TRIÂNGULO DE PASCAL
C100
C110
C111
C221
C120
0
1
C
1 3 C33
C441
C140
C150
C160
C170
C551
C661
C771
C332
C642
2
105
C
2
156
C
2
217
C
C122
C443
3
105
C
3
206
C
3
357
C
C133
C144
C554
C665
4
156
C
4
357
C
C155
5
217
C
C166
C776
C177
PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL
1) O primeiro e o último elementos de cada são iguais a 1
Cn0  1
Cnn  1
2) Combinações complementares
Observe a seguinte linha do triângulo
1
7
21
35
35
21
7
C73  C74
C C
C C
2
7
1
7
0
7
5
7
6
7
7
7
C C
1
Generalizando
n p
n
C C
p
n
3) Relação de Stifel:
Considere as seguintes linhas do triângulo:
Linha 6:
1
6
15
20
15
6
Linha 7:
1
7
21
35
35
6 + 15 = 21
20 + 15 = 35
C61  C62  C72
C63  C64  C74
Generalizando
p 1
n
C C
p
n
21
Exemplos
p 1
n1
C
C84  C85  C95
10
11
11
C18
 C18
 C19
1
7
1
4) Soma dos termos de cada linha:
Soma:
1 = 20
2 = 21
4 = 2²
8 = 2³
16 = 24
1
1 + 1
1 + 2 + 1
1+ 3 + 3 + 1
1 +4 + 6 + 4 + 1
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1
= 25
32
• Considerando que cada linha do triângulo é formada pelas
combinações de um número natural, podemos concluir:
C  C  C  C  C  ... C  2
0
n
1
n
2
n
3
n
4
n
n
n
n
Potenciação de binômios – Binômio de Newton
• Observe o que ocorre com desenvolvimento de (a+b)n,
sendo “n” um número natural.
(a + b)0 = 1
(a + b)1 =1 a +1b
(a + b)2 =1 a² + 2 ab +1 b²
(a + b)³ = 1a³ + 3 a²b + 3 ab² +1 b³
(a + b)4 =1 a4 + 4 a³b + 6 a²b² +4
4 ab³ + 1 b4
(a + b)5 =1 a5 + 55 a4b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 55 ab4 + 1b5
(a +b)6 =1 a6 + 6 a5b + 15 a4b² + 20 a³b³ + 15 a²b4 + 6 ab5 +1b6
• Considerando que os coeficientes binomiais são combinações
simples, podemos generalizar o desenvolvimento da seguinte
forma:
(a  b)n  Cn0anb0  Cn1an1b1  Cn2an2b2  Cn3an3b3  ... Cnn a0bn
Observações:
1) O desenvolvimento de (a +b)n possui n + 1 termos;
2) Os coeficientes binomiais, que são combinações
simples podem ser escritos de duas formas, observe:
n
C   
 p
Exemplo:
10 10.9.8
3
C10    
 120
3!
3
p
n
3) No desenvolvimento dos binômios (a + b)n e (b + a)n,
encontramos os mesmos coeficientes.
Soma dos coeficientes do desenvolvimento de um binômio:
Considere o desenvolvimento do binômio (2a + 3b)4 :
(2a  3b)4  1.(2a)4 .(3b)0  4.(2a)3.(3b)1  6.(2a)2 .(3b)2  4.(2a)1.(3b)3  1.(2a)0 .(3b)4
(2a  3b)4  1.16a 4 .1  4.8a3.3b  6.4a 2 .9b2  4.2a.27b3  1.1.81b4
(2a  3b)4  16a 4  96a3b  216a 2b2  216ab3  81b4
Soma dos coeficientes = 16 + 96 + 216 + 216 + 81= 625
(2 + 3)4 = 54 = 625