Métodos de Física Teórica II
Prof. Henrique Boschi
IF - UFRJ
1º. semestre de 2010
Aula 4
Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.4
Equação da Difusão
• Um problema importante para vários ramos da
Física é saber como uma substância se difunde
num meio.
• Os exemplos clássicos são de um gás se difundindo na atmosfera, nêutrons num meio que circunda um reator nuclear, uma substância química
num meio solvente, etc.
• Vamos ver, a seguir, que a difusão pode ser
descrita por meio de uma EDP.
Vamos inicialmente definir a densidade
(volumar) ρ de uma dada substância,
também chamada de concentração, em
unidades apropriadas.
Vamos também definir o vetor densidade de
corrente j associada à essa densidade, como
a quantidade de substância que atravessa
uma seção transversal ao seu fluxo, por
unidade de área e unidade de tempo.
Experimentalmente, verifica-se que a maioria
dos fenômenos de difusão obedece à Lei
(empírica) de Fick
onde D é uma constante, chamada de coeficiente de difusão, cujo valor é determinado
experimentalmente para cada sistema.
• Supondo, também, que a substância
difundida não é absorvida nem emitida
pelo meio difusor, somos levados a concluir
que a quantidade de substância será
conservada.
• Neste caso, essa conservação pode ser expressa através da equação da continuidade
análoga à lei de conservação da carga elétrica,
por exemplo.
Combinando a Lei de Fick com a equação da
continuidade, temos
já que div grad ρ =
.
Essa EDP é conhecida como a equação da
difusão.
Uma modificação dessa equação acontece no
caso em que a substância pode ser absorvida ou
emitida pelo meio difusor, como no caso de
substâncias químicas ou na difusão de nêutrons.
Neste caso, a equação da continuidade é
modificada para
onde s é a fonte (s > 0) ou sumidouro (s < 0)
da densidade de substância ρ .
Desta forma, a equação da difusão fica
• No caso particular em que a densidade ρ for
idependente do tempo (regime estacionário) a
equação da difusão se reduzirá às equações
de Poisson (s ≠ 0) ou Laplace (s = 0).
Equação do Calor
• Nos textos de Física básica (termodinâmica) é
usual expressar a condução de calor através da
relação
Veremos, a seguir, que podemos escrever uma
EDP para a condução do calor, semelhante à
equação da difusão.
Fourier descobriu que, em geral, a condução de
calor obedece à equação linear
onde q é o vetor densidade de corrente de
calor, u é a (função) temperatura em cada
ponto da amostra, a cada instante, e k é a
constante característica de cada material
chamada condutividade térmica.
Para um volume arbitrário V limitado pela
superfície S , o fluxo de calor entrando em S
por unidade de tempo (dS aponta para fora)
pode ser escrito como
Se além disso, existe uma fonte de calor (reação
exotérmica) que fornece calor a uma taxa s por
unidade de volume e de tempo, então o calor
total recebido por V num intervalo de tempo ∆t
é
De acordo com a fórmula básica da calorimetria,
a quantidade total de calor recebido em V
aumentará sua temperatura de ∆u , de modo
que
onde ρ é a densidade volumar de massa e c é
o calor específico da substância contida em V .
Igualando essas duas expressões, encontramos
Para pequenos intervalos de tempo, podemos
substituir
por
.
Usando o teorema da divergência, reescrevemos a
expressão anterior como
Finalmente, combinando esta expressão com a
equação do fluxo de calor de Fourier
encontramos
que é uma EDP para a temperatura u = u(x, y, z, t)
onde a e b são constantes definidas como
e
No caso particular sem fontes ou sumidouros de
calor, s = 0 , logo
conhecida como a equação da condução do calor.
Note que a equação do calor é semelhante à
equação da difusão:
• Esta semelhança permite que usemos as
mesmas técnicas para encontrar soluções para
essas equações.
Outras equações na Física são também
semelhantes.
A equação de Schrödinger
• Para obter esta equação vamos partir da relação
entre a energia E e momentum p para uma
partícula não relativística:
E = ( p . p )/2m + V(x)
A regra de quantização canônica diz que
devemos substituir E, p, e V por operadores
E → i ħ ∂ / ∂t

p  i
V(x) → V(x)
onde esses operadores atuam sobre a função de
onda Ψ(x, y, z, t) que descreve o sistema
quântico.
Dessa forma, a equação para esse sistema não
relativístico fica


2
i   
   V
t
2m
2
que é a equação de Schrödinger para o sistema.
Essa equação guarda alguma semelhança com
as equações do calor e da difusão.
• Para um sistema relativístico, a relação entre
energia e momentum é dada pela relação de
Einstein
E c p  m c
2
2 2
2 4
Usando as regras de quantização canônica,
encontramos

2 2 2
2 4
  2   c     m c 
t
2
2
que é a chamada equação de Klein-Gordon, que
descreve partículas quânticas relativísticas de
spin 0.
Esta equação guarda grande semelhança com a
equação de uma onda em três dimensões, já que
possui duas derivadas temporais e duas espaciais.
• Vibrações de uma membrana
Podemos deduzir a equação diferencial
que descreve os movimentos de uma
membrana, em analogia à equação da
corda (v. sec. 8.8 do Butkov). A equação é
que é de fato muito semelhante à equação da
corda vibrante.
• A diferença reside no termo extra envolvendo
a derivada segunda em relação a y.
Propagação do som
Pode-se deduzir que a propagação som no
espaço tridimensional é (ver Moysés 2 ou a
sec. 8.9 do Butkov)
onde ρ é a função densidade do meio que
depende da posição e do tempo, isto é
   ( x, y , z , t )
ou seja, a onda de som é uma perturbação na
densidade do meio no qual ela se propaga.
Analogamente, podemos escrever a equação de
propagação da onda sonora em termos da
pressão p
• Nessa forma, fica explícito o fato que a onda
sonora é uma onda de pressão, ou seja, o som
provoca oscilações na pressão do meio ao
longo do qual ele se propaga.
Finalmente, podemos também definir um
potencial φ associado à velocidade longitudinal
v com a qual um ponto qualquer do meio oscila
ao ser atravessado pela onda, pela relação
• Assim, a equação de propagação do som pode
também ser escrita como
Equação de Helmholtz
• Se considerarmos soluções para a equação da
onda em três dimensões, da forma
com ω real, a parte temporal da equação
estará resolvida e encontraremos
conhecida como equação de Helmholtz.