Questão 1
Os trabalhadores A e B, trabalhando separadamente, levam cada um 9 e 10 horas, respectivamente, para construir um mesmo
muro de tijolos. Trabalhando juntos no serviço, sabe-se que eles assentam 10 tijolos a menos por hora em relação ao que se esperaria
da combinação da velocidade de trabalho de
cada um. Se juntos os dois trabalhadores
constroem o muro em 5 horas, o número de
tijolos assentados no serviço é igual a
a) 450.
b) 600.
c) 900.
d) 1 550.
e) 1 800.
alternativa C
Seja x ∈ N o número de tijolos no muro. Trabalhando separadamente, as velocidades de A e B
x
x
tijolos por hora.
são, respectivamente, e
9 10
x
Assim, trabalhando juntos, a velocidade é
+
9
x
+
− 10 tijolos por hora e, como juntos constroem
10
x
x
x
um muro em 5 horas, +
−10 = ⇔ x = 900.
9 10
5
O número de tijolos assentados no serviço é, portanto, 900.
Questão 2
Em relação a um código de 5 letras, sabe-se
que o código
– CLAVE não possui letras em comum;
– LUVRA possui uma letra em comum, que
está na posição correta;
– TUVCA possui duas letras em comum, uma
na posição correta e a outra não;
– LUTRE possui duas letras em comum, ambas na posição correta.
Numerando, da esquerda para a direita, as
letras do código com 1, 2, 3, 4 e 5, as informações dadas são suficientes para determinar,
no máximo, as letras em
a) 1 e 2.
b) 2 e 3.
c) 1, 2 e 3.
d) 1, 3 e 4.
e) 2, 3 e 4.
alternativa B
O código procurado não possui as letras do código CLAVE.
O código TUVCA possui 2 letras em comum com
o código desconhecido. Eliminando as letras V, C
e A concluímos que T e U pertencem ao código
procurado.
Se o código LUTRE possui 2 letras comuns, ambas na posição correta e as letras U e T estão
nesse código, as demais não pertencem ao código desconhecido.
Portanto U e T estão, respectivamente, nas posições 2 e 3 do código procurado.
Questão 3
Uma escola possui 2 600 alunos que nasceram em anos de 365 dias. O número mínimo
desses alunos da escola que faz aniversário
no mesmo dia (e mês), e que nasceu no mesmo dia da semana é
a) 36.
b) 38.
c) 42.
d) 46.
e) 54.
alternativa D
Vamos supor que desejamos minimizar a quantidade de alunos, tal que exista um outro aluno que
faça aniversário no mesmo dia e mês, e nasceu
no mesmo dia da semana.
Observe que 2 600 = 365 ⋅ 7 + 45 .
Se 7 ou menos pessoas fizerem aniversário no
mesmo dia e mês, é possível que nenhuma tenha
nascido no mesmo dia da semana. Assim, com
365 ⋅ 7 alunos, é possível que nenhum faça aniversário no mesmo dia e mês, e tenha nascido no
mesmo dia da semana do outro. Porém, cobrimos
assim todas as possibilidades.
Assim, é preciso escolher um dia de aniversário e
um dia da semana para cada um dos outros 45
alunos restantes.
Percebemos que, a cada nova data escolhida
para um aluno, somamos dois alunos ao total dos
que fazem aniversário juntos e nasceram no mesmo dia da semana. Em contrapartida, se escolhermos uma data previamente escolhida, somamos apenas um aluno. Dessa forma, para minimizar o número de alunos, basta escolhermos a
mesma data para todos os 45 alunos, totalizando
46 alunos fazendo aniversário numa mesma data
e nascendo no mesmo dia da semana.
matemática 2
mês com esse trabalho. Nessas condições,
(x,y) é um par ordenado que necessariamente
pertence à região poligonal representada por
Questão 4
Admita que no lançamento de um dado, não
viciado e com seis faces numeradas, possam
ocorrer apenas os eventos A, B ou C, cada um
com probabilidade P A , PB e PC , respectivamente. Sabendo-se que PA + 6PB = 1 + 4PC e
PA = 2(PB + PC ), dentre as alternativas a seguir, a única que pode representar o evento A
é sair um número
a) menor que 2.
b) menor ou igual a 2.
c) maior que 2.
d) maior do que 3.
e) diferente de 3.
a)
b)
alternativa C
Como podem ocorrer apenas os eventos A, B e
C, e admitindo que são mutuamente exclusivos,
temos PA + PB + PC = 1. Dessa forma,
PA + PB + PC = 1
PB + PC = 1 − PA
PA + 6PB = 1 + 4PC ⇔ PA + 6PB − 4PC = 1
PA = 2 ⋅ (PB + PC )
PB + PC = 1 −
⇔
2
3
PA = 2 ⋅ (1 − PA )
PA =
2
3
c)
2
.
+ 6PB − 4PC = 1 ⇔
1
3
PB = PC =
2
6
PA =
3
Assim, dentre os eventos apresentados nas alternativas, o único cuja probabilidade de ocorrer é
2
é o da alternativa C.
PA =
3
Questão 5
Uma pessoa trabalha no máximo 160 horas
por mês, programando e consertando computadores. Sua remuneração pelo trabalho é de
R$ 40,00 por hora de programação e R$ 20,00
por hora de conserto de computador. Sabe-se
também que ela trabalha x horas por mês com
programação e y horas com conserto de computadores, ganhando ao menos R$ 5.000,00 por
d)
matemática 3
e)
Questão 6
ver comentário
A pessoa pode trabalhar no máximo 160 horas por
mês, x horas com programação e y horas com
conserto de computadores, ou seja, x + y ≤ 160.
Em relação à remuneração, ela ganha R$ 40,00
por hora em programação e R$ 20,00 por hora em
conserto. Sendo a sua remuneração no mínimo de
R$ 5.000,00 mensais, temos 40x + 20y ≥ 5 000.
O número de horas deve ser não negativo, isto é,
x ≥ 0 e y ≥ 0.
Logo, devemos atender simultaneamente às seguintes condições:
x + y ≤ 160
40x + 20y ≥ 5 000
x ≥0e y ≥0
Graficamente, a região poligonal procurada é a intersecção das regiões destacadas, conforme a figura a seguir.
O montante aplicado de R$ 50.000,00 foi dividido em duas partes, x e y, uma tendo rendido 1% em um mês, e a outra 10% no mesmo
período. O total dos rendimentos dessa aplicação foi de R$ 4.000,00. Sendo M, P e Q as
⎡x ⎤
⎡50⎤
⎡1 0,01⎤
matrizes M = ⎢ ⎥ , P = ⎢ ⎥ e Q = ⎢
⎥,
y
4
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣1 0,1 ⎦
a matriz M pode ser obtida pelo produto
a) 1 000 ⋅ (P t ⋅ Q) −1
b) P t ⋅ Q ⋅ 1 000
c) Q −1 ⋅ P ⋅ 1 000
d) 1 000 ⋅ (Q t ) −1 ⋅ P
e) (Q −1 ) t ⋅ P ⋅ 1 000
ver comentário
De acordo com o enunciado, devemos ter
x + y = 50 ⋅ 1 000
⇔
0,01 ⋅ x + 0,1 ⋅ y = 4 ⋅ 1 000
1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡50 ⎤
⎡ 1
⇔⎢
⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⋅ 1 000 ⇔
⎣0,01 0,1⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ 4 ⎦
⇔ Qt ⋅ M = P ⋅ 1 000 ⇔
⇔ (Qt ) −1 ⋅ Qt ⋅ M = (Qt ) −1 ⋅ P ⋅ 1 000 ⇔
⇔ I2 ⋅ M = (Qt ) −1 ⋅ P ⋅ 1 000 ⇔
⇔ M = 1 000 ⋅ (Qt ) −1 ⋅ P = (Q −1 ) t ⋅ P ⋅ 1 000,
pois det(Q) ≠ 0.
Assim, as alternativas D e E estão corretas.
Questão 7
Seja f uma função de IN em Q, dada por
⎧ 2x − 1, 1 ≤ x < 5
f(x) = ⎨
⎩ − x + 12, 5 ≤ x ≤ 12
Sabendo-se que a função f determina o número de vezes que um equipamento foi utilizado em cada um dos 12 meses de um ano, é
correto afirmar que a mediana (estatística)
dos 12 registros é igual a
11
.
d) 4.
e) 5,5.
a) 3.
b) 3,5.
c)
3
O par ordenado (x; y) que satisfaz as condições
do enunciado necessariamente pertence às regiões poligonais representadas nas alternativas A
e D.
alternativa B
Temos f(1) = 2 ⋅ 1 − 1 = 1, f(2) = 2 ⋅ 2 − 1 = 3 ,
f(3) = 2 ⋅ 3 − 1 = 5 , f(4) = 2 ⋅ 4 − 1 = 7 ,
matemática 4
f(5) = −5 + 12 = 7 , f(6) = −6 + 12 = 6,
f(7) = −7 + 12 = 5 , f(8) = −8 + 12 = 4,
f(9) = −9 + 12 = 3 , f(10) = −10 + 12 = 2 ,
f(11) = −11 + 12 = 1, f(12) = −12 + 12 = 0.
Ordenando esses 12 valores, obtemos a seqüência (0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7), cuja mediana
será igual à média aritmética entre o 6º e o 7º va3 +4
lores, isto é,
= 3,5 .
2
Questão 8
Um supermercado, que fica aberto 24 horas
por dia, faz a contagem do número de clientes
na loja a cada 3 horas. Com base nos dados
observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonox ⋅ π⎞
métrica f(x) = 900 − 800sen⎛⎜
⎟ , onde f(x)
⎝ 12 ⎠
é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 24).
Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em
um dia completo, é igual a
a) 600.
b) 800.
c) 900.
d) 1 500.
e) 1 600.
mo, um raio de 30 km. A divisão foi estabelecida da seguinte forma:
– Cláudio atuará em todos os locais até a distância de x quilômetros do centro da cidade;
– Luís atuará em todos os locais cuja distância ao centro da cidade esteja entre x e y quilômetros;
– a área da cidade que caberá a cada um será
a mesma, com y > x ≠ 0.
Segundo o que foi estabelecido pelos vendedores, o lugar geométrico no plano cartesiano
dos pares ordenados (x,y) é
a)
b)
c)
d)
alternativa E
Como 0 ≤ x ≤ 24 ⇔ 0 ≤
⎛ xπ ⎞
−1 ≤ sen ⎜
⎟ ≤1 ⇔
⎝ 12 ⎠
xπ
≤ 2 π, temos
12
e)
⎛ xπ ⎞
⇔ −800 ≤ −800 sen ⎜
⎟ ≤ 800 ⇔
⎝ 12 ⎠
⎛ xπ ⎞
⇔ 100 ≤ 900 − 800 sen ⎜
⎟ ≤ 1 700 ⇔
⎝ 12 ⎠
⇔ 100 ≤ f(x) ≤ 1 700.
Logo a diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado,
em um dia completo, é 1 700 − 100 = 1 600.
alternativa B
Questão 9
Os 2 vendedores de uma empresa decidiram
delimitar a região de atuação de cada um do
centro da cidade de São Paulo até, no máxi-
Supondo o centro da cidade no ponto (0; 0), a
área de atuação de Cláudio é o círculo de centro
(0; 0) e raio x, e a área de atuação de Luís é a
coroa circular determinada pelos círculos de centro (0; 0) e raios x e y, com y > x.
Como a área de atuação dos dois é a mesma,
π ⋅ (y 2 − x 2 ) = π ⋅ x 2 ⇔ y 2 = 2x 2 ⇔ y = x 2 .
matemática 5
Além disso, 0 < y ≤ 30 ⇔ 0 < x 2 ≤ 30 ⇔ 0 < x ≤
≤ 15 2 . Portanto, o lugar geométrico dos pares
(x; y) é representado por um segmento de reta,
cujas extremidades são (0; 0) aberta e (15 2 ; 30)
fechada.
Questão 10
A figura indica infinitos triângulos isósceles,
cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2,
1, ...
(d − 4) ⋅ h
⎛ AD + DF + FH + ... ⎞
51 = ⎜
=
⎟ ⋅h =
⎝
⎠
2
2
51
.
= 6 ⋅ h ⇔h =
6
A área do retângulo de lados h e d é igual a
51
d ⋅ h = 16 ⋅
= 136.
6
Figuras para as questões de números 11 e
12.
2
d
2
4
...
h
4
2
2
2
8
4
2
2
2
1 ...
Sabendo que as somas das áreas dos infinitos
triângulos hachurados na figura é igual a 51,
pode-se afirmar que a área do retângulo de
lados h e d é igual a
a) 68.
b) 102.
c) 136.
d) 153.
e) 192.
2
A
4
alternativa C
Considere a figura a seguir:
4
4
2
4
a
B
Questão 11
Como o ∆ABC é isósceles, a altura AA ’
também é a mediana relativa à base BC e então
B’A = BA’ = 4.
Assim, AD + DF + FH + ... = d − 4. Mas d = 8 + 4 +
8
+ 2 + 1 + ... =
= 16. Então a soma das ba1
1−
2
ses dos infinitos triângulos destacados é
d − 4 = 16 − 4 = 12 . Como a soma das áreas dos
infinitos triângulos é 51, temos:
As figuras A e B indicam, respectivamente,
planificações de sólidos em forma de prisma e
pirâmide, com todas as medidas sendo dadas
em metros. Denotando por V1 e V2 os volumes do prisma e da pirâmide, respectivamente, conclui-se que V1 representa de V2
a) 25%.
b) 45%.
c) 50%.
d) 65%.
e) 75%.
matemática 6
alternativa E
alternativa A
Consideremos a partir das planificações as representações do prisma reto e da pirâmide a seguir:
Consideremos a planificação da pirâmide, em que
AH = GH, AB = CB, CD = ED e EF = GF.
2
2
2
4
A aresta GF da pirâmide mede
4 2 + 2 2 = 2 5 m, e portanto EF = GF = 2 5 m.
No triângulo retângulo FID, temos FD = 4 2 + 2 2 =
= 2 5 m. Por outro lado, BC = AB = 4 2 + 4 2 =
= 4 2 m.
Também pelo teorema de Pitágoras no ∆CBD,
CD = ED = 4 2 + (4 2 ) 2 = 4 3 m.
Aplicando a lei dos co-senos ao ∆EFD, (4 3 ) 2 =
= (2 5 ) 2 + (2 5 ) 2 − 2 ⋅ (2 5 )(2 5 ) ⋅ cosα ⇔
1
⇔ 48 = 40 − 40 cosα ⇔ cosα = −
⇔
5
⎛ 1⎞
⇔ α = arc cos ⎜ − ⎟ .
⎝ 5⎠
Admitindo que a base do prisma é um trapézio re(4 + 2)
tângulo, o volume V1 é
⋅ 2 ⋅ 2 = 12 m 3 .
2
Como VH é perpendicular à base trapezoidal, o
1 (4 + 2) ⋅ 4
volume V2 da pirâmide é
⋅
⋅4 =
3
2
= 16 m 3 .
V
12
Assim, 1 =
⇔ V1 = 75% ⋅ V2 .
V2
16
Questão 12
O ângulo α, indicado na figura B, é igual a
1
1
b) arc cos .
a) arc cos − .
5
5
24
24
.
d) arc sen
.
c) arc cos −
25
25
e) arc sen 1.
Questão 13
Um fundo de investimento disponibiliza números inteiros de cotas aos interessados nessa aplicação financeira. No primeiro dia de
negociação desse fundo, verifica-se que 5 investidores compraram cotas, e que foi vendido um total de 9 cotas. Em tais condições, o
número de maneiras diferentes de alocação
das 9 cotas entre os 5 investidores é igual a
a) 56.
b) 70.
c) 86.
d) 120.
e) 126.
alternativa B
O número de maneiras de alocar as 9 cotas entre
os 5 investidores, sendo que todos compraram
cotas, é igual ao número de soluções inteiras e po-
matemática 7
sitivas da equação x1 + x 2 + x 3 + x4 + x5 = 9,
onde xi representa o número de cotas compradas
⎛8 ⎞
pelo i-ésimo investidor, isto é, C9 −1, 5 −1 = ⎜ ⎟ =
⎝4 ⎠
8 ⋅7 ⋅6 ⋅ 5
=
= 70.
4!
Sendo g(x) = a + b ⋅c x e h(x) = d + e ⋅f x , a soma
a + b + c + d + e + f é igual a
7
10
c)
.
d) 8.
e) 9.
a) 0.
b) .
3
3
Questão 14
Pelos gráficos, as assíntotas de g(x) e h(x) são,
respectivamente, as retas de equações y = 3 e
y = −3 .
Como g(x) = a + b ⋅ c x e h(x) = d + e ⋅ f x , temos
⎛1 ⎞
a = 3 e d = −3. E pelos gráficos, g(0) = 4, g ⎜ ⎟ = 5,
⎝2 ⎠
⎛1 ⎞
h(0) = −4 e h ⎜ ⎟ = −5. Assim:
⎝2 ⎠
Sabendo-se que a circunferência x2 + y2 − 6x +
+ 4y + p = 0 possui apenas um ponto em comum com a reta y = x − 1, conclui-se que p é
igual a
a) −9.
b) 7.
c) 9.
d) 11.
e) 12.
ver comentário
Como a circunferência e a reta possuem um único
ponto em comum, o sistema
2
2
x + y − 6x + 4y + p = 0
y = x −1
possui uma única solução, isto é, a equação
x 2 + (x −1) 2 − 6x + 4(x − 1) + p = 0 ⇔
⇔ 2x 2 − 4x + (p − 3) = 0 deve ter ∆ = 0, ou seja,
( −4) 2 − 4 ⋅ 2(p − 3) = 0 ⇔ p = 5.
Questão 15
Os gráficos das funções exponenciais g e h
são simétricos em relação à reta y = 0, como
mostra a figura:
alternativa D
3 + b ⋅ c0 = 4
3 + b ⋅c
1
2
−3 + e ⋅ f 0
1
−3 + e ⋅ f 2
b =1
c =4
⇔
e = −1
= −4
f =4
= −5
=5
Logo a + b + c + d + e + f = 3 + 1 + 4 − 3 − 1 + 4 = 8.
Questão 16
Uma aplicação financeira rende juros de 10%
ao ano, compostos anualmente. Utilizando
para os cálculos as aproximações fornecidas
na tabela, pode-se estimar que uma aplicação
de R$ 1.000,00 seria resgatada no montante
de R$ 1.000.000,00 após
x
log x
2
0,30
5
0,70
11
1,04
a) mais de 1 século.
4
c) de século.
5
3
e) de século.
4
b) 1 século.
2
d) de século.
3
alternativa E
Uma aplicação financeira de R$ 1.000,00 rendendo juros compostos de 10% ao ano, poderá ser
matemática 8
resgatada no valor de R$ 1.000.000,00 depois de
um tempo t, em anos, tal que
1 000(1 + 10%)t = 1 000 000 ⇔ (1,1)t = 1 000 ⇔
log 1 000
⇔
⇔ log (1,1)t = log 1 000 ⇔ t =
log(1,1)
log 1 000
log 1 000
anos.
⇔t=
⇔t=
log 11 − log 10
⎛ 11 ⎞
log ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
Usando a aproximação dada log 11 ≅ 1,04, t ≅
3
3
= 75 anos = de século.
≅
1,04 − 1
4
Questão 17
Admita que o centro do plano complexo
Argand-Gauss coincida com o centro de um
relógio de ponteiros, como indica a figura:
Se o determinante da matriz (M + xI) é uma
função polinomial na variável x, a soma de
suas raízes é igual a
a) −1.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
alternativa B
⎡ 0 1 2⎤
⎡1 0 0 ⎤ ⎡ x 1 2 ⎤
M + xI = ⎢ 1 0 2 ⎥ + x ⋅ ⎢0 1 0 ⎥ = ⎢ 1 x 2 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢⎣ −1 0 0 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 0 x ⎥⎦
Seja f (x ) a função polinomial descrita. Temos:
x 1 2
f(x) = 1 x 2 ⇔ f(x) = x 3 + x − 2
−1 0 x
Pelas relações entre os coeficientes e as raízes, a
−0
soma das raízes desta função é
= 0.
1
Questão 19
Sejam f e g funções quadráticas, com f(x) =
= ax2 + bx + c. Sabe-se que o gráfico de g é
simétrico ao de f em relação ao eixo y, como
mostra a figura.
Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de
comprimento, às 11h55min sua ponta estará
sobre o número complexo
b) 1 + 3 i
c) 1 − 3 i
a) −1 + 3 i
d) 3 − i
e) 3 + i
alternativa A
Às 11h55min, a ponta do ponteiro dos minutos representa o número complexo Z de módulo 2 e argumento principal 4 ⋅ 30o = 120o .
Assim, Z = 2(cos 120o + i ⋅ sen 120o ) =
⎛ 1
3 ⎞
= 2 ⎜−
+
i ⎟ = −1 + 3 i.
2
2
⎠
⎝
Questão 18
Os pontos P e Q localizam-se nos maiores zeros das funções f e g, e o ponto R é o intercepto de f e g com o eixo y. Portanto, a área do
triângulo PQR, em função dos parâmetros a,
b e c da função f, é
(a + b) ⋅ c
(a − b) ⋅ c
b)
a)
2
2
b ⋅c
a ⋅b ⋅c
d) −
c) −
2⋅a
2
e)
Seja I a matriz identidade de ordem 3 e M a
⎡ 0 1 2⎤
matriz quadrada ⎢ 1 0 2⎥
⎢
⎥
⎢⎣−1 0 0⎥⎦
c2
2⋅a
alternativa D
Sejam x1 e x 2 , x1 < x 2 , as raízes da função f.
Como o gráfico de g é simétrico ao gráfico de f
matemática 9
em relação ao eixo y, as raízes de g são
−x1 e − x 2 , −x 2 < − x1 .
Como os pontos P e Q localizam-se nos maiores
zeros de f e g, que são respectivamente x 2 e − x1 ,
b
. Sendo R o
PQ = x 2 − ( −x1 ) = x 2 + x1 = −
a
ponto de intersecção de f e g com o eixo y,
R = (0; f(0)) = (0; c).
b
− ⋅c
Logo a área do triângulo PQR é igual a a
=
2
bc
.
=−
2a
Questão 20
A posição de um objeto A num eixo numerado
1
7
é descrita pela lei
−
⋅ 2−0,5t , onde t é o
8
8
tempo em segundos. No mesmo eixo, move-se
o objeto B, de acordo com a lei 2−t . Os objetos
A e B se encontrarão num certo instante t AB .
O valor de t AB , em segundos, é um divisor de
a) 28.
b) 26.
c) 24.
d) 22.
e) 20.
alternativa C
No encontro dos objetos A e B, temos:
1
7
−
⋅ 2 −0,5t = 2 −t ⇔
8
8
⇔ 1 − 7 ⋅ 2 −0,5 t = 8 ⋅ 2 −t ⇔
⇔ 8 ⋅ 2 −t + 7 ⋅ 2 −0,5t − 1 = 0 ⇔
⇔
2 −0,5t = y
8y 2 + 7y − 1 = 0
b) a mediatriz de AB e a circunferência de
centro C e raio 1 cm.
c) as circunferências de raio 10 cm e centros
A, B e C.
$ e CBA
$ e a circunfed) as bissetrizes de CAB
rência de centro C e raio 10 cm.
$ e a circunfe$ e CBA
e) as bissetrizes de CAB
rência de centro C e raio 1 cm.
alternativa A
Como a cidade D é eqüidistante das cidades A e B
e está a 10 km da cidade C, D está na intersecção
da mediatriz do segmento AB com a circunferência
de centro C e raio 10 km, que na escala 1 : 100 000
10
km = 10 −4 km =
será correspondente a
100 000
= 10 cm.
Obs.: tal intersecção pode ser em dois pontos. A
localização da cidade D então não ficaria determinada.
Questão 22
Na figura, ABC é um triângulo com AC =
= 20 cm, AB = 15 cm e BC = 14 cm.
A
C
P
R
Q
2 −0,5t = y
⇔ ⎛
1⎞
⎜ y = −1ou y = ⎟
⎝
8⎠
1
⇔ 2 −0,5t = 2 −3 ⇔
8
⇔ −0,5t = −3 ⇔ t = 6 segundos, que é um divisor de 24.
Logo 2 −0,5t =
Questão 21
A cidade D localiza-se à mesma distância das
cidades A e B, e dista 10 km da cidade C. Em
um mapa rodoviário de escala 1:100 000, a localização das cidades A, B, C e D mostra que
A, B e C não estão alinhadas. Nesse mapa, a
cidade D está localizada na intersecção entre
a) a mediatriz de AB e a circunferência de
centro C e raio 10 cm.
B
Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do
QR
é igual a
triângulo ABC, o quociente
AR
a) 0,3. b) 0,35. c) 0,4. d) 0,45. e) 0,5.
alternativa C
Aplicando o teorema da bissetriz interna ao triângulo ABC, obtemos:
BQ
CQ
BQ
14 − BQ
=
⇔
=
⇔ BQ = 6
AB
AC
15
20
No triângulo ABQ, BR é bissetriz interna.
Assim, aplicando novamente o teorema da bissetriz interna:
QR
AR
QR
AR
QR
6
=
⇔
=
⇔
=
= 0,4
BQ
AB
6
15
AR
15
matemática 10
Questão 23
Na figura, ABCD é um quadrado, e M, N e P
são pontos médios de AD, BC e CD, respectivamente:
condições, a média, em metros, das alturas
dos jogadores que saíram supera a dos que
entraram em
b) 0,04.
a) 0,03.
d) 0,09.
c) 0,06.
e) 0,12.
alternativa B
A soma das alturas dos jogadores, antes das
substituições, é 6 ⋅ 1,92 = 11,52 m e após,
6 ⋅ 1,90 = 11,40 m. Assim a média das alturas dos
jogadores que saíram supera a dos jogadores que
11,52 − 11,40
entraram em
= 0,04 m.
3
Sabendo-se que os segmentos de reta BM, BD
e NP dividem o quadrado em polígonos de
áreas S1 , S2 , S 3 e S4 , conforme indica a figura, é correto afirmar que
a) 6 S1 = 6 S2 = 4 S 3 = 3 S4
b) 4 S1 = 3 S2 = 3 S 3 = 5 S4
c) 3 S1 = 3 S2 = 2 S 3 = 4 S4
d) 3 S1 = 3 S2 = 6 S 3 = 2 S4
e) 3 S1 = 3 S2 = 2 S 3 = 6 S4
alternativa E
Na figura, observa-se que os triângulos AMB e
MDB têm bases AM e MD, respectivamente,
iguais e altura AB. Seja então S = S1 = S 2 .
Como P e N são pontos médios de CD e BC, resS4
pectivamente, ∆CNP ~ ∆CBD e
=
S 3 + S4
Questão 25
A tabela indica a seqüência de teclas digitadas em uma calculadora (da esquerda para a
direita) e o resultado apresentado no visor
após a seqüência:
Seqüência de
teclas (→ )
Resultado no
visor
2 + 3 =
5
2 + 3 = =
8
2 + 3 = = =
11
M
M
2
S4
S
1
1
⎛ CN ⎞
= ⇔ 4 = ⇔ S = 2 ⋅ S4 .
⎜
⎟ ⇔
⎝ BC ⎠
4
S1 + S 2
2S 4
2 ⋅ S3
S 3S
Logo S 3 = 2S − =
.
⇔S=
2
2
3
2S 3
Assim S1 = S 2 =
= 2S4 ⇔
3
⇔ 3S1 = 3S 2 = 2S 3 = 6S4 .
Sabendo que X e Y representam dois algarismos de 0 a 9, e que após digitarmos X + Y
seguido de 20 vezes a digitação da tecla = obtivemos o número 87, é correto afirmar que
X + Y é igual a
a) 12.
b) 11.
c) 10.
d) 9.
e) 8.
alternativa B
Questão 24
A média das alturas dos 6 jogadores em quadra de um time de vôlei é 1,92 m. Após substituir 3 jogadores por outros, a média das alturas do time passou para 1,90 m. Nessas
Analisando a tabela, concluímos que digitar X + Y
seguido de 20 vezes a digitação da tecla = ,
significa adicionar 20 ⋅ Y a X, ou seja, X + 20 ⋅ Y =
= 87 ⇔ X = 87 − 20Y .
Como X e Y são algarismos de 0 a 9, 0 ≤ 87 − 20y ≤
78
87
≤Y≤
⇔ Y = 4. Assim, X =
≤9⇔
20
20
= 87 − 20 ⋅ 4 = 7 e X + Y = 7 + 4 = 11.
matemática 11
Questão 26
O sólido da figura 1 foi obtido a partir de
duas secções em um cilindro circular reto de
altura 24 cm e raio da base 10 cm. As secções
foram feitas na intersecção do cilindro com
um diedro de 60o, como mostra a figura 2:
figura 2
figura 1
A
A
C
B
60°
C
B
[( −160) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 10 000]
= 3 600 reais.
4 ⋅1
Questão 28
,
,
O custo total na produção de x unidades da mercadoria é dado por
10 000
⎛
⎞
x ⋅ C(x) = x ⋅ ⎜ x +
− 160 ⎟ =
⎝
⎠
x
−
A
C
alternativa A
= x 2 − 160x + 10 000 reais, cujo valor mínimo é
B
,
,
A
custo total mínimo em que a empresa pode
operar, em R$, é igual a
b) 3 800,00.
a) 3 600,00.
d) 4 200,00.
c) 4 000,00.
e) 4 400,00.
C
,
,
B
Sabendo que os pontos A, B, C, A’, B’ e C’
pertencem às faces do diedro e às circunferências das bases do cilindro, como mostra a
figura 2, a área da superfície BB’C’C, contida
na face lateral do cilindro, em cm², é igual a
a) 60 π.
b) 40 3 π.
c) 80 π.
d) 90 3 π.
Na figura estão representados dois quadrados de lado d e dois setores circulares de 90o e
raio d:
e) 160 π.
alternativa E
Sejam O o centro da circunferência que contém
os pontos A, B e C e O’ o centro da circunferência
que contém os pontos A’, B’ e C’. Pelo teorema
do ângulo inscrito, podemos afirmar que
$ B’) = m (COB)
$
m (C’O’
= 2 ⋅ 60o = 120o .
Assim, como a área da superfície lateral do cilindro é diretamente proporcional ao ângulo do diedro de aresta OO’, temos que a área da superfície
120o
BB’C’C é
⋅ 2 π ⋅ 10 ⋅ 24 = 160 π cm 2 .
360o
Questão 27
Sabe-se que o custo por unidade de mercadoria produzida de uma empresa é dado pela
10 000
função C(x) = x +
− 160, onde C(x) é
x
o custo por unidade, em R$, e x é o total de
unidades produzidas. Nas condições dadas, o
Sabendo que os pontos A, E e C estão alinhados, a soma dos comprimentos do segmento
CF e do arco de circunferência AD, em função
de d, é igual a
(3 + π )
(2 3 + π )
b)
d
a)
d
6
6
c)
(4 3 + π )
d
12
e)
(2 3 + π )
d
12
d)
(12 + π )
d
24
alternativa A
d
perpendicular a FD. No triângulo
Seja AG =
2
d
1
AG
AGE, senθ =
= 2 ⇔ senθ =
⇔ θ = 30o .
2
AE
d
matemática 12
Para que o sistema seja possível e indeterminado, devemos ter:
a +2 =0
a = −2
⇔
⇔
−4 + log b ( −a) = 0
−4 + log b 2 = 0
⇔
a = −2
b =
4
2
Logo b a = ( 4 2 ) −2 =
No triângulo CFE, CF = d ⋅ tgθ = d ⋅ tg 30o =
d 3
.
3
30o
πd
.
⋅ 2 πd =
6
360o
(2 3 + π)
πd
d 3
Assim CF + AD =
+
=
d.
3
6
6
O arco AD mede
Questão 29
Sabe-se que o sistema linear
⎧x − y = 2
nas variáveis x e y, é
⎨
⎩ 2x + ay = logb ( −a)
possível e indeterminado. Nessas condições,
ba é igual a
a) 2 4 2 .
d)
2
.
2
b) 2 .
c) 4 2 .
4
e)
2
.
2
alternativa D
x − y =2
x = y +2
⇔
2x + ay = log b ( −a)
(a + 2)y = −4 + log b ( −a)
1
2
.
=
2
2
Questão 30
O país A possui renda per capita anual de R
dólares e população de P habitantes. Sabendo-se que o país B possui renda per capita
anual igual a 60% da do país A e o dobro da
sua população, é correto dizer que a renda total anual do país B é
a) 20% inferior à de A.
b) 30% inferior à de A.
c) igual à de A.
d) 30% superior à de A.
e) 20% superior à de A.
alternativa E
A renda total anual de um país é o produto
da renda per capita pela população. A renda
total anual do país A é P ⋅ R , e a do país B,
(2 ⋅ P) ⋅ (60% ⋅ R) = 1,2 ⋅ P ⋅ R, que é 0,2 = 20% superior à de A.