PROVA DE MATEMÁTICA DA UNIFESP
VESTIBULAR– 2012
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
QUESTÃO 16
O quadro mostra o resultado de uma pesquisa realizada com 200 nadadores de competição da cidade de
São Paulo, visando apontar o percentual desses nadadores que já tiveram lesões (dores) em certas
articulações do corpo, decorrentes da prática de
natação, nos últimos três anos.
Articulação
Percentual de
nadadores
ombro
80%
coluna
50%
joelho
25%
pescoço
20%
Com base no quadro, determine:
a) quantos nadadores do grupo pesquisado tiveram lesões (dores) no joelho ou no pescoço, considerando
que 5% dos nadadores tiveram lesões nas duas articulações, joelho e pescoço.
b) qual é a probabilidade de um nadador do grupo pesquisado, escolhido ao acaso, não ter tido lesões
(dores) no ombro ou na coluna, considerando as manifestações de dores como eventos independentes.
RESOLUÇÃO:
Articulação
ombro
coluna
joelho
pescoço
No de nadadores
0,8×200 = 160
0,5×200 = 100
0,25×200 = 50
0,2×200 = 40
Percentual de
nadadores
80%
50%
25%
20%
a) Sabendo que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B), o número de nadadores que tiveram lesões no joelho
ou no pescoço é: 50 + 40 – 0,05 × 200 = 90 – 10 = 80.
RESPOSTA: 80 nadadores.
b) Um nadador do grupo pesquisado, escolhido ao acaso, não ter tido lesões (dores) no ombro ou na
coluna é um elemento do conjunto “complementar” desse grupo, que é a “união” do conjunto dos que
tiveram lesão no ombro com o conjunto formado com aqueles que tiveram lesão na coluna.
Sabe-se que dados dois conjuntos A e B, A ∪ B = A ∩ B ⇒ n A ∪ B = n A ∩ B .
(
)
(
) (
)
(
)
Como as manifestações de dores devem ser consideradas eventos independentes, p A ∩ B = p(A) × p(B) .
Dos 200 nadadores pesquisados apenas 40 não tiveram lesão no ombro e 100 não tiveram lesão na coluna.
40 100 1
Logo: p A ∩ B =
×
=
= 10% ou p A ∩ B = (1 − 0,8) × (1 − 0,5) = 0,2 × 0,5 = 0,10 = 10% .
200 200 10
(
)
(
)
RESPOSTA: 10%.
1
QUESTÃO 17
Por motivos técnicos, um reservatório de água na forma de um cilindro circular reto (reservatório 1),
completamente cheio, será totalmente esvaziado e sua água será transferida para um segundo reservatório,
que está completamente vazio, com capacidade maior do que o primeiro, também na forma de um
cilindro circular reto (reservatório 2). Admita que a altura interna h(t), em metros, da água no reservatório
1, t horas a partir do instante em que se iniciou o processo de esvaziamento, pôde ser expressa pela função
15t − 120
h(t) =
.
t − 12
a) Determine quantas horas após o início do processo de esvaziamento a altura interna da água no
reservatório 1 atingiu 5 m e quanto tempo demorou para que esse reservatório ficasse completamente
vazio.
b) Sabendo que o diâmetro interno da base do reservatório 1 mede 6 m e o diâmetro interno da base do
reservatório 2 mede 12 m, determine o volume de água que o reservatório 1 continha inicialmente e a
altura interna H, em metros, que o nível da água atingiu no reservatório 2, após o término do processo de
esvaziamento do reservatório 1.
RESOLUÇÃO:
a) Sendo h(t) =
15t − 120
15t − 120
, então para
= 5 ⇒ 15t − 120 = 5t − 60 ⇒ 10t = 60 ⇒ t = 6 e para
t − 12
t − 12
15t − 120
= 0 ⇒ 15t − 120 = 0 ⇒ 15t = 120 ⇒ t = 8 .
t − 12
RESPOSTA: Após 6 horas do início do processo de esvaziamento a altura interna da água no
reservatório 1 atingiu 5 m e 8 horas para ficar completamente vazio.
15.0 − 120 −120
= 10 ⇒ h = 10m .
=
0 − 12
− 12
Então o volume do reservatório 1 é igual a V1 = π R 2 .h ⇒ V1 = 9.10π m 3 = 90π m 3 .
Como toda essa água vai ser transferida para o reservatório 2 que tem raio 6m, nesse reservatório atingirá
a altura H, então, V2 = π 6 2.H ⇒ 36Hπ = 90π m 3 ⇒ H = 2,5m .
b) A altura do reservatório 1 é encontrada para t = 0 ⇒ h(0) =
RESPOSTA: O volume do reservatório 1 é 90π
πm3 e a altura que a água atinge no reservatório 2 é
2,5m.
QUESTÃO 18
Numa classe há x meninas e y meninos, com x, y ≥ 4. Se duas meninas se retirarem da classe, o número
de meninos na classe ficará igual ao dobro do número de meninas.
a) Dê a expressão do número de meninos na classe em função do número de meninas e, sabendo que não
há mais que 14 meninas na classe, determine quantos meninos, no máximo, pode haver na classe.
b) A direção do colégio deseja formar duas comissões entre os alunos da classe, uma com exatamente 3
meninas e outra com exatamente 2 meninos. Sabendo-se que, nessa classe, o número de comissões que
podem ser formadas com 3 meninas é igual ao número de comissões que podem ser formadas com dois
meninos, determine o número de alunos da classe.
RESOLUÇÃO:
a) Pelos dados iniciais da questão y = 2(x – 2).
y+4
Se y = 2(x – 2) ⇒ 2x – 4 = y ⇒ x =
.
2
y+4
Se x ≤ 14 ⇒
≤ 14 ⇒ y + 4 ≤ 28 ⇒ y ≤ 24 .
2
RESPOSTA: A expressão do número de meninos na classe em função do número de meninas é y =
2x – 4 e no máximo, pode haver na classe 24 meninos.
2
(2x − 4)! ⇒
x!
=
3 !×(x − 3)! 2 !×(2x − 6)
x (x − 1)(x − 2)(x − 3)! (2x − 4)(2x − 5)(2x − 6)!
x (x − 1)(x − 2)
=
⇒
= 2(x − 2)(2x − 5) ⇒
(2x − 6)!
3 × (x − 3)!
3
b) C x,3 = C y,2 ⇒ C x,3 = C 2x − 4,2 ⇒
13 ± 169 − 120
13 ± 7
⇒x=
⇒ x = 3 ou x = 10.
2
2
Para x = 3 ⇒ y = 2(3) – 4 ⇒ y = 2, valor que não satisfaz devido à condição y ≥ 4.
Para x = 10 ⇒ y = 2(10) – 4 ⇒ y = 16, valor que satisfaz devido à condição 4 ≤ y ≤ 24.
x (x − 1) = 6(2x − 5) ⇒ x 2 − 13x + 30 = 0 ⇒ x =
RESPOSTA: O número de alunos dessa classe é (10 + 16) = 26.
QUESTÃO 19
Pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal mostrou que a população de uma certa espécie de
animal está diminuindo a cada ano. A partir do ano em que se iniciou a pesquisa, o número de exemplares
desses animais é dado aproximadamente pela função f(t) = 750 × 2– (0,05) t , com t em anos, t ≥ 0.
a) Determine, com base na função, em quantos anos a população de animais estará reduzida à metade da
população inicial.
b) Considerando log23 = 1,6 e log25 = 2,3, e supondo que nada seja feito para conter o decrescimento da
população, determine em quantos anos, de acordo com a função, haverá apenas 40 exemplares dessa
espécie de animal na reserva florestal.
RESOLUÇÃO:
a) Como a partir do ano em que se iniciou a pesquisa, o número de exemplares desses animais é dado
aproximadamente pela função f(t) = 750 × 2– (0,05) t , com t em anos, t ≥ 0, então no inicio da pesquisa o
número de animais existentes era f(0) = 750 × 2 0 = 750.
Para determinar em quantos anos a população de animais estará reduzida à metade da população inicial,
1
faça-se 750 × 2 −(0,05)t = 375 ⇒ 2 −(0,05)t = ⇒ 2 −(0,05)t = 2 −1 ⇒ 0,05t = 1 ⇒ t = 20 .
2
RESPOSTA: Em 20 anos.
b) Se nada for feito para conter o decrescimento da população, determine em quantos anos, de acordo
com a função, para determinar em quantos anos haverá apenas 40 faça-se
4
 4 
750 × 2 − (0,05)t = 40 ⇒ 2 − (0,05)t =
⇒ log 2 2 − (0,05)t = log 2   ⇒
75
 75 
2
2
− 0,05t = log 2 2 − log 75 ⇒ −0,05t = 2 − log 2 3 + log 2 5 ⇒
(
(
)
)
− 0,05t = 2 − (1,6 + 4,6) ⇒ −0,05t = 2 − 6,2 ⇒ 0,05t = 4,2 ⇒ t = 84.
RESPOSTA: Em 84 anos.
QUESTÃO 20
 π

A função D(t) = 12 + (1,6).cos 
(t + 10)  fornece uma aproximação da duração do dia (diferença em
 180

horas entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer do sol) numa cidade do Sul do país, no dia t de
2010. A variável inteira t, que representa o dia, varia de 1 a 365, sendo t = 1 correspondente ao dia 1o de
janeiro e t = 365 correspondente ao dia 31 de dezembro. O argumento da função cosseno é medido em
radianos. Com base nessa função, determine
a) a duração do dia 19.02.2010, expressando o resultado em horas e minutos.
b) em quantos dias no ano de 2010 a duração do dia naquela cidade foi menor ou igual a doze horas.
3
RESOLUÇÃO:
a) Como a t = 1 correspondente o dia 1o de janeiro, ao dia 19.02 corresponde t = 31 + 19 = 50.
1
 π

π 
D(50) = 12 + (1,6).cos 
(50 + 10)  = 12 + (1,6).cos  = 12 + (1,6). = 12 + 0,8 = 12,8 .
2
 180

3
RESPOSTA: 12,8 horas.
b)
 π

 π

 π

12 + (1,6).cos 
(t + 10)  ≤ 12 ⇒ (1,6).cos 
(t + 10)  ≤ 0 ⇒ cos 
(t + 10)  ≤ 0 ⇒
 180

 180

 180

π
π
3π
1
1
3
(t + 10) ≤
(t + 10) ≤ ⇒ 90 ≤ (t + 10) ≤ 270 ⇒ 80 ≤ t ≤ 260 .
≤
⇒ ≤
2 180
2
2 180
2
Como t é um número natural, neste intervalo existem 260 – 80 + 1 = 181 valores para t.
RESPOSTA: 181 dias.
4