log (2 ⋅3 ⋅10)
log 2 + log 3 + log 10
≅18
=7 ⋅
log 10 − log 2
⎛ 10 ⎞
log ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
b) Com log 5 ≅ 0,7 e log 60 ≅ 1,8 , o gráfico é um
segmento de reta, cujos extremos têm coordenadas (log 5; 7) ≅ (0,7; 7) e (log 60; 18) ≅ (1,8; 18).
=7⋅
Questão 36
A cafeína tem ação central e periférica, podendo influir positivamente no raciocínio,
concentração e metabolismo. Em 1927 um
pesquisador fez um experimento com 60 indivíduos que foram submetidos a doses crescentes de cafeína, de 5 a 60 centigramas (cg).
Esses indivíduos realizavam operações aritméticas cuja velocidade aumentava linearmente com o logaritmo da dose.
(Hernani Pinto de Lemos Júnior,
Vamos tomar café?, Diagnóstico & Tratamento,
julho/agosto/setembro 2007. Adaptado.)
Utilize os dados da tabela a seguir e responda.
x
log x
2
3
0,3
0,5
a) Admita que um indivíduo submetido a 5 cg
de cafeína realize 7 operações aritméticas a
cada dez segundos. Calcule quantas operações aritméticas a cada dez segundos esse indivíduo deverá realizar se estiver sob efeito
de 60 cg de cafeína.
b) Faça em seu caderno de respostas um esboço do gráfico da velocidade (operações aritméticas por dez segundos) em função do logaritmo da dose (dose em centigramas) de cafeína ingerida, tomando como base o intervalo
descrito no enunciado do problema.
Resposta
a) Como a velocidade aumenta linearmente com
o logaritmo da dose, sendo x a quantidade de
operações que um indivíduo consegue realizar a
cada 10 segundos sob efeito de 60 cg de cafeína,
utilizando as aproximações dadas, temos:
log 60
7
x
=
⇔ x =7 ⋅
=
log 5
log 60
log 5
Questão 37
A figura indica um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 5x5x4, em centímetros,
sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices.
a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Calcule a distância entre o vértice D e o
plano que contém o triângulo ABC.
Resposta
a) Temos AC = AB = 5 2 + 4 2 = 41 cm e
BC = 5 2 + 5 2 = 5 2 cm.
matemática 2
b) Sendo P(x) um polinômio de 3º grau com
P(0) = 1, tem-se P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + 1, a ≠ 0.
Como P( −1) = 2 , P(1) = 2 e P(2) = 7, temos:
a ⋅ ( −1) 3 + b ⋅ ( −1) 2 + c ⋅ ( −1) + 1 = 2
a ⋅ 13 + b ⋅ 12 + c ⋅ 1 + 1 = 2
a⋅2
Como o triângulo ABC é isósceles de base BC,
BM = MC =
= 41 −
5 2
cm e AM =
2
25
=
2
AB 2 − BM 2 =
57
cm.
2
Logo a área do triângulo ABC é 5 2 ⋅
57
2
2
+b ⋅2
2
⇔
+ c ⋅ 2 +1 = 7
1
a=
−a + b − c = 1
3
⇔ a + b + c =1
⇔ b =1
8a + 4b + 2c = 6
1
c =−
3
Logo P(x) =
x3
x
+ x2 −
+ 1.
3
3
Questão 39
=
5 57
cm 2 .
=
2
b) O volume da pirâmide ABCD é
3
1
⋅ ABCD ⋅ AD =
3
1 5 ⋅5
50
cm 3 . A distância d, entre o
⋅
⋅4 =
3
2
3
vértice D e o plano que contém o triângulo ABC, é
=
tal que
1
50
5 57
⋅ AABC ⋅ d =
⇔
⋅ d = 50 ⇔
3
3
2
⇔d =
20 57
cm.
57
Seja (λ) a curva x2 + y2 − 12x − 16y + 75 = 0,
e os pontos P(0, 0) e Q(12, 16).
a) Faça em seu caderno de respostas o plano
cartesiano ortogonal (x, y) e represente nele a
curva (λ) e os pontos P e Q.
b) Calcule o comprimento do menor caminho
de P a Q que não passe pela região do plano
determinada por x2 + y2 − 12x − 16y + 75 < 0.
Resposta
a) x
2
+y
2
− 12x − 16y + 75 = 0 ⇔
⇔ (x − 6) 2 + (y − 8) 2 = 25
Assim, λ é a circunferência de centro C (6; 8) e
raio 5.
Questão 38
Em relação a P(x), um polinômio de terceiro
grau, sabe-se que P(−1) = 2, P(0) = 1, P(1) = 2
e P(2) = 7.
a) Determine a equação reduzida da reta que
passa pelo ponto em que o gráfico da função
polinomial P(x) cruza o eixo y, sabendo que
essa reta tem coeficiente angular numericamente igual à soma dos coeficientes de P(x).
b) Determine P(x).
Resposta
a) O ponto onde o gráfico de P(x) cruza o eixo y é
(0; P(0)) = (0; 1) e a soma dos coeficientes de P(x)
é P(1) = 2. Assim, uma equação da reta que passa por (0; 1) e cujo coeficiente angular é 2 é
y − 1 = 2(x − 0) ⇔ y = 2x + 1.
matemática 3
b) Considere a figura a seguir:
a) Calcule a área do polígono convexo
AECBDA.
b) Sorteados ao acaso três dos cinco pontos,
qual é a probabilidade de que, quando ligados, os pontos sejam vértices de um triângulo
de perímetro maior que 10?
Adote 3 = 1,7 e 7 = 2,6.
Resposta
a) Considere a figura a seguir:
A região sombreada na figura, de contorno tracejado, é descrita por x 2 + y 2 − 12x − 16y + 75 < 0.
Como o raio do círculo de centro C é 5 e
$ = 5 = 1 e, assim,
PC = 6 2 + 8 2 = 10, cos(PCM)
10 2
$
$
= 60o . Analogamente, m (QCN)
= 60o e,
m (PCM)
$
$
$
dessa forma, m (PCM) + m (QCN) + m (MCN)
=
o
o
o
o
$
= 180 ⇔ 60 + 60 + m (MCN) = 180 ⇔
$
⇔ m (MCN)
= 60o .
Conforme a figura, o comprimento do menor caminho de P a Q é a soma das medidas dos segmentos PM e QN e do menor arco de circunferência MN, ou seja, PM + QN + m (MN) =
1
5π
.
= 2 ⋅ PC ⋅ sen 60o +
⋅ 2 π ⋅ 5 = 10 3 +
6
3
Questão 40
Os pontos A, B, C, D e E estão dispostos em
vértices de triângulos eqüiláteros de lado 2,
dispostos em uma malha geométrica, como
indicado na figura.
Como os triângulos AOE e AQD são congruentes
pelo caso LAL, a área do polígono convexo
AECBDA é igual à área de 5 triângulos eqüiláteros
de lado 2, a saber, AQO, QOD, DOC, COE e CDB.
22 3
Logo a área pedida é 5 ⋅
= 5 3 ≅ 8,5 .
4
b) Temos BC = BD = CD = CE = 2, AC = BE = 4,
AD = AE = DE = 2 2 + 2 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ cos 120o =
= 4 + 4 + 4 = 2 3 ≅ 3,4 e
AB = 2 2 + 4 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ cos 120o =
= 4 + 16 + 8 = 2 7 ≅ 5,2.
Os perímetros dos triângulos são aproximadamente:
• ABC: 5,2 + 4 + 2 > 10
• ABD: 5,2 + 3,4 + 2 > 10
• ABE: 5,2 + 4 + 3,4 > 10
• ACD: 4 + 3,4 + 2 < 10
• ACE: 4 + 3,4 + 2 < 10
• ADE: 3,4 + 3,4 + 3,4 > 10
• BCD: 2 + 2 + 2 < 10
• BDE: 4 + 3,4 + 2 < 10
• CDE: 3,4 + 2 + 2 < 10
⎛5 ⎞
Como existem ⎜ ⎟ = 10 maneiras de escolher 3
⎝3 ⎠
pontos dos 5 marcados e apenas 4 triângulos têm
perímetro maior que 10, a probabilidade pedida é
4
= 40% .
10
Observação: o ponto C não pode ser vértice de
um polígono.