UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS
Especialização em Educação Matemática
Módulo V – Resolução de problemas em Matemática Discreta
Professora Patrícia Pícolo Gil Noga
Alunas: Carine Valmorbida
Cássia Maiele Weber
Rosa Helena Jaques Alano
Matemática Financeira e Progressões
Frente à realidade econômica, percebemos a importância e a
necessidade do estudo de Matemática Financeira: juros simples, compostos,
razão, proporção, porcentagem, com o objetivo de proporcionar aos alunos
possibilidades de avaliar e escolher as melhores ofertas do mercado.
Baseadas nessa necessidade, fizemos um estudo sobre Matemática
Financeira, focando na matemática do dia-a-dia. Dessa forma, possibilitando
uma
melhor
compreensão
dos
conceitos
matemáticos
e
um
real
aproveitamento dos mesmos.
Diante dessa situação, realizaremos um trabalho demonstrando as
fórmulas de juros simples e compostos, utilizando situações que se aproximam
da realidade de nossos alunos. Partiremos de uma situação concreta e
objetivamos chegar em uma situação genérica, obtendo assim, as fórmulas.
Antes de apresentar situações em que possamos deduzir as fórmulas
de juros necessitamos de algumas definições.
CAPITAL
É o valor aplicado/emprestado através de alguma operação financeira.
Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras
financeiras).
JUROS
Representam a remuneração do Capital emprestado/aplicado em
alguma operação financeira. Os juros podem ser capitalizados segundo dois
regimes: simples e compostos.
JUROS SIMPLES
Situação-problema:
Camila decidiu comprar um celular novo com o dinheiro que juntou
durante os últimos meses. No entanto, o valor não foi suficiente e teve que
pedir um empréstimo de R$350,00 ao seu pai. A fim de auxiliar a filha nessa
compra, o pai propôs juros de 10% ao mês sobre o valor emprestado à filha
(evidentemente, uma situação exclusiva de pai para filha, pois essa situação
não ocorre no mercado financeiro). Sabendo que Camila precisará de 6 meses
para quitar a dívida, calcule o valor que ela terá que pagar para seu pai:
C 0 = Capital inicial.
C1 = Se levasse um mês para pagar a dívida e assim sucessivamente.
i = Juros por mês.
n = Quantidade de meses.
1 mês a 10% a.m. = 10% ao mês, que representa
10
sobre o montante, ou
100
seja, 0,1 do montante.
2 meses a 10% a.m. = 20%, que representa
20
, ou seja, 0,2 do montante.
100
E assim, sucessivamente.
C 0 = R$350,00
C 0 = 350
C0
C1 = R$350,00 + (0,1 x R$350,00) = R$385,00
C1 = Co +(0,1x350)=Co x 1,1
C1 = Co x (1 + i)
C 2 = R$350,00 + (0,2 X R$350,00) = R$420,00
C 2 = Co + (0,2 x 350) =Co x 1,2
C 2 = Co x (1 + 2i)
C 3 = R$350,00 + (0,3 x R$350,00) = R$455,00
C 3 = Co + (0,3x350)=Co x 1,3
C 3 = Co x (1 + 3i)
C 4 = R$350,00 + (0,4 x R$350,00) = R$490,00
C 4 = Co + (0,4x350)=Co x 1,4
C 4 = Co x (1 + 4i)
C 5 = R$350,00 + (0,5 x R$350,00) = R$525,00
C 5 = Co + (0,5x350)=Co x 1,5
C 5 = Co x (1 + 5i)
C 6 = R$350,00 + (0,6 x R$350,00) = R$560,00
C 6 = Co + (0,6x350)=Co x 1,6
C 6 = Co x (1 + 6i)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Percebe-se que temos uma sequência numérica com um aumento
constante de R$35,00 a cada mês. Podemos concluir que temos uma
Progressão Aritmética (P.A.) de razão 35.
Como juros simples são trabalhados no Ensino Fundamental, não
podemos utilizar as fórmulas de PA, e neste caso, seria por uma dedução que
chegaríamos a conclusão de que: C n = C 0 x (1 + ni) .
JUROS COMPOSTOS
Ao contrário dos juros simples, os juros compostos são comumente
utilizados em nosso dia-a-dia em diversas situações: transações comerciais,
bancárias, financiamentos, etc.
Situação-problema:
Preparando-se para a festa de formatura do filho, um pai decidiu
depositar R$10.000,00 na conta poupança, durante 1 ano. Sabendo que o
rendimento da poupança é aproximadamente 0,5% ao mês, calcule o valor
disponível para a Festa depois de 1 ano.
C 0 = Capital inicial.
C1 = O saldo da conta poupança após um mês.
i = Juro do rendimento por mês.
n = Quantidade de meses.
1 mês a 0,5% a.m. =
0,5
que corresponde a 0,005 do montante.
100
C 0 = R$ 10.000,00
C 0 = 10.000
C1 =10.0000 x (0,005 x 10.000) = 10.050
C1 = C 0 x 1,005 = 10.050
C0
C 2 = 10.050 + (0,005 x 10.050) = 10.100,25
C3
= 10.100,25 + (0,005 x 10.100,25) = 10.150,75
C 4 =10.150,75+ (0,005 x 10.150,75)=10.201,50
C 5 =10.201,50+ (0,005 x 10.201,50) = 10.252,50
C 6 =10.252,50+ (0,005 x 10.252,50) = 10.303,76
C 2 = C1 x 1,005= 10050x(1,005) = 10100,25
C 3 = C 2 x 1,005= 10100,25 x (1,005)3= 10150,75
C 4 = C3
x 1,005= 10150,75 x (1,005)4= 10201,50
C 5 = C 4 x 1,005= 10201,50 x (1,005)5= 10252,60
C1 = C 0
x 1,005
C2 = C0
x (1,005)2
C3 = C0
x (1,005)3
C 4 = C 0 x (1,005)4
C5 = C0
x (1,005)5
C6 = C0
x (1,005)6
C7 = C0
x (1,005)7
C8 = C 0 x (1,005)8
C 7 =10.303,76+ (0,005 x 10.303,76) = 10.355,27
C8 =10.355,27+ (0,005 x 10.355,76) = 10.407,04
C 9 =10.407,04+ (0,005 x 10.407,04) = 10.459,07
C10 =10.459,07+ (0,005 x 10.459,07) = 10.511,36
C11 =10.511,36+ (0,005 x 10.511,36) = 10.563,91
C12 =10.563,91+ (0,005x 10.563,91) = 10.616,72
C 6 = C 5 x 1,005=10252,60 x (1,005)6= 10303,76
C 7 = C 6 x 1,005= 10303,76 x (1,005) = 10355,27
C9 = C0
x (1,005)9
C10 = C 0
x (1,005)10
C11 = C 0
x (1,005)11
C12 = C 0
x (1,005)12
7
C8 = C 7 x 1,005=10355,27 x (1,005)8= 10407,04
C 9 = C8 x 1,005= 10407,04 x (1,005)9= 10459,07
C10 = C 9 x 1,005= 10459,07 x (1,005)10= 10511,36
C11 = C10 x 1,005= 10511,36 x (1,005)11= 10563,91
C12 = C11 x 1,005=10563,91 x (1,005)12=10616,72
Podemos notar que na tabela 2 temos uma sequencia numérica, cujo
termo é igual ao anterior multiplicado por 1, 005, ou seja, uma PG de razão
1,005.
Como
1,005  1  0,005  1  i
C12 = C 0 x (1+i)12
Então:
Logo: Cn  Co  (1  i) n
Vamos ver uma nova situação onde são feitos depósitos mensais
em um determinado rendimento:
Suponha que um indivíduo aplica todo mês R$1000,00, e o rendimento
desta aplicação é de 3% ao mês. Após 20 meses podemos afirmar que ele
dispõe de:
3%--------3/100 = 0,03
Vamos considerar as aplicações dos 20 meses de forma decrescente,
então:
C20  1000
C19  1000  (1,03)19
C18  1000  (1,03)18
C17  1000  (1,03)17
C1  1000  (1,03)1
Podemos dizer que depois dos 20 meses o montante será de:
C20  C19  C18  ...  C1
Total = 1000  1000  (1,03)19  1000  (1,03)18  1000  (1,03)17  ...  1000  (1,03)1
Total = 1000  (1  1,03)  (1,03) 2  ...  (1,03)19
Então, temos 1000  soma de 20 termos de uma PG de razão 1,03, a1  1 e
n  20 .
Total = 1000  S 20
Assim, temos: 1000 


an  q n  1
.
q 1
1  (1,03  1)
Logo: 1000 
= 1000  26,87 = 26,870,37
1,03  1
20
JUROS SIMPLES
O juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital
inicial emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS
O juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial
aplicado ou emprestado, e passa a render juros também.
QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS
COMPOSTOS
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos.
Estão incluídas compras a médio e longo prazo, compras com cartão de
crédito, empréstimos bancários, caderneta de poupança, aplicações em fundos
de
renda
fixa,
etc.
O
regime
de
juros
simples
são
raramente
aplicados:operações de curto prazo,e desconto simples de duplicatas,etc.
Vale lembrar aos alunos que trabalhar com juros simples não é uma
situação que se adapta à vida cotidiana, pois segundo Morgado, “Ensinar juros
simples sem ensinar juros compostos, é disseminar a ignorância, pois os juros
simples não existem na vida real”, mas que é necessário o estudo, pois na
maioria das provas de concursos, vestibular, etc. são utilizados questões que
abordam juros simples, pois nestes casos não é permitido o uso de
ferramentas como calculadoras, e no caso de juros compostos envolveria
muitos cálculos e tempo.
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas i1 e i 2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital C 0
durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de
capitalização, produzem o mesmo montante final.

Seja o capital C 0 aplicado por um ano a uma taxa anual i a .

O montante C n ao final do período de 1 ano será igual a C n = C 0 (1 + i a )

Consideremos agora, o mesmo capital C n aplicado por 12 meses a uma
taxa mensal i m .

'
'
O montante C n ao final do período de 12 meses será igual a C n = C 0 (1+
i m ) 12 .
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter C n  C n .
'
Portanto, C0 (1  ia )  C0 (1  im )12 .
Logo, podemos concluir que 1  ia  (1  im )12 .
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa
mensal conhecida.
Exemplo:
1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2
1 + ia = 1,082
1 + ia = (1 + im)12
1 + ia = (1,005)12
ia = 0,0617 = 6,17% a.a
TAXAS NOMINAIS
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos
juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns
exemplos:
- 340% ao semestre com capitalização mensal.
- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.
Exemplo:
Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como
taxa efetiva:
1,012512 = 1,1608
15/12 = 1,25
TAXAS EFETIVAS
A taxa efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros
ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 140% ao mês com capitalização mensal.
- 250% ao semestre com capitalização semestral.
- 1250% ao ano com capitalização anual.
Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período
da operação.
Exercícios Juros Simples
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à
taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Resposta: R$ 5.000,00
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende
R$3.500,00 de juros em 75 dias? Resposta: R$ 116.666,67
3 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão
necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Resposta: 8 meses.
4
- (ENEM 2011) Um
jovem
investidor precisa
escolher
qual
investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00.
Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois
investimentos: poupança e CDB (Certificado de Depósito Bancário). As
informações obtidas estão resumidas no quadro:
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa
é:
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87
Resposta: letra d
Exercícios de Juros Compostos
1 - Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros
compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
Resposta: R$ 9.054,00
2 - (ENEM 2011) Considere que uma pessoa decida investir uma
determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de
investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano,
conforme descritas:
Investimento A: 3 % ao mês
Investimento B: 36 % ao ano
Investimento C: 18 % ao semestre
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do
período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das
rentabilidades:
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa
pessoa deverá:
A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas
rentabilidades anuais são iguais a 36 %.
B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são
iguais a 39 %.
C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as
rentabilidades anuais dos investimentos B e C.
D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36 % é maior que as
rentabilidades de 3 % do investimento A e de 18 % do investimento C.
E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39 % ao é maior que
a rentabilidade de 36 % ao ano dos investimentos A e B.
Resposta: letra c
3 - (ENEM 2000) João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com
todos os descontos possíveis, é de R$ 21.000,00, e esse valor não será
reajustado nos próximos meses. Ele tem R$20.000,00, que podem ser
aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar todo
seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro.
Para ter o carro, João Carlos deverá esperar:
a) dois meses, e terá a quantia exata.
b) 3 meses,e terá a quantia exata.
c) 3 meses,e ainda sobrarão, aproximadamente R$ 225,00.
d) 4 meses, e terá a quantia exata.
e) 4 meses,e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 430,00.
Resposta: letra c
4 - Determinado capital gerou, após 24 meses, um montante de R$
15.000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, determine o valor
desse capital.
Resposta: R$9.325,82
5 – O crescimento anual nas vendas de pneus de uma fábrica é de 8%.
No ano de 2004, a fábrica vendeu 20.000 pneus. Qual foi o total de pneus
vendidos no decênio 2004/2013?
Resposta: R$289.730
6 – No primeiro dia de abril, os operários de uma fábrica produziram 200
bicicletas. A meta era produzir em cada um dos dias seguintes desse mês 10
bicicletas a mais que no dia anterior. De acordo com essa meta:
a) Quantas bicicletas seriam produzidas no dia 20 de abril?
b) Quantas bicicletas seriam produzidas nos vinte primeiros dias de abril?
Respostas:
a) 390
b) 5900