DISCURSIVAS DE MATRIZES – PROFESSOR MARCELO RENATO
1) (Unesp) Dadas as matrizes:
log2 x log2 2x
4
28
A
y , B e C
y
4
10
2
a) Efetue o produto AB.
b) Determine os valores de x e y para que AB = C.
Resolução:
log2 x log2 2x 4
a)
y ?
y
4
2
A
B
log2 x
y
log2 x
y
log2 x
y
log2 (2x ) 4 log2 x (log2 2 log2 x ) 4
y
y
4 y
4
2
2
log2 (2x ) 4 log2 x (1 log2 x ) 4
y
y
4 y
4
2
2
log2 (2x ) 4 4 log x 4 (1 log x )
2
2
y
4y 2y
4
2
log2 x
y
log2 x
y
log2 (2x ) 4 4 log x 4 4 log x )
2
2
y
4y 2y
4
2
log2 (2x ) 4 4 8 log x )
2
y
6y
4
2
b) A B C
C
B
A
4 8 log2 x )
28
6y
10
4 8 log2 x 28 8 log2 x 24 log2 x 3 x 23
6y 10 y 5 / 3
4 8 log2
Respostas: a)
6y
x
b) x 8 e y
5
3
x8
1 2
:
2) (Fuvest-SP) Seja A
0 1
a) Determine A3 A.A.A .
b) Se A n denota o produto de A por A n vezes, determine o valor do número natural k, tal que:
2
AK A 5K A 6 I, onde I é a matriz identidade.
Resolução:
1
A1
0
2
1
2
1
A.A A 2
0
2 1
1 0
A
2 1 4
1 0 1
2 1
1 0
A
4 1 6
1 0 1
2 1
1 0
A
6 1 8
1 0 1
3
1
A.A 2 A 3
0
4
1
A.A 3 A 4
0
1
Conclusão: A n
0
1 2.k 2
2
2.n
1 10.k
1 12
; A 5.k
A k
e A 6
0
0
1
1
0
1
1
1 2.k 2
2
1 10.k 1 12
1 0
AK A5K A 6 I
0
1
0
1
0 1
0
1
Ak
2
A 5.k
2.k 2 10.k 12 0 (2)
k 2 5.k 6 0
1
Respostas: a)
0
6
1
k 2 ou k 3
b) k = 2 ou k = 3.
A6
I
3) (FGV-SP 2009-2)
1
1
2
11
A. Determine a e b de forma que a matriz A
verifique que A 2A e depois calcule A .
2a 0,5 b
B. Nos meses de abril e maio, uma família adquiriu as mesmas quantidades de açúcar, arroz e feijão em um
mesmo supermercado, mas os preços sofreram uma leve alteração:
Mediante um produto de matrizes, expresse, por meio de uma matriz, quanto a família gastou em cada mês.
Resolução:
a) Verificando A 2 2A
1 1
1
1
1
1
2
2a 0,5 b 2a 0,5 b
2a 0,5 b
1 b / 2 2 2
1 2a
2
2a ab 2a b / 4 4a b
Resolvendo a igualdade: a = 0,5 e b = 2
1 1
Assim, A
1 1
1 1
1
A
1
1
A
A
1
1 1 1 1 2 2
21
2 2
A 1 1
1 1 1 1 2 2
2 2
2
A A
2
1 1 2 2 4 4
3 2
A 2
1 1 2 2 4 4
2
22
22
POR INDUÇÃO
A3
A
3
1 1 4 4 8 8
23
4 2
A 3
23
1 1 4 4 8 8
2
A
n 1
n 1
2
2
n
n 1 1 1
An
A 2
n
1
n
1
2
1 1
2
Podemos afirmar que A11 210 A , ou seja, A11 1024 A .
b) Considerando G a matriz resultado do produto entre a matriz-quantidade e a matriz-preço:
1,00 1,20
G 4 5 6 2,50 2,00 G 34,50
3,00 3,00
Respostas: A) a = 0,5 e b = 2
B)
32,80
34,50
maio
abril
32,80 .
1
4) (UFES modificada) Considere a matriz A
3
a) Determine A12
3
.
1
b) Determine A 2010 .
a)
A1 A1 A 2
A1 A 2 A 3
1
3
1
3
3 1
3 2
2 3
1 3
1 2 3
2
0
3 2
2 3 8
A 3 8 I2
0
8
1 2 3
2
Consequentemente, A12 ( A 3 )4
A12 ( 8 I2 )4 A12 ( 8)4 ( I2 )4 A12 (23 )4 I A12 212 I
4096
A12
0
b)
A 2010 A 3 670
A 2010 ( 8 I2 )670 A 2010 ( 8)670 ( I2 )670 A 2010 (23 )670 I A 2010 22010 I
22010
A 2010
0
0
2
2010
4096
Respostas: 2 a) A12
0
0
.
4096
22010
2 b) A 2010
0
5) (ITA-SP/2000 modificada) considere as matrizes:
1 1 3
M 0
1
0 , N
2
3
1
1
3
1
0
.
2
2010
2
0
x
0 , P 1 e X y
0
z
1
2
2
2
1
Se X é a solução de ( M N X P ), então determine o valor de x y z .
0
2
1
Resolução:
IDENTIDADE
1
M N X P
( M M1) N X M P
N X MP
1
N X 3
1
0
2
1
1
M P 0
2
1
1
3
2 x
1 x 0 y 2 z
x 2z
0 y N X 3 x 2 y 0 z N X 3 x 2y ................... ( 1 )
1 x 1 y 1 z
x y z
1 z
3 0
1 0 1 1 3 0
1
0 1 M P 0 0 1 1 0 0 M P 1 ............................. ( 2 )
2 0 3 1 1 0
3
1 0
0
4096
Fazendo-se ( 1 ) = ( 2 ):
x 2z 1
3 x 2y 1
x y z 3 ( 2 )
3 x 2y 1
( )
2x 2y 2z 6
x 2z 1
N X 3 x 2y 1 M P
x y z 3
x 2z 1
3 x 2y 1
2x 2y 2z 6
x 2z 5
( )
x 3 e z 1
x 2z 1
Em x y z 3 3 y 1 3 y 5
Assim: x 3 , y 5 e z 1
Então: x 2 y 2 z2 (3)2 ( 5 )2 ( 1 )2 x 2 y 2 z2 35
Resposta: 4) x2 y2 z2 35
6) (Davinci 2011) Resolva o sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y, usando o conceito de matriz inversa:
2x y 1
.
5x 3y 4
Resolução:
2
O sistema dado pode ser escrito na forma de equação matricial:
5
2 1 x 1
Denominando as matrizes de:
5 3 y 4
B
A
1 x 1
3 y 4
C
A B C
1
(
A
)
A B ( A 1) C , onde “I” é a matriz identidade de ordem 2;
I
I B ( A 1) C
B ( A 1) C ............................ ( 1 )
Calculando a matriz inversa da matriz “A”:
A ( A 1) I
2
5
1 a
3 c
b 1
d 0
0
1
2a c 1
5a 3c 0
2b d 0
5b 3d 1
a3
c 5
b 1
d2
3
Logo, A 1
5
1
2
(1)
Em (1):
B ( A 1) C
( A 1) C B
1 1 x
3
2 4 y
5
3 4 x
1
5 8 y
3
x
y
Assim: x = – 1 e y = 3 .
Resposta: S { ( 1 , 3 ) }
7) (IME-RJ) Determine uma matriz não singular P que satisfaça a equação matricial
6 0
1
, onde A
P1 A
0 1
5
2
.
4
Resolução:
6
P P 1 A P
0
I
0
1
2
6
A P
0
2 a
4 c
b 6
d 0
1
5
2 6a
4 6c
b
d
a
0
1
0
1
1
5
6a 1
6
I
2 A P
0
A
0
1
1
; b 2
6
1
Resposta: P 6
5
6
2
.
4
1
5
2 a 6 b 0
4 c 6 d 0
b 2 ; 6c 5
c
a 0 b ( 1)
c 0 d ( 1)
5
; d 4
6
d 4 .
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