Gráficos
01. (UNIRIO
(UNIRIO - Adaptada)
Adaptada) Considere a função real
03. (UERJ
(UERJ)
UERJ) Considere a função f, definida para
f: A→R, onde R denota o conjunto dos números
todo x real positivo, e seu respectivo gráfico.
reais, cujo gráfico é apresentado a seguir, sendo o
eixo das ordenadas e a reta de equação y=3,
assíntotas da curva que representa f.x→y = f(x)
Se a e b são dois números positivos (a<b), a área
do retângulo de vértices (a,0), (b,0) e (b,f(b)) é
igual a 0,2. Calcule a área do retângulo de vértices
a) Esboce o gráfico de: g: B→R x→y = f(x-2) - 4,
(3a,0), (3b,0) e (3b,f(3b)).
destacando suas assíntotas.
b) Considerando que f(x) = (1/x) + 3 determine o
04. (UERJ
(UERJ - Adaptada)
Adaptada) O gráfico a seguir
conjunto B, domínio de g.
representa o número de pacientes atendidos mês
c) Com base no item anterior, determine a raiz da
a mês, em um ambulatório, durante o período de 6
função g
meses de determinado ano.
02. (UFRJ
(UFRJ)
UFRJ) A figura adiante representa o gráfico
de
certa
função
polinomial
f:R→R,
que
é
decrescente em [-2, 2] e crescente em ]-¶, -2] e
em [2, +¶[.
a) Determine o número total de pacientes
atendidos durante o semestre.
b) Determine a média mensal de atendimentos no
semestre apresentado
c) No mínimo quantos pacientes deveriam ser
Determine todos os números reais c para os quais
atendidos no mês de julho de modo que a média
a equação f(x) = c admite uma única solução.
de atendimentos dos sete primeiros meses do ano
Justifique.
apresentado ultrapasse 60
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1
Gráficos
05. (UFRJ
(UFRJ)
UFRJ) Considere as funções polinomiais f, g e
07. (UNICAMP
(UNICAMP)
UNICAMP) O gráfico adiante fornece a
h, cujos gráficos são dados a seguir.
concentração de CO‚ na atmosfera, em "partes
por milhão" (ppm), ao longo dos anos
Determine os valores reais de x no intervalo [-5,5]
para os quais valem as desigualdades:
a) Qual foi a porcentagem de crescimento da
f(x) ´ g(x) ´ h(x).
concentração de CO‚ no período de 1870 a 1930?
b) Considerando o crescimento da concentração
06. (UFU
(UFU - Adaptada)
Adaptada) A figura abaixo representa o
de CO‚ nas últimas décadas, é possível estimar
gráfico de uma função real a valores reais, y=f(x).
uma taxa de crescimento de 8,6% para o período
1990-2010.
Com
esta
taxa,
qual
será
concentração de CO‚ em 2010?
08.
08. (UFRN
(UFRN)
UFRN) O gráfico da função y = Ë(4 - x£),
definida no domínio {x Æ R; -2 ´ x ´ 2}, é
a) Sabendo-se que g(x) = f(x-3), encontre o valor
de g(1)+g(4)+g(10).
b) Se o gráfico de f é uma poligonal, qual a raiz da
função h definida por h(x) = f(x) + 3? Justifique.
c) Determine todos os valores reais de k de tal
maneira que a equação f(x) = k admita exatamente
3 raízes reais.
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2
a
Gráficos
09.
09. (FUVEST
(FUVEST)
FUVEST) A figura a seguir representa o
11.
11. (UFAL
(UFAL)
UFAL) Na figura abaixo tem-se o gráfico da
gráfico de uma função da forma f(x)=(x+a)/(bx+c),
função f, de IR em IR, definida por y=x¥-2x£.
para -1´x´3.
É verdade que:
a) esse gráfico é simétrico em relação ao eixo das
abscissas.
b) f(x) < 0 para -1 < x < 1.
Pode-se concluir que o valor de b é:
c) f(x) = 0 para x=-1 ou x=1.
a) -2
d) f(x) > 0 para x < -Ë2 ou x > Ë2.
b) -1
e) o valor máximo de f ocorre para x=0.
c) 0
d) 1
12.
12. (UFV
(UFV)
UFV) Seja f a função real cujo gráfico se
e) 2
apresenta a seguir:
10.
10. (PUCRS
(PUCRS)
PUCRS) A função real f é definida por
f(x)=Ëg(x). A representação gráfica de g está na
figura abaixo:
Analisando o gráfico, é CORRETO afirmar que:
O domínio da função f é
a) [ -12; 4 ]
b) [ 0; 4 ]
c) ( 0; 4 )
d) ( -2; 2 )
e) [ -2; 2 ]
a) f(x) + 1 > 0, para todo x Æ IR.
Comentário do professor:
b) f(x) - 1 < 0, para todo x Æ IR.
A notação (a;b), neste caso,
c) f(0) ´ f(x), para todo x Æ IR.
representa um intervalo de
d) f(-3) = 2.
extremos abertos.
e) f(1,5) < f(2,5).
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3
Gráficos
13.
13. (UFRS
(UFRS - Modificada)
Modificada) Na figura abaixo, estão
14.
14. (UFMG
(UFMG)
UFMG) Considere a função y = f(x), que tem
representados o ciclo trigonométrico, um ponto P
como domínio o intervalo {x Æ IR: -2 < x ´ 3} e que
qualquer pertencente ao diâmetro åæ e a corda do
se anula somente em x=-3/2 e x=1, como se vê
ciclo, a qual contém P e é paralela ao eixo das
nesta figura:
abscissas. Considere a função f que, à ordenada
do ponto P, faz corresponder o comprimento da
corda acima citada. Dentre os gráficos abaixo, o
que pode representar f é
Assim sendo, para quais valores reais de x se tem
0<f(x)≤ 1?
a) {x ÆIR: -3/2 < x ´ -1} » {x ÆIR: 1/2 ´ x < 1}
» {x ÆIR: 1 < x ´ 2}
b) {x ÆIR: -2 ´ x ´ -3/2) » {x ÆIR: -1 ´ x ´ 1/2} »
{x ÆIR: 2 ´ x ´ 3}
c) {x ÆIR: -3/2 ´ x ´ -1} » {x ÆIR: 1/2 ´ x ´ 2}
d) {x ÆIR: -3/2 < x ´ -1} » {x ÆIR: 1/2 ´ x ´ 2}
15. (UFMG
(UFMG)
UFMG) Na figura estão representados o ponto
A, cuja abscissa é 1, e o ponto B, cuja ordenada é
5. Esses dois pontos pertencem ao gráfico da
função f(x)=(x+1)(x¤+ax+b), em que a e b são
números reais. Assim sendo, o valor de f(4) é:
a) 65
b) 115 c) 170 d) 225
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4
Gráficos
16.
16. (UEL
(UEL)
UEL) Seja a função f, de IR em IR, dada pelo
18. (UNICAMP
(UNICAMP)
UNICAMP)
gráfico seguinte.
a) Esboce os gráficos das funções y=eÑ, y=e-Ñ e
Comentário do professor:
y=eÑ + e-Ñ - 3 em um mesmo sistema de eixos
É necessário considerar
ortogonais.
que o gráfico é uma
parábola.
b) Mostre que a equação eÑ+ e-Ñ - 3 = 0 tem duas
raízes reais simétricas x=a e x=-a. Mostre, ainda,
que e¤ò + e-¤ò = 18
O conjunto imagem de f é
a) IR
Comentários do professor:
b) {y Æ IR | 0 ´ y ´ 1,5}
- a base "e" representa o número de Euler. Um
c) {y Æ IR | 0 ´ y ´ 1,8}
irracional que vale aproximadamente 2,718.
d) {y Æ IR | y ´ 2}
- Note que os gráficos de funções exponenciais
e) {y Æ IR | y ´ 1,8}
dos tipos f(x) = ax e g(x) = a-x são simétricos em
17.
17. (UNICAMP
(UNICAMP)
UNICAMP)
relação ao eixo das ordenadas, ou seja, f(k) = g(-k)
a) Faça o gráfico da função y=lnx com domínio
para todo k real. De posse desta informação, o
x>0.
que ocorre com o gráfico de (f+g)(x) = ax + a-x ?
b) A partir desse gráfico, faça o gráfico de
- Se julgar necessário use as identidades:
y=f(x)=ln(-x), com domínio x<0.
(m+n)⋅⋅(m2-m⋅n+n2)
• m3 + n3 = (m+n)
2m⋅⋅n + n2
• (m + n)2 = m2 + 2m
c) Explique como a função y = g(x) = ln(1-x) está
relacionada com a função f e obtenha o gráfico de
19. (FUVEST)
g a partir do gráfico de f.
a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas,
os gráficos de f(x)=2Ñ e g(x)=2x.
Comentário do professor:
- lnx, conhecido como logaritmo natural de x, é o
logaritmo de x na base "e", ou seja, lnx = logex
b) Baseado nos gráficos da parte (a), resolva a
onde e ¸ 2,718.
inequação 2Ñ ´ 2x.
- O item c pede uma análise gráfica dos efeitos da
c) Qual é o maior: 2 elevado a Ë2 ou 2
alteração da expressão.
multiplicado por Ë2? Justifique brevemente sua
resposta.
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Gráficos
20.
20. (UNESP
(UNESP)
UNESP) A poligonal ABCD da figura adiante é
22.
22. (UFRS) O gráfico seguinte representa a
o gráfico de uma função f cujo domínio é o
evolução do volume de água de um reservatório,
intervalo -1´x´7. Sabe-se que åæ é paralelo a èî
durante um certo dia.
e æè é paralelo ao eixo dos x.
A vazão de água do reservatório, em litros/hora,
Nessas condições, f(7) - f(4, 5) é igual a:
nos períodos das 6h às 15h e das 15h às 24h é,
a) 3/2.
nesta ordem, em valor absoluto, aproximadamente
b) 5/3.
c) 17/10.
d) 9/5.
a) 3 e 8
b) 5 e 2
c) 7 e 1
d) 7 e 2
e) 9 e 1
e) 2.
23.
23. (UFRJ)
(UFRJ) No gráfico da função a seguir, a
21.
21. (UFRS) O gráfico a seguir representa a função
imagem do intervalo [-1,2) é
y=f(x).
A solução da inequação f(x) µ 1 é o conjunto dos
valores de x Æ [a,b] tais que
a) x ´ 0
b) x µ 0
a) [1/2, 1) » (-2, 1].
Comentário do professor:
b) (1/2, 1] » [-2, 1).
A notação (a;b), neste
c) [-1/2, 1] » (1, 2).
caso, representa um
d) [-1, 1/2] » (1, 2).
intervalo de extremos
e) [-1, 1/2] » [1, 2].
abertos.
c) x ´1
d) x µ 1
e) x Æ IR
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6
Gráficos
24.
24. (UNESP
(UNESP)
UNESP) Considere duas funções, f e g,
27.
27. (UNIOESTE) Considere a função f, dada por
definidas no intervalo I={xÆR|1´x´5}, tais que
f(1)=g(1)=0, f(3).g(3)=0 e f(5)>g(5). Representando
ý4x se 0 ´ x < 1
o gráfico de f em linha cheia e o de g em linha
f(x) = þx£ - 7x + 10 se 1 ´ x ´ 6
tracejada, a figura que melhor se ajusta a esses
ÿ-4x + 28 se 6 < x ´ 7
dados é:
é correto afirmar que
(1) O domínio de f(x) é o conjunto dos números
reais.
(2) O conjunto imagem de f é [-9/4, 4].
(4) O valor mínimo da função é obtido quando
x=7/2.
(8) f(1)=f(6).
(16) f(f(2/3)) =-14/9.
(32) Para todo x, pertencente ao domínio da
função, f(x) é maior ou igual a zero.
SOMA (
)
25.
25. (UFF) O gráfico da função f está representado
28.
28. (UFF
(UFF)
UFF) Considere a função real de variável real
na figura:
f e a função g tal que dom(g)=[-1, 4] e g(x)=f(2x)-1.
O gráfico de g é representado na figura a seguir.
Sobre a função f é FALSO afirmar que:
a) f(1) + f(2) = f(3)
b) f(2) = f(7)
c) f(3) = 3f(1)
d) f(4) - f(3) = f(1)
e) f(2) + f(3) = f(5)
Pede-se:
26. (FUVEST) O número de pontos comuns aos
a) a expressão que define g;
gráficos das funções f(x) = x¥+3 e g(x) =-x£+2x é
b) a imagem de g;
a) 4
c) a expressão que define f no intervalo [0, 4].
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
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7
Gráficos
Gabarito e Soluções
concomitantemente, intersecta ou situa-se abaixo
01.
do gráfico de h, o que ocorre para x Æ[0, 1]∪[3, 5],
a) Trasladando o gráfico de f, temos::
como se vê assinalado no gráfico a seguir:
b) R: Dom(g) = IR - {2}
Se f(x) = (1/x) + 3 temos:
g(x) = f(x-2) - 4 =[(1/(x-2)) + 3] - 4
g(x) = 1/(x-2) - 1
06.
Logo, B = Dom(g) = IR - {2}
a) R: g(1) + g(4) + g(10) = -5
c) R: x = 3 é raiz de g
Como g(x) = f(x-3) conclui-se que:
1/(x-2) - 1 = 0
g(1) = f(-2); g(4) = f(1) ; e g(10) = f(7)
1/(x-2) = 1 ⇒ x = 3
- Do gráfico temos diretamente que:
02. R: Devemos ter c>2 ou c<c<-6.
g(1) = f(-2) = 0 e g(4) = f(1) = -1
Para que a equação f(x) = c tenha uma única
solução, a reta y = c deve interceptar o gráfico de f
- Para obter g(10) = f(7)
em um único ponto. Para que isso ocorra, esta
Considerando que o gráfico de f é uma semi reta
reta deve passar acima do ponto (-2,2) ou abaixo
para x≥4 tem-se que y = ax+b neste intervalo com
do ponto(2, -6). Isto é, devemos ter c>2 ou c<-6.
f(4) = 2 e f(5) = 0. O que nos dá o sistema:
4a + b = 2
03. R: 0,2 u.a
5a + b = 0
Donde vem que a = -2 e b = 10 → f(x) = -2x+10 se
04.
x≥4 e f(7) = -2(7) +10 = -4 = g(10) ; então:
a) 300 pacientes
b) A média é 50 pacientes por mês
g(1) + g(4) + g(10)=f(-2) + f(1) + f(7) 0 - 1 - 4 = -5
c) Devem
Devem ser atendidos no mínimo 121 pacientes.
b) x = 13/2 é raiz de h.
05. R: x Æ [0, 1] » [3, 5]
Como h(x) = f(x) + 3 o gráfico de h é uma
A desiguladade citada ocorre quando o gráfico de
trasladação vertical do gráfico de f, conforme
g intersecta ou situa-se acima do gráfico de f e,
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8
Gráficos
mostra a figura:
figura anterior.
18.
a) Os gráficos pedidos
Note que h(x)=0 para um único x>4. E, como já
determinado no item anterior;
f(x) = -2x + 10
(x>4). Então:
b) Do gráfico anterior é possível concluir que para
h(x) = f(x)+3 = -2x+10+3 ⇒ h(x)=-2x+13.
Pede-se x tal que h(x) = -2x + 13 = 0 ⇔ x = 13/2.
a função f(x) = ex + e-x - 3 existem x=a e x=b tal
c) R: -1<k<2
De fato, pois y = ex e y = e-x possuem gráficos
que f(a) = 0 e f(b) = 0. Pede-se mostrar que b = -a.
simétricos em relação ao eixo das ordenadas, o
A reta y = k deve intersectar o gráfico da função f
exatamente em três pontos, ou seja, se -1<k<2.
que permite concluir que a função f(x) = ex + e-x - 3
07. a) 3,8%
b) 380,1
ordenadas, ou seja, para todo x real tem-se que
08. [A]
09. [D]
10. [E]
11. [D]
12. [C]
13. [B]
14. [A]
15. [D]
16. [D]
também é simétrica em relação ao eixo das
f(x) = f(-x). Então f(a) =0 e f(b) = 0 se, e somente
se, b = -a. Pede-se ainda provar que e¤ò + e-¤ò =18.
De fato, acompanhe os argumentos:
17.
- Sabendo que x=a e x=-a são as raízes da função
f(x) = ex + e-x - 3 têm-se: ea + e-a = 3 (*)
- Calculando o valor de e¤ò + e-¤ò:
e¤ò + e-¤ò = (ea)3 + (e-a)3 =
= (eò + e-ò)( (eò)2 - eò ⋅e-ò +(e-a)2) =
= (eò + e-ò)( (eò)2 - 1 +(e-a)2) (**)
- De (*) obtemos:
(ea + e-a)2= 32 ⇒ (eò)2+ (e-a)2 = 7 (***)
c) Sendo f(x) = ln (-x) e g(x) = ln (1 - x), o gráfico
de g está "deslocado" uma unidade para a direita
- Substituindo (*) e (***) em (**)
em relação ao gráfico de f, como é mostrado na
(eò + e-ò)⋅( (eò)2 - 1 +(e-a)2 ) = 3⋅(7-1) = 18
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9
Gráficos
19.
a)
Anotações
b) S = {x Æ IR / 1 ´ x ´ 2}
Observe o gráfico:
c) 2Ë2 é o maior, pois, de acordo com o item
anterior, para todo 1 < x < 2 tem-se que 2x > 2x
20. [B]
21. [A]
22. [E]
23. [D]
24. [C]
25. [E]
26. [E]
27. 2+4+8+16=30
2+4+8+16=30
28.
a)
ý-x se -1 ´ x < 0
g(x) = þ0 se 0 ´ x < 1
|2x - 2 se 1 ´ x < 2
ÿ2 se 2 ´ x ´ 4.
b) lm(g) = [0, 2]
c)
ý1 se 0 ´ x < 2
f(x) = þ
ÿ x - 1 se 2 ´ x ´ 4
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