UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
EXPLORANDO A INCERTEZA NO MODELO DE
INSUMO-PRODUTO: APLICAÇÕES PARA O BRASIL 2000/2005
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UFPE
PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE
POR
FELIPE FERNANDO PEREIRA DE SOUZA
ORIENTADOR: PROF. FRANCISCO DE SOUSA RAMOS, DOCTEUR
RECIFE, JULHO / 2010
S729e
Souza, Felipe Fernando Pereira de.
Explorando a incerteza no modelo de insumo-produto: aplicações
para o Brasil 2000/2005 / Felipe Fernando Pereira de Souza.
- Recife: O Autor, 2010.
x, 52f., il : grafs., tabs.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Pernambuco.
CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção, 2010.
Orientador: Prof. Dr: Francisco de Sousa Ramos
Inclui bibliografia, Anexo e Apêndice
1. Engenharia de Produção. 2. Modelo insumo-produto.
3. Multiplicadores. 4. Incerteza. I. Título.
658.5 CDD (22.ed.)
UFPE/BCTG/2010-147
“Esta dissertação é dedicada à minha mãe, Telma (in
memoriam).”
ii
AGRADECIMENTOS
Ao término desta etapa, sou grato a muitas pessoas. Neste curto espaço, quero agradecer a:
• aos meus pais, irmãos e família;
• aos professores Isaac Xavier Jr., Luciano Lins, Adiel Teixeira, Danielle Morais e especialmente a Francisco Ramos;
• aos meus amigos Felippe, Eduardo, Humberto, Raquel, Elaine, Suzana e Isis;
• a Juliane, Bárbara e Salete;
• ao CNPq, pelo apoio financeiro.
iii
RESUMO
O modelo insumo-produto constitui-se num instrumento importante na avaliação dos efeitos
diretos e indiretos de políticas econômicas. Com base em uma teoria geral da produção, ele
descreve o fluxo circular de renda entre os diversos setores produtivos da economia. Tal modelo
tem sido utilizado nos mais diversos estudos de economia aplicada: mensuração do consumo de
energia, poluição ambiental, políticas regionais, etc. A obtenção da base de dados que serve à
construção dos coeficientes técnicos é complexa, incorporando uma aleatoriedade na forma de
erros nos coeficientes, com o consequente impacto nos resultados. Entretanto, tais coeficientes
são geralmente tratados com precisão infinita. Diferentemente dos estudos realizados no Brasil,
este trabalho explora a inserção da incerteza no modelo, considerando os coeficientes técnicos
como variáveis aleatórias. Como aplicação, os multiplicadores de produção, valor adicionado,
emprego e renda para a economia brasileira nos anos de 2000 e 2005 são apresentados de forma
não usual, com seus respectivos intervalos de confiança.
PALAVRAS-CHAVE: modelo insumo-produto, multiplicadores, incerteza.
iv
ABSTRACT
The input-output model is an important tool in evaluation of direct and indirect effects of economic policies. Based on a general theory of production, it describes the circular flow of income
among the various productive sectors of the economy. This model have been used in several
studies of applied economics: measurement of energy consumption, environmental pollution,
regional policies, etc. The data base obtaining process, that serves the construction of the coefficients, is technically complex, incorporating a randomness in the form of errors in coefficients,
with a consequent impact on results. However, such coefficients are usually treated with infinite
precision. Unlike studies done in Brazil, this work explores the role of uncertainty in the model,
considering the technical coefficients as random variables. As an application, the output, income, employment and value-added multipliers for the Brazilian economy in 2000 and 2005
are presented in unusual way, with its respective confidence intervals.
KEYWORDS: input-output model, multipliers, uncertainty.
v
SUMÁRIO
DEDICATÓRIA
ii
AGRADECIMENTOS
iii
RESUMO
iv
ABSTRACT
v
LISTA DE FIGURAS
viii
LISTA DE TABELAS
ix
LISTA DE ABREVIATURAS
x
1 INTRODUÇÃO
1
1.1
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
O modelo de insumo-produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1.1
Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.1
Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.2
Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Organização da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Ferramentas de suporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 ANÁLISE DE INSUMO-PRODUTO
6
2.1
Interdependência Econômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Tabela de Transações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Formulação matemática do modelo de insumo-produto . . . . . . . . . . . . .
10
vi
2.3.1
2.3.2
O modelo puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3.1.1
Tecnologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
O modelo em valor monetário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3.2.1
Modelo Fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3.2.2
Multiplicadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3 A INCERTEZA NO MODELO INSUMO-PRODUTO
3.1
21
Considerando a incerteza nos coeficientes
técnicos diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.1.1
Razões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.1.2
Revisão da literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.1.2.1
33
Quadro de resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 RESULTADOS
34
4.1
Matrizes brasileiras de insumo-produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.2
Multiplicadores: modelo tradicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.3
Multiplicadores: modelo estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.3.1
42
Exemplo: inclusão de uma medida de variabilidade na decisão . . . . .
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
44
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
45
ANEXO A
49
APÊNDICE A
51
vii
LISTA DE FIGURAS
2.1
Visão simplificada das Relações na Cadeia de Suprimentos. . . . . . . . . . . .
7
2.2
Modelo completo de economia aberta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Isoquantas da função de produção do tipo Leontief. . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.1
Matriz dos coeficientes técnicos para o Brasil 2000. . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.2
Matriz dos coeficientes técnicos para o Brasil 2005. . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.3
Multiplicadores de impacto normalizados para o Brasil 2000. . . . . . . . . . .
38
4.4
Multiplicadores de impacto normalizados para o Brasil 2005. . . . . . . . . . .
38
viii
LISTA DE TABELAS
1.1
Multiplicadores de produção, renda, valor adicionado e emprego. . . . . . . . .
2
2.1
Modelo de uma Tabela de Transações (aberto). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Tabela de Transações de uma economia simples. . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.3
Modelo de uma Tabela de Transações (fechado). . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.4
Resumo das fórmulas de cálculo dos multiplicadores. . . . . . . . . . . . . . .
20
3.1
Resumo dos trabalhos desenvolvidos sobre a incerteza no modelo insumo-produto. 33
4.1
Numeração das 12 atividades/setores da economia brasileira. . . . . . . . . . .
4.2
Multiplicadores simples de produção, valor adicionado, renda e emprego para o
Brasil em 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
34
36
Multiplicadores simples de produção, valor adicionado, renda e emprego para o
Brasil em 2005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.4
Intervalos de confiança dos multiplicadores para o Brasil em 2000. . . . . . . .
40
4.5
Intervalos de confiança dos multiplicadores para o Brasil em 2005. . . . . . . .
41
4.6
Novo ranking dos multiplicadores de produção para o Brasil 2005. . . . . . . .
42
ix
LISTA DE ABREVIATURAS
CGE
Computable General Equilibrium - Equilíbrio Geral Computável
DM
Durbin’s Method
IBGE
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
IIOA
International Input-Output Association
OLS
Ordinary Least Squares
TSLS
Two-stage least squares
WBM
Wald-Bartlett Method
x
Capítulo 1
Introdução
1 INTRODUÇÃO
1.1
Apresentação
A Economia contemporânea faz largo uso de modelos matemáticos. Pode-se conceituar um
modelo matemático como sendo um conjunto de variáveis relacionadas entre si através de
equações matemáticas que descrevem um fenômeno específico. Segundo Dornbusch et al [1, p.
13]: “Os modelos são representações simplificadas do mundo real. Um bom modelo explica
precisamente os comportamentos que são mais importantes para nós e omite detalhes relativamente irrelevantes.”
Os modelos econômicos podem ser classificados quanto a presença de dois componentes
importantes: (i) tempo e (ii) incerteza. O primeiro componente, quando presente, caracteriza-o
como um modelo dinâmico em oposição à classificação de modelo estático, quando este componente está ausente. A presença do segundo componente determina o aspecto probabilístico
ou determinístico do modelo, quando, respectivamente, o componente incerteza está presente
ou ausente.
O que determina a qualidade de um modelo é sua capacidade de explicar adequadamente a
realidade e responder às perguntas que foram formuladas pelo investigador. No entanto, esperase que modelos que possuam aspectos probabilísticos e/ou dinâmicos consigam abraçar uma
área maior da realidade e com isso responder a um conjunto maior de questionamentos. Ou
seja, de maneira geral, a presença de aspectos probabilísticos e/ou dinâmicos tornam um modelo
econômico mais completo.
1.1.1
O modelo de insumo-produto
A análise de insumo-produto se insere dentro da abordagem econômica matemática chamada
de Equilíbrio Geral, todavia, com preços fixos. Esta abordagem tenta descrever uma economia
como um sistema fechado e interrelacionado, onde variáveis endógenas (por exemplo, quantidades e preços) são determinadas através da resolução simultânea de um conjunto de equações.
Mais especificamente, o modelo de insumo-produto é um modelo de Equilíbrio Geral Computável (CGE - Computable General Equilibrium) por fazer uso de dados econômicos.
1
Capítulo 1
Introdução
Historicamente, a idéia inicial de representar a economia de uma forma sistêmica é atribuida
a François Quesnay, quando da publicação de seu livro Tableau Économique [2] em 1758. Mas
a formulação esquemática dos fluxos financeiros e físicos de uma economia contida no trabalho
de Quesnay só veio receber uma roupagem matemática a partir do artigo original de Leontief
[3] em 1936. A partir daí, uma série de desenvolvimentos tanto no âmbito da formulação
matemática quanto na organização e produção de dados que alimentassem o modelo foram
realizados ao longo de todo o século XX.
Divide-se a economia em n setores (ou atividades) econômicos dependentes uns dos outros
e considera-se a demanda final (em valores monetários) por produtos como sendo um elemento
exógeno ao sistema. Sendo assim, é possível encontrar o ponto de equilíbrio, determinando
quanto cada setor deve produzir para satisfazer todas as demandas setorizadas:
x = (I − A)−1 f
onde I é a matriz identidade de dimensão n, A a matriz dos coeficientes técnicos, f o vetor
(n × 1) composto pela demanda final agregada para cada setor e x o vetor (n × 1) de produção
total. A análise dos multiplicadores permite determinar, por exemplo, a quantidade de emprego,
renda, valor adicionado e produção (output) quando ocorrem pertubações nos componentes da
demanda final. Um resumo dos multiplicadores é dado na tabela 1.1 , onde i0 , hR 0 , w0 e va0 são
vetores linha apropriados.
Tabela 1.1: Multiplicadores de produção, renda, valor adicionado e emprego.
Multiplicador
Expressão
Produção
i0 (I − A)−1
Renda
hR 0 (I − A)−1
Emprego
w0 (I − A)−1
Valor Adicionado va0 (I − A)−1
1.1.1.1
Aplicações
A aplicação do modelo de insumo-produto mostrou-se bem sucedida e difundiu-se entre o
meio acadêmico, orgãos governamentais de planejamento e desenvolvimento econômico, e até
mesmo entre analistas da iniciativa privada. Em 1988 foi fundada a Associação Internacional
de Insumo-Produto [4] (International Input-Output Association-IIOA), uma entidade sem fins
2
Capítulo 1
Introdução
lucrativos, cujo objetivo é a expansão do conhecimento da análise de insumo-produto. Novas
técnicas sempre surgem e são incorporadas ao modelo base. Dentre as inúmeras aplicações
estão, por exemplo: (i ) avaliação dos efeitos multiplicativos na economia quando ocorrem mudanças na demanda de certo setor, (ii ) previsão de resposta produtiva das atividades econômicas
no curto prazo, (iii ) instrumento de apoio a decisão para políticas públicas de desenvolvimento,
(iv) análises de exeqüibilidade, ou seja, a questão da possibilidade de alcançar metas agregadas
de produção, emprego e renda estudando-se os gargalos do sistema econômico quando se deseja alcançar certos níveis de desenvolvimento em dado intervalo de tempo, (v) estudo do papel
da energia como insumo para os setores econômicos, (vi ) definição de políticas de combate e
controle da poluição, etc.
A análise de insumo-produto é comumente aplicada na sua forma estática e ausente de qualquer tipo de incerteza. Embora as versões que incluam os componentes de tempo ou incerteza
tenham sido formuladas e estudadas, são muito pouco frequentes na literatura especializada
quando comparadas com a grande quantidade de trabalhos produzidos. O modelo dinâmico não
será tratado neste trabalho, pois o que se propõe é explorar a inserção da incerteza no modelo.
1.2
Justificativa
Os coeficientes técnicos são geralmente tratados como tendo uma precisão infinita, muito embora a obtenção da base de dados e a construção destes coeficientes seja uma tarefa complexa,
onde a aleatoriedade na forma de erros está presente. Disto resulta que os multiplicadores, calculados a partir de operações não-lineares dos coeficientes, deveriam ser também apresentados
com uma medida de incerteza associada a dado valor numérico.
O caráter estático e determinístico do modelo inicial básico tem sido bastante utilizado em
detrimento de trabalhos que façam uso da incorporação da dinâmica e da incerteza. Para se ter
um ideia, dos 261 trabalhos publicados na XVII International Input-Output Conference realizada no ano de 2009 pela IIOA, apenas 3 trabalhos estavam relacionados a questão dinâmica
e 1 ao aspecto estocástico. Disto conclui-se que, mesmo mundialmente, os erros presentes nos
multiplicadores não são levados em conta quando decisões em planejamento econômico são
tomadas com o suporte do modelo de insumo-produto. O presente trabalho é, pois, pertinente.
3
Capítulo 1
1.3
1.3.1
Introdução
Objetivos
Objetivo Geral
Investigar e explorar a inserção da incerteza no modelo de insumo-produto, bem como, através
da utilização de dados para a economia brasileira nos anos de 2000 e 2005, apresentar os multiplicadores com seus respectivos intervalos de confiança.
1.3.2
Objetivos Específicos
Com o intuito de alcançar o objetivo geral, os objetivos específicos seguintes se fazem necessários:
• Estudar a formulação básica do modelo;
• Revisar a literatura sobre o modelo de insumo-produto com caráter estocástico;
• Utilizar o modelo de insumo-produto para calcular os multiplicadores para a economia
brasileira em 2000 e 2005.
• Visualizar e descrever as matrizes brasileiras de coeficientes técnicos em 2000 e 2005;
• Calcular os multiplicadores para a economia brasileira em 2000 e 2005 considerando a
incerteza como um aspecto presente no modelo.
1.4
Organização da dissertação
Afora este primeiro capítulo introdutório, esta dissertação está organizada da seguinte maneira:
Capítulo 2: A formulação básica do modelo de insumo-produto é apresentada;
Capítulo 3: Faz-se uma revisão da literatura quando o componente de incerteza está presente
no modelo;
Capítulo 4: Neste capítulo é realizada uma análise da economia brasileira através do cômputo
dos multiplicadores de produção, renda, valor adicionado e emprego, a partir dos dados
disponibilizados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). Os principais
resultados deste trabalho são apresentados. Os multiplicadores calculados para o Brasil
são recalculados de forma a incorporar intervalos de confiança para cada um deles;
4
Capítulo 1
Introdução
Capítulo 5: Neste último capítulo, faz-se um sumário das principais contribuições desta dissertação, assim como comentários sobre as principais limitações e a necessidade de continuação de pesquisas nesta área.
1.5
Ferramentas de suporte
Nesta dissertação, duas ferramentas de suporte foram utilizadas: os cálculos, bem como gráficos
e figuras foram feitos em MATLAB e a edição de textos em LATEX.
5
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
2 ANÁLISE DE INSUMO-PRODUTO
O modelo de insumo-produto é um modelo de equilíbrio geral aplicado baseado na idéia de
interdependência econômica. A partir de uma tabela de transações e de um ferramental analítico
matemático, procura-se caracterizar o comportamento do sistema econômico através da análise
das interrelações entre os diversos setores e indústrias de uma economia. Dessa forma, podese avaliar como o sistema reage a mudanças causadas por fatores externos, capturar os efeitos
advindos de mudanças de produção e consumo em determinado setor ou indústria, determinar
níveis de produção, etc.
2.1
Interdependência Econômica
No mundo contemporâneo, a produção e consumo de bens e serviços apresenta uma intrincada
rede de relações entre diversos agentes econômicos. Uma evidência disso é, por exemplo, a
crescente importância dada pelas empresas à Gestão da Cadeia de Suprimentos como uma
forma de melhorar a integração e sincronização de suas atividades produtivas para com seus
fornecedores e clientes. A figura 2.1 mostra de forma simplificada as relações numa cadeia de
suprimentos do ponto de vista de uma empresa base. Esta possui fornecedores de insumos Fk
em três níveis (k = 1, 2, 3), fonecedores de serviços FS e clientes Ck em dois níveis. Torna-se
muito difícil, até mesmo para uma única empresa, representar todos os agentes em todos os
níveis da sua cadeia de suprimentos. Por essa razão, faz-se o uso da agregação como forma de
viabilizar o estudo de sistemas de maior complexidade. Poderia-se, por exemplo, representar as
relações na cadeia de suprimentos da figura 2.1 de uma forma mais agregada, considerando-se
apenas o primeiro nível de clientes e fornecedores. Assim também acontece com frequência
na Economia, quando do estudo de sistemas econômicos. O nível de agregação a ser usado
depende tão somente dos recursos (dados, pessoal, etc) disponíveis, do tempo concedido à
análise e dos seus objetivos. Em tese, quanto maior for a desagregação, mais rica é a análise do
sistema. Entretanto, os custos associados aumentam consideravelmente. Constitui-se assim um
trade-off importante, que deve ser ponderado pelo analista.
Caminhando-se no sentido de aumento da agregação, pode-se considerar como sistema toda
a economia nacional, regional ou estadual. Segundo Rossetti [6], quando se lida com o sistema
ecônomico de todo um país, a Macroeconomia classifica quatro principais grupos de agentes
6
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
C2
C2
C2
C1
C2
C1
C1
FS
FS
Companhia Base
FS
FS
FS
FS
F1
F1
F2
F1
F1
F1
F1
F3
F2
F2
F3
Fonte: Moreira [5, p. 428]
Figura 2.1: Visão simplificada das Relações na Cadeia de Suprimentos.
econômicos:
• Unidades Familiares: representa todos os indivíduos que participam dos resultados da
produção processada na forma de aquisição de bens e serviços;
• Empresas: engloba todas a unidades produtivas que atendem às necessidades de consumo
e acumulação da sociedade;
• Governo: entidade de coordenação central e prestação de bens e serviços, cuja receita
é adquirida a partir do sistema de tributação nacional, que arrecada compulsoriamente
impostos das empresas e famílias;
• Resto do mundo: conjunto de empresas, governos e famílias que não se situam em território nacional e que mantem com os agentes nacionais fluxos de trocas de bens, serviços
e pagamentos monetários.
A partir desse nível de agregação, pode-se representar toda a economia nacional de uma
forma esquemática onde os fluxos de pagamentos, bens e serviços sejam mostrados. A figura
2.2 mostra um modelo completo de economia aberta.
7
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
Empresas
Unidades
Familiares
Governo
Fluxo de
exportações
Pagamentos
Transfepor serviços
rências
prestados
enviadas
por residentes no país
Recebimentos
por serviços
prestados
Transferências recebidas por
residentes
no país
Fluxo de
importações
Resto do Mundo
(Unidades familiares, empresas e
governos de outros países)
Fonte: Rossetti [6, p. 57]
Figura 2.2: Modelo completo de economia aberta.
2.2
Tabela de Transações
É possível obter um nível de agregação intermediário entre os esquemas das figuras 2.1 e 2.2 de
maneira que se possa estudar as relações intersetoriais. A formulação básica do modelo [7–11]
parte da elaboração de uma tabela de transações intersetoriais, interindustriais ou entre atividades econômicas, a depender do grau de agregação desejado (o sentido de maior agregação
é o seguinte: empresa → indústria → atividade econômica → setor econômico). No âmbito
nacional, a tabela de transações é uma ferramenta contábel do Sistema de Contas Nacionais
(SCN). No Brasil, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) [12] é o orgão federal responsável pelo SCN e tem a atribuição de coordenar a coleta, organização e publicação
dos dados referentes à economia, provendo assim estatísticas ecônomicas fundamentais para a
análise e entendimento do sistema econômico nacional.
A tabela 2.1 é um exemplo genérico de uma tabela de transações. As entradas da tabela
representam a quantia monetária (em bilhões de Reais, por exemplo) realizada nas transações
entre dois componentes da tabela. Do lado esquerdo estão localizados dois setores (a palavra
8
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
Atividade 2
Atividade 3
Atividade n
Exportações
Consumo
Investimento
Governo
PBT
Insumo/produto
Atividade 1
Atividade 2
Atividade 3
Atividade n
Importações
Valor adicionado
DBT
Atividade 1
Tabela 2.1: Modelo de uma Tabela de Transações (aberto).
z11
z21
z31
zn1
m1
v1
y1
z12
z22
z32
zn2
m2
v2
y2
z13
z23
z33
zn3
m3
v3
y3
z1n
z2n
z3n
znn
mn
vn
yn
e1
e2
e3
en
c1
c2
c3
cn
i1
i2
i3
in
g1
g2
g3
gn
x1
x2
x3
xn
setor aqui é usada sem conexão alguma com o conceito de setor econômico):
• Setor de Processamento: composto pelas atividades econômicas Ai (i = 1, ..., n), contém
as atividades produtoras de bens e serviços. Este é o setor de processamentos visto do
ponto de vista da produção;
• Setor de Pagamentos: composto pela linhas de importações de países estrangeiros e valor
adicionado (salários, juros, aluguéis, lucros, contribuições sociais, impostos, subsídios).
Da mesma forma, na parte superior, dois setores estão representados:
• Setor de Processamento: composto pelas atividades A j ( j = 1, ..., n), contém as atividades
consumidoras de bens e serviços. Este é o setor de processamentos visto do ponto de vista
do consumo;
• Setor Demanda Final: composto pela colunas de exportações, consumo das famílias,
investimentos e compras governamentais.
A tabela é construida de maneira que zi j (i = 1, ..., n; j = 1, ..., n) representa a quantidade
monetária de insumos consumida pela atividade j adivinda da atividade i ou, fazendo-se uma
leitura inversa: a quantidade monetária de produtos da atividade i destinada a atividade j.
Define-se fi como a demanda final agregada, ou seja:
fi = ei + ci + ii + gi
9
(2.1)
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
Dessa forma o Produto Bruto Total (PBT) xi , da atividade i, pode ser escrito como:
n
xi =
∑ zi j + fi
(2.2)
j=1
De forma análoga, define-se o pagamento final agregado como sendo:
dj = mj +vj
(2.3)
e dessa forma o Desembolso Bruto Total (DBT) y j , da atividade j, pode ser escrito como:
n
y j = ∑ zi j + d j
(2.4)
i=1
Uma identidade fundamental no sistema de entradas e saídas de Leontief é aquela que diz que
os Desembolsos Brutos Totais são iguais aos Produtos Brutos Totais para cada atividade, isto é,
xi = y j para i = j.
2.3
2.3.1
Formulação matemática do modelo de insumo-produto
O modelo puro
Considere uma economia simples composta de três setores i, i = 1, 2, 3 (para mais detalhes, ver
Dorfman et al. [13, cap. 9 e 10] e Hansen [14, cap. 14]). Cada setor produz apenas um único
produto nas quantidades Qi (medidas em alguma unidade física), tem como fornecedores de
insumos os outros setores e faz proveito também do trabalho de seus empregados, representados por q0 j (número de empregados) ( j = 1, 2, 3). O consumo de cada produto feito pelas
famílias dos empregados é dado por Fi . Poderia-se então construir a tabela 2.2 de transações em
quantidades físicas.
Tabela 2.2: Tabela de Transações de uma economia simples.
Insumos/Produtos
Setor 1
Setor 2
Setor 3
Empregados
Setor 1
q11
q21
q31
q01
Setor 2
q12
q22
q32
q02
Setor 3
q13
q23
q33
q03
10
Consumo final
F1
F2
F3
Saída Total
Q1
Q2
Q3
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
Suponha que cada setor utilize proporções fixas de insumos e mão-de-obra para produzir
uma certa quantidade de output Qi . Então pode-se escrever:
ti j =
qi j
= constante
Qj
(2.5)
As seguintes identidades são válidas:
3
Qi =
∑ qi j + Fi
i = 1, 2, 3
(2.6)
j=1
Substituindo-se (2.5) em (2.6), reorganizando os termos e escrevendo o sistema de equações
lineares por extenso, obtem-se:
(1 − t11 )Q1 − t12 Q2 − t13 Q3 = F1
(2.7)
−t21 Q1 + (1 − t22 )Q2 − t23 Q3 = F2
−t31 Q1 − t32 Q2 + (1 − t33 )Q3 = F3
Escrevendo-se o sistema (2.7) na forma matricial:

   
(1 − t11 )
−t12
−t13
Q
F

  1  1

   
 −t21
(1 − t22 )
−t23  Q2  = F2 

   
Q3
F3
−t31
−t32
(1 − t33 )
{z
} | {z } | {z }
|
Q
(I−T)
(2.8)
F
Dado o vetor F de consumo final é possível obter-se o vetor Q de quantidades produzidas por
cada setor, satisfazendo assim o consumo final bem como o consumo intermediário entre os
setores. Para isto, multiplica-se ambos os lados da equação (2.8) por (I − T)−1 , onde I é a
matriz identidade de ordem 3. Tem-se então a solução:
Q = (I − T)−1 F
(2.9)
Uma particularidade do sistema apresentado nesta sub-seção é que 0 ≤ ti j < 1 (por definição),
assim uma condição necessária e suficiente para que uma cesta de consumo final F ≥ 0 possa ser
produzida (Q ≥ 0) é que todos os menores principais de (I − T) sejam estritamente positivos.
Estas condições são chamadas de condições de Hawkins e Simon. Para o caso 3 × 3 apresentado
11
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
as condições de Hawkins e Simon seriam:
(menores principais de 1a ordem)
|1 − t11 | > 0
|1 − t22 | > 0
|1 − t33 | > 0
(2.10)
(menores principais de 2a ordem)
1 − t22 −t23 >0
−t32 1 − t33 1 − t11 −t13 >0
−t31 1 − t33 1 − t11 −t12 >0
−t21 1 − t22 (2.11)
(menor principal de 3a ordem)
(1 − t11 )
−t12
−t13 −t21
(1 − t22 )
−t23 > 0
−t31
−t32
(1 − t33 )
(2.12)
Existe uma outra forma de se conseguir chegar à solução descrita em (2.9). O sistema (2.7)
é equivalente (possui a mesma solução) ao seguinte problema de programação linear [13, p.
228]:
min Rt01 Q1 + Rt02 Q2 + Rt03 Q3
Q1 ,Q2 ,Q3
s.a : (1 − t11 )Q1 − t12 Q2 − t13 Q3 ≥ F1
(2.13)
−t21 Q1 + (1 − t22 )Q2 − t23 Q3 ≥ F2
−t31 Q1 − t32 )Q2 + (1 − t33 )Q3 ≥ F3
onde R é o salário pago ao empregado. Ou seja, para se produzir a cesta Q, a sociedade resolve
o problema de minimizar o custo total (somatório dos salários pagos) sujeito às restrições que a
tecnologia impõe.
2.3.1.1
Tecnologia
Poderia-se definir tecnologia, no contexto da produção de bens e serviços, simplesmente como
uma combinação ou conjunto de máquinas, equipamentos, técnicas e conhecimento capaz de
produzir a partir de uma certa quantidade de insumos determinada quantidade de output em um
intervalo específico de tempo.
Na Microeconomia, especificamente na Teoria da Produção, a tecnologia usada por uma
12
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
firma pode ser representada através da sua função de produção, esta relaciona o nível máximo
de produção possível de ser atingido dado as quantidades dos insumos (inputs) disponíveis. No
caso dos setores descritos no exemplo acima pode-se escrever que:
Q j = f (q1 j , q2 j , q3 j , q0 j )
(2.14)
onde f (·) define a forma da função. A hipótese de proporções fixas feita em (2.5) é representada
quando se escolhe f (·) como sendo uma função que escolhe o valor mínimo entre os valores
qi j /ti j para i = 1, 2, 3 (não considerando a contribuição de q0 j ). Ou seja,
q1 j q2 j q3 j
Q j = min
,
,
t1 j t2 j t3 j
(2.15)
Esta forma da função de produção é conhecida como função de produção de Leontief e possui
as seguintes propriedades [15, cap. 1]:
1. A tecnologia representada é monotônica, convexa e regular;
2. Admite a não substituição entre quaisquer pares de insumos;
3. Apresenta retornos constantes de escala. Ou seja, ganhos de escala não são considerados.
A figura 2.3 exibe uma representação gráfica da função de produção de Leontief através das
isoquantas em duas dimensões.
q2 j
t
inclinação = t21 jj
Qj = 2
Qj = 1
q1 j
Figura 2.3: Isoquantas da função de produção do tipo Leontief.
Na teoria de insumo-produto, a tecnologia do sistema é totalmente definida pela matriz
13
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
tecnológica


t
t
t
 11 12 13 


T = t21 t22 t23 


t31 t32 t33
(2.16)
onde os ti j são nomeados de coeficientes técnicos diretos, construídos neste caso a partir de
relações entre quantidades físicas. No entanto, a construção de matrizes de insumo-produto é
realizada com base numa tabela de transações, onde cada entrada é medida em valores monetários, como na seção seguinte.
2.3.2
O modelo em valor monetário
Dada a evidente impossibilidade de tratar um sistema econômico complexo com o modelo
insumo-produto em quantidades físicas, as tabelas de transações intersetoriais são computadas
em valores monetários. Mas, assim como no modelo puro, as seguintes hipóteses são consideradas [7, p. 277 (adaptado)]:
• Homogeneidade: parte-se do princípio de que cada produto, ou grupo de produtos, é
fornecido por uma única atividade i (i = 1, 2, ..., n). Ou seja, faz-se uma partição do
conjunto de atividades segundo seus produtos.
• Proporcionalidade: os valores monetários dos insumos consumidos por cada atividade
são função linear do nível (também em valor monetário) de produção dessa atividade.
Reescrevendo a definição (2.5) em termos dos valores monetários, tem-se que o coeficiente
técnico direto é
ai j =
zi j
xj
(2.17)
A Função de Produção de Leontief em (2.15) é também reescrita como:
z1 j z2 j
zn j
x j = min
,
, ...,
a1 j a2 j
an j
14
(2.18)
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
Combinando (2.2) e (2.17) e expandindo o sistema, chega-se ao sistema de Leontief :

(1 − a11 )


 −a21

..


.


 −ai1


..

.

−an1
|
−a12
···
−a1i
···
+(1 − a22 ) · · ·
..
...
.
−a2i
..
.
···
...
−ai2
..
.
· · · +(1 − aii ) · · ·
..
..
..
.
.
.
−an2
···
−ani
···
{z
   
f
x
  1  1
   
−a2n  x2   f2 
   
..
  ..   .. 
 .   . 
.
  =  
   
−ain   xi   fi 
   
  ..   .. 
..
 .   . 
.
   
fn
xn
+(1 − ann )
} | {z } | {z }
−a1n
x
(I−A)
(2.19)
f
A interdependência econômica entre as atividades faz com que existam efeitos diretos e indiretos causados pela variação de uma variável exógena ao sistema, como, por exemplo, a demanda
final f. A solução do sistema de Leontief (2.19) é dada por:
x = (I − A)−1 f
| {z }
(2.20)
L
onde I é a matriz identidade de dimensões (n × n), A (n × n) é a matriz dos coeficientes técnicos,
L = (I − A)−1 (n × n) é a matriz inversa de Leontief, f o vetor (n × 1) composto pela demanda
final agregada para cada atividade e x é o vetor (n × 1) de produção total.
O resultado final é que o nível de produção de cada indústria pode ser determinado a partir
de mudanças na demanda final. Este nível de produção contabiliza os efeitos diretos e indiretos
causados pelas relações de interdependência entre as atividades. Isto fica bastante evidente
quando se observa a solução (2.20) explicitamente como segue:
xi = li1 f1 + li2 f2 + · · · + li j f j + · · · + lin fn
i = 1, 2, ..., n
(2.21)
onde li j são os elementos da matriz de Leontief L. O nível de produção na atividade i depende
linearmente daquilo que é requerido não só em i ( fi ) como também em todas outras atividades,
indicadas por −i ( f−i ). Note-se que li j = ∂ xi /∂ f j , isto é, li j é a taxa de variação em xi quando
ocorre uma mudança em f j .
15
Capítulo 2
2.3.2.1
Análise de Insumo-Produto
Modelo Fechado
Na análise de insumo-produto apresentada até aqui, foi considerada a forma do modelo aberto,
isto é, o setor famílias faz parte da demanda final bem como do setor de pagamentos, tratandose assim de um elemento exógeno ao setor de processamento. Uma outra forma de conceber o
sistema é aquela que insere a linha e a coluna referente a famílias para dentro do setor de processamento, tornando famílias um elemento endógeno ao sistema. Sendo assim, o modelo será
capaz de considerar não apenas os efeitos diretos e indiretos, mas também os efeitos induzidos
pelo consumo das famílias. A tabela 2.3 mostra a forma esquemática da tabela de transações
para o caso do modelo fechado.
Atividade n
Famílias
Exportações
Investimento
z12
z22
z32
zn2
z13
z23
z33
zn3
z1n
z2n
z3n
znn
z1,n+1
z2,n+1
z3,n+1
zn,n+1
e1
e2
e3
en
i1
i2
i3
in
zn+1,1
m1
v∗1
x1
zn+1,2
m2
v∗2
x2
zn+1,3
m3
v∗3
x3
zn+1,n
mn
v∗n
xn
zn+1,n+1
mn+1
v∗n+1
xn+1
en+1
in+1
g1
g1
g1
g1
gn+1
PBT
Atividade 3
z11
z21
z31
zn1
Governo
Atividade 2
Insumo/produto
Atividade 1
Atividade 2
Atividade 3
Atividade n
Famílias
Importações
Valor adicionado
DBT
Atividade 1
Tabela 2.3: Modelo de uma Tabela de Transações (fechado).
x1
x2
x3
xn
xn+1
A nova matriz de coeficientes técnicos de dimensões (n + 1 × n + 1) é denotada por:

Ā = 
A
hR
hC
0
h


(2.22)
onde hC é o vetor (n × 1) dos coeficientes zi,n+1 /xn+1 representando a parcela da demanda
final que é devida as famílias; hR 0 o vetor linha (1 × n) dos coeficientes an+1, j = zn+1, j /x j
representando a parcela do setor de pagamentos que cabe aos salários pagos às famílias; h o
escalar zn+1,n+1 /xn+1 como sendo o coeficiente que define a transferência entre as famílias.
Identifica-se por x̄ o vetor de produção total para as n + 1 atividades e por f¯ o vetor demanda
16
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
final, retirada a parcela de consumo das famílias ci :


x1

 

 .. 
 . 
x
=

x̄ = 


 xn 
xn+1


xn+1

f1∗
 


 .. 
∗
 . 
f
 

f̄ = 
 ∗ =
∗
 fn 
fn+1


∗
fn+1

(2.23)
De maneira semelhante, a solução do sistema de Leontief, considerando o modelo fechado com
respeito as famílias é dada por:
x̄ = (I − Ā)−1 f̄ = L̄f̄
(2.24)
Ou a solução (2.24) pode ser reescrita como:
∗
xi = l¯i1 f1∗ + l¯i2 f2∗ + · · · + l¯i j f j∗ + · · · + l¯i,n+1 fn+1
i = 1, 2, ..., n + 1
(2.25)
sendo válidas as mesmas interpretações anteriores da solução (2.21).
2.3.2.2
Multiplicadores
O conceito multiplicador é uma das principais ferramentas de análise oferecidas pelo modelo
insumo-produto. Seu objetivo é quantificar o impacto causado em certas variáveis (produção
total, renda, valor adicionado, empregos, etc) pelo aumento de uma unidade no consumo final de determinada atividade. Este impacto advém da combinação de três efeitos, a saber: (i)
efeitos diretos pelo próprio aumento da demanda naquela atividade, (ii) efeitos indiretos oriundos da interdependência entre as atividades econômicas e (iii) efeitos induzidos quando se trata
famílias como uma atividade. Existem basicamente dois tipos de multiplicadores, são eles:
- Multiplicadores Simples: consideram apenas os efeitos diretos e indiretos decorrentes de
uma variação unitária da demanda final da atividade j na variável investigada. O modelo
aberto é a base para o cálculo desse tipo de multiplicador;
- Multiplicadores Totais: leva em conta os efeitos diretos, indiretos e induzidos pelo consumo das famílias que são decorrentes de uma variação unitária da demanda final da
atividade j. O modelo fechado é a base para o cálculo desse tipo de multiplicador.
17
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
A seguir, são descritas as formas de cálculo de quatro multiplicadores: multiplicadores de produção, renda, emprego e valor adicionado.
Multiplicadores de Produção (Output Multipliers): soma dos valores incrementais da produção
em cada atividade quando do aumento unitário da demanda final para a atividade j. Caso a
demanda final da atividade A1 aumente em uma unidade, teria-se:
   
1
l
   11 
   
0 l21 
  
∆x(1) = L∆f(1) = L 
 ..  =  .. 
.  . 
   
0
ln1
(2.26)
Isto para o caso j = 1. Então, por definição, o multiplicador de produção simples da atividade
j é dado por:
n
m(o) j = i0 ∆x( j) = ∑ li j
(2.27)
i=1
onde i0 é o vetor linha com entradas unitárias de dimensão n. Por exemplo, se houver um
choque de demanda na economia de tal forma que apenas a demanda da atividade A3 aumente
em 1 milhão de Reais com as outras demandas permanecendo inalteradas, o multiplicador m(o)3
fornecerá a soma (em milhões de Reais) dos novos valores de produção total x j para que esta
nova demanda seja atendida. De forma semelhante, quando se deseja considerar o efeito-renda
induzido a partir do uso do modelo fechado, tem-se o multiplicador de produção total:
n+1
m̄(o) j =
∑ l¯i j
(2.28)
i=1
Caso se deseje comparar este com o multiplicador simples, deve-se usar a forma truncada do
multiplicador total m̄[o(t)] j = ∑ni=1 l¯i j . Assim, apenas os efeitos nas n atividades originais do
modelo aberto são considerados.
Multiplicadores de Renda (Income Multipliers): soma em todas atividades da renda adicional
gerada pelo incremento unitário na demanda final da atividade j. O multiplicador de renda
18
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
simples, fazendo famílias como um elemento exógeno, é calculado como segue:
n
m(h) j = ∑ an+1,i li j
(2.29)
i=1
O multiplicador total, fazendo famílias como um elemento endógeno, é:
n+1
m̄(h) j =
∑ an+1,il¯i j = l¯n+1, j
(2.30)
i=1
Assim como no caso dos multiplicadores de produção, o multiplicador de renda truncado seria
calculado como m̄[h(t)] j = ∑ni=1 an+1,i l¯i j .
Na literatura são considerados ainda dois tipos de multiplicadores de renda: Tipo I e Tipo II.
Os multiplicadores de renda tipo I e II surgem a partir da liberdade de escolha com relação ao
que se considera como o efeito inicial da nova demanda final. Nos cálculos dos multiplicadores
de renda descritos aqui o efeito inicial foi considerado como sendo a unidade $1. Ao se definir
agora o efeito inicial como sendo o elemento an+1, j , obtém-se os chamados multiplicadores de
renda tipo I e tipo II da seguinte forma:
m(h)Ij
e
m̄(h)IIj =
∑ni=1 an+1,i li j
=
an+1, j
¯
l¯n+1, j
∑n+1
i=1 an+1,i li j
=
an+1, j
an+1, j
(2.31)
(2.32)
Note-se que o termo tipo I está relacionado ao termo simples, enquanto que o termo tipo II ao
termo total. Entretanto, estes não serão utilizados neste trabalho.
Multiplicadores de Emprego (Employment Multipliers): medem o total de emprego adicional
gerado na economia quando do choque unitário na demanda final da atividade j. Para seu cálculo é necessário dispor do vetor linha w0 = (w1 , w2 , ..., wi , ..., wn ) composto pelos coeficientes
que representam o número de trabalhadores por valor unitário da produção para cada atividade
econômica. O multiplicador de emprego simples é:
n
m(e) j = ∑ wi li j
i=1
19
(2.33)
Capítulo 2
Análise de Insumo-Produto
E o multiplicador de emprego total é dado por:
n+1
m̄(e) j =
∑ wil¯i j
(2.34)
i=1
Para os multiplicadores de emprego valem, assim como nos multiplicadores anteriores, as formas truncadas e dos tipos I e II analogamente.
Multiplicadores de Valor Adicionado (Value-Added Multipliers): medem o incremento total de
valor adicionado na economia que decorre do choque unitário na demanda final da atividade j.
Seu cálculo é conduzido com o auxílio do vetor linha va0 = v0b
x−1 composto pelos coeficientes
v j /x j do valor adicionado para cada atividade j. O multiplicador de Valor Adicionado Simples
é escrito de forma equivalente como:
n
m(va) j = ∑ vai li j
(2.35)
i=1
Novamente, o multiplicador de Valor Adicionado Total é:
n+1
m̄(va) j =
∑ va∗i l¯i j
(2.36)
i=1
onde va∗i = v∗i /xi (coeficiente de valor adicionado descontando-se o coeficiente das famílias
an+1, j ).
Os multiplicadores expostos acima podem ser resumidos e reescritos a partir de operações
matriciais simples como as listadas a seguir:
Tabela 2.4: Resumo das fórmulas de cálculo dos multiplicadores.
Multiplicador
Produção
Renda
Emprego
Valor Adicionado
Simples Total
i0 L
i0 L̄
hR 0 L
hR 0 L̄
w0 L
w0 L̄
0
va L
(va∗ )0 L̄
Note-se que a forma i0 L representa como resultado um vetor linha com n entradas, cada uma
representando o multiplicador de produção simples para cada atividade. O mesmo vale para os
demais multiplicadores.
20
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
3 A INCERTEZA NO MODELO INSUMO-PRODUTO
Este capítulo faz uma revisão da literatura considerando os principais trabalhos como aqueles que mais agregam para o desenvolvimento dos objetivos desta dissertação. Uma revisão
semelhante e mais abrangente, porém até 1989, pode ser encontrada em Miller et al [16, cap
15]. Todavia, são raros os livros de insumo-produto que possuem texto referente à abordagem
estocástica. Exceção feita, por exemplo, a ten Raa [17, cap 14].
3.1
Considerando a incerteza nos coeficientes
técnicos diretos
3.1.1
Razões
Os coeficientes técnicos diretos são função da tecnologia usada e do nível de preços relativos
na economia, ou seja:
ai j = f (tecnologia, nível de preços relativos)
(3.1)
Portanto, existem basicamente dois motivos para se pensar em inserir a incerteza no modelo de
insumo-produto. São eles:
1. Erros nos coeficientes: as metodologias de construção de matrizes de insumo-produto
envolvem hipóteses simplificadoras e uma vasta base de dados originais [18]. No entanto, usualmente as matrizes de insumo-produto são publicadas sem a definição de onde
os erros associados aos coeficientes técnicos diretos estão localizados. Os coeficientes
técnicos diretos são apresentados como tendo uma precisão infinita.
2. Variação dos coeficientes ao longo do tempo: variações nos preços relativos e mudanças
tecnológicas (quantidades transacionadas entre as atividades) fazem com que ocorram
variações nos valores dos coeficientes técnicos diretos.
Todos os artigos revistos nesta seção têm questões fundamentais relacionadas, direta ou indiretamente, a um ou ambos motivos descritos acima. Diferem no problema específico proposto
e na abordagem para resolvê-lo. Outra observação é que no capítulo anterior foi adotada a
21
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
notação utilizada em Miller & Blair [10] por ser um livro recente, completo e amplamente consultado. Neste capítulo serão usadas as notações contidas em cada um dos trabalhos citados,
cabendo assim ao leitor fazer a correta associação com a notação precedente.
3.1.2
Revisão da literatura
O trabalho pioneiro é o de Evans [19] em 1954. A principal questão que Evans se propunha a
responder era a da propagação de erros através dos cálculos para o cômputo da matriz inversa de
Leontief. Para isso, ele primeiramente assume que os erros contidos na matriz de coeficientes
técnicos diretos são não aleatórios e aditivos, ou seja,
A∗ = A + D
(3.2)
onde A representa a “verdadeira"matriz de coeficientes técnicos e D é a matriz de erros associada a A. Além disso, considera que D é nula, a exceção de uma linha genérica i, isto é,


0 ··· ··· ··· 0


.. 
 ..
 .
. 




D = di1 · · · di2 · · · din 


 ..
.. 
 .
. 


0 ··· ··· ··· 0
(3.3)
Assim, pode-se chegar a uma expressão explícita para o erro em cada entrada da matriz inversa
de Leontief, B = (I − A)−1 :
b∗jk − b jk = b ji ∑ dir brk /(1 − ∑ dir bri )
r
(3.4)
r
A partir de mais algumas considerações, Evans conclui que os erros eventualmente presentes
são não apenas não cumulativos mas também apresentam um efeito compensatório. Dessa
forma, os erros de arredondamento presentes não precisariam mais serem tratados como um
problema na área de insumo-produto. Esta seria mais uma característica positiva do modelo: a
capacidade de minimizar efeitos indesejáveis provenientes de erros nos dados que o servem de
base.
Fazendo-se uso de uma série de aproximações, Babbar [20] deduz analiticamente a dis22
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
tribuição de probabilidade para a solução para um sistema do tipo:
(B + b)X = (Q + ε)
(3.5)
onde B é uma matriz não-singular m × m de constantes conhecidas, b é uma matriz m × m de
erros aleatórios, Q é um vetor coluna de constantes conhecidas de dimensão m e ε é um vetor
coluna de erros aleatórios de dimensão m. Note-se que o sistema (3.5) é semelhante ao sistema
de Leontief quando b → 0 e ε → 0. A partir da distribuição encontrada,
2
2
2 2
1 [β σk2 − ∂k σBk ] + xk [∂k σB2 − β σBk ]
f (xk )dxk = √
× e−1/2[(xk β −∂k ) /σk −2σBk xk +σB xk ] × dxk
2
2
2
3/2
[σk − 2σBk xk + σB xk ]
2π
(3.6)
onde β , σk2 , ∂k , σBk e σB são parâmetros advindos da formulação do problema, Babbar constrói
intervalos de confiança para a solução, faz uma aplicação no contexto da análise de insumoproduto e ressalta a importância que uma abordagem probabilística tem nos problemas de programação linear e em particular na análise de relações inter-industriais. Para ele, existe uma
considerável vantagem em tratar os coeficientes de insumo-produto com uma certa flexibilidade, permitindo que pequenas variações aconteçam em torno dos valores médios.
Briggs [21] examina a questão da incerteza no modelo de insumo-produto de uma outra
perspectiva. Trata do problema de estimar de forma eficiente os coeficientes técnicos a partir
de uma série de observações. Y denota a matriz de transações de ordem n e l 0 o vetor de inputs
primários não inclusos na matriz de transações (isto é, o modelo é aberto). Escreve-se:


Y
 


y0 = i0 · · ·
 
l0
(3.7)
B = Yŷ−1
(3.8)
e
onde i0 é o vetor de unidades de ordem n + 1, ŷ a matriz diagonal formada por y0 e B a matriz de
coeficientes técnicos diretos. Dois modelos são considerados. No primeiro, assume-se B fixa e
Y uma matriz aleatória:
Y = Bŷ + E
23
(3.9)
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
onde E é uma matriz aleatória que assume valores segundo uma distribuição normal de média
zero. No segundo modelo, a aleatoriedade de Y é atribuida à aleatoriedade em B:
Y = B∗ ŷ = (B + E)ŷ
(3.10)
Dois métodos de estimação são utilizados por Briggs, a saber: (i) mínimos quadrados e (ii)
máxima verossimilhança. Sobre certas circunstâncias o método dos mínimos quadrados apresenta maior viés e subestimação. Além disso os resultados obtidos pelos dois métodos diferem
mais quanto maior for o grau de interdependência e maior for a importância relativa da variação
residual nos modelos.
Dois artigos escritos por Quandt e publicados em 1958 e 1959 vieram adicionar novas formas de se tratar a incerteza nos coeficientes técnicos. No primeiro [22], com relação aos valores
esperados de matrizes aleatórias, os seguintes teoremas são enunciados:
Teorema 1 Dada uma matriz P com elementos independentemente distribuidos, o valor esperado de P, E(P), é a matriz formada pelos valores esperados de cada um dos elementos.
Teorema 2 Sejam P e Q duas matrizes para as quais P + Q está definida. Então E(P + Q) =
E(P) + E(Q).
Teorema 3 Se C é uma matriz constante, E(C)=C.
Teorema 4 Se K é uma constante escalar e P uma matriz, E(KP) = KE(P).
Teorema 5 Sejam P e Q duas matrizes para as quais o produto PQ é definido. Se P e Q são
independentemente distribuidas, E(PQ) = E(P)E(Q).
Teorema 6 Seja T a matriz “verdadeira” e TX = Y. Seja o sistema observado dado por
PX = Y, tal que E(P) = T. Então a esperança da solução do sistema probabilístico PX = Y
não é geralmente igual a solução do sistema verdadeiro.
Este último, quando aplicado ao sistema de Leontief, estabelece que o valor esperado da solução
do sistema de Leontief com coeficientes aleatórios não é necessariamente igual a solução do
sistema “verdadeiro”. Além disso, Quandt explora os coeficientes ai j como variáveis aleatórias
e encontra analiticamente a esperança, variância e covariâncias dos elementos da matriz inversa
de Leontief para o sistema em duas dimensões. Considerando que (a) os erros nos coeficientes
24
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
são independentemente distribuidos, (b) os erros têm média zero e (c) as funções de densidade
dos erros são simétricas, obtêm-se:
h
 h
i
i
b22
b21
R
R
2
2
b11 1 + K + D2 − b11 D E(h22 ) b12 1 + K + D2 + b12 D E(h12 )
i
h
i
E[(I − A − H)−1 ] =  h
b21 1 + K + DR2 + bb2112D E(h221 ) b22 1 + K + DR2 − bb2211D E(h211 )
(3.11)
onde H é a matriz de erros, bi j os elementos de (I − A)−1 , D = |I − A|, K = b211 E(h211 ) +
b222 E(h222 ) + b221 E(h212 ) + b212 E(h221 ) e R = E(h211 )E(h222 ) + E(h212 )E(h222 ). A variância do elemento b11 da matriz (I − A − H)−1 e a covariância de b11 e b12 , por exemplo, são dadas por:
var(b11 ) = b211
E(h222 ) 2b22
R
2
K+ 2 + 2 2 −
E(h22 )
D
b11 D
b11 D
(3.12)
e
b22
b21
R
2
2
E(h22 ) +
E(h12 )
covar(b11 , b12 ) = b11 b12 K + 2 −
D
b11 D
b12 D
(3.13)
Quandt termina este primeiro artigo fazendo um exemplo numérico no qual calcula a solução
do sistema de Leontief X0 = (x1 , x2 ) através de quatro maneiras distintas, a saber:
1. Valores exatos obtidos calculando-se a solução exata;
2. Aproximação baseada na matriz da equação (3.11);
3. Solução a partir de uma matriz inversa média, calculada atráves do sorteio de 50 matrizes
A segundo a distribuição de erros associada;
4. Solução a partir do cálculo das médias e variâncias para as soluções dos 50 sistemas
(matrizes) sortiados seguindo a distribuição dos erros considerada;
Conclui que as aproximações analíticas são razoavelmente boas, que é plausível assumir a consistência das soluções e que, de forma geral, a solução não possui um estimador sem viés.
O segundo artigo de Quandt [23] tem o objetivo de estudar experimentos computacionais
onde matrizes aleatórias com os coeficientes técnicos diretos (matrizes A) são geradas segundo
a distribuição de probabilidade dos erros. Neste ponto, é interessante notar que realizar experimentos computacionais na década de 1950 exigia um grande esforço, dada a indisponibilidade
de softwares e máquinas como as dos dias de hoje. Assim como no artigo anterior, assume-se
que o vetor de demanda final é conhecido com certeza, ou seja, não está sujeito a erros. A
25
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
partir de cada matriz de ordem três gerada no processo, a inversa de Leontief é obtida, a solução
X = (I − A)−1 Y é calculada e assim momentos das ditribuições dos elementos da inversa e da
solução podem ser analisados. Alguns detalhes dos experimentos são os seguintes: (i) foram
consideradas onze distribuições discretas para os erros; (ii) para cada distribuição 100 matrizes
aleatórias foram geradas; (iii) a matriz perturbada pelos erros foi a matriz (I − A); (iv) as distribuições dos erros foram especificadas de tal forma que ai j + ei j ≥ 0 e ∑i (ai j + ei j ) < 1, isto
garante que o determinante |I − A − E| 6= 0, ou seja, nenhum sistema singular é gerado no processo. As duas principais conclusões feitas por Quandt foram que a assimetria da distribuição
dos erros tende a ser transmitida para a solução do sistema e que esta solução pode ser adequadamente descrita como uma distribuição do tipo lognormal.
Depois de uma década de relativa escassez de trabalhos que envolvessem a incerteza, em
1973, Park [24] investiga a propagação de erros dos coeficientes técnicos para os multiplicadores. O estudo é realizado de forma analítica, assumindo erros aditivos e não aleatórios nos
seguinte elementos: matriz de coeficientes técnicos diretos (A), vetor de coeficientes de emprego (h0 ), vetor de coeficientes de consumo das famílias (k) e o coeficiente escalar de consumo
entre as famílias (a). Segue-se então que:
A = A∗ + E
0
h0 = h∗ + u0
k = k∗ + s
(3.14)
a = a∗ + t
onde os elementos com asterisco representam os valores “verdadeiros” e os termos adicionais
denotam os erros. Park mostra que o componente de erro na expressão final dos multiplicadores
pode ser separado do valor “verdadeiro” do multiplicador (o valor calculado quando os erros
não estão presentes). Este componente de erro total pode ser escrito pela adição de duas parcelas. A primeira parcela é um vetor de erro obtido quando os erros estão presentes apenas nos
coeficientes técnicos e a segunda parcela é um vetor de erro associado à presença de erros tanto
na matriz A quanto nos vetores do setor famílias. Outro achado é que os multiplicadores tipo
II são múltiplos dos multiplicadores tipo I e seus erros também são relacionados pela mesma
constante multiplicadora.
Logo após o trabalho de Park, um resultado importante é encontrado por Simonovits [25] e
26
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
enunciado a seguir na forma de teorema.
Teorema (Simonovits) 7 Se os elementos da matriz A são aleatórios, independentes e simetricamente distribuidos, então o valor esperado da inversa de Leontief é subestimado pela inversa
de Leontief do valor esperado de A:
E[(I − A)−1 ] ≥ (I − E[A])−1
(3.15)
A igualdade é válida se, e somente se, todos os elementos de A forem determinísticos. O
teorema naturalmente estimula a exploração do comportamento estocástico dos multiplicadores
e isto será mostrado mais adiante. Antes, porém, mais alguns estudos serão descritos.
Assim como fez Briggs [21], Gerking [26] ataca o problema de estimar os coeficientes
técnicos com a ajuda de quatro métodos de regressão, a saber: Mínimos quadrados ordinários
(OLS), método de Wald-Bartlett (WBM), método de Durbin (DM) e Mínimos quadrados em
dois estágios (TSLS). Com o uso de dados, cada destes métodos de regressão é aplicado à
equação:
Zi j (r) = αi j X j (r) + θi j (r)
(3.16)
onde Zi j representa o valor de bens transferidos do setor i para o setor j, X j é o valor total
de produção do setor j, αi j é o coeficiente técnico e θi j o erro que é assumido ser idêntico e
igualmente distribuido com média zero para todo r (index referente a r-ésima firma do setor j).
As aplicações sugerem que existem diferenças consideráveis em relação à eficiência dos quatro
estimadores. Em termos gerais, os métodos OSL e TSLS têm erros padrões menores que os
métodos WBM e DM. O autor ainda sugere que o estimador em forma de razão (αi j = Zi j /X j )
seja substituído por uma técnica de regressão e que o grau de incerteza observado num dado
coeficiente técnico seja medido pelo erro padrão do estimador escolhido.
Hanseman & Gustafson [27] criticam e reformulam o trabalho de Gerking, argumentando
que o conjunto de equações simultâneas no modelo está mal especificada. Assim, o uso de
TSLS não seria mais necessário. Mais dois trabalhos merecem destaque na segunda metade dos
anos setenta.
Bullard & Sebald [28] investigam meios de avaliar e mitigar os efeitos da incerteza nos coeficientes técnicos. Os principais objetivos eram quantificar a incerteza na solução do modelo e
identificar os coeficientes que são a causa dessa incerteza. O primeiro resultado é uma desigual-
27
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
dade relacionada a questão de estabelecer um teto (bounds), em termos do determinante, para
os erros na matriz de Leontief associados aos erros na matriz de coeficientes técnicos diretos:
|∆A|
[I − (A + ∆A)]−1 − [I − A]−1 M |I−A|
≤
|∆A|
|[I − A]−1 |
1 − M |I−A|
(3.17)
desde que [I − A]−1 · |∆A| < 1 e onde M = |I − A| · [I − A]−1 . Este tipo de resultado da
equação (3.17) era especialmente últil quando não se dispunha de recursos computacionais
como os dos dias de hoje. O segundo resultado trata de um método para identificação dos
coeficientes mais importantes, no sentido de alterar significativamente a saída de uma função
importância (importance function) g da forma:
J = g[(I − A)−1 , Y]
(3.18)
onde J pode ser um escalar, um vetor ou uma matriz de ordem menor ou igual a de (I − A)−1 .
Dado uma pertubação de erro ∆A, pode-se avaliar a importância de ai j com respeito a J a partir
da seguinte expressão:
∑ ∑ φmn
(3.19)
m n
onde:
φmn =


ν =
∆Jmn
τ

0
se τ ≥ 1
(3.20)
caso contrário
e τ é o limite de importância. Deste modo um ranking dos elementos mais importantes de A
pode ser obtido. Os autores fazem também aplicações destes resultados e terminam por concluir
que criar uma ordem por importância relativa dos coeficientes técnicos fornece informação
para (i) estabelecer prioridades na aquisição de dados usados na atualização dos coeficientes,
(ii) construir tabelas de insumo-produto mais acuradas e (iii) identificar tecnologias em que
pequenas mudanças têm grande impacto nos objetivos das políticas adotadas.
Goicoechea & Hansen [29] apresentam um modelo-insumo produto onde os coeficientes
técnicos e a demanda final são variáveis aleatórias que seguem uma distribuição exponencial
com função densidade de probabilidade do tipo:
f (ai j ) = λi j e−λi j ai j
28
(3.21)
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
onde λi j = 1/E(ai j ). O caso em que existem apenas dois setores na economia é tratado no
e
trabalho. O sistema de Leontief é escrito como:
Prob[(a11 − 1)x1 + a12 x2 + a13 ≤ 0] = 1 − α1
e
e
e
Prob[a21 x1 + (a22 − 1)x2 + a23 ≤ 0] = 1 − α2
e
e
e
(3.22)
onde a11 , a12 , a21 e a22 são os coeficientes técnicos aleatórios segundo (3.21) e, da mesma
e e e
e
forma, a13 e a23 são os componentes da demanda final (apesar da notação, não são “coefie
e
cientes”). Assim, αi define a probabilidade (1 − αi ) de que a demanda intersetorial (ai1 x1 +
e
ai2 x2 ) mais a demanda final (ai3 ) seja menor ou igual à quantidade produzida pelo setor i (xi ).
e
e
Para encontrar a solução do sistema (3.22) os autores, a partir de desenvolvimentos analíticos,
encontram o sistema equivalente determinístico não linear e resolvem para x1 e x2 numericamente com o método de Newton-Raphson. Os resultados mostram que, quanto maior αi
(α1 = α2 ), menor serão x1 e x2 . Na aplicação numérica, tem-se que para α1 = α2 = 0.4 a
solução tem o mesmo valor que a solução encontrada no sistema de Leontief tradicional (determinístico). O exemplo mostra que a incerteza de não satisfazer a demanda é reduzida ao se
exigir níveis maiores de produção para cada setor.
Em 1982, Wibe [30] ressalta que os coeficientes fornecidos por tabelas de insumo-produto
são “médias industriais” (industrial averages), no sentido de que dentro de um setor ou indústria
é considerada uma grande quantidade e diversidade de empresas. Isto implica que empresas de
um mesmo setor reagem de forma diferente a variações na demanda final. Dado este fato,
Wibe estuda a questão da distribuição dos coeficientes técnicos a partir de uma grande base de
dados elaborada pelo Escritório Central de Estatística da Suécia (Sweden´s Central Bureau of
Statistics) em 1979. Os resultados do estudo mostraram que existe uma grande dispersão entre
os coeficientes técnicos das empresas (ou fábricas) dentro de uma mesma indústria e empresas
com coeficientes de emprego pequenos possuem também pequenos coeficientes de insumos
intermediários.
Em um trabalho mais detalhado que o primeiro [27], novamente Hanseman [31] revisa e
critica o trabalho de Gerking [26] e procura avaliar o desempenho dos estimadores dos coetot
ficientes técnicos através dos métodos de estimador de razão (αi j = Zitot
j /X j ), OLS, WBM,
DM e TSLS para o caso de pequenas amostras através do uso de simulações computacionais
(Monte Carlo study). As conclusões são: (i) geralmente o melhor estimador é o OLS, à exceção
29
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
do caso onde há grande heterocedasticidade, onde o estimador de razão é melhor, porém sua
distribuição amostral é desconhecida e, assim, intervalos de confiança não podem ser construídos, (ii) TSLS é o único estimador consistente e (iii) OLS deve ser usado em amostras muito
pequenas, enquanto que TSLS deve ser o estimador usado quando o tamanho da amostra cresce.
Garhart [32] investiga, através de simulações, o papel da estrutura de erros adotada para
os coeficientes técnicos e para os coeficientes de compras regionais (Regional Purchase Coefficient-RPC). Um RPC é definido como a fração da demanda total por um produto em uma
determinada área que é atendida por produtores daquela área. Para tanto, considera dois tipos
de estruturas de erros:
Erro Multiplicativo: um número aleatório é sorteado segundo uma distribuição normal com
média igual a unidade e desvio padrão igual à metade da porcentagem de erro considerada
(10%, 20%, 30% ou 40%). Este número é então multiplicado pelo coeficiente técnico.
Erro aditivo: um número é sorteado segundo uma distribuição normal de média zero e adicionado ao coeficiente técnico.
Os erros multiplicativos são maiores quanto maiores forem os coeficientes, enquanto os erros
de estrutura aditiva são independentes da magnitude dos coeficientes. Fazendo uso de uma
combinação das duas estruturas de erros, Garhart chega à conclusão de que simulações experimentais em modelos de insumo-produto regionais são sensíveis a estrutura de erro utilizada, e
assim, desmente a proposição corrente na época de que os RPCs são mais importantes do que
os coeficientes técnicos em relação à contribuição à acurácia dos multiplicadores.
A estrutura de erros e seus impactos nas propriedades do valor esperado da inversa de Leontief são estudados no trabalho de Lahiri & Satchell [33] em 1986. Os autores começam por
fazer uma breve discussão sobre como se define e são entedidos os conceitos de subestimação
(underestimation) e superestimação (overestimation). Para eles existe uma subestimação ou
superestimação no elemento (i, j) da inversa de Leontief se E(qi j ) − q̄i j é menor ou maior
que zero, respectivamente (esta definição é o oposto da usada por Simonovits [25] e é igual
à definição usada por Evans [19] e Quandt [22, 23]). Tal discussão somente tem relevância
quando se considera o contexto teórico da interpretação estocástica dos coeficientes e do que se
considera os valores “verdadeiros” e “observados” (Lahiri & Satchell [33] consideram a esperança dos coeficientes como o valor verdadeiro e os coeficientes mais a parcela de erro como os
valores observados).
30
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
A primeira tentativa de determinar explicitamente intervalos de confiança para os multiplicadores foi a de West [34]. Através de aproximações analíticas, os resultados abaixo foram
alcançados pelo autor. O primeiro deles é a função densidade de probabilidade do desvio (deviation) y, (E[mi ] − mi = E[y]), para o k-ésimo multiplicador:
e
e
e
A + By
1
y2
f (y)k = √
exp{−
}
2 A + 2By +Cy2
2π[A + 2By +Cy2 ]1.5
(3.23)
em que A = ∑ni, j (b jk mi σi j )2 , B = ∑ni, j b jk mi b ji σi2j e C = ∑ni, j (b ji σi j )2 e onde σi j é o desvio padrão
de ai j , bi j é o elemento da inversa de Leontief e mi é o multiplicador observado (tradicional).
e
Dessa forma, a média e a variância do desvio y podem ser aproximadas por:
e
n
b jk mi b ji σi2j
E(y)k ∼
=∑
2 2 3/7
e
i, j (1 − 7b ji σi j )
n
59
∼
V (y)k = ∑(b jk mi σi j )2 [1 + (b ji σi j )2 ]128/59
16
e
i, j
(3.24)
(3.25)
e o intervalo de confiança de (1 − α)% para o “verdadeiro” multiplicador, E[mi ], é dado por:
e
√
√
mi − zα/2 A/( A + zα/2 B) ≤ E[mi ] ≤ mi + zα/2 A/( A − zα/2 B)
(3.26)
e
West faz aplicações com dados reais e conclui que os multiplicadores são viesados positivamente (E(y) > 0) e consistentes.
e
Estes resultados (equações (3.24), (3.25) e (3.26)) foram criticados por ten Raa & Steel [35]
e Kop Jansen [36]. Segundo Kop Jansen [36], as críticas são baseadas no fato de que West
assume a hipótese de que os coeficientes técnicos são distribuidos segundo uma Normal, isto é,
ai j ∼ N(ai j , σi2j ). Isso implicaria em coeficientes técnicos negativos com probabilidade não-nula
e
e também em matrizes A com raio espectral maior que a unidade, o que é equivalente a se ter a
matriz de Leontief com elementos negativos (as condições de Hawkins-Simon são equivalentes
a A ≥ 0 e λ (A) < 1, onde λ (A) é o raio espectral da matriz A; o raio espectral de uma matriz
é definido como o valor máximo do módulo dos auto-valores da matriz). O próprio Kop Jansen
deriva sua fórmula fechada para o desvio e apresenta-a como [36]:
n
E[mk ] − mk = ∑ l jk mi l ji σi2j
f
i, j
31
(3.27)
Capítulo 3
A incerteza no modelo insumo-produto
Além disso, conduz simulações de Monte Carlo (com distribições de ai j simétricas, mas não
e
gaussianas) e conclui que (i) os resultados obtididos para a esperança dos multiplicadores são
muito semelhantes, quer se use a fórmula de West, Kop Jansen ou simulação de Monte Carlo,
já que o raio espectral da matriz A utilizada é relativamente baixo e os desvios padrões são
pequenos quando comparados com os coeficientes técnicos; (ii) apesar da fórmula de West levar
a intervalos de confiança maiores que os do método de Monte Carlo, ainda assim parece ser uma
boa aproximação. Esta última suspeita é confirmada por ten Raa & Steel [35] que consideram a
hipótese de que os coeficientes técnicos são distribuidos segundo uma Beta no intervalo [0, 1].
Mais uma vez, simulações são realizadas e comparadas com o intervalo de confiança de West
(3.26), os autores concluem a favor da boa aproximação conseguida quando pequenos desvios
padrões são utilizados (≈ 0, 0050).
Trabalhos mais recentes buscam inserir a incerteza não mais nos coeficientes técnicos e sim
em um conjunto de informações contábeis que servem de base para a construção desses coeficientes: as tabelas de transações intersetoriais ou tabelas de usos e recursos [37–39]. RolandHolst [37] parte do princípio que há incerteza nos elementos da matriz de transações, isto é,
trata-os como variáveis aleatórias gaussianas com médias e variâncias conhecidas. Aborda o
problema através de simulações de Monte Carlo, faz testes de hipóteses para concluir que os
estimadores dos multiplicadores não apresentam viés. Numa abordagem analítica, Dietzenbacher [38] também considera a tabela de transações como a fonte inicial de incerteza e tem o
resultado de que, sob certas condições, a média ponderada em qualquer linha da matriz de Leontief possui viés nulo e, sob condições mais rigorosas, a média ponderada dos erros estocásticos é
zero, tanto para linhas quanto para colunas. E, por último, considerando a presença da incerteza
nas matrizes de absorção e produção (use and make matrices), ten Raa & Rueda-Cantuche [39]
propõem uma metodologia baseada em um modelo de regressão linear para encontrar multiplicadores de emprego e produção consistentes e não-viesados.
Apesar desses estudos mais recentes sugerirem a inserção da incerteza numa etapa de tratamentos de dados anterior ao cálculo dos coeficientes técnicos, pode-se encontrar trabalhos ainda
mais recentes (ver, por exemplo, Beynon e Munday [40]), onde a forma original de inserir a incerteza nos coeficientes técnicos é escolhida. Esta escolha é, também, fortemente condicionada
ao tipo de dados que se tem em mãos.
32
Capítulo 3
3.1.2.1
A incerteza no modelo insumo-produto
Quadro de resumo
O quadro 3.1 faz uma breve compilação da literatura revisada neste capítulo:
Quadro 3.1: Resumo dos trabalhos desenvolvidos sobre a incerteza no modelo insumo-produto.
Ano
1954
Autor
Evans [19]
1955
Babbar [20]
1957
Briggs [21]
1958
Quandt [22]
1959
Quandt [23]
1973
Park [24]
1975
Simonovits [25]
1976
Gerking [26]
1977
1982
Bullard &
Sebald [28]
Goicoechea &
Hansen [29]
Wibe [30]
1982
Hanseman [31]
1985
Garhart [32]
1986
1986
Lahiri &
Satchell [33]
West [34]
1989
Roland-Holst [37]
1994
Kop Jansen [36]
1994
ten Raa
& Steel [35]
Dietzenbacher [38]
1978
1995
2007
2008
ten Raa &
Rueda-Cantuche [39]
Beynon
& Munday [40]
Conteúdo
Propagação de erros nos cálculos da inversa. Erros aditivos e não aleatórios.
Conclui que os erros são não cumulativos e compensatórios.
Encontra soluções analíticas aproximadas para um sistema linear
com componentes estocásticos.
Problema de estimar eficientemente os coeficientes técnicos.
Compara métodos: mínimos quadrados e máxima verossimilhança.
Encontra soluções analíticas aproximadas para n = 2, faz simulações numéricas
e computacionais. Soluções consistentes e com viés.
Faz simulações computacionais. Conclui que a assimetria dos erros é transmitida
a solução. Solução tem distribuição lognormal.
Investiga, analiticamente, a propagação dos erros nos coeficientes para
os multiplicadores. Considera erros aditivos e não aleatórios.
Coeficientes estocásticos, independentes e simétricos.
Teorema: E[(I − A)−1 ] ≥ (I − E[A])−1
Problema de estimar eficientemente os coeficientes técnicos.
Compara métodos: OLS, WBM, DM e TSLS.
Quantificar a incerteza na solução e identificar os coeficientes que são as causas.
Cria Ranking dos coeficientes.
Consideram distribuição exponencial para coeficientes e demanda final.
Resolvem o caso n = 2
Dado que os coeficientes de um dado setor são médias, estuda a
distribuição dos coeficientes técnicos dentro de um mesmo setor.
Revisa e critica o trabalho de Gerking [26]. Faz simulações para pequenas
amostras e avalia o desempenho dos estimadores: razão, OLS, WBM, DM, TSLS.
Conduz experimentos usando erros aditivos e multiplicativos. Desmente que os RPCs
contribuem mais para a acurácia dos multiplicadores que os coeficientes técnicos.
Discutem o significado de subestimação e superestimação.
Generalizam vários resultados, dentre eles o teorema de Simonovits.
Deriva analiticamente a função densidade de probabilidade do desvio dos
multiplicadores e seus intervalos de confiança (assimétricos e positivamente enviesados).
Considera a incerteza na tabela de transações, faz simulações e testes de
hipóteses para concluir que os estimadores dos multiplicadores não apresentam viés.
Critica os resultados de West, deriva sua fórmula para os desvios nos multiplicadores
e faz simulações de Monte Carlo comparando com seus resultados e de West.
Critica os resultados de West e considera os coeficientes distribuidos segundo uma Beta.
Faz simulações e conclui que os resultados de West são boas aproximações.
Considera a incerteza na tabela de transações e encontra tanto subestimação
quanto superestimação nos elementos da inversa de Leontief
Considera a incerteza nas matrizes de absorção e produção. Através de regressão
linear encontra multiplicadores consistentes e não-viesados.
Trata da identificação de setores-chave da economia
usando o modelo de insumo-produto estocástico.
33
Capítulo 4
Resultados
4 RESULTADOS
Este capítulo traz o cômputo dos multiplicadores para a economia brasileira em dois períodos: para o ano de 2000 e 2005. Considera-se tanto o modelo insumo-produto tradicional,
quanto o estocástico.
4.1
Matrizes brasileiras de insumo-produto
A fonte de dados é o documento Contas Nacionais [41], produzido pelo IBGE [12]. Nele são
apresentadas matrizes de insumo-produto, ou seja, matrizes de coeficientes técnicos, agregadas
em 12 setores (ver tabela 4.1). Além das matrizes, são disponibilizadas as quantias monetárias,
por setor, de salários pagos às famílias, valor adicionado e produção total, bem como quatidades
de empregados. Encontram-se reproduzidas no Anexo A as duas matrizes e no Apêndice A os
coeficientes de renda, valor adicionado e emprego (calculados segundo o modelo).
Tabela 4.1: Numeração das 12 atividades/setores da economia brasileira.
Representação
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
Atividades
Agropecuária
Indústria extrativa mineral
Indústria de transformação
Produção e distribuição de eletricidade, gás e água
Construção
Comércio
Transporte, armazenagem e correio
Serviços de informação
Intermediação financeira, seguros e previdência complementar
Atividades imobiliárias e aluguel
Outros serviços
Administração, saúde e educação públicas
Para se ter uma rápida visualização da magnitude dos coeficientes técnicos, as figuras 4.1 e
4.2 foram construídas. O esquema de cores revela, por exemplo, que na matriz de 2000 tem-se
0 < ai j < 0, 3, enquanto que, em 2005, 0 < ai j < 0, 35. Em ambos os anos, o maior coeficiente
é o a33 e grande parte dos coeficientes estão abaixo do valor 0, 05.
34
Capítulo 4
Resultados
A1
A2
0.25
A3
Atividades produtoras
A4
0.2
A5
A6
0.15
A7
A8
0.1
A9
A10
0.05
A11
A12
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12
Atividades consumidoras
Fonte: Elaboração própria.
Figura 4.1: Matriz dos coeficientes técnicos para o Brasil 2000.
A1
0.3
A2
0.25
A3
Atividades produtoras
A4
0.2
A5
A6
0.15
A7
A8
0.1
A9
A10
0.05
A11
A12
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12
Atividades consumidoras
Fonte: Elaboração própria.
Figura 4.2: Matriz dos coeficientes técnicos para o Brasil 2005.
35
Capítulo 4
4.2
Resultados
Multiplicadores: modelo tradicional
Os cálculos dos multiplicadores no modelo tradicional são bastante simples, já que não se considera incerteza alguma nos coeficientes técnicos, nem nos coeficientes de valor adicionado,
emprego e renda. Como foi visto no capítulo 2, os multiplicadores de produção são calculados
a partir da soma da coluna da matriz de Leontief referente àquele setor; quando se pondera
essa soma pelos coeficientes de valor adicionado, renda e emprego, obtêm-se os respectivos
multiplicadores.
A tabela 4.2 mostra os multiplicadores para a economia brasileira no ano de 2000. Para cada
multiplicador, tem-se uma ordenação do maior para o menor (coluna Rank). Assim, o modelo
de insumo-produto é, essencialmente, um modelo de decisão. Por exemplo, caso se desejasse
estimular a demanda, de determinado setor da economia brasileira no ano 2000, com o intuito
de gerar a maior quantidade de empregos, o setor escolhido deveria ser Agropecuária (A1 ), com
220.045 empregos totais gerados, a cada 1 bilhão de Reais de aumento na demanda final por
esta atividade econômica; caso o objetivo fosse gerar a maior quantidade de renda, por toda a
economia, o setor escolhido seria Administração, saúde e educação públicas (A12 ), com uma
renda total de R$ 540.000.000,00 a cada 1 bilhão de aumento na demanda final por este setor
(não é o objetivo principal deste trabalho realizar esse tipo de análise de forma mais detalhada).
Tabela 4.2: Multiplicadores simples de produção, valor adicionado, renda e emprego para o
Brasil em 2000.
Atividade
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
Produção Rank
1,67
8
1,82
2
2,12
1
1,73
5
1,80
3
1,42
11
1,74
4
1,70
6
1,68
7
1,08
12
1,66
9
1,50
10
Valor adi.
0,89
0,85
0,76
0,88
0,84
0,92
0,88
0,89
0,90
0,99
0,88
0,92
Rank
4
6
8
5
7
2
5
4
3
1
5
2
Renda
0,31
0,21
0,27
0,23
0,23
0,30
0,32
0,27
0,39
0,03
0,37
0,54
Rank Emprego
220.045
5
9
33.838
7
64.040
8
21.933
8
75.918
6
95.508
4
63.924
7
44.000
2
29.688
10
7.491
3
95.471
1
52.498
Rank
1
9
5
11
4
2
6
8
10
12
3
7
Fonte: Elaboração própria.
No caso do ano 2005, a tabela 4.3 exibe os multiplicadores. Os setores Agropecuária (A1 ) e
Administração, saúde e educação públicas (A12 ) são novamente líderes na geração de emprego
36
Capítulo 4
Resultados
e renda, respectivamente. A atividade Indústria de transformação (A3 ) é aquela que gerou o
maior valor monetário de produção em 2005, com um total de R$ 2.220.000.000,00 para um
aumento de 1 bilhão de Reais nesta atividade. Em se tratando do Valor Adicionado (salários, juros, impostos, etc), os setores Administração, saúde e educação públicas (A12 ) e Intermediação
financeira, seguros e previdência complementar (A9 ) ficam empatados na terceira colocação,
com valor de multiplicador calculado em 0, 91.
Tabela 4.3: Multiplicadores simples de produção, valor adicionado, renda e emprego para o
Brasil em 2005.
Atividade
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
Produção Rank
1,82
4
1,92
2
2,22
1
1,74
5
1,74
5
1,44
10
1,86
3
1,70
6
1,49
9
1,09
11
1,67
7
1,52
8
Valor adi.
0,87
0,84
0,76
0,89
0,83
0,92
0,87
0,88
0,91
0,99
0,87
0,91
Rank
6
7
9
4
8
2
6
5
3
1
6
3
Renda
0,30
0,20
0,26
0,18
0,24
0,31
0,30
0,25
0,29
0,04
0,38
0,52
Rank Emprego
121.092
4
9
20.659
6
38.831
10
13.532
8
50.840
3
60.355
4
39.632
7
25.941
5
14.638
11
5.603
2
65.884
1
32.861
Rank
1
9
6
11
4
3
5
8
10
12
2
7
Fonte: Elaboração própria.
É comum e interessante representar os multiplicadores de forma normalizada (para cada
tipo de multiplicador, divide-se todos pelo valor médio), num gráfico em coordenadas polares.
Esta representação permite comparar, rapidamente, as magnitudes dos multiplicadores de cada
setor em relação a todos os outros daquele mesmo tipo (produção, emprego, renda e valor
adicionado). As figuras 4.3 e 4.4 mostram esse tipo de representação.
Do que foi visto nesta seção, percebe-se, claramente, que cada tipo de multiplicador é um
critério de decisão. Cabe ao decisor estabeler qual (ou quais) critérios devem ter prioridade(s)
e assim a decisão de em que setor se deve estimular a demanda, pode ser tomada.
Na seção seguinte, os multiplicadores para o Brasil, nos anos de 2000 e 2005, são computados, levando-se em conta agora a existência de erros (incerteza) na medida dos coeficientes
técnicos. Os intervalos de confiança para cada medida dos multiplicadores são mostrados e
discute-se, a partir de um exemplo, como levar em conta a variabilidade dos multiplicadores no
processo de tomada de decisão.
37
Capítulo 4
Resultados
A3
4
A4
A2
3
2
A5
A1
1
A6
A12
A11
A7
A8
A10
A9
Emprego
Renda
Valor Adicionado
Produção
Fonte: Elaboração própria.
Figura 4.3: Multiplicadores de impacto normalizados para o Brasil 2000.
A3
3
A4
A2
2
A5
A1
1
A6
A12
A7
A11
A8
A10
A9
Emprego
Valor Adicionado
Renda
Produção
Fonte: Elaboração própria.
Figura 4.4: Multiplicadores de impacto normalizados para o Brasil 2005.
38
Capítulo 4
4.3
Resultados
Multiplicadores: modelo estocástico
Para calcular os intervalos de confiança e valores esperados dos multiplicadores de produção,
valor adicionado, renda e emprego, usando as fórmulas de West (3.24) e (3.26), três condições
precisam ser respeitadas:
1. A primeira é que o nível de agregação econômica considerado seja elevado [35, 36].
As matrizes brasileiras estão agregadas em 12 atividades econômicas, sendo assim, esta
condição é respeitada;
2. A segunda condição diz respeito ao raio espectral da matriz de coeficientes técnicos.
Novamente, Kop Jansen [36] argumenta que os raios espectrais devam ser relativamente
baixos (0, 695 foi o valor do raio espectral da matriz por ele utilizada). O raio espectral
de A2000 é 0, 4553 e o de A2005 é 0, 4793. Então, esta condição também é satisfeita;
3. A terceira e última condição é a de que os desvios padrões dos coeficientes técnicos
sejam pequenos, quando comparados com os próprios coeficientes [35, 36]. Como não
existem estimadores para estes desvios, opta-se aqui por considera-los como sendo 20%
dos coeficientes, isto é, σi j = 0, 2 × ai j , para qualquer i, j = 1..12.
Como foi dito anteriormente, estas condições garantem a boa aproximação das fórmulas
(3.24) e (3.26) em relação aos resultados alcançados via simulação computacional. Em resumo,
a interpretação do cálculo pode ser entendida de três maneiras:
• Os coeficientes seguem uma distribuição normal ai j ∼ N(ai j , σi2j ). É a interpretação origie
nal de West [34], de onde foram derivadas analiticamente as fórmulas de cálculo fechadas
(3.24) e (3.26) e, como foi visto no capítulo 3, esta interpretação é bastante criticada;
• Os coeficientes seguem a seguinte distribuição uniforme e simétrica:

√
√
√

1/2 3σi j para ai j − 3σi j ≤ ai j ≤ ai j + 3σi j
e
p(ai j ) =

e
0 caso contrário
(4.1)
Segundo Kop Jansen [36], as fórmulas de West são boas aproximações de simulações
númericas que considerem esta distribuição dos coeficientes;
39
Capítulo 4
Resultados
• Os coeficientes seguem uma distribuição Beta com parâmetros p e q [35] (ambos maiores
que a unidade para garantir que a distribuição seja unimodal):
pi j = ai j
ai j − a2i j
σi j
!
−1
e qi j = (1 − ai j )
ai j − a2i j
σi j
!
−1
(4.2)
Como visto, nas simulações realizadas por ten Raa & Steel [35], as fórmulas de West também
são boas aproximações quando este tipo de distribuição é considerada.
As tabelas 4.4 e 4.5 mostram todos os multiplicadores com seus respectivos intervalos de
confiança. Já que se trata de um alto nível de agregação (12 setores), e para manter a simplicidade, todos os resultados, exceto os multiplicadores de emprego, foram arredondados para duas
casas decimais. Escolheu-se α de maneira a se obter intervalos de confiança (IC) de 95% de
confiança. Os valores “observados” (modelo insumo-produto tradicional), calculados na seção
anterior, são reproduzidos novamente para fins de comparação com os valores “esperados”.
Tabela 4.4: Intervalos de confiança dos multiplicadores para o Brasil em 2000.
Atividade
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
Valor Obs.
(Produção)
1,67
1,82
2,12
1,73
1,80
1,42
1,74
1,70
1,68
1,08
1,66
1,50
(Renda)
0,31
0,21
0,27
0,23
0,23
0,30
0,32
0,27
0,39
0,03
0,37
0,54
Valor Esp.
IC 95%
1,68
1,83
2,13
1,73
1,80
1,42
1,74
1,70
1,68
1,08
1,66
1,50
[1,48 ; 1,90]
[1,67 ; 2,01]
[1,78 ; 2,60]
[1,52 ; 2,00]
[1,57 ; 2,06]
[1,35 ; 1,50]
[1,57 ; 1,94]
[1,55 ; 1,87]
[1,53 ; 1,86]
[1,06 ; 1,09]
[1,52 ; 1,83]
[1,42 ; 1,60]
0,31
0,21
0,28
0,23
0,23
0,30
0,32
0,27
0,39
0,03
0,37
0,54
[0,28 ; 0,34]
[0,19 ; 0,24]
[0,23 ; 0,34]
[0,20 ; 0,26]
[0,20 ; 0,27]
[0,29 ; 0,32]
[0,29 ; 0,35]
[0,25 ; 0,30]
[0,35 ; 0,42]
[0,03 ; 0,03]
[0,34 ; 0,39]
[0,52 ; 0,56]
Fonte: Elaboração própria.
40
Valor Obs.
(Valor Adi.)
0,89
0,85
0,76
0,88
0,84
0,92
0,88
0,89
0,90
0,99
0,88
0,92
(Emprego)
220.045
33.838
64.040
21.933
75.918
95.508
63.924
44.000
29.688
7.490
95.471
52.498
Valor Esp.
IC 95%
0,90
0,85
0,78
0,89
0,84
0,92
0,89
0,89
0,90
0,99
0,88
0,92
[0,82 ; 0,98]
[0,78 ; 0,92]
[0,63 ; 0,94]
[0,78 ; 1,02]
[0,76 ; 0,94]
[0,89 ; 0,96]
[0,81 ; 0,97]
[0,81 ; 0,97]
[0,82 ; 0,99]
[0,98 ; 1,00]
[0,82 ; 0,95]
[0,88 ; 0,97]
220.268
33.965
64.643
22.087
76.090
95.559
64.065
44.108
29.791
7.500
95.602
52.556
[210.396 ; 231.395]
[28.434 ; 40.207]
[50.008 ; 82.688]
[18.048 ; 27.000]
[68.349 ; 84.792]
[92.561 ; 98.836]
[57.523 ; 71.389]
[37.572 ; 51.248]
[24.472 ; 35.689]
[6.781 ; 8.268]
[90.250 ; 101.690]
[49.374 ; 56.059]
Capítulo 4
Resultados
Tabela 4.5: Intervalos de confiança dos multiplicadores para o Brasil em 2005.
Atividade
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
Valor Obs.
(Produção)
1,82
1,92
2,22
1,74
1,74
1,44
1,86
1,70
1,49
1,09
1,67
1,52
(Renda)
0,30
0,20
0,26
0,18
0,24
0,31
0,30
0,25
0,29
0,04
0,38
0,52
Valor Esp.
IC 95%
1,83
1,92
2,24
1,75
1,75
1,44
1,87
1,71
1,49
1,09
1,67
1,53
[1,58 ; 2,13]
[1,74 ; 2,14]
[1,84 ; 2,78]
[1,55 ; 1,99]
[1,51 ; 2,02]
[1,36 ; 1,53]
[1,63 ; 2,14]
[1,55 ; 1,89]
[1,39 ; 1,61]
[1,07 ; 1,11]
[1,52 ; 1,85]
[1,44 ; 1,63]
0,30
0,20
0,26
0,18
0,24
0,31
0,30
0,25
0,29
0,04
0,38
0,52
[0,27 ; 0,34]
[0,17 ; 0,23]
[0,21 ; 0,33]
[0,16 ; 0,21]
[0,21 ; 0,27]
[0,30 ; 0,33]
[0,27 ; 0,34]
[0,22 ; 0,28]
[0,27 ; 0,31]
[0,03 ; 0,04]
[0,36 ; 0,41]
[0,50 ; 0,54]
Valor Obs.
(Valor Adi.)
0,87
0,84
0,76
0,89
0,83
0,92
0,87
0,88
0,91
0,99
0,87
0,91
(Emprego)
121.092
20.659
38.831
13.532
50.840
60.355
39.632
25.941
14.638
5.603
65.884
32.861
Valor Esp.
IC 95%
0,88
0,84
0,78
0,90
0,84
0,92
0,88
0,88
0,91
0,99
0,87
0,91
[0,79 ; 0,99]
[0,77 ; 0,92]
[0,62 ; 0,96]
[0,79 ; 1,01]
[0,75 ; 0,93]
[0,88 ; 0,96]
[0,79 ; 0,97]
[0,80 ; 0,97]
[0,86 ; 0,97]
[0,98 ; 1,00]
[0,81 ; 0,94]
[0,87 ; 0,96]
121.274
20.760
39.270
13.623
50.957
60.398
39.766
26.029
14.679
5.610
65.976
32.908
[114.787 ; 128.782]
[17.067 ; 25.015]
[30.133 ; 50.898]
[11.178 ; 16.590]
[46.429 ; 56.137]
[58.357 ; 62.673]
[35.052 ; 45.225]
[22.472 ; 30.083]
[12.352 ; 17.235]
[5.057 ; 6.202]
[62.720 ; 69.741]
[30.706 ; 35.324]
Fonte: Elaboração própria.
Nota-se o desvio positivo, ou seja, o valor esperado do multiplicador é maior ou igual ao valor
observado. Entretanto esta diferença é mínima em ambas tabelas.
O ganho, para a análise de insumo-produto, vem da nova informação que é agora disponibilizada: uma medida de variabilidade associada a cada multiplicador, ou seja, seu respectivo
intervalo de confiança. Por exemplo, em 2005, caso a demanda final por produtos do setor de
Indústria extrativa e mineral (A2 ) for estimulada e aumentar em 1 bilhão de Reais, espera-se
que, com 95% de confiança, o número de empregos gerados esteja entre 17.067 e 25.015.
Certos multiplicadores têm IC com limites mais largos que outros. Isto significa que existem
incertezas diferenciadas associadas aos valores esperados de cada multiplicador. Matematicamente, isto decorre do arranjo, em A, de diferentes valores dos coeficientes técnicos, afetando
cada multiplicador de forma diferenciada no proceso de cálculo. Economicamente, estas diferenças nos ICs implicam em uma maior ou menor segurança quanto ao efeito gerado na economia quando do estímulo a demanda de determinado setor. Considerando-se apenas um tipo de
41
Capítulo 4
Resultados
multiplicador por vez, o analista deve agora lidar não mais com apenas 1 critério de escolha
(valor esperado ou observado), o critério associado ao “risco” de tal medida surge naturalmente
como mais um critério de decisão. Esta ideia será um pouco mais detalhada na seção a seguir.
4.3.1
Exemplo: inclusão de uma medida de variabilidade na decisão
A apresentação dos multiplicadores com seus respectivos intervalos de confiança torna a aplicação do modelo de insumo-produto mais condizente com a incerteza presente na economia.
A mensuração da incerteza nos multiplicadores permite que os analistas criem novas regras
de decisão, como, por exemplo, ordenar os setores baseado não apenas no valor observado ou
valor esperado, mas definir a nova ordenação de acordo, por exemplo, com o critério E[mi ] − di ,
e
onde di é a diferença entre o limite superior e o limite inferior do intervalo de confiança para o
multiplicador do setor i. Dessa forma, o novo critério reflete a característica, indesejável para
o decisor, de se ter uma maior incerteza na valoração do multiplicador, preferindo-se uma ponderação entre valor esperado e variabilidade. Este caso é ilustrado com os resultados da tabela
4.6. Deve-se notar a alteração da ordenação causada pela inclusão da medida de variabilidade
no processo decisório. A atividade Indústria extrativa mineral (A2 ) passa da segunda para a
primeira colocação; um salto ainda maior é dado pela atividade Serviços de informação (A8 )
que passa de sexto para segundo colocado e a atividade Transporte, armazenagem e correio
(A7 ) se mantém na posição de número três.
Tabela 4.6: Novo ranking dos multiplicadores de produção para o Brasil 2005.
Atividade
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
Valor esperado E[mi ] − di
e
1,83
1,28
1,92
1,52
2,24
1,30
1,75
1,31
1,75
1,24
1,44
1,27
1,27
1,36
1,71
1,37
1,49
1,27
1,09
1,05
1,67
1,34
1,53
1,34
Fonte: Elaboração própria.
42
Rank
7
1
6
5
9
8
3
2
8
10
4
4
Capítulo 4
Resultados
O mesmo pode acontecer aos outros tipos de multiplicadores (renda, emprego e valor adicionado). Desde que hipóteses ou avaliações sobre os trade-offs do decisor sejam estabelecidas,
outros critérios podem ser construídos e novas ordenações encontradas.
43
Capítulo 5
Considerações finais
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O modelo insumo-produto constitui-se num instrumento importante na previsão e avaliação
de políticas econômicas. A obtenção da base de dados para tal modelo é complexa, incorporando uma aleatoriedade na construção dos coeficientes utilizados, com o consequente impacto
nos resultados. Diferentemtente dos trabalhos realizados no Brasil, esta dissertação explorou
a inserção da incerteza no modelo, considerando os coeficientes técnicos (ai j ) como variáveis
aleatórias. Assim, uma medida de imprecisão foi incorporada e suas implicações foram discutidas a partir da obtenção dos intervalos de confiança para os multiplicadores de produção, valor
adicionado, renda e emprego para o Brasil nos anos de 2000 e 2005.
Esta forma, considerada não usual, de apresentação dos multiplicadores traz consigo uma
melhor representação da realidade do sistema econômico nacional. Do ponto de vista técnico,
permite ser mais rigoroso, já que os erros de medida nos coeficientes são levados em conta;
do ponto de vista decisório, permite que novas regras de decisão que incluam uma medida de
incerteza nos valores dos multiplicadores sejam criadas e exploradas.
Amplia-se assim a maneira de lidar com o processo decisório em planejamento econômico,
já que a utilização dos multiplicadores criados a partir do modelo de insumo-produto estocástico não é difundida no Brasil. Espera-se estimular o debate sobre o uso do modelo de insumoproduto estocástico e incorporar o elemento incerteza no processo de tomada de decisão fornecido
pelo modelo.
Entretanto, algumas limitações estão presentes e servem como motivação para o desenvolvimento de novos trabalhos. Listam-se, a seguir, os seguintes pontos:
• Um problema ainda em aberto é como incluir padrões de incerteza maiores, ou seja,
desvios padrões mais elevados;
• Como estimar uma matriz de desvios para os coeficientes?
• Inserir a incerteza na versão dinâmica do modelo.
44
Referências Bibliográficas
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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[41] IBGE. Matriz de Insumo-Produto Brasil 2000/2005. Contas Nacionais, Rio de Janeiro, n.
23, 2008.
48
ANEXO A
MIP Brasil 2000/2005
ANEXO A: MIP Brasil 2000/2005
Matriz dos coeficientes técnicos diretos Brasil - 2000. Fonte: IBGE [41]
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A1
0,083885
0,006170
0,189737
0,005365
0,000010
0,032000
0,023553
0,002308
0,008610
0,000472
0,002345
0,001077
A2
0,001871
0,048819
0,135207
0,031912
0,009611
0,023431
0,089667
0,023204
0,025761
0,006404
0,052186
0,003467
A3
0,080464
0,037044
0,299383
0,023544
0,001716
0,043904
0,035680
0,011038
0,024735
0,003324
0,027074
0,002371
A4
0,000709
0,008977
0,053444
0,243832
0,000135
0,011457
0,010173
0,013478
0,016007
0,004647
0,046498
0,005316
A5
0,003181
0,013586
0,245885
0,006369
0,037045
0,047210
0,014771
0,001883
0,007915
0,007904
0,029790
0,001622
A6
0,000558
0,000102
0,043689
0,016304
0,000621
0,020611
0,037510
0,013125
0,022079
0,033948
0,059648
0,002317
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A7
0,001977
0,000240
0,154767
0,004576
0,000336
0,045718
0,066943
0,011197
0,022726
0,008150
0,087744
0,003498
A8
0,000688
0,000112
0,053790
0,007276
0,002338
0,014207
0,025675
0,121238
0,021766
0,029050
0,134510
0,003683
A9
0,000571
0,000080
0,044693
0,007228
0,009996
0,011865
0,009691
0,042780
0,157278
0,010157
0,101618
0,002628
A10
0,000083
0,000016
0,006534
0,000413
0,020955
0,001369
0,000900
0,001338
0,002669
0,002040
0,006162
0,000173
A11
0,005777
0,000283
0,134536
0,015805
0,007027
0,028880
0,020812
0,057899
0,010867
0,014992
0,067541
0,002457
A12
0,001297
0,000142
0,048561
0,016433
0,022310
0,011699
0,009687
0,049953
0,056927
0,007004
0,062613
0,001948
49
ANEXO A
MIP Brasil 2000/2005
Matriz dos coeficientes técnicos diretos Brasil - 2005. Fonte: IBGE [41]
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A1
0,087980
0,005968
0,236977
0,005046
0,000006
0,036847
0,020762
0,002688
0,011330
0,001054
0,001997
0,000807
A2
0,001639
0,057047
0,137284
0,039217
0,013294
0,020103
0,100905
0,035883
0,019089
0,006857
0,054581
0,003315
A3
0,082845
0,048429
0,314600
0,028580
0,001219
0,046367
0,034520
0,010724
0,019585
0,004564
0,021745
0,001946
A4
0,000673
0,030832
0,055880
0,220936
0,000083
0,010366
0,016799
0,012309
0,013646
0,002805
0,043139
0,005266
A5
0,002817
0,010049
0,242281
0,001900
0,020328
0,050537
0,013000
0,001701
0,008530
0,000718
0,015620
0,000923
A6
0,000634
0,000090
0,054663
0,016395
0,000745
0,022928
0,044235
0,013881
0,019283
0,021450
0,055412
0,002166
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A7
0,002458
0,000254
0,212063
0,014005
0,000147
0,033923
0,084248
0,011309
0,020529
0,003810
0,058370
0,002840
A8
0,000616
0,000089
0,053131
0,014213
0,004337
0,011904
0,021624
0,163775
0,023663
0,023386
0,089384
0,002764
A9
0,000367
0,000045
0,031683
0,005129
0,005958
0,009041
0,010296
0,039234
0,115650
0,005494
0,070116
0,001857
A10
0,000075
0,000015
0,006518
0,000909
0,022958
0,001437
0,001342
0,001841
0,003452
0,003109
0,010144
0,000271
A11
0,005412
0,000237
0,139179
0,020269
0,006028
0,031151
0,021095
0,056385
0,008751
0,009044
0,056902
0,002166
A12
0,001218
0,000144
0,049189
0,014947
0,023963
0,011821
0,008126
0,044306
0,069091
0,015586
0,068965
0,002029
Representação
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
Atividades
Agropecuária
Indústria extrativa mineral
Indústria de transformação
Produção e distribuição de eletricidade, gás e água
Construção
Comércio
Transporte, armazenagem e correio
Serviços de informação
Intermediação financeira, seguros e previdência complementar
Atividades imobiliárias e aluguel
Outros serviços
Administração, saúde e educação públicas
50
Apêndice A
Coeficientes de Valor adicionado, salários e empregos
APÊNDICE A: COEFICIENTES DE VALOR
ADICIONADO, SALÁRIOS E EMPREGOS PARA O
BRASIL 2000/2005
Coeficientes de Valor adicionado, salários e empregos para o Brasil - 2000.
Fonte: Elaboração própria.
A1
A2
A3
A4
A5
A6
Valor adi.
0,597748 0,463416 0,274893 0,520637 0,500200 0,700990
Salários
0,202661 0,081086 0,104522 0,117050 0,117018 0,232448
Empregos (×10−3 ) 0,183905 0,006718 0,014834 0,005127 0,047300 0,080510
A7
A8
A9
A10
A11
A12
Valor adi.
0,539227 0,522628 0,547375 0,951297 0,569625 0,671422
Salários
0,194092 0,150557 0,250973 0,017171 0,259880 0,449368
Empregos (×10−3 ) 0,035009 0,017832 0,007560 0,004514 0,071046 0,035287
Coeficientes de Valor adicionado, salários e empregos para o Brasil - 2005.
Fonte: Elaboração própria.
A1
A2
A3
A4
A5
A6
Valor adi.
0,540748 0,424217 0,253598 0,530516 0,538056 0,698842
Salários
0,185770 0,065447 0,094552 0,087345 0,135717 0,242168
Empregos (×10−3 ) 0,097598 0,002579 0,008880 0,002808 0,035026 0,050273
A7
A8
A9
A10
A11
A12
Valor adi.
0,505583 0,522033 0,651865 0,941313 0,569734 0,640366
Salários
0,176845 0,134627 0,198168 0,021883 0,283634 0,432397
Empregos (×10−3 ) 0,020957 0,011107 0,004614 0,003228 0,051061 0,021486
51
Apêndice A
Coeficientes de Valor adicionado, salários e empregos
Os coeficientes de Valor adicionado, Salários e Empregos foram calculados pelo autor com
base nos dados publicados pelo IBGE [41].
Representação
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
Atividades
Agropecuária
Indústria extrativa mineral
Indústria de transformação
Produção e distribuição de eletricidade, gás e água
Construção
Comércio
Transporte, armazenagem e correio
Serviços de informação
Intermediação financeira, seguros e previdência complementar
Atividades imobiliárias e aluguel
Outros serviços
Administração, saúde e educação públicas
52