Lista : Superfícies
Matemática - Professora Ivanete Zuchi Siple
1. Representar gracamente as seguintes superfícies cilíndricas, identicando as curvas diretrizes em coordenadas paramétricas.
(a) x2 + y 2 = 16
(b) 3x2 + 5z 2 = 15
(c) y = 3x2
(d) x4 − 4y 2 = 16
(e) z = y 2 + 2
(f) x2 + y 2 = 2x
(g) x2 + z 2 = 4z
Nos exercícios 2 ao 19 identique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas
equações:
2. 4y 2 + 9z 2 = 36
11. x2 + z 2 − y = 2
3. x2 − 4y 2 = 16
12. x2 − 4y 2 + 2z 2 = 8
4. y = x2 − 9
13. x2 + y 2 + z 2 = 0
5. x − y = 0
14. 4y 2 + z 2 − 4x = 0
6. x2 + y 2 = 2y
15. −16x2 + 9y 2 − z 2 = 144
7. z = ey
16. z = x2 − y 2
p
17. z = 1 + 1 − x2 − y 2
8. x2 + y 2 + z 2 = 25
9. 4x2 + 4y 2 + z 2 − 16 = 0
10. y 2 = x2 + z 2
18. x2 + y 2 − z 2 + 18z − 81 = 0
p
19. z = 9 − x2 + y 2
20. Considere a função z = f (x, y). Os grácos no plano xy das equações f (x, y) = k, sendo k um número
real, são chamados curvas de nível associadas à função f. Seja f (x, y) = −x2 + y 2 . Esboce e identique as
curvas de nível da função f para k = −4, k = −1, k = 0, k = 1 e k = 4.
21. Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos de R3 cujas soma das distâncias aos pontos
A(1, 2, −1) e B(1, 4, −1) é 4. Identique este conjunto de pontos.
22. Encontre a equação da superfície esférica que passa pelos pontos A(0, 0, 1), B(0, 1, 0) e C(1, 0, 0) e cujo
centro está no plano π : x + y − z = 0.
½
x = 2z − 3
e passa pelos pontos
23. Determine a equação da superfície esférica que tem centro na reta r :
y =z−1
A(6, −1, 3) e B(0, 7, 5).
24. Considere a superfície de equação x2 + y 2 − z 2 = k, onde k é uma constante real.
(a) Classique as superfícies obtidas quando
i. k < 0
iii. k > 0
ii. k = 0
(b) Para k = 4 encontre e identique as interseções da superfície dada com os planos coordenados e com
os planos z = 4 e z = −4.
2
(c) Para k = 4 represente geometricamente a superfície dada.
25. Encontre a equação do elipsóide com centro na origem, um dos vértices em (1, 0, 0) e a interseção com o
2
z2
plano x = 12 seja a curva y3 + 12
= 1.
½
z = x2 + y 2
26. Identique e represente a curva:
z = 4
½
z = x2 + y 2
27. Represente a superfície cônica de vértice V (0, 0, 5) e cuja diretriz é a curva:
z = 4
½
9x2 + 4y 2 = 36
28. Represente a superfície cônica de vértice V (0, 0, 2) e cuja diretriz é a curva:
z = 4
Respostas:
1. (a) cilindro
(b) cilindro
(c) cilindro
(d) cilindro
(e) cilindro
(f) cilindro
(g) cilindro

x = 4 cos(t)
circular com geratriz o eixo z e diretriz d : y = 4 sin(t)

z=0
√

x = √5 cos(t)
elíptico com geratriz o eixo y e diretriz d : z = 3 sin(t)

y=0

 x=t
parabólico com geratriz o eixo z e diretriz d : y = 3t2

z=0

 x = 4 sec(t)
hiperbólico com geratriz o eixo z e diretriz d : y = 2 tan(t)

z=0

 y=t
circular com geratriz o eixo x e diretriz d : z = t2 + 2

x=0

x = 1 + 1 cos(t)
y = sin(t)
circular com geratriz o eixo z e diretriz d :

z=0

 x = 2 cos(t)
circular com geratriz o eixo y e diretriz d : z = 2 + 2 sin(t)

y=0
2. Cilindro elíptico com geratriz o eixo x
3. Cilindro hiperbólico com geratriz o eixo z
4. Cilindro parabólico com geratriz o eixo z
5. Plano paralelo ao eixo z.
6. Cilindro circular com diretriz x2 + y 2 = 2y e geratriz o eixo z
7. Cilindro com diretriz z = ey e geratriz o eixo x
3
8. Esfera C(0, 0, 0)
9. Elipsóide C(0, 0, 0)
10. Cone ao longo do eixo y V (0, 0, 0)
11. Parabolóide circular com V (0, −2, 0) ao longo do eixo y
12. Hiperbolóide de uma folha ao longo de y com C(0, 0, 0)
13. Ponto (0, 0, 0)
14. Parabolóide elíptico ao longo do eixo x
15. Hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo y
16. Parabolóide Hiperbólico no eixo z com V (0, 0, 0)
17. Meia esfera ou calota superior da esfera C(0, 0, 1) e raio 1
18. Cone ao longo do eixo z com V (0, 0, 9)
19. Folha inferior de cone ao longo do eixo z com V (0, 0, 9)
20. k = −4 e k = −1 : hipérboles com eixo real x; k − 0 : duas retas; k = 1 e k = 4 : hipérboles com eixo
real y
21.
(x−1)2
3
+
(y−3)2
4
+
(z+1)2
3
= 1 elipsóide com C(1, 3, −1)
22. x2 + y 2 + z 2 = 1
23. (x + 7)2 + (y + 3)2 + (z + 2)2 = 198
24. (a)
i. hiperbolóide de 2 folhas em z;
ii. cone em z;
iii. hiperbolóide de 1 folha em z
(b) .
(c) hiperbolóide de 1 folha em z
25. x2 +
y2
4
+
z2
16
=1
26. Circunferência de raio 2 em z = 4
27. Equação do cone elíptico:
x2
4
+
y2
4
− (z − 5)2 = 0
28. Equação do cone elíptico:
x2
4
+
y2
9
− (z − 2)2 = 0