elipse de equação x2 + 4y2 = 1 em apenas um ponto.
Determine o valor de a.
67. (VUNESP) Considere a elipse de equação
x2
y2
+
= 1.
25
9
Determine os vértices Q e R da elipse que pertencem ao eixo das abscissas e calcule a área do triân⎛ 12
gulo PQR, sendo P = ⎜ 3;
.
⎝
5
72. (UNICAMP) A órbita de um satélite é uma elipse que
tem a Terra em um de seus focos. Esse satélite atinge a velocidade máxima e mínima nos pontos de
menor e maior proximidade da Terra, respectivamente, quando então essas velocidades são inversamente proporcionais às distâncias do satélite à
Terra (com mesma constante de proporcionalidade).
⎛
⎜
⎝
201
10
Calcule a excentricidade da órbita do satélite, sabendo
também que a velocidade máxima é o dobro da velocidade mínima. (A excentricidade, como se sabe, é
o quociente da distância entre os focos pelo comprimento do eixo maior).
73. (UNICAMP) Dada uma elipse de semieixos a e b, calcule, em termos desses parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos
da elipse.
74. Determine o centro, o eixo real e o eixo imaginário
das hipérboles de equações:
a)x2 – y2 + 4x – 6y + 5 = 0
b)x2 – 3y2 = 9
75. (FUVEST) Determine as equações das retas de plano
que passam pela origem do sistema de coordenadas e que não interceptam a curva do plano dada
x2 y2
pela equação – = 1.
4 9
201
11
Respostas das Atividades Adicionais
Matemática
1. I. V
II. V
2.d
20.a
7
25
32.b
3.e
21.d
33.a
4. a) 5 120.
b)Não, pois foi 2,9.
22.d
34.50
23.e
35.d
III. V
IV. V
5.c
19.56
24.α =
6.d
31.
2π
4π
ou α =
3
3
36.a = 1; b = 3; c = 2
7.d
25.e
37.d
8.a
26.e
38.94
9.a)31,25%.
b)R$ 940,00.
27.e
39.e
28.d
40.
IV. V
V. V
29.c
0
0
0
0
41.c
30.e
11. I.F
II.V
III.V
12.14
13.a) –x = 16,38 km; s ≠ 7,71 km.
123
⇔V=
⎛
⎜
⎝
b ; b ; b
a+3 a+3 a+3
123
42.Sistema possível e determinado ⇔ a ≠ –3 e b ∈ R
⎛
⎜
⎝
10. I.V
II.V
III.F
.
Sistema possível e indeterminado ⇔ a = –3 e b = 0
⇔ V = {(α; α; α) ∈ R3 t.q. α ∈ R}.
Sistema impossível ⇔ a = –3 e b ≠ 0 ⇔ V = ∅.
b)
43.e
44.2
45.d
14.a) 0,66
b)0,5
c) 0,84
d)330 erros
15.a) Média = 73,3 salários mínimos; desvio-padrão = 136,2 salários mínimos.
b)Bairro A.
16. I.F
II.F
III.F
17.a
IV. V
V. F
47.a) m ≠ 2 e m ≠ 1
b)m = –1
c)2x + y – z – 2w = –4
48.b
49.a
50.d
51.a = 1; b = 3
52.c
⎛
b
; 0 , Q = (0; b)
a
⎛
b
b(2b – a)
R = ⎜+
;
⎝ 2(b – a)
2(b – a)
53.a) P = ⎜ –
⎝
18.a) π
π 2π 7π 5π
b) , ,
e
6 3 6
3
⎛
⎜
⎝
c)20,28%.
46.c
⎛
⎜
⎝
A mediana é aproximadamente 15,17 km.
b)a = –8; b = 4; c = 16.
201
12
x=λ
⇔
(λ – 1)x – y + λ = 0
⎛
2
54.a) D = (2; 1), E = ⎜ ; 0 .
⎝3
⎛
⎜
⎝
55.d
que são equações paramétricas da parábola dada por
y = x2.
67.Q = (–5; 0), R = (5, 0), 12.
68.A elipse admite equação
57.(k2; k)
Como
58.a) x + 2y – 5 = 0 ou x – 3y + 5 = 0.
b)5.
⎛
5 2
⎜
⎝2
⎛
⎜
⎝
25
59.c
61.a
62.a) y = –
1
5
x+ .
2
2
b)(1 + 2
3 ; 0).
225
1
ou (x – 2)2 + (y – 4)2 = .
63.(x – 6) + (y – 2) =
13
13
2
2
64.c
65.x2 + y2 = 1
9
⎛
 1, ⎜
5 13
;
é exterior à elipse.
5
⎝2
69.a) Elipse de focos F1 e F2 é o conjunto de todos os pontos
de um plano (que contém F1 e F2) tais que a soma das
distâncias de cada um deles a F1 e F2 é constante maior
do que F1F2.
b) 
2.
⎛
5
c) (1; 1) e ⎜ 1; –
.
⎝
3
70.b

71.± 3
2
72.
1
3
73.
4a2b2
a2 + b2
74.a) (–2; –3); 2
1
0 ; 2
1
0.
b)(0; 0); 6; 2
3.
14243
—
66.A altura do DABC relativa
ao lado BC está contida na reta
←→
que é perpendicular a BC e passa por A, isto é, a reta dada
por
1
y–1=
(x – (–1) ⇔ (λ – 1)x – y + λ = 0.
1–0
1–λ
Assim, o ortocentro do DABC é a intersecção da reta dada
—
por x = λ, que contém a altura relativa ao lado A B, e a reta
dada por (λ – 1)x – y + λ = 0, ou seja, é a solução do sistema
+
⎛
13 2
⎜
⎝ 5
⎛
⎜
⎝
60.b
02 (–3)2
+
= 1, (0; 3) pertence à elipse; como
25
9
⎛
⎜
⎝
56.x – y + 1 = 0
x2 y2
+
= 1.
25 9
⎛
⎜
⎝
b)3x + y – 2 = 0.
2
c) .
5
x=λ
y = λ2
75.
y = ax, com a < –
3
3
ou a >
2
2
x=0
201
13