Aulas Práticas de Matemática I
Mestrado em Arquitectura
1o Semestre
Ficha 8
1) Calcule as derivadas das funções F : R → R definidas por:
a) F (x) =
Z
Z
x
et dt; b) F (x) =
x2
sin(t)dt; c) F (x) =
x3 +1
cos(t)dt.
x3 −1
0
0
Z
2) Calcule os integrais:
a)
Z
1
0
d)
Z
π/2
¡ 3
¢
x + 3x dx; b)
sin (x) dx; e)
0
Z
π/2
0
3) Calcule o integral
Z
Z
4
1
Z
³√ ´
x5 dx; c)
e
1
¡ ¢
x cos x2 dx; f)
Z
0
1
1
dx;
x
ex
dx.
+1
ex
2
f (x)dx,
−1
quando f : [−1, 2] → R está definida por:
( 3
f (x) =
x +x
|x|
se x 6= 0
.
0 se x = 0
4) Determine a área da região de R2 delimitada pelas curvas y = x2 e
y = x3 .
5) Determine a área da região de R2 delimitada pelas curvas y = ex , x = 0,
x = 1 e y = x.
6) Determine a área da região de R2
|x| sin(x), y = 0, x = π/2 e x = −π/4.
delimitada pelas curvas y =
7) Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação
do conjunto
S=
½
¾
1
(x, y, z) : x ∈ [0, 2] ∧ 0 ≤ y ≤ x ∧ z = 0
3
1
em torno do eixo dos xx.
8) Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação
do conjunto
n
o
p
S = (x, y, z) : x ∈ [−2, 2] ∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x2 ∧ z = 0
em torno do eixo dos xx.
9) Determine o volume do sólido de revolução obtido pela rotação
do conjunto
S=
(
)
x2
(x, y, z) : x ∈ [−3, 3] ∧ 0 ≤ y ≤ 2 1 −
∧z =0
9
r
em torno do eixo dos xx.
Soluções
1a) ex ; 1b) 2x sin(x2 ); 1c) 3x2 cos(x3 + 1) − 3x2 cos(x3 − 1).
2a) 74 ;2b)
3)
10
3 ;
4)
254
7 ;2c)
1
12 ;
1;2d) 1;2e)
5) e − 32 ; 6)
1
2
1
2
sin 14 π 2 ;2f) log (e + 1) − log 2.
√
√
2 − 18 π 2 + 1; 7)
2
8
27 π;
8)
32
3 π;
9) 16π.