MATEMÁTICA – LISTA DE EXERCÍCIOS – MATRIZES E DETERMINANTES I
PROF: Claudio Saldan
CONTATO: [email protected]
01 - (UFU MG) Seja A uma matriz de terceira
ordem com elementos reais. Sabendo-se que
 1   −1 
  

A. 0  =  4  ,
 0   2 
concluiu-se que –1, 4 e 2 são
elementos da
a)
diagonal da transposta de A
b)
primeira coluna da transposta de A
c)
primeira linha da transposta de A
d)
última linha da transposta de A
 x 0
02 - (UNIFOR CE) Sejam as matrizes A = 
,
2 1
2 1
B=

 y 0
2 1
e C= 
 . Se A . B = C, então é
3 z 
verdade que
a)
x=y
b)
z = 2y
c)
x+y=1
d)
y+z=0
e)
x . y = −1
03 - (UFRRJ) Dadas as matrizes A = (aij)2x2, onde,
a ij =
1 0 
i + 2j
 pode-se afirmar que a matriz
, B = 
j
1 1 
Xt, onde B² + X = 2A é:
a)
b)
c)
d)
e)
5

5
5

6
6

5 
5

5 
2

3
2

5
3

5
5

0 
3

6 
a)
b)
c)
d)
e)
05 - (UNESP SP) Se A, B e C forem matrizes
quadradas quaisquer de ordem n, assinale a única
alternativa verdadeira
a)
AB = BA
b)
Se AB = AC, então B = C
c)
Se A² = On (matrix nula), então A = On.
d)
(AB)C = A(BC)
e)
(A + B)² = A² + 2 AB + B²
06 - (UNIFICADO RJ) Cláudio anotou as suas
médias bimestrais de matemática, português,
ciências e estudos sociais em uma tabela com
quatro linhas e quatro colunas, formando uma
matriz, como mostra a figura:
1º b
2º b
3º b 4º b
matemática  5,0

português  8,4
ciências  9,0

est. sociais  7,7
4,5
6,5
7,8
5,9
6,2
7,1
6,8
5,6
a)
b)
04 - (CEFET PR) Considere as seguintes matrizes:
c)
 i+ j

A = (aij)3x3 em que a ij = 
i 2 − j2

d)
se i ≥ j
se i < j
B = (b ij ) 3x1 , em que b ij = x i
Se A . B = C, x3 será igual a:
5,9 

6,6 
8,6 

6,2 
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o
mesmo peso, isto é, para calcular a média anula do
aluno em cada matéria basta fazer a média
aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar
uma nova matriz cujos elementos representem as
médias anuais de Cláudio, na mesma ordem acima
apresentada, bastaria multiplicar essa matriz por:
6

5 
 − 10 


C =  −8  .
 2 


1
-1
0
-2
2
e)
1
2
1
4

1
 12 
2
1
2
1
2
1
4
1
 14 
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4 
 0 2
.
 2 0
07 - (FGV) Considere a matriz A =  1
Obtenha as matrizes:
a)
A² + A³
b)
10
∑A
j
1 1
11 - (UFC CE) Considere a matriz A = 
 de
0 1
ordem 2x2. Então pode-se afirmar que a soma A +
A2 + ... + An é igual a:
a)
j=1
b)
08 - (UNIFOR CE) Os números reais x e y que
satisfazem
a
equação
x
y −1 



c)

matricial y x + 2 . −13 =  −52 são tais que


a)
x=y= 2
b)
x = y = -2
c)
x−y= 0
d)
x+y= 0
e)
x = 2y
d)
e)
1 n 


0 1 
n n 2 


 0 n 
1 n (n + 1) / 2


n
0

 n ( n 2 + n ) / 2


n
 0

n n 


0 n 
12 - (INTEGRADO RJ) Considere as matrizes
09 - (UNESP SP) Considere as matrizes reais
 x2
A=
 2

4 z 
0 
 .
e B = 

y + z
y − x
t
Se A = B (transposta de B), o determinante da
 x y − 1


matriz  z 1 1  é igual a
4 5 2 


a)
b)
c)
d)
e)
–1
0
1
2
3
 3

A= 2
 0
5 
4

1 , B= 
3
- 1 
e C = [2 1 3].
A adição da transposta de A com o produto de B
por C é:
a)
impossível de se efetuar, pois não existe o
produto de B por C.
b)
impossível de se efetuar, pois as matrizes
são todas de tipos diferentes.
c)
impossíveis de se efetuar, pois não existe a
soma da transposta de A com o produto de B por C.
d)
possível de se efetuar e o seu resultado é do
tipo 2 x 3.
e)
possível de se efetuar e o seu resultado é do
tipo 3 x 2.
1 1
10 - (UFC CE) Considere a matriz A = 
 de
0 1
ordem 2x2. Então pode-se afirmar que a soma A +
A2 + ... + An é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
13 - (UNIRIO RJ) O produto das matrizes A =
a b 
c d

 eB= 
 é tal que:
b a 
d c 
 ac bd 
a)
A.B = 

bd ac 
1 n 


0 1 
n n 2 


 0 n 
b)
1 n (n + 1) / 2


n
0

A.B = 

bd ac 
c)
B.A = 

bd + ac
d)
B.A = 

abcd abcd 
A.B = B.A, para quaisquer valores de a, b,
 n ( n 2 + n ) / 2


n
 0

n n 


0 n 
e)
c, d.
 ad bc
ac + bd 
abcd abcd 
14 - (UNIFICADO RJ) Na área de informática, as
operações com matrizes aparecem com grande
freqüência. Um programador, fazendo levantamento
dos dados de uma pesquisa, utilizou as matrizes:
1 3 2
5 2 1
2 1 2 ; C = A x B. O
A=
;
e
B
=



3
1
4


1 1 1
elemento C23 da matriz C é igual a:
a)
18
b)
15
c)
14
d)
12
e)
9
19 - (PUCCampinas SP) A matriz A de ordem 2 x
3 definida por aij = i . j é dada por:
1 3
− 1 0
eB= 
 , então o valor de AB - BA é:
 3 1
a)
a matriz nula
9 6
−4 −9 
7 5
− 4 − 9 
0 3
6 1
c)
d)
e)
16
nenhuma das anteriores
-
Na
(UFPB)
equação
matricial,
 1 2   x  0 

   =   , calcule x e y.
 3 4   y   2
17 - (ITA SP) Dadas as matrizes reais:
y 
2 x 0
2 3



A=y 8 2 e B=0 8
2 
 1 3 1 
 x 3 x − 2 
analise as afirmações:
I.
A=B⇔x=3ey=0
II.
A + B =  1 16 4  ⇔ x = 2 e y = 1
4
III.
5
 −1 3 2


B =  0 1 2  , determine o valor do módulo do
− 2 1 1


elemento a12 da matriz produto A por B.
15 - (UNIMEP RJ) Dadas as matrizes A = 

 2 1
b)
18 - (UFSC) Dadas as matrizes A = (3 -4 6) e
1
 3 6 1 
0 1
A  1  =  3  ⇔ x = 1
 0   3 
e conclua
a)
Apenas a afirmação II é verdadeira
b)
Apenas a afirmação I é verdadeira
c)
As afirmações I e II são verdadeiras
d)
Todas as afirmações são falsas
e)
Apenas a afirmação I é falsa
2
a)
1
1
b)
2
1
c)
2
1
d)
1
 -2
e)
 -1
4 6

2 3 
2 6

4 12 
2 3

4 6 
20
-
1 1

2 3 
-4 -6 

- 2 - 3 
(UFBA)
A
matriz
2
x
3,
com
 a ij = 2i − j, se i ≠ j

 a ij = i + j, se i = j é:

2 0


a) - 3 4 
 -1 1 


2

b) 0
1

2

c) 0
1

3

4
1 
3

4
2 
2
d)
3
2
e)
- 3
0 - 1

4 1 
0 - 1

4 1 
21 - (UNIUBE MG) Se A = (aij) é a matriz
quadrada de ordem 2, tal que aij = ij, para todo
i,j∈{1;2}então
1
a) A = 
2
1
b) A = 
1
1
c) A = 
2
1

4
2

4
2

4
1 2 
d )A = 

2 1 
1 4
e) A = 

1 2
2
1
22 - (PUC RJ) Se A = 
,
3 − 1
4
C=
2
X−A
2
 28
a) 
 24
 28
b) 
 23
 28
c) 
 25
 28
d) 
 30
-1 2 
B=

 1 − 0
x
- 1
 então a matriz X, de ordem 2, tal que
1
X+B
+C
3
2

3 
1

3 
1

3 
=
y
 qual a
24 - (UFU MG) Dada a matriz A = 
z t 
afirmativa certa?
e
 x -y 

a) A t = 
- z - t
 x 2 y2 

b) A 2 =  2
z
t 2 

é igual a:
1

3 
 28 1 

e) 
 22 3 
c) A
= -A
1
d) A .
0
1
e) A .
0
0
=A
1 
0  x 0
 = .

1   0 t 
então a matriz X tal que A + B – C – X = 0 é:
25 - (MACK SP) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma
matriz n x m, então:
a) Existe A + B se, e somente se, n=4 e m =3;
b) Existe AB se, e somente se, n=4 e m=3;
c) Existem AB e BA se, e somente se, n=4 e m=3;
d) Existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se,
A=B;
e) Existem, iguais, AB e BA se, e somente se,
A=B.
 31
 
a = -6
 17 
 
26 - (UFRN) A solução da equação matricial
23 - (PUC RJ) Se
 25 
 5
 
 
A =  12  , B =  - 8 
 13 
3
 
 
e
 - 1
 
C =  10 
 -1 
 
2   x + 1 x + 4
 -1

 =

2
x
x
− 2   3x + 4
2 

 17 
 
b =-6
 31 
 
a)
b)
c)
d)
e)
 - 31


c =  -6 
 - 17 


21
 
 
d = -6
 17 
 
é um número:
maior que –1;
menor que –1;
maior que 1;
entre 1 e –1;
entre 0 e 3;
 31
 
e= 0 
 17 
 
GABARITO:
01
02
C
E
14
15
D
B
03
A
16
*
04
A
17
A
05
D
18
11
06
E
19
C
07
*
20
D
*
07) a)
 1 2
1
 b)
 2 1 
 5 10
5
;
 2 5 
16) x = 2, y = -1
08
D
21
A
09
B
22
B
10
D
23
A
11
D
24
D
12
D
25
C
13
E
26
B