Se P é 30% de Q, Q é 20% de R, e S é 50% de
P
é igual a
R, então
S
3
3
6
4
a)
.
b)
.
c) 1.
d) .
e) .
250
25
5
3
A
D
alternativa B
E
Temos P = 0,3 ⋅ Q, Q = 0,2 ⋅ R e S = 0,5 ⋅ R . LoP
0,3 ⋅ Q
0,3 ⋅ 0,2 ⋅ R
3
go
.
=
=
=
S
0,5 ⋅ R
0,5 ⋅ R
25
A medida do menor arco BE na circunferência construída é
a) 72 o.
c) 120o.
b) 108o.
o
e) 144 .
d) 135 o.
alternativa E
Questão 2
Seja f:R → R uma função afim.
f(1) ≤ f(2), f(3) ≥ f(4) e f(5) = 5, então f(π) é
a) um número irracional.
b) um racional não inteiro.
c) −1.
d) 0.
e) 5.
C
B
Questão 1
Se
alternativa E
Consideremos a figura a seguir, que representa a
circunferência de centro O e o pentágono regular
ABCDE.
C
B
A
O
D
Sendo f uma função afim, f(x) = ax + b, sendo a
f(1) ≤ f(2)
e b constantes reais. Assim, f(3) ≥ f(4) ⇔
f(5) = 5
a ⋅1 + b ≤ a ⋅ 2 + b
a ≥0
a =0
.
⇔ a ⋅3 + b ≥ a ⋅ 4 + b ⇔ a ≤0
⇔
b =5
a⋅5 +b =5
5a + b = 5
Logo f(x) = 5 para todo x real, em particular,
f( π) = 5 .
E
Como BC e ED são tangentes à circunferência,
temos:
$
$
$
m (OBC)
=
= m (OED)
= 90o . Já que m (BAE)
o
360
$
$
= 180o −
= 108 o , m (ABO)
= m (AEO)
=
5
= 108 o − 90o = 18 o .
Logo a medida do menor arco BE na circunferên$ ,
cia construída é igual à medida do ângulo BOE
o
o
o
o
ou seja,108 + 18 + 18 = 144 .
Questão 3
Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e
E de tal forma que BC e ED sejam tangentes
a essa circunferência, em B e E, respectivamente.
Questão 4
Uma urna contém cinco bolas numeradas
com 1, 2, 3, 4 e 5. Sorteando-se ao acaso, e
com reposição, três bolas, os números obtidos
matemática 2
são representados por x, y e z . A probabilidade que xy + z seja um número par é de
47
2
59
64
3
.
b) .
c)
.
d)
.
e) .
a)
125
5
125
125
5
alternativa C
3
Há 5 = 125 resultados possíveis no sorteio de 3
das 5 bolas, com reposição. Temos, então, dois
casos a considerar:
• Se z é ímpar, xy + z é par se, e somente se,
xy é ímpar, o que ocorre quando x e y são ambos
ímpares; como há 3 escolhas para cada um dos
números x, y e z, nesse caso há 3 3 = 27 maneiras de termos xy + z par.
• Se z é par, xy + z é par se, e somente se, xy é
par, o que ocorre quando x e y não são ambos ímpares. Como há 2 escolhas para z e 5 2 − 3 2 escolhas para x e y, nesse caso há 2 ⋅ (5 2 − 3 2 ) = 32
maneiras de termos xy + z par.
32 + 27
59
Logo a probabilidade pedida é
.
=
125
125
Como a distância máxima entre dois vértices do
paralelepípedo é igual à sua diagonal,
a2 + b 2 + c 2 = 21 ⇔ a2 + b 2 + c 2 = 441.
Sendo (a + b + c) 2 = a2 + b 2 + c 2 + 2ab +
+ 2ac + 2bc, a área total 2ab + 2ac + 2bc é igual
a (a + b + c) 2 − (a2 + b 2 + c 2 ) = 35 2 − 441 =
= 784 cm 2 .
Questão 7
A reta definida por x=k, com k real, intersecta os gráficos de y = log 5 x e y = log 5 (x + 4)
1
em pontos de distância um do outro. Sen2
do k = p + q , com p e q inteiros, então p + q
é igual a
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
alternativa A
Questão 5
Dada a equação x2 + y2 = 14x + 6y + 6, se p
é o maior valor possível de x, e q é o maior
valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a
a) 73.
b) 76.
c) 85.
d) 89.
e) 92.
Para x > 0, temos que log 5 (x + 4) > log 5 x .
1
k +4
Assim, log 5 (k + 4) − log 5 k =
⇔ log 5
=
2
k
1
k +4
=
⇔
= 5 ⇔ k = 1 + 5 . Como k =
2
k
= p + q , p e q inteiros, então p =1, q = 5 e
p + q = 6.
alternativa D
Temos x 2 + y 2 = 14x + 6y + 6 ⇔
⇔ (x − 7) 2 + (y − 3) 2 = 64, que é a equação de
uma circunferência de centro (7; 3) e raio 8.
Assim, o maior valor possível de x é p = 7 + 8 =15
e o maior valor possível de y é q = 3 + 8 = 11.
Logo 3p + 4q = 3 ⋅ 15 + 4 ⋅ 11 = 89.
Questão 6
A soma das medidas das 12 arestas de um paralelepípedo reto-retângulo é igual a 140 cm.
Se a distância máxima entre dois vértices do
paralelepípedo é 21 cm, sua área total, em
cm2 , é
a) 776. b) 784. c) 798. d) 800. e) 812.
alternativa B
Sejam a, b e c as medidas das arestas do paralelepípedo. Temos 4a + 4b + 4c = 140 ⇔
⇔ a + b + c = 35 cm.
Questão 8
As alturas de um cone circular reto de volume P e de um cilindro reto de volume Q são
iguais ao diâmetro de uma esfera de volume
R. Se os raios das bases do cone e do cilindro
são iguais ao raio da esfera, então, P−Q+R é
igual a
2π
4π
a) 0.
b)
c) π.
d)
e) 2π.
.
.
3
3
alternativa A
Seja r o raio da esfera de volume R. Então o volu1
2
me P do cone circular reto é πr 2 ⋅ 2r =
πr 3 ,
3
3
o volume Q do cilindro circular reto é
4
πr 2 ⋅ 2r = 2 πr 3 e o volume R da esfera é πr 3 .
3
2
4 3
Assim, P − Q + R =
πr 3 − 2 πr 3 +
πr = 0.
3
3
matemática 3
Questão 9
Questão 11
Sendo x, y e z três números naturais tais que
x ⋅ y ⋅ z = 2310, o número de conjuntos {x, y,
z} diferentes é
a) 32.
b) 36.
c) 40.
d) 43.
e) 45.
alternativa C
Como xyz = 2 310 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 e x, y e z
são naturais, devemos distribuir os fatores primos 2, 3, 5, 7, 11 entre x, y e z. Cada fator tem
três possibilidades: ser fator de x, y ou z. Assim,
há 3 5 = 243 ternas ordenadas (x, y, z) com x, y, z
∈ N e xyz = 2 310. Dessas ternas, apenas três
têm números iguais: (1, 1, 2 310), (1, 2 310, 1) e
(2 310, 1, 1).
Assim, supondo que x, y e z são distintos e observando que as demais ternas são obtidas através
das 3 ! = 6 permutações dos elementos dos conjuntos em questão, a quantidade de conjuntos pe243 − 3
dida é
= 40.
6
Questão 10
Em relação a um quadrilátero ABCD,
$
$
sabe-se que med(BAD)
= 120o, med(ABC)
=
o
$
med(ADC) = 90 , AB = 13 e AD = 46. A medida do segmento AC é
a) 60.
b) 62.
c) 64.
d) 65.
e) 72.
alternativa B
$
$
Como m (ABC)
+ m (ADC)
= 90o + 90o = 180o e
$
$
ABC e ADC são ambos ângulos retos, o quadrilátero ABCD é inscritível em uma circunferência
de diâmetro AC. Logo AC é igual ao dobro do
raio R da circunferência circunscrita ao triângulo
ABD.
Pela lei dos co-senos, BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2 ⋅
$ ⇔
⋅ AB ⋅ AD ⋅ cos BAD
⇔ BD 2 = 13 2 + 46 2 − 2 ⋅ 13 ⋅ 46 ⋅ cos120o ⇔
⇔ BD 2 = 13 2 + 46 2 + 13 ⋅ 46 ⇔ BD = 31 3 .
BD
Assim, pela lei dos senos, AC = 2R =
$ =
sen BAD
31 3
31 3
=
=
= 62 .
3
sen120o
2
Um círculo é inscrito em um quadrado de
lado m. Em seguida, um novo quadrado é inscrito nesse círculo, e um novo círculo é inscrito nesse quadrado, e assim sucessivamente.
A soma das áreas dos infinitos círculos descritos nesse processo é igual a
πm2
.
2
πm2
c)
.
3
πm2
.
e)
8
3πm2
.
8
πm2
d)
.
4
b)
a)
alternativa A
Considere dois círculos consecutivos. O menor
deles está inscrito em um quadrado e tem, portanto, diâmetro igual ao seu lado e o maior circunscreve o mesmo quadrado e tem, portanto, diâmetro igual à sua diagonal.
Deste modo, a razão entre os diâmetros de dois
círculos consecutivos é igual à razão entre o lado e
1
a diagonal do quadrado, que é
; assim, as
2
áreas dos círculos em questão são os elementos
da progressão geométrica infinita de primeiro ter2
2
⎛ 1 ⎞
1
πm 2
⎛m⎞
mo π ⎜ ⎟ =
e razão ⎜
. Logo,
⎟ =
⎝2 ⎠
⎝ 2 ⎠
2
4
πm 2
πm 2
a soma pedida é 4
=
.
1
2
1−
2
Questão 12
O valor de cos 72o – cos2 36o é idêntico ao de
a) cos 36o.
b) – cos2 36o.
c) cos2 36o.
d) – sen2 36o.
e) sen2 36o.
alternativa D
cos 72
2
o
2
− cos 36o = cos(2 ⋅ 36o ) − cos 236o =
= cos 36o − sen 236o − cos 236o = −sen 236o
matemática 4
Questão 13
Sendo n um número real, então o sistema de
⎧nx + y = 1
⎪
equações ⎨ny + z = 1 não possui solução se, e
⎪x + nz = 1
⎩
somente se, n é igual a
1
1
d) .
e) 1.
a) −1.
b) 0.
c) .
4
2
alternativa A
O determinante da matriz incompleta do sistema é
n 1 0
0 n 1 = n 3 + 1. Assim, como o sistema não é
1 0 n
determinado, n 3 + 1 = 0 ⇔ n = −1.
Substituindo n = −1 no sistema temos
−x + y = 1
− y + z = 1 e somando as equações obtemos
x − z =1
0x + 0y + 0z = 3 . Portanto, para n = −1, o sistema não possui solução.
alternativa B
2
2x(kx − 4) − x + 6 = 0 ⇔
⇔ x 2 (2k − 1) − 8x + 6 = 0
Assim, para que a equação não admita raízes reais,
11
.
Δ < 0 ⇔ ( −8) 2 − 4 ⋅ (2k − 1) ⋅ 6 < 0 ⇔ k >
6
Portanto o menor valor inteiro que k pode assumir
é 2.
Questão 16
Certo capital C aumentou em R$ 1.200,00 e,
em seguida, esse montante decresceu 11%,
resultando em R$ 32,00 a menos do que C.
Sendo assim, o valor de C, em R$, é
a) 9.600,00.
b) 9.800,00.
c) 9.900,00.
d) 10.000,00.
e) 11.900,00.
alternativa D
Das condições do problema,
(C + 1 200) ⋅ (1 − 0,11) = C − 32 ⇔
⇔ 0,11C = 1 100 ⇔ C = 10 000 reais.
Questão 17
Questão 14
O quociente da divisão do polinômio P(x) =
= (x2 + 1)4 ⋅ (x 3 + 1)3 por um polinômio de
grau 2 é um polinômio de grau
a) 5.
b) 10.
c) 13.
d) 15.
e) 18.
alternativa D
Seja P(x) = (x 2 + 1) 4 ⋅ (x 3 + 1) 3 .
O grau de (x 2 + 1) 4 é 8 e o grau de (x 3 + 1) 3 é 9.
Assim o grau de P(x) é 9 + 8 = 17 .
Como dividiremos P(x) por um polinômio do 2º
grau, o grau do quociente é 17 − 2 = 15 .
Questão 15
O menor valor inteiro de k para que a equação algébrica 2x(kx − 4) − x2 + 6 = 0 em x não
tenha raízes reais é
a) −1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
A soma de todos os inteiros entre 50 e 350
que possuem o algarismo das unidades igual
a1é
a) 4 566.
b) 4 877.
c) 5 208.
d) 5 539.
e) 5 880.
alternativa E
A soma dos inteiros, entre 50 e 350, que possuem
o algarismo das unidades igual a 1, é a soma de
uma progressão aritmética de primeiro termo 51,
último termo 341 e razão 10.
Assim o número n de termos da progressão é
341 = 51 + (n − 1) ⋅ 10 ⇔ n = 30.
(51 + 341) ⋅ 30
Portanto a soma pedida é
= 5 880.
2
Questão 18
Adotando log 2 = 0,301, a melhor aproximação de log 5 10 representada por uma fração
irredutível de denominador 7 é
8
9
10
11
12
a) .
b) .
c)
d)
e)
.
.
.
7
7
7
7
7
matemática 5
alternativa C
1
1
1
=
≅
=
log 5
log 10 − log 2
1 − 0,301
10
1
1
1
=
≅
=
=
7
7
0,699
0,7
10
log 5 10 =
Questão 19
Seja uma seqüência de n elementos (n > 1),
1
dos quais um deles é 1 − , e os demais são
n
todos iguais a 1. A média aritmética dos n
números dessa seqüência é
1
1
c) n − 2 .
a) 1.
b) n − .
n
n
1
1
1
e) 1 −
d) 1 − 2 .
− 2.
n
n
n
alternativa D
1
e
n
os outros n − 1 elementos são iguais a 1. Assim, a
1
1−
+ (n − 1) ⋅ 1
n
média aritmética pedida é
=
n
1
=1 − 2 .
n
Na seqüência de n elementos, um deles é1 −
Logo, como 0 < arc tg
α =
π
.
4
Questão 21
A soma dos coeficientes de todos os termos do
desenvolvimento de (x − 2y)18 é igual a
a) 0.
b) 1.
c) 19.
d) −1.
e) −19.
alternativa B
A soma dos coeficientes do binômio é obtida quando substituímos as variáveis por 1, assim a soma
dos coeficientes de (x − 2y)18 = (1 − 2 ⋅ 1)18 = 1.
Questão 22
No triângulo ABC, AB=8, BC=7, AC=6 e o lado
BC foi prolongado, como mostra a figura, até
o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA .
P
C
Questão 20
1
e (p + 1) ⋅ (q + 1) = 2, então a
2
medida de arc tan p + arc tan q, em radianos,
é
π
π
π
π
π
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
2
3
4
5
6
A
B
8
O comprimento do segmento PC é
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 11.
alternativa C
alternativa C
1
⎛1
⎞
, temos que ⎜ + 1⎟ (q + 1) = 2 ⇔
⎝2
⎠
2
1
1
1
. Considere α = arc tg
.
⇔q =
+ arc tg
3
2
3
1
1⎞
⎛
Assim, tgα = tg ⎜ arc tg
+ arc tg ⎟ ⇔
⎝
2
3⎠
1
1
+
2
3
⇔ tgα =
= 1.
1 1
1−
⋅
2 3
7
6
Sendo p =
Sendo p =
1
π
1
π
<
e 0 < arc tg <
,
2
3
2
2
Como ΔPCA ~ ΔPAB , temos
PC
PA
=
=
PA
7 + PC
PC
3
=
PA
4
⇔
⇒
PA
3
=
7 + PC
4
PC
9
⇔
=
⇔
7 + PC
16
⇔
PC
PA
CA
=
=
⇔
PA
PB
AB
6
⇔
8
PC
PA
3 3
⋅
=
⋅
⇔
PA 7 + PC
4 4
PC = 9.
matemática 6
Questão 23
O número de intersecções entre o gráfico de
uma circunferência e o gráfico de y = sen x no
plano ortogonal pode ocorrer em
a) no máximo 2 pontos.
b) no máximo 4 pontos.
c) no máximo 6 pontos.
d) no máximo 8 pontos.
e) mais do que 16 pontos.
alternativa E
Uma circunferência de raio suficientemente grande
com centro no eixo y e que passa pela origem corta o gráfico de y = sen x em mais de 16 pontos:
y
arco de
circunferência
1
x
_1
Como (1; 2) e (−1; −2) são simétricos em relação
à origem, o outro vértice do quadrado é o simétrico de (−2; 1) também em relação à origem, ou
seja, (2; −1) e portanto o outro vértice é o número
complexo 2 − i.
Questão 25
O número de permutações da palavra
ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O é
a) 9 400.
b) 9 600.
c) 9 800.
d) 10 200.
e) 10 800.
alternativa E
Há 6 escolhas para a primeira letra da permutação e 5 escolhas para a última letra da permutação. As demais 6 letras, que incluem as duas le6!
tras O, podem ser permutadas de
= 360 ma2!
neiras.
Assim, o total pedido é 6 ⋅ 5 ⋅ 360 = 10 800.
Questão 24
Questão 26
Os quatro vértices de um quadrado no plano
Argand-Gauss são números complexos, sendo
três deles 1 + 2i , −2 + i e −1 − 2i. O quarto
vértice do quadrado é o número complexo
a) 2 + i.
b) 2 − i.
c) 1 − 2i.
d) −1 + 2i.
e) −2 − i.
Sejam os números 7, 8, 3, 5, 9 e 5 seis números de uma lista de nove números inteiros. O
maior valor possível para a mediana dos nove
números da lista é
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
alternativa D
alternativa B
Ordenando os números dados, obtemos 3, 5, 5, 7,
8, 9. Portanto a mediana, que é o número que
9 +1
ocupa a
= 5ª posição na lista ordenada
2
completa, é menor ou igual a 8.
Assim, o maior valor possível para a mediana é 8,
o que ocorre justamente quando os três números
restantes são maiores ou iguais a 8.
No plano de Argand-Gauss, temos:
Im(z)
2
1
_2
_1
2
1
_1
_2
Re(z)
Questão 27
Na matriz indicada, a soma dos elementos de
uma linha qualquer é igual à soma dos elementos de uma coluna qualquer.
⎡4 9 2⎤
⎢8 1 6⎥
⎢
⎥
⎢⎣3 5 7 ⎥⎦
matemática 7
O menor número de elementos dessa matriz
que devem ser modificados para que todas as
seis somas (somas dos elementos das três linhas e das 3 colunas) sejam diferentes umas
das outras é
a) 0.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
alternativa D
Inicialmente, podemos observar que, considerando a linha i e a coluna j da matriz, se nenhum elemento ou apenas um (o aij ) for modificado, a
soma dessas duas fileiras continuará sendo a
mesma.
Logo contando o número de modificações para
cada par (linha i, coluna j), teremos, ao todo, pelo
menos 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18 modificações.
Porém cada modificação é contada 5 vezes, pois,
por exemplo, ao modificarmos a11 tal modificação
é considerada nos pares (linha 1, coluna 1), (linha
1, coluna 2), (linha 1, coluna 3), (linha 2, coluna 1)
e (linha 3, coluna 1). Assim, o número mínimo de
18
modificações é maior ou igual a
e, portanto,
5
devemos modificar pelo menos 4 números.
Finalmente, a matriz a seguir mostra que 4 modificações são suficientes:
⎡1 2 2 ⎤
⎢8 1 4 ⎥
⎢
⎥
⎣⎢3 5 1 ⎦⎥
Questão 28
As intersecções de y = x, y = −x e y = 6 são
vértices de um triângulo de área
c) 24.
d) 12 2 .
e) 12.
a) 36.
b) 24 2 .
alternativa A
y
y
=
_x
6
B
_
6
y
=x
C
A
6
y
x
=6
Os vértices do triângulo são A = (0; 0), B = (−6; 6)
e C = (6; 6). Logo tal triângulo tem base BC = 12,
12 ⋅ 6
altura 6 e, portanto, área igual a
= 36.
2
Questão 29
O número de segmentos de reta que têm ambas as extremidades localizadas nos vértices
de um cubo dado é
a) 12.
b) 15.
c) 18.
d) 24.
e) 28.
alternativa E
Cada segmento de reta corresponde a um subconjunto de 2 dos 8 vértices do cubo. Conseqüentemente, o número de segmentos de reta é
⎛8 ⎞ 8 ⋅ 7
= 28 .
⎜ ⎟ =
⎝2 ⎠
2
Questão 30
Em regime de juros compostos, um capital
inicial aplicado à taxa mensal de juros i irá
triplicar em um prazo, indicado em meses,
igual a
a) log1 + i 3.
b) logi 3.
d) log3 i.
c) log3 (1 + i).
e) log3 i (1 + i).
alternativa A
Das condições do problema, supondo i > 0,
C0 (1 + i) n = 3 C0 ⇔ (1 + i) n = 3 ⇔ n = log1 + i 3 .