Unidade 9 - Cones
Definição
Medida da superfície
(área) de um cone reto
Volume do cone
Definição
Considere uma região circular C contida em
um plano α e um ponto V não pertencente a
esse plano.
Definição
O conjunto de todos os segmentos de reta
que têm uma extremidade no ponto V e a
outra em um ponto da região C é
denominado cone circular.
Definição – principais elementos
Vértice: é o ponto V
Altura (h): é a região circular
contida no plano α.
Geratriz (g): são os
segmentos com
extremidades no plano V e
em um ponto da
circunferência que limita a
base.
Eixo (e): é a reta
determinada pelo ponto V e
pelo centro da base.
Grupos de cones
Cone reto: o eixo é
perpendicular ao plano
da base
Cone oblíquo: o eixo
não é perpendicular ao
plano da base.
Medida da superfície (área) de um cone
reto
Para calcular a medida da superfície de um
cone reto, podemos realizar um
procedimento análogo àquele realizado para
um cilindro reto
Para você fazer
Observe o cone reto “oco” da figura ao lado,
feito com cartolina, cuja altura mede 8 cm e
cujo raio da base mede 6 cm:
Para você fazer
a)
b) A medida do raio do setor
circular é igual à medida da
geratriz do cone, ou seja,
10cm.
O comprimento do arco relativo
ao setor é igual ao
comprimento da circunferência
que limita a base do cone, ou
seja, 2.π.6 = 12π cm
c) Podemos determinar a área do setor
circular por meio de uma regra de
três simples e direta, que nada
mais é do que uma proporção
existente entre o comprimento e a
área do mesmo círculo.
Comprimento
Área
2π10
π10²
12π
Ssetor
Ssetor = 60π cm²
d) A área da base do cone é π.6² =
36π cm²
e) A área total do cone é 36π + 60π
= 96π cm²
Resolução de atividade
Página 27
Volume do cone
Para determinarmos a expressão que
fornece o volume de um cone, podemos
considerar um cone e uma pirâmide cujas
alturas têm a mesma área, ambas contidas
em um plano α.
Volume do cone
Qualquer plano b paralelo ao plano a determina no
cone e na pirâmide duas regiões A1 e A2 tais que A1
= A2, pois as superfícies das bases são iguais a A.
Assim, pelo Princípio de Cavalieri, temos que:
Vcone = V pirâmide
1
Vcone = .S B .h
3
Como a área da base de um cone é
igual a µ .R 2 , temos que
1
Vcone = .µ.R 2 .h
3
Para você fazer
Uma casquinha de sorvete tem o formato de um cone reto cujo
diâmetro da base mede 6cm e cuja geratriz mede 15 cm (medidas
internas). Qual é o volume, em mL, da casquinha? (utilize: p =3,14 e √6
= 2,45)
Podemos determinar a medida da altura h
por meio do Teorema de Pitágoras:
15² = 3² + h² → h = 6√6
Vcone
Vcone
Vcone
1
= .µ .R 2 .h
3
1
= .3,14.3².6 6
3
≅ 138,5mL
Resolução de atividades
Página 28 e 29
Nota livre – página 29 e 30