RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS E
CRIATIVIDADE
Metodologia de resolução de problemas como uma atividade
de investigação
Antonio Carlos Brolezzi
http://www.brolezzi.com.br/cogeae/
[email protected]
Os problemas não-rotineiros são bem importantes para
a aprendizagem da matemática completa, não aquela
constituída apenas de fórmula e definições, mas
aquele que ajuda a resolver problemas.
Por isso, vamos ver o que podemos fazer com o seguinte
problema:
Uma camponesa necessitava de 5 litros de água
para fazer uma receita de pães. Utilizando
apenas suas duas jarras de barro sem marcas,
uma para 7 litros e outra para 3 litros, como
conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade
de água que desejava?
Uma camponesa necessitava de 5 litros de água
para fazer uma receita de pães. Utilizando
apenas suas duas jarras de barro sem marcas,
uma para 7 litros e outra para 3 litros, como
conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade
de água que desejava?
Uma camponesa necessitava de 5 litros de água
para fazer uma receita de pães. Utilizando
apenas suas duas jarras de barro sem marcas,
uma para 7 litros e outra para 3 litros, como
conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade
de água que desejava?
George Polya propõe várias técnicas de resolução de
problemas. Uma delas é a de transformar o problema
em outro, eventualmente mais fácil de se resolver.
Por exemplo:
Uma camponesa necessitava de 4 litros de água
para fazer uma receita de pães. Utilizando
apenas suas duas jarras de barro sem marcas,
uma para 7 litros e outra para 3 litros, como
conseguiu trazer da fonte apenas a quantidade
de água que desejava?
Parece uma coisa a toa, mas trata-se de uma ferramenta
desenvolvida resolvendo um problema simples que
pode ser aplicada na resolução de outros problemas
mais complexos. Outro exemplo, se a camponesa
quisesse 1 litro, o que poderia fazer?
Claro, poderia jogar fora os 4 litros e começar a tentar
de novo.
Ou então, jogar o de 4 litro no de 3 (devidamente
esvaziado, claro) e então, obteria 1 litro.
Mas sempre pode começar de novo. Isso lembra a
história do matemático...
Essa idéia de transformar um problema em outro mais
simples, de forma a que se possa desenvolver uma
técnica para ser aplicada no problema original, é o
que se chama de heurística.
Heurística significa “a arte da descoberta”. Consiste em
estratégias ou táticas de resolução de problemas. É a
arte de inventar, de fazer descobertas. É possível
também dizer uma heurística, ou as heurísticas,
referindo-se às técnicas ou métodos, mesmo
informais, que podem servir para se obter a solução
de um problema.
Heurística vem do grego εύρηκα (eureka) que significa
“Eu descobri”!, a famosa frase de Arquimedes quando
ele resolveu o problema da coroa do rei Hierão II de
Siracusa.
Conta-se que o rei mandou os ourives fazerem uma
coroa para ele, mas ficou desconfiado de que
tivessem porventura roubado um pouco do ouro dele,
fazendo a coroa com uma mistura de ouro e prata.
Mas, como descobrir isso? Bastava pesar a coroa, e
comparar o peso com o que se espera que seria o
peso do mesmo volume de ouro. O problema é como
calcular o volume de uma coroa, com todas as suas
reentrâncias e saliências.
Arquimedes estava com este problema na cabeça, e fez
algo que toda gente pode fazer também quando tem
um problema difícil para resolver – ele foi tomar um
banho. Não um banho qualquer, mas um belo banho
de imersão.
Ocorre que ele percebeu que a água da banheira
derramou quando entrou nela.
Pensou: o volume do líquido que sai da banheira deve
ser equivalente ao volume do meu corpo – ou, pelo
menos, da parte do corpo dele que estava dentro da
água – considerando que ele não se afogou.
O que entrou de corpo na água, é igual ao que saiu de
água da banheira.
Assim, segundo se conta, ele teve o vislumbre de que
poderia resolver o problema da coroa do rei.
Bastava mergulhá-la em um recipiente com água, e o
que fosse deslocado de água, corresponderia ao
volume da coroa.
Claro, se a coroa flutuasse, também poderia perceber
que não era feita de ouro, mas seria uma falsificação
barata feita de plástico. Isso seria muito improvável,
pois a história de Arquimedes se passa em 153 aC e
o plástico foi inventado em 1890 (a coroa de plástico
deve ter sido inventada depois, mas eu não sei a data
exata).
O mais provável é que a coroa tivesse sido falsificada
com uma mistura de ouro e prata. Bem, isso não
importa muito agora.
O que interessa é que
se conta que
Aquimedes, tão
entusiasmado por
ter resolvido um
problema, saiu da
banheira nu como
estava e foi direto
ao palácio do rei
contar sua
descoberta.
E foi gritando pelas
ruas de Siracusa:
“Eureka! Eureka!”
Quer dizer: “Descobri!
Descobri!”
Quem relata esta história sobre Arquimedes é um
arquiteto romano, Marcus Vitruvius Pollio, do século I
a.C. Ele escreveu isso uns 200 anos depois do fato.
Esta história pode muito bem não ser verdadeira, pois o
método não funcionaria, devido a tensão superficial
do líquido.
Atribui-se a Arquimedes outros métodos de resolver o
problema, pesando a coroa no ar e dentro da água.
Certo mesmo, é que Arquimedes publicou uma obra
chamada Sobre Corpos Flutuantes em que dá o
princípio da hidrostática, ou princípio de Arquimedes
(lei do empuxo), que diz que todo corpo imerso, total
ou parcialmente, num fluido em equilíbrio, sofre a
ação de uma força vertical, para cima, aplicada pelo
fluido. Essa força é denominada empuxo, cuja
intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo
corpo.
Observe que aqui se fala de força, e a história da coroa
se refere apenas ao volume da água deslocada.
O relato sobre Arquimedes mostra a forma como nossa
se vê a resolução de problemas – a felicidade que nos
vem de resolver um problema.
Mas também mostra que a resolução de problemas pode
vir de uma prática de distração – como tomar um
banho.
Nem sempre as circunstâncias nos permitem pensar
diretamente sobre o problema, com toda a calma e
tranqüilidade necessárias. Mas isso não
necessariamente é ruim.
Voltando ao filme cultural Duro de matar III, vemos uma
cena em que um problema parecido com o da
camponesa é resolvido sob grande tensão.
Um dos enigmas é uma versão com dois potes
transparentes em uma fonte de praça.
O problema que parece ter inspirado o roteirista é o
seguinte:
Dois ladrões roubaram um garrafão cheio com 8
litros de vinho, sem marcas. Para dividi-lo, só
tinham outros dois garrafões vazios sem
marcas, um de 5 litros e outro de 3 litros. Como
conseguiram fazer a divisão do vinho em partes
iguais?
Quando entramos nas técnicas de resolução de
problemas, o que vemos é que os problemas se
agrupam em famílias, e que para resolver um
problema muitas vezes é necessário resolver outro
semelhante.
Um empresário inglês saía
diariamente às 16 horas de sua
firma. Seu motorista chegava com
seu carro pontualmente a essa
hora no portão da empresa para
transportar Mr. Holmes até sua
residência. Um dia houve greve
geral, e Mr. Holmes, não querendo
avisar o motorista, saiu às 15
horas e foi andando a pé pelo
caminho habitualmente
percorrido pelo motorista.
Encontraram-se em certo
momento, e Mr. Holmes terminou
o percurso de carro, chegando em
casa meia hora mais cedo que de
costume. Por quanto tempo Mr.
Holmes andou a pé?
Ao invés de ficar resolvendo por meio de tentativa e
erro, acho melhor empregar a técnica de resolver um
problema parecido. Este problema é muito parecido
com o seguinte (que deve ser resolvido de forma
tranqüila, espero):
Todo dia, João vai trabalhar a pé e volta de
bicicleta ou vai de bicicleta e volta a pé, levando
sempre uma hora entre ida e volta. Se ele fosse
e voltasse de bicicleta, levaria 30 minutos.
Quanto tempo levaria se ele fosse e voltasse a
pé?
É esse tipo de problema que eu considero mais
interessante para desenvolver as heurísticas.
Você é quem tem que construir os caminhos para poder
resolver os problemas.
É preciso fazer inferências sobre situações dinâmicas
bem pouco claras.
Isso é uma atividade fundamental na Matemática.
Em um livro de geometria, encontrei exercícios muito
interessantes para desenvolver esta capacidade de
tirar conclusões a partir de enunciados incompletos
ou ambíguos.
O autor desse livro parece ser muito criativo e também
entender bem que a atividade de elaborar
demonstrações geométricas exige habilidades mais
gerais ligadas às atividades de interpretação dos
dados de um enunciado ou de uma situação qualquer.
Ele começa o livro fornecendo ao leitor problemas cujo
enunciado é tirado de um livro de fantasia, O Hobbit,
de Tolkien.
6. Leia o texto abaixo com atenção:
— Excelente! — disse Gandalf, enquanto saía de trás de
uma árvore e ajudava Bilbo a descer de um
espinheiro. Então Bilbo entendeu. Fora a voz do mago
que mantivera os trolls discutindo e brigando, até que
a luz chegou e acabou com eles.
O próximo passo foi desamarrar os sacos e libertar os
anões.
Estavam quase sufocados, e muito furiosos: não tinham
gostado nada de ficar ali jogados, ouvindo os trolls
fazendo planos de assá-los e esmagá-los e fazer
picadinho deles. Tiveram de ouvir o relato de Bilbo
sobre o que lhe acontecera duas vezes antes de
ficarem satisfeitos.
O Hobbit. J.R.R. Tolkien
Baseando-se exclusivamente no trecho acima, assinale
as afirmações que se seguem com V (verdadeira), F
(falsa) ou I (incerta).
( ) 1. A voz do feiticeiro manteve os trolls brigando.
( ) 2. Bilbo sabia o tempo todo o que estava
acontecendo.
( ) 3. Os trolls planejavam o que iam fazer com os
anões.
( ) 4. Os anões não conseguiam ouvir nada enquanto
estavam dentro dos sacos.
( ) 5. Os anões não acreditaram logo em Bilbo.
( ) 6. O nome do feiticeiro era Gandalf.
( ) 7. Bilbo tinha trepado num arbusto espinhoso.
( ) 8. Gandalf estava escondido atrás de uma árvore.
( ) 9. Eram sete anões.
( ) 10. Trolls são horríveis criaturas noturnas.